立體幾何垂直證明題常見模型及方法

1、立體幾何垂直證明題常見模型及方法證明空間線面垂直需注意以下幾點(diǎn)：由已知想性質(zhì)，由求證想判定，即分析法與綜合法相結(jié)合尋找證題思路。立體幾何論證題的解答中，利用題設(shè)條件的性質(zhì)適當(dāng)添加輔助線（或面）是解題的常用方法之一。明確何時(shí)應(yīng)用判定定理，何時(shí)應(yīng)用性質(zhì)定理，用定理時(shí)要先申明條件再由定理得出相應(yīng)結(jié)論。垂直轉(zhuǎn)化：線線垂直 線面垂直 面面垂直； 基礎(chǔ)篇類型一：線線垂直證明（共面垂直、異面垂直）（1） 共面垂直：實(shí)際上是平面內(nèi)的兩條直線的垂直 （只需要同學(xué)們掌握以下幾種模型） 等腰（等邊）三角形中的中線 菱形（正方形）的對角線互相垂直 勾股定理中的三角形 1:1:2 的直角梯形中 利用相似或全等證明直角。

2、例：在正方體中，O為底面ABCD的中心，E為,求證：（2） 異面垂直 （利用線面垂直來證明，高考中的意圖）例1 在正四面體ABCD中，求證變式1 如圖，在四棱錐中，底面是矩形，已知證明：；變式2 如圖，在邊長為的正方形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，將AED,DCF分別沿折起，使兩點(diǎn)重合于.求證:；變式3如圖，在三棱錐中，是等邊三角形，PAC=PBC=90 證明：ABPC類型二：線面垂直證明 方法 利用線面垂直的判斷定理 例2：在正方體中，O為底面ABCD的中心，E為,求證：變式1：在正方體中，,求證：變式2：如圖：直三棱柱ABCA1B1C1中， AC=BC=AA1=2，ACB=90.E為BB1的

3、中點(diǎn)，D點(diǎn)在AB上且DE=.求證：CD平面A1ABB1；DACOBE變式3：如圖，在四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，求證：平面BCD；變式4 如圖，在底面為直角梯形的四棱錐中，平面，求證：平面 利用面面垂直的性質(zhì)定理例3：在三棱錐P-ABC中，,，。方法點(diǎn)撥：此種情形，條件中含有面面垂直。變式1, 在四棱錐，底面ABCD是正方形，側(cè)面PAB是等腰三角形，且,求證：變式2：類型3：面面垂直的證明。(本質(zhì)上是證明線面垂直)ABCDEF 例1 如圖，已知平面，平面，為等邊三角形，為的中點(diǎn).(1) 求證：平面；(2) 求證：平面平面；例2 如圖，在四棱錐中，底面，是的中點(diǎn)（1）證明；

4、（2）證明平面；變式1已知直四棱柱ABCDABCD的底面是菱形，E、F分別是棱CC與BB上的點(diǎn)，且EC=BC=2FB=2（1）求證：平面AEF平面AACC；舉一反三1.設(shè)M表示平面，a、b表示直線，給出下列四個(gè)命題： bM bM.其中正確的命題是 ( )A. B. C. D.2.下列命題中正確的是 ( )A.若一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線，則這條直線垂直于這個(gè)平面B.若一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則這條直線垂直于這個(gè)平面C.若一條直線平行于一個(gè)平面，則垂直于這個(gè)平面的直線必定垂直于這條直線D.若一條直線垂直于一個(gè)平面，則垂直于這條直線的另一條直線必垂直于這個(gè)平面3.如圖所示，在

5、正方形ABCD中，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn).現(xiàn)在沿DE、DF及EF把ADE、CDF和BEF折起，使A、B、C三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為P.那么，在四面體PDEF中，必有 ( )第3題圖A.DP平面PEF B.DM平面PEF C.PM平面DEF D.PF平面DEF4.設(shè)a、b是異面直線，下列命題正確的是 ( )A.過不在a、b上的一點(diǎn)P一定可以作一條直線和a、b都相交B.過不在a、b上的一點(diǎn)P一定可以作一個(gè)平面和a、b都垂直C.過a一定可以作一個(gè)平面與b垂直D.過a一定可以作一個(gè)平面與b平行5.如果直線l,m與平面,滿足:l=,l,m和m,那么必有 ( )A.且lm B.且m C.m且lm D

6、.且6.AB是圓的直徑，C是圓周上一點(diǎn)，PC垂直于圓所在平面，若BC=1,AC=2,PC=1，則P到AB的距離為 ( )A.1 B.2 C. D.7.有三個(gè)命題：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行；過平面的一條斜線l有且僅有一個(gè)平面與垂直； 異面直線a、b不垂直，那么過a的任一個(gè)平面與b都不垂直其中正確命題的個(gè)數(shù)為 ( )A.0 B.1 C.2 D.38.d是異面直線a、b的公垂線，平面、滿足a，b，則下面正確的結(jié)論是 ( )A.與必相交且交線md或m與d重合B.與必相交且交線md但m與d不重合C.與必相交且交線m與d一定不平行D.與不一定相交9.設(shè)l、m為直線，為平面，且l，給出下列命題 若m，

7、則ml；若ml，則m；若m，則ml；若ml，則m，其中真命題的序號(hào)是 ( )A. B. C. D.10.已知直線l平面，直線m平面，給出下列四個(gè)命題：若，則lm；若，則lm；若lm，則；若lm，則.其中正確的命題是 ( )A.與 B.與 C.與 D.與二、思維激活第12題圖11.如圖所示，ABC是直角三角形，AB是斜邊，三個(gè)頂點(diǎn)在平面的同側(cè)，它們在內(nèi)的射影分別為A，B，C，如果ABC是正三角形，且AA3cm，BB5cm，CC4cm，則ABC的面積是 . 第11題圖第13題圖12.如圖所示,在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中,當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件 時(shí),有A1CB1D1(注:填上你認(rèn)為正

8、確的一種條件即可,不必考慮所有可能的情形)13.如圖所示，在三棱錐VABC中，當(dāng)三條側(cè)棱VA、VB、VC之間滿足條件 時(shí)，有VCAB.(注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可)三、能力提高14.如圖所示,三棱錐V-ABC中,AH側(cè)面VBC,且H是VBC的垂心，BE是VC邊上的高.第14題圖(1)求證:VCAB;(2)若二面角EABC的大小為30,求VC與平面ABC所成角的大小.15.如圖所示，PA矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn).第15題圖(1)求證：MN平面PAD.(2)求證：MNCD.(3)若PDA45，求證：MN平面PCD.16.如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是

9、平行四邊形，BAD60，AB4，AD2，側(cè)棱PB，PD.(1)求證：BD平面PAD. (2)若PD與底面ABCD成60的角，試求二面角PBCA的大小.第16題圖17.已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACB=90,BAC=30,BC=1，AA1=，M是CC1的中點(diǎn)，求證：AB1A1M 18.如圖所示，正方體ABCDABCD的棱長為a，M是AD的中點(diǎn)，N是BD上一點(diǎn)，且DNNB12，MC與BD交于P.(1)求證：NP平面ABCD. 第18題圖(2)求平面PNC與平面CCDD所成的角.(3)求點(diǎn)C到平面DMB的距離.第4課 線面垂直習(xí)題解答1.A 兩平行中有一條與平面垂直，則另一條也與該平面垂直

10、，垂直于同一平面的兩直線平行.2.C 由線面垂直的性質(zhì)定理可知.3.A 折后DPPE,DPPF，PEPF.4.D 過a上任一點(diǎn)作直線bb,則a，b確定的平面與直線b平行.5.A依題意,m且m,則必有,又因?yàn)閘=則有l(wèi),而m則lm,故選A.6.D過P作PDAB于D，連CD，則CDAB，AB=，PD=.7.D 由定理及性質(zhì)知三個(gè)命題均正確.8.A 顯然與不平行.9.D 垂直于同一平面的兩直線平行，兩條平行線中一條與平面垂直，則另一條也與該平面垂直.10.B ，l，lm11.cm2 設(shè)正三角ABC的邊長為a.AC2=a2+1,BC2=a2+1,AB=a2+4，又AC2+BC2=AB2，a2=2SAB

11、C=cm212.在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件ACBD(或任何能推導(dǎo)出這個(gè)條件的其它條件，例如ABCD是正方形，菱形等)時(shí),有A1CB1D1(注:填上你認(rèn)為正確的一種條件即可,不必考慮所有可能的情形).點(diǎn)評：本題為探索性題目，由此題開辟了填空題有探索性題的新題型，此題實(shí)質(zhì)考查了三垂線定理但答案不惟一,要求思維應(yīng)靈活.13.VCVA，VCAB. 由VCVA，VCAB知VC平面VAB.14.(1)證明:H為VBC的垂心,VCBE,又AH平面VBC,BE為斜線AB在平面VBC上的射影,ABVC.(2)解:由(1)知VCAB,VCBE,VC平面ABE,在平面ABE上,

12、作EDAB,又ABVC,AB面DEC.ABCD,EDC為二面角EABC的平面角，EDC=30,AB平面VCD,VC在底面ABC上的射影為CD.VCD為VC與底面ABC所成角,又VCAB,VCBE,VC面ABE,VCDE,CED=90,故ECD=60,VC與面ABC所成角為60.15.證明：(1)如圖所示，取PD的中點(diǎn)E，連結(jié)AE，EN，則有ENCDABAM，ENCDABAM，故AMNE為平行四邊形.MNAE.第15題圖解AE平面PAD，MN平面PAD，MN平面PAD.(2)PA平面ABCD，PAAB.又ADAB，AB平面PAD.ABAE，即ABMN.又CDAB，MNCD.(3)PA平面ABCD

13、，PAAD.又PDA45，E為PD的中點(diǎn).AEPD，即MNPD.又MNCD，MN平面PCD.16.如圖(1)證：由已知AB4，AD，BAD60，第16題圖解故BD2AD2+AB2-2ADABcos604+16-22412.又AB2AD2+BD2，ABD是直角三角形，ADB90，即ADBD.在PDB中，PD，PB，BD，PB2PD2+BD2，故得PDBD.又PDADD，BD平面PAD.(2)由BD平面PAD，BD平面ABCD.平面PAD平面ABCD.作PEAD于E，又PE平面PAD，PE平面ABCD，PDE是PD與底面ABCD所成的角.PDE60，PEPDsin60.作EFBC于F，連PF，則P

14、FBF，PFE是二面角PBCA的平面角.又EFBD，在RtPEF中，tanPFE.故二面角PBCA的大小為arctan.17.連結(jié)AC1，.RtACC1RtMC1A1，AC1C=MA1C1，A1MC1+AC1C=A1MC1+MA1C1=90.A1MAC1,又ABC-A1B1C1為直三棱柱，CC1B1C1，又B1C1A1C1，B1C1平面AC1M.由三垂線定理知AB1A1M. 點(diǎn)評：要證AB1A1M，因B1C1平面AC1，由三垂線定理可轉(zhuǎn)化成證AC1A1M，而AC1A1M一定會(huì)成立18.(1)證明：在正方形ABCD中，MPDCPB，且MDBC，DPPBMDBC12.又已知DNNB12，由平行截割

15、定理的逆定理得NPDD，又DD平面ABCD，NP平面ABCD.(2)NPDDCC，NP、CC在同一平面內(nèi)，CC為平面NPC與平面CCDD所成二面角的棱.又由CC平面ABCD，得CCCD，CCCM，MCD為該二面角的平面角.在RtMCD中可知MCDarctan，即為所求二面角的大小.(3)由已知棱長為a可得，等腰MBC面積S1，等腰MBD面積S2，設(shè)所求距離為h，即為三棱錐CDMB的高.三棱錐DBCM體積為，空間中的計(jì)算 基礎(chǔ)技能篇類型一：點(diǎn)到面的距離 方法1：直接法把點(diǎn)在面上的射影查出來，然后在直角三角形中計(jì)算例1：在正四面體ABCD中，邊長為a，求點(diǎn)A到面BCD的距離。 變式1 在正四棱錐V

16、-ABCD中，底面ABCD邊長為a,側(cè)棱長為b.求頂點(diǎn)V到底面ABCD的距離。變式2在正四棱錐V-ABCD中，底面ABCD邊長為a,側(cè)棱長為b.求頂點(diǎn)A到底面VCD的距離。方法2：等體積法求距離-在同一個(gè)三棱錐中利用體積不變原理，通過轉(zhuǎn)換不同的底和高來達(dá)到目的。例2 已知在三棱錐VABC中，VA,VB,VC兩兩垂直，VA=VB=3，VC=4，求點(diǎn)V到面ABC的距離。變式1：如圖所示的多面體是由底面為的長方體被截面所截而得到的，其中 （1）求的長； （2）求點(diǎn)到平面的距離 _A_B_D_C_O變式2 如圖，在四棱錐中，底面ABCD是四邊長為1的菱形，, 面, ,求點(diǎn)B到平面OCD的距離變式3在正

17、四面體ABCD中，邊長為a，求它的內(nèi)切求的半徑。類型二：其它種類的距離的計(jì)算（點(diǎn)到線，點(diǎn)到點(diǎn) ）例3 如圖，在四棱錐中，底面ABCD是四邊長為1的菱形，, 面, ,M為OC的中點(diǎn)，求AM和點(diǎn)A到直線OC的距離_A_B_D_C_O舉一反三1正三棱錐P-ABC高為2，側(cè)棱與底面所成角為，則點(diǎn) 到側(cè)面的距離是A B C6 D2如圖，已知正三棱柱的底面邊長為1，高為8，一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)點(diǎn)的最短路線的長為 A10 B20 C30 D40二、填空題：3太陽光照射高為m的竹竿時(shí)，它在水平地面上的射影為1m，同時(shí)，照射地面上一圓球時(shí)，如圖所示，其影子的長度AB等于cm,則該球的體積

18、為_4若一個(gè)正三棱柱的三視圖如下圖所示，則這個(gè)正三棱柱的高和底面邊長分別為_ 主視圖俯視圖2 左視圖三、解答題：5已知正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱長和底面邊長均為1，M是底面BC邊上的中點(diǎn)，N是側(cè)棱CC1上的點(diǎn)，且CN2C1N求點(diǎn)B1到平面AMN的距離6一個(gè)多面體的直觀圖及三視圖如圖所示：（其中M、N分別是AF、BC的中點(diǎn)）. （1）求證：MN平面CDEF； （2）求多面體ACDEF的體積7一個(gè)多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，其中M、N分別是AB、AC的中點(diǎn)，G是DF上的一動(dòng)點(diǎn).（1）求證：（2）當(dāng)FG=GD時(shí)，在棱AD上確定一點(diǎn)P，使得GP/平面FMC,并給出證明SBCFDAEO8如圖，已知正四棱錐,設(shè)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，為邊上的點(diǎn)（1）求證：平面；（2）試確定點(diǎn)的位置，使得平面底面BAACAC1AB1AA1AMN主視圖左