高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)函數(shù)最值的應(yīng)用

1、 高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)-函數(shù)最值的應(yīng)用一、最值綜合與應(yīng)用問題：（一）知識(shí)歸納：1最值綜合問題：這是中學(xué)數(shù)學(xué)最重要的題型之一，題型非常廣泛.幾何圖形的最值問題：在平幾、立幾、解幾圖形中求解面積、體積、距離及各種幾何量的最大、最小值；代數(shù)中的最值問題：求解方程（或不等式）的最大、最小解，數(shù)列的最大、最小項(xiàng)，變量或代數(shù)式的最大、最小取值，等等；2最值應(yīng)用問題：這是應(yīng)用問題中最典型的內(nèi)容，如求解利潤、費(fèi)用的最大與最小，用料，時(shí)間最少，流量、銷量最大，選取的方法最多、最少等，都是常見的應(yīng)用問題。（二）學(xué)習(xí)要點(diǎn)：在中學(xué)數(shù)學(xué)范圍內(nèi)，最值綜合與應(yīng)用問題幾乎都要運(yùn)用函數(shù)的思想與方法解決，解答程序是：正確選擇變量作

2、自變量，根據(jù)問題的條件將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)，建立函數(shù)的解析式，并求函數(shù)的（實(shí)際型）定義域；求函數(shù)的極值，并結(jié)合函數(shù)的定義域得到函數(shù)的最值；如果函數(shù)的解析式中含有參數(shù)，注意可能要對參數(shù)的取值進(jìn)行討論（討論極值點(diǎn)是否在定義域內(nèi)）【例1】如圖，扇形aob的半徑為1，中心角為45，矩形efgh內(nèi)接于扇形，求矩形對角線長的最小值. 解析這是一道高考題，需要用函數(shù)思想解決它，但是取什么量作自變量是解決這個(gè)問題的關(guān)鍵，應(yīng)反復(fù)斟酌. 根據(jù)這個(gè)問題的圖形特點(diǎn)，取將對角線長表示成這個(gè)角的函數(shù)是比較好的想法. 所以，當(dāng)時(shí)，解法二設(shè)矩形的高 矩形的寬 對角線 令 令 在的左、右兩側(cè)取定義域內(nèi)兩點(diǎn)，如取 得的值在處左負(fù)右正

3、，. 評(píng)析該問題的難點(diǎn)是正確選擇自變量,上面兩種解法各有優(yōu)缺點(diǎn),解法一雖然簡單些,但選擇”角”作自變量有時(shí)會(huì)涉及到過多的三角知識(shí),在許多情況下會(huì)出現(xiàn)困難的運(yùn)算,應(yīng)慎重;解法二選擇矩形的邊長為自變量的想法要常規(guī)一些.【例2】已知正四棱錐邊長為3，求它的體積的最大值.解析設(shè)底面邊長為， 且左正右負(fù)，當(dāng).(初等方法)等號(hào)成立時(shí),評(píng)析立體幾何中的最值綜合問題是高中數(shù)學(xué)中的一種重要題型,在立幾的復(fù)習(xí)中將會(huì)作更多的討論.【例3】設(shè)是定義在上以2為周期的周期函數(shù),且為偶函數(shù),已知在區(qū)間2,3上=2(3)2+4,（）求時(shí)的解析式；（）若矩形abcd的兩個(gè)頂點(diǎn)a、b在軸上，另兩個(gè)頂點(diǎn)c、d在函數(shù)的圖象上，求這個(gè)

4、矩形面積的最大值.解析（）設(shè)（）設(shè)則， 當(dāng) 設(shè) 矩形abcd面積令且左正右負(fù)， 評(píng)析這是代數(shù)與幾何的綜合型的最值問題，由于這種問題能綜合考核較多的數(shù)學(xué)能力，因此這是常見的試題形式，在該問題中求的值域時(shí)，換元這一步是很重要的想法，這樣大大降低了運(yùn)算量.【例4】一變壓器的鐵芯截面為正十字型,為保證所需的磁通量,要求十字應(yīng)具有的面積，問應(yīng)如何設(shè)計(jì)十字型寬及長，才能使其外接圓的周長最短，這樣可使繞在鐵芯上的銅線最節(jié)省.解析設(shè) 由條件知:即 設(shè)外接圓的半徑為r，即求r的最小值， 等號(hào)成立時(shí)， 當(dāng)時(shí)r2最小，即r最小，從而周長最小， 此時(shí) 評(píng)析這是最值的應(yīng)用問題，在函數(shù)型的應(yīng)用問題中，最值應(yīng)用問題占了很大

5、的比例，也是緊常見的應(yīng)用題的試題形式，應(yīng)多加強(qiáng)這方面的訓(xùn)練.二、最值在參數(shù)討論中的應(yīng)用（一）知識(shí)歸納：1“恒成立”問題：“設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)閰^(qū)間d，若對恒成立若對恒成立2“存在”問題：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)閰^(qū)間d，若存在，使得 若存在，使得 （二）學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1“恒成立”與“存在”是參數(shù)討論中的兩類非常重要的問題，而通過求函數(shù)的最值是解決這兩類問題的重要方法，在具體解決問題時(shí)又有兩條基本思路：將“參數(shù)”與“變量”分離在不等號(hào)的兩邊，然后變量形成的函數(shù)的最值；“參數(shù)”與“變量”不分離，將整個(gè)式子看成一個(gè)函數(shù)，并求它的最值.2必須注意，如果在定義區(qū)間d上沒有最大或最小值，而只有上限或下限，則最后的結(jié)果可能要

6、將“（）”改為“（）”.3在具體的問題中，“恒成立”與“存在”有很多不同的等價(jià)形式.如“恒成立”在有些問題中敘述為“對任意總有”，“無論都有”等等；而“存在”的等價(jià)說法有“不等式在d內(nèi)有解”，“集合 ”等多種形式，注意總結(jié)經(jīng)驗(yàn).【例1】不論實(shí)數(shù)取何值,直線與雙曲線總有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解析曲線的公共點(diǎn)為方程組的解,命題最終化歸為二次方程的判斷式“對恒成立”.聯(lián)立（1）若，顯然當(dāng)時(shí)方程無解，命題不成立；（2）若方程為一元二次方程， 則恒成立， 評(píng)析這是高考中的一道基礎(chǔ)型試題，如果對“恒成立”的概念與方法很熟悉，則問題解答得心應(yīng)手.【例2】設(shè)函數(shù) 集合 a ,求實(shí)數(shù)的取值范圍.解析 a 不

7、等式有角,這是“存在”性問題.由 不等內(nèi)有解， 即存在，使得 設(shè) 故命題又等價(jià)于 求導(dǎo)得，且的值在處左正右負(fù)，實(shí)數(shù)的取值范圍是評(píng)析有關(guān)“存在”的參數(shù)討論問題也是參數(shù)討論問題的重要題型，其中有許多與最值有關(guān)，這類問題的理解比“恒成立”要困難一些.【例3】設(shè)若，問是否存在使得？說明理由.解析 這是關(guān)于“存在”性問題，注意問題中是變量，是參數(shù). 設(shè)存在這樣的,， 則命題等價(jià)于 的對稱軸內(nèi)單調(diào)遞增， 得， 顯然正確，故存在，使得.評(píng)析如果從“存在”的思想方法來理解并解答該問題，則解題思路非常清晰，才能寫出上面既簡潔，又嚴(yán)密的解題過程.訓(xùn)練題一、選擇題：1若關(guān)于的不等式對任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

8、 ）abcd2如果存在實(shí)數(shù)使得不等式|+1|2|成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）abcd3設(shè)，如果恒成立，那么（ ）abcd4若時(shí)總有則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）abcd5若關(guān)于的不等式內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）abcd6設(shè)數(shù)列若的每一項(xiàng)總小于它的后面的項(xiàng)，則的取值范圍是（ ）abcd二、填空題：7若不等式對任意實(shí)數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .8若的解集為空集，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .9若不等式內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .10在一塊半徑為r的半圓形鐵皮中截出一塊矩形，矩形的一邊在半圓的直徑上，則這個(gè)矩形的最大面積是 .三、解答題：11求外切于半徑為1的球的圓錐的體積最小值.12由點(diǎn)p（0，1

9、）引圓的割線與該圓交于a、b兩點(diǎn)，求aob的面積的最大值（o為原點(diǎn)）及此時(shí)割線ab的方程.13機(jī)動(dòng)車輛通過大橋，為了安全，同一股道上的兩輛車的間距不得小于，其中是車速，是平均車身長度，為比例系數(shù).已測定：車速為時(shí)，安全車距為問應(yīng)規(guī)定怎樣的車速可使同一股道上的車流量最大？（車流量即單位時(shí)間內(nèi)通過的車輛數(shù)）.14對定義（的單調(diào)減函數(shù)使得：恒成立，求的取值范圍.15已知函數(shù) （）求函數(shù)的反函數(shù)；（）若函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.答案與解析一、選擇題：1a 2b 3d 4d 5a 6b 二、填空題：7 ， 8， 9，10r2 .三、11如圖，設(shè)圓錐的高底半徑為， pad，且oe=od=1， 即 圓錐體積 且的值在處左負(fù)右正，12設(shè)ab方程為o到ab的距離 令 求導(dǎo)得單調(diào)遞減，13，則車流量 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. 當(dāng)時(shí)車流量最大；14