流體力學第八章

1、第八章第八章 粘性不可壓縮流體的流動粘性不可壓縮流體的流動 8-1 粘性流體中的應力粘性流體中的應力 8-2 不可壓縮粘性流體運動的基本方程不可壓縮粘性流體運動的基本方程 8-3 納維納維-斯托克斯方程的解析解斯托克斯方程的解析解 8-4 層流邊界層流動的基本方程層流邊界層流動的基本方程 8-5 平板層流邊界層的相似性解平板層流邊界層的相似性解 8-6 邊界層動量積分方程邊界層動量積分方程 8-7 湍流邊界層與混合邊界層湍流邊界層與混合邊界層 一、粘性流體中的應力一、粘性流體中的應力 pzz pyy pxx pyz pzy pxz pxy pzx pyx 8-1 8-1 粘性流體中的應力粘性流

2、體中的應力 i 應力作用面方向應力作用面方向 j 應力方向應力方向 應力正方向的規(guī)定應力正方向的規(guī)定: : 應力的符號應力的符號 pij ij （或 （或 ij ij ） ） 二、廣義牛頓內摩擦定律二、廣義牛頓內摩擦定律 正的正應力沿作用面外法向；正的正應力沿作用面外法向； 若作用面外法向逆坐標軸方向若作用面外法向逆坐標軸方向, , 則正的切應力逆坐標軸方向；則正的切應力逆坐標軸方向； 若作用面外法向沿坐標軸方向若作用面外法向沿坐標軸方向, , 則正的切應力沿坐標軸方向；則正的切應力沿坐標軸方向； 第八章第八章 粘性不可壓縮流體的流動粘性不可壓縮流體的流動 流體內一點的應力有九個分量流體內一點

3、的應力有九個分量 zzzyzx yzyyyx xzxyxx ppp ppp ppp P jiij pp 由微元體的力矩平衡可證切應力的由微元體的力矩平衡可證切應力的對稱性對稱性 8.1 8.1 粘性流體中的應力粘性流體中的應力 其中其中 應力張量應力張量 切應力互等定律切應力互等定律 )( y u x v pp yxxy 例如例如: : xoy平面內的切應力與角變形速度關系平面內的切應力與角變形速度關系 xyxy p2 )( 2 1 y u x v xy 即有即有 角變形速度角變形速度 1. 1. 建立應力與變形速度的關系建立應力與變形速度的關系 2. 2. 測量速度比測量應力方便測量速度比測

4、量應力方便 意義：意義： 8.1 8.1 粘性流體中的應力粘性流體中的應力 二、廣義牛頓內摩擦定律二、廣義牛頓內摩擦定律 )( y u x v pp yxxy )( z v y w pp zyyz )( x w z u pp xyzx 牛頓流體切應力牛頓流體切應力 x u z w y v x u ppxx 2)( 3 2 y v z w y v x u ppyy 2)( 3 2 z w z w y v x u ppzz 2)( 3 2 牛頓流體正應力牛頓流體正應力 （流體的本構方程）（流體的本構方程） )( 3 1 zzyyxx pppp其中其中 不可壓縮流體的正應力不可壓縮流體的正應力? ?

5、 8.1 8.1 粘性流體中的應力粘性流體中的應力 二、廣義牛頓內摩擦定律二、廣義牛頓內摩擦定律 1. 1. 粘性流體微團受力分析粘性流體微團受力分析 8-2 8-2 不可壓縮粘性流體運動的基本方程不可壓縮粘性流體運動的基本方程 2. 應力形式的運動方程應力形式的運動方程 3. 3. N-S方程方程 第八章第八章 粘性不可壓縮流體的流動粘性不可壓縮流體的流動 一、一、Navier-Stokes (N-S)方程方程 2 dy y p p yy yy 2. 應力形式的運動方程應力形式的運動方程 z p y p x p f dt du zx yx xx x z p y p x p f dt dv z

6、yyyxy y z p y p x p f dt dw zz yz xz z 代入本構關系式后得到運動方程代入本構關系式后得到運動方程 )( y u x v pp yxxy x u z w y v x u ppxx 2)( 3 2 8.2 不可壓縮粘性流體運動的基本方程不可壓縮粘性流體運動的基本方程 )( 1 )( 1 )( 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z w y w x w z p f dt dw z v y v x v y p f dt dv z u y u x u x p f dt du z y x 連續(xù)性方程連續(xù)性方程 0 z w y v

7、 x u 3. N-S3. N-S方程方程 不可壓縮粘性流體的運動方程不可壓縮粘性流體的運動方程 8.2 不可壓縮粘性流體運動的基本方程不可壓縮粘性流體運動的基本方程 二、求解二、求解N-SN-S方程的定解條件方程的定解條件 8.2 不可壓縮粘性流體運動的基本方程不可壓縮粘性流體運動的基本方程 2 2、近似解、近似解 1 1、精確解、精確解 3 3、數(shù)值解、數(shù)值解 求解求解N-SN-S方程的途徑方程的途徑 定解條件定解條件 2 2、邊界條件、邊界條件 1 1、非定常流動的初始場、非定常流動的初始場 在特殊條件下可得到在特殊條件下可得到N-SN-S方程的解析解方程的解析解 例如例如: :兩平行平

8、板間的定常層流流動兩平行平板間的定常層流流動 第八章第八章 粘性不可壓縮流體的流動粘性不可壓縮流體的流動 8-3 納維納維-斯托克斯方程的解析解斯托克斯方程的解析解 一、斜平面上液膜的定常流動一、斜平面上液膜的定常流動 邊界條件邊界條件 hy y u , 0 忽略液面摩擦力忽略液面摩擦力 壁面流體無滑移壁面流體無滑移 0, 0uy , uUyh 液體液體上表面上表面與板同速與板同速 U U 二階偏微分方程二階偏微分方程 需要兩個邊界條件需要兩個邊界條件 4.10 邊界層流動、邊界層流動、邊界邊界 層分離及物體阻力層分離及物體阻力 4-9 4-9 縫隙流動縫隙流動 習題習題8-5：解：解N-SN

9、-S方程求平板間的速度分布方程求平板間的速度分布 )( 1 2 2 2 2 2 2 z u y u x u x p f z u w y u v x u u t u x )( 1 2 2 2 2 2 2 z v y v x v y p f z v w y v v x v u t v y )( 1 22 2 2 2 z w y w x w z p f z w w y w v x w u t w z 由流動的特性由流動的特性0, 0, 0, g u w zt f 充分發(fā)展流動充分發(fā)展流動 ，由連續(xù)性方程，由連續(xù)性方程0 x u 0v 二維、定常二維、定常 u 僅是僅是 y 的函數(shù)的函數(shù) 8.3 納維

10、-斯托克斯方程的解析解 需要求解的方程組成為需要求解的方程組成為 邊界條件邊界條件 hyUuhyu , ; , 0 2 2 1 sin cos 0 ugp yx p g y p z C x p y u 1 2 2 已知已知u 僅是僅是 y 的函數(shù)，而的函數(shù)，而 p/ x 僅是僅是x 的函數(shù)的函數(shù) 21 2 2 CyCy C u 8.3 納維-斯托克斯方程的解析解 二、無限長同心圓柱面之間的定常流動。二、無限長同心圓柱面之間的定常流動。 8.3 納維-斯托克斯方程的解析解 2 1 d d up rr 2 2 22 1 d d d1 d 0 dd up rr uuu rrrr 222 12 22

11、21 RRr u RRr 邊界條件邊界條件 u=0，r=R2 外外壁面無滑移壁面無滑移 u=R1，r=R1 內壁面同速內壁面同速 vr=vz =0, v= u(r) fr = f= fz=0 /= 0r、方向運動方程 8.3 納維-斯托克斯方程的解析解 三、無限大平板在自身平面內啟動所帶動的流體運動三、無限大平板在自身平面內啟動所帶動的流體運動 p= C v= w= 0, u=u(y, t) /x= /z= 0 2 2 uu ty 0, 0, 0 0, 0, , 0 tyu tyuU yu 定解條件定解條件x方向運動方程方向運動方程 量綱分析量綱分析 u/U= f (, , y, t) 8.3

12、 納維-斯托克斯方程的解析解 三、無限大平板在自身平面內啟動所帶動的流體運動三、無限大平板在自身平面內啟動所帶動的流體運動 常微分方程常微分方程 2 y t u f U 20ff 邊界條件邊界條件 (0)1f ( )0f 用相似性變量用相似性變量 2 0 2 1 ed1 erf u U 相似性解相似性解 y U x u（y） h h o 由于板的運動產生的流動由于板的運動產生的流動 y x u（y） h h o 由于壓強梯度產生的流動由于壓強梯度產生的流動 y U x u（y） h h o 例：例：兩平行平板間的定常層流流動兩平行平板間的定常層流流動 均質不可壓縮均質不可壓縮, ,不計質量力不

13、計質量力 由于板的運動和壓強梯度產生的流動由于板的運動和壓強梯度產生的流動 8.3 納維-斯托克斯方程的解析解 解解N-SN-S方程求平板間的速度分布方程求平板間的速度分布 )( 1 2 2 2 2 2 2 z u y u x u x p f z u w y u v x u u t u x )( 1 2 2 2 2 2 2 z v y v x v y p f z v w y v v x v u t v y )( 1 22 2 2 2 z w y w x w z p f z w w y w v x w u t w z 由流動的特性由流動的特性0 , 0 , 0 , 0 f t w z u 充分發(fā)

14、展流動充分發(fā)展流動 ，由連續(xù)性方程，由連續(xù)性方程0 x u 0v 二維、定常、不計質量力二維、定常、不計質量力 u 僅是僅是 y 的函數(shù)的函數(shù) 8.3 納維-斯托克斯方程的解析解 需要求解的方程組成為需要求解的方程組成為 邊界條件邊界條件 hyUuhyu , ; , 0 0 0 1 2 2 z p y p x p y u y U x u（y） h h o C x p y u 1 2 2 已知已知u 僅是僅是 y 的函數(shù)，而的函數(shù)，而 p 僅是僅是x 的函數(shù)的函數(shù) 21 2 2 CyCy C u )( 2 )( 2 22 hy h U hy C u 8.3 納維-斯托克斯方程的解析解 3 3、若

15、、若dp/dx 0 0，U 0 1 1、若、若dp/dx=0，U 0 )( 2 hy h U u )( 2 )( 2 1 22 hy h U yh dx dp u 2 2、若、若dp/dx 0 0，U=0 )( 2 1 22 yh dx dp u 庫特流動庫特流動 關于常數(shù)關于常數(shù)C 和和U)( 2 )( 2 22 hy h U hy C u y U x u（y） h h o y x u（y） h h o 泊肅葉流動泊肅葉流動 y U x u（y） h h o 庫特庫特- -泊肅葉流動泊肅葉流動 8.3 納維-斯托克斯方程的解析解 3 0 2 0 1 1 2 2 z p y p x p g y

16、 u a pp 由連續(xù)性方程由連續(xù)性方程0 x u 已知已知 gf t wv z u x , 0 , 0 , 0 需要求解的方程組成為需要求解的方程組成為 例例.以常速以常速U垂直向上運動的皮帶表面油膜厚度垂直向上運動的皮帶表面油膜厚度h。設油膜。設油膜 在皮帶及自身重力作用下作定常層流運動，忽略空氣與在皮帶及自身重力作用下作定常層流運動，忽略空氣與 油膜表面的切應力，求油膜內的速度分布。油膜表面的切應力，求油膜內的速度分布。 解解 )(xpp 在液面壓強不隨在液面壓強不隨x變化變化 需要求解的方程組成為需要求解的方程組成為 2 2 d ug dy 邊界條件邊界條件 0 ,yUu hy y u

17、 , 0 2 12 2 g uyC yC 1 () 2 g uyh yU 積分得積分得 8-4 8-4 層流邊界層流動的基本方程層流邊界層流動的基本方程 一、邊界層厚度一、邊界層厚度、位位移厚度、動量損失厚度移厚度、動量損失厚度 物面繞流物面繞流 根據粘性作用大小區(qū)分根據粘性作用大小區(qū)分 為邊界層流和外部勢流為邊界層流和外部勢流 Prandtl(1904)Prandtl(1904) 具有很小摩擦的流體運動具有很小摩擦的流體運動 第八章第八章 粘性不可壓縮流體的流動粘性不可壓縮流體的流動 2. 2. 邊界層厚度邊界層厚度 3. 3. 邊界層排移厚度邊界層排移厚度 * * 4. 4. 邊界層動量損

18、失厚度邊界層動量損失厚度 * * * 1. 1. 邊界層的概念邊界層的概念 層流邊界層 外部勢流 過渡區(qū)湍湍流邊界層 粘性作用顯著，屬于粘性流有旋流動區(qū)。粘性作用顯著，屬于粘性流有旋流動區(qū)。 邊界層外部流動邊界層外部流動 邊界層內部流動邊界層內部流動 不受壁面影響，粘性力很小，可用勢流理論。不受壁面影響，粘性力很小，可用勢流理論。 U 8.4 層流邊界層流動的基本方程 例：層流例：層流 2/1 Re5 x x x Re5Re Re的物理意義的物理意義: : 慣性力慣性力/ /粘性力粘性力 （2）求平板阻力）求平板阻力 。 解解 (1) 3 )( 2 1 2 3 yy U u 280 39 )1

19、 ( 0 * dy U u U u 2 3 0 U y u & 代入動量積分關系式求出代入動量積分關系式求出 2/1 Re64. 4 x x 平板尾緣平板尾緣(x=2m)邊界層厚度為邊界層厚度為 m011. 0) 105 . 1 52 (264. 4 2/1 5 例例 題題 (2) 求平板單側受到摩擦阻力求平板單側受到摩擦阻力 AU F C D f 2 2 1 2/1 Re3 . 1 lf C 5 5 1067. 6 105 . 1 25 Re Ul l NFD048. 0 21067. 6 125205. 13 . 1 5 2 AUCF fD 2 2 1 例例 題題 8.6 邊界層動量積分方

20、程邊界層動量積分方程 8-7 8-7 湍流邊界層與混合邊界層湍流邊界層與混合邊界層 應用動量積分關系式解平板邊界層，應用動量積分關系式解平板邊界層，U=C 2 0 * Udx d 1. 1. 根據邊界條件構造近似的根據邊界條件構造近似的速度分布速度分布 2. 2. 將將壁面切應力壁面切應力表示為表示為的的函數(shù)函數(shù) 零壓強梯度邊界層零壓強梯度邊界層 )( y f U u 解解的動量積分方程得摩擦阻力的動量積分方程得摩擦阻力 * 的函數(shù)的函數(shù) 第八章第八章 粘性不可壓縮流體的流動粘性不可壓縮流體的流動 8.7 湍流邊界層與混合邊界層 一、一、 湍流平板邊界層湍流平板邊界層 動量積分需補充速度分布和

21、壁面切應力公式動量積分需補充速度分布和壁面切應力公式 7/1 )( y U u 切應力切應力 實驗證明，平板邊界層湍流和圓管湍流相似實驗證明，平板邊界層湍流和圓管湍流相似 21/4 0 0.0225 ReU R ,Uumax對應，速度分布對應，速度分布( (參考參考4.6)4.6) 1/5 0.072Re fl C 應用動量積分得平板（單側、長應用動量積分得平板（單側、長l）摩阻系數(shù)摩阻系數(shù) )105 . 2105(Re 75 l * 2 0 Udx d 二、平板混合邊界層二、平板混合邊界層 轉捩臨界雷諾數(shù)轉捩臨界雷諾數(shù) U x 0 層流邊界層層流邊界層 湍流邊界層湍流邊界層 xC l 65

22、103103Re C x AB T x T l L xD CC FFFF 從從O O點算起點算起 8.7 湍流邊界層與混合邊界層 長長l ，單位寬度混合邊界層的阻力，單位寬度混合邊界層的阻力 T xl L xD CC FFF l T lff A CC Re CCC x L xf T xf CCARe)( 長長l ，單位寬度平板的摩阻系數(shù)，單位寬度平板的摩阻系數(shù) 其中其中 l x CCClU C L xf T xf T lf CC )( 2 1 2 xC l 8.7 湍流邊界層與混合邊界層 例例. 飛機在飛機在10km高空飛行，將機翼視為無攻角繞流平高空飛行，將機翼視為無攻角繞流平 板，板，求求機翼的機翼的摩擦阻力。已知摩擦阻力。已知 V =50m/s，l=1.5m， Recr=5 105。 解解.確定確定Re KzTT223100065. 0288 4 0 6 1016 . 2 Re lV l 表表1-3外插標