人教A版高中數(shù)學(xué)選修22《數(shù)學(xué)歸納法》說課稿

1、數(shù)學(xué)歸納法（第一課時(shí)）說課稿（人教a版高中數(shù)學(xué)選修2-2）一、教材分析1、教材地位數(shù)學(xué)歸納法是人教a版高中數(shù)學(xué)選修22第二章第三節(jié)的內(nèi)容，它是一種特殊的證明方法，對證明一些與正整數(shù)有關(guān)的命題是非常有用的研究工具，彌補(bǔ)了不完全歸納法的不足。用它解答一些高考題往往能起到柳暗花明的神奇作用，因此是高中理科生應(yīng)掌握的一種證明方法。2、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：理解數(shù)學(xué)歸納法的原理，掌握用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的基本步驟 教學(xué)難點(diǎn)：（1）理解數(shù)學(xué)歸納法的原理（2）如何利用歸納假設(shè)證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。二、教學(xué)目標(biāo)（1）知識目標(biāo)：理解數(shù)學(xué)歸納法的原理，掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的基本步驟，會用“數(shù)學(xué)歸納法”證明

2、簡單的恒等式。（2）能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生觀察, 分析, 論證的能力, 進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的邏輯、抽象、創(chuàng)新思維能力，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的建構(gòu)過程, 體會類比的數(shù)學(xué)思想。 （3）情感目標(biāo)：通過對數(shù)學(xué)歸納法原理的探究，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹?shí)事求是的科學(xué)態(tài)度，感受數(shù)學(xué)內(nèi)在美，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情。 三、學(xué)情分析：在此之前學(xué)生經(jīng)歷了數(shù)列的求通項(xiàng)、求和等知識的學(xué)習(xí)，還學(xué)習(xí)了歸納推理、類比推理、演繹推理等知識，已具備了一定的觀察、分析、歸納能力。四、教學(xué)方法教學(xué)方法：本節(jié)課主要采用感性體驗(yàn)法、類比、引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法進(jìn)行教學(xué)。教學(xué)手段： 借助多媒體展示創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境學(xué)法指導(dǎo)：本課以問題情境為中心，以解決問題為主線展開， 引導(dǎo)學(xué)生通過以下

3、模式：“觀察情境提出問題分析問題解決問題提升理論鞏固應(yīng)用”進(jìn)行探究式學(xué)習(xí)。五、教學(xué)過程：（一）知識鏈接 歸納推理特點(diǎn):由特殊到一般 類比推理特點(diǎn):由特殊到特殊常用（設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)歸納推理和類比推理，為學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法作鋪墊）（二）創(chuàng)設(shè)情境 情境1 明朝劉元卿編的應(yīng)諧錄中有一個(gè)笑話：財(cái)主的兒子學(xué)寫字這則笑話中財(cái)主的兒子由“一字是一橫，二字是二橫，三字是三橫”，得出“四就是四橫、五就是五橫，百是百橫，萬是萬橫，”的結(jié)論，用的就是“不完全歸納法”，不過，這個(gè)歸納推出的結(jié)論顯然是錯誤的 情境2 費(fèi)馬（fermat）是17世紀(jì)法國著名的數(shù)學(xué)家，他曾認(rèn)為，當(dāng)nn*時(shí)，一定都是質(zhì)數(shù)，這是他對n0，1，2，3，

4、4作了驗(yàn)證后得到的后來，18世紀(jì)瑞士科學(xué)家歐拉（euler）卻證明了 4 294 967 2976 700 417641，從而否定了費(fèi)馬的推測沒想到當(dāng)n5這一結(jié)論便不成立（設(shè)計(jì)意圖：通過以上兩個(gè)例子讓學(xué)生了解不完全歸納法得出的結(jié)論不一定正確，即使是數(shù)學(xué)家也不例外。同時(shí)這則笑話和這段數(shù)學(xué)史料也激發(fā)了學(xué)生的興趣，營造了輕松愉快的學(xué)習(xí)氛圍）情境3解：因?yàn)閍1=1,a2=1,a3=1,a4=1，由不完全歸納得an=1（設(shè)計(jì)意圖：通過一個(gè)求數(shù)列通項(xiàng)公式的問題，讓學(xué)生領(lǐng)悟到逐一驗(yàn)證法不可行，從而引導(dǎo)學(xué)生思考如何用有限的步驟證明無限的問題呢？帶著問題去探究、去思考，提高了學(xué)生的自主性。）（三）探索新知 1、

5、感性體驗(yàn)： 通過觀看人倒下的視頻,引導(dǎo)學(xué)生得出全部人倒下的兩個(gè)條件：第一個(gè)人要倒下（奠定基礎(chǔ)）任意相鄰兩人，若前一個(gè)倒下時(shí)，則后一個(gè)也倒下;（傳遞性）（設(shè)計(jì)意圖：孔子曰：“知之者不如好之者，好之者不如樂之者”通過觀看一段有趣的生活實(shí)例調(diào)動學(xué)生的積極性，初步了解傳遞性，體驗(yàn)學(xué)數(shù)學(xué)的樂趣。）2、類比歸納（1）類比人倒下的條件，要證以下等式成立，需滿足兩個(gè)什么條件？例1：全部人倒下的條件等式對所有正整數(shù)都成立的條件（1）第一個(gè)人倒下（奠定基礎(chǔ) ）（1）當(dāng)n=1時(shí)，等式成立（奠定基礎(chǔ) ）（2）相鄰兩人，若前一個(gè)倒下時(shí)，則后一下也倒下（傳遞性）（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k1）時(shí)等式成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)等式也

6、成立。（傳遞性）滿足以上兩個(gè)條件，則人全部都倒下。由（1）（2）知，等式對所有的正整數(shù)都成立。（2）師生共同證明該恒等式（設(shè)計(jì)意圖：通過類比人倒下的條件，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)等式成立的條件及證明方法，體現(xiàn)了類比的數(shù)學(xué)思想及美國心理學(xué)家、教育家布魯納的發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)理論）（四）提升理念證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題關(guān)鍵步驟如下：（1）(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立；（2）(歸納遞推)假設(shè)當(dāng)n=k(kn*，kn0)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。(結(jié)論)滿足這兩個(gè)條件后，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立。這種證明方法就叫做數(shù)學(xué)歸納法。（設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力）（五）學(xué)

7、以致用練習(xí)1 用數(shù)學(xué)歸納法證明： 1+（n）= n2（nn*）在練習(xí)的過程中估計(jì)學(xué)生可能出現(xiàn)以下三種典型的錯誤：錯誤（1）：證明過程中缺少第一個(gè)步驟。舉反例。例：等式2+4+6+2n=n2+n+1成立嗎？假設(shè)當(dāng)n=k 時(shí)等式成立， 即 2+4+6+2k=k2+k+1那么 2+4+6+2k+2(k+1) =k2+k+1+2(k+1) =(k+1)2+(k+1)+1所以當(dāng)n=k+1時(shí)等式也成立。所以原等式成立。（事實(shí)上，當(dāng)n=1時(shí)這個(gè)等式是明顯不成立的。）錯誤（2）：把n=k+1直接代入左右兩邊錯誤(3)：沒有利用歸納假設(shè)，而是利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式師生共同總結(jié)： (1)兩個(gè)步驟缺一不可，(2)

8、在證n=k+1等式也成立時(shí)，一定要用到歸納假設(shè)（設(shè)計(jì)意圖：通過本練習(xí)讓學(xué)生熟悉數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個(gè)步驟一個(gè)結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生的規(guī)范表達(dá)能力，通過展示學(xué)生出現(xiàn)的錯誤，師生共同分析錯誤原因及改正策略，進(jìn)而強(qiáng)調(diào)：(1)兩個(gè)步驟缺一不可；(2)在證n=k+1等式也成立時(shí)，一定要用到歸納假設(shè)。） (六）合作探究 探究：(1)當(dāng)n=k+1時(shí)，項(xiàng)發(fā)生了什么變化？ (2)證n=k+1等式也成立時(shí)，應(yīng)如何變形？（設(shè)計(jì)意圖：通過探究本題幫助學(xué)生掌握基本的變形技巧，對數(shù)學(xué)歸納法由感性認(rèn)識上升為理性認(rèn)識。）（七）回頭觀望 (1) 使用數(shù)學(xué)歸納法證題要注意什么？ (2) 本節(jié)課使用了哪些數(shù)學(xué)思想方法？（設(shè)計(jì)意圖：通過問題式

9、的總結(jié)，使學(xué)生主動回顧知識，從而達(dá)到鞏固的目的，培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)的好習(xí)慣）（八）回歸應(yīng)用- 7 -你到過萬里長城嗎？長城，是中華民族勤勞智慧的象征!長城上屹立著一座座的烽火臺烽火臺有什么作用?在古代戰(zhàn)爭中，如果某一處發(fā)現(xiàn)了敵情，就要迅速地傳達(dá)到幾十里、幾百里甚至幾千里內(nèi)的每一處，使駐軍處于戰(zhàn)備的狀態(tài)古代并沒有無線電，怎么通傳呢?早在春秋戰(zhàn)國時(shí)期，軍事指揮官們就發(fā)明了設(shè)置烽火用以報(bào)警的辦法假定在西邊第一個(gè)烽火臺發(fā)現(xiàn)了敵情，要使由西到東的每一處都知道，只須預(yù)先在軍中發(fā)布兩道命令。假如你是將軍，應(yīng)如何發(fā)布這兩道命令？參考答案：(1)第一個(gè)發(fā)現(xiàn)敵情的烽火臺必須首先點(diǎn)火；(2)看到第一個(gè)點(diǎn)火后，第二個(gè)必

10、須立即點(diǎn)火；當(dāng)看到第二個(gè)點(diǎn)火后，第三個(gè)必須立即點(diǎn)火；看到第三個(gè)點(diǎn)火后，第四個(gè)必須立即點(diǎn)火概括地說：就是，不論哪一個(gè)點(diǎn)了火，在它后面的那個(gè)就要立即點(diǎn)火（設(shè)計(jì)意圖：為了讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)源于生活，寓于生活，用于生活的道理，體現(xiàn)新課程的應(yīng)用性，我設(shè)計(jì)了以上閱讀利用數(shù)學(xué)歸納法解決歷史問題。這一環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)也體現(xiàn)了俄國數(shù)學(xué)家羅巴切夫斯基說過的一句話：“任何一門數(shù)學(xué)分支、不管它如何抽象，總有一天會在現(xiàn)實(shí)世界的現(xiàn)象中找到應(yīng)用?！保ň牛?qiáng)化鞏固必做題：教材p96，必做題：習(xí)題a組第1題、b組第2題選做題：平面上有n個(gè)圓，其中每兩個(gè)圓交于兩點(diǎn)，且任意三個(gè)圓不交于同一點(diǎn)，則這n個(gè)圓把平面分成n2-n+2部分。請用數(shù)學(xué)

11、歸納法證明這個(gè)命題。（設(shè)計(jì)意圖：考慮到學(xué)生的個(gè)體差異和分層教學(xué)的要求，我設(shè)計(jì)了必做題和選做題作為課后作業(yè)）六、板書設(shè)計(jì)2.3.1數(shù)學(xué)歸納法(第一課時(shí))1、人倒下的條件 例1（證明過程板書）2、數(shù)學(xué)歸納法的基本步驟 互動板塊七、教學(xué)評價(jià)本課主要采用啟發(fā)、類比、引導(dǎo)的方式，創(chuàng)設(shè)各種問題情境，使學(xué)生帶著問題去主動思考、主動探究、交流合作，進(jìn)而達(dá)到對知識的“發(fā)現(xiàn)”和“接受”，完成知識的內(nèi)化，使書本的知識成為自己的知識。這也正好體現(xiàn)了布魯納的建構(gòu)主義教學(xué)觀。同時(shí)使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)生活化、生活數(shù)學(xué)化的美好境界?！窘贪刚f明】1數(shù)學(xué)歸納法是人教a版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)選修2-2的內(nèi)容，共2課時(shí)，這里是第一課時(shí)。數(shù)學(xué)歸納法是一種特殊的證明方法，對證明一些與正整數(shù)n有關(guān)的命題是非常有用的研究工具。它的操作步驟簡單、明確，教學(xué)重點(diǎn)是對數(shù)學(xué)歸納法原理的理解和應(yīng)用。我認(rèn)為不能把教學(xué)過程當(dāng)作方法的灌輸，技能的操練。為此，我設(shè)想通過各種問題情境讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)歸納法，理解數(shù)學(xué)歸納法的嚴(yán)密性和可靠性，并應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法解決恒等式的證明問題。2在教學(xué)方法上，這里運(yùn)用了在教師指導(dǎo)下的小組探究的方法目的是加強(qiáng)學(xué)生對教學(xué)過程的參與為了使這種參與有一定的智能度，教師應(yīng)做好發(fā)動、組織、引導(dǎo)和點(diǎn)撥學(xué)生的思維參與往往是從問題開始的，本節(jié)課按照思維次序編排了一系列問題