高中數(shù)學(xué)32函數(shù)模型及應(yīng)用同步輔導(dǎo)新人教A版必修1

1、文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.第二節(jié)函數(shù)模型及應(yīng)用 學(xué)點(diǎn)：探究與梳理自主探究：探究問題1:(1)如果張紅購買了每千克 1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把乂表示為x的函數(shù);(2)正方形的邊長為 x,面積為y ,把y表為x的函數(shù)；(3)某保護(hù)區(qū)有1個單位面積的濕地，由于保護(hù)區(qū)的努力濕地每年以5%勺增長率增長，經(jīng)過x年后濕地的面積為 y ,把y表示為x的函數(shù).分別用表格、圖象表示上述函數(shù)；指出它們屬于哪種函數(shù)模型；比較它們的增長差異；另外還有哪幾種函數(shù)模型；探究問題2 :某市有甲、乙兩家乒乓球俱樂部，兩家設(shè)備和服務(wù)都很好，但收費(fèi)方式不同，甲每張球臺每小時5元，乙按月計(jì)

2、費(fèi)，一個月中30小時以內(nèi)(含30小時)每張球臺 90元，超過30小時的部分每張球臺每小時2元，小張準(zhǔn)備下個月從這兩家中的一家租一張球臺開展活 動，其活動時間不少于 15小時，也不超過 40小時.設(shè)在甲租一張球臺開展活動 x小時的收 費(fèi)為f(x)元，在乙租一張球臺開展活動 x小時的收費(fèi)為g(x)元，試求f(x)和g(x).探究問題3 :某市某企業(yè)常年生產(chǎn)一種出口產(chǎn)品，根據(jù)需求預(yù)測：進(jìn)入21世紀(jì)以來，前8年在正常情況下，該產(chǎn)品產(chǎn)量將平穩(wěn)增長，已知 2000年為第一年，前 4年年產(chǎn)量f (x)(萬件)如 下表表示：x1234f(x)4.005.587.008.44(1)畫出20002003年該企業(yè)年

3、產(chǎn)量的散點(diǎn)圖；建立一個能基本反映(誤差小于0.1)這一時期該企業(yè)年產(chǎn)量發(fā)展變化的函數(shù)模型，并求之。(2) 2006年(即x 7)因受到某外國對我國該產(chǎn)量反傾 銷的影響，年產(chǎn)量將減少30% 試根據(jù)所建立的函數(shù)模型，確定2006年的年產(chǎn)量應(yīng)該約為多少？重點(diǎn)把握1 .研究實(shí)際問題時，常需要施以以下一系列過程。（1）閱讀理解，認(rèn)真審題，分析出已知什么，求什么，涉及到哪些知識。（2）建立實(shí)際問題中的變量之間的函數(shù)關(guān)系，從而將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題。（3）運(yùn)用所學(xué)知識研究函數(shù)問題，得到函數(shù)問題的解。（4）將函數(shù)問題的解翻譯成實(shí)際問題的解，從而解決實(shí)際問題。2 .解題時要分辨清楚量變的本質(zhì)，以防出錯.例如.

4、某企業(yè)的產(chǎn)品成本，前兩年每年遞增20%經(jīng)過引進(jìn)先進(jìn)的技術(shù)設(shè)備，并實(shí)施科學(xué)管理，后兩年的產(chǎn)品成本每年遞減20%則該企業(yè)的產(chǎn)品現(xiàn)在的成本與原來相比（）a.不增不減b.約增8%c.約減5%d.約減8%分析：此題容易誤選 a,認(rèn)為增加與減少比率相同，從而使結(jié)果不變，實(shí)際應(yīng)是8% ,故應(yīng)選d.現(xiàn)在的成本-原來成本 =a（1 20%）2（1 20%）2 a原來的成本a3 .解答實(shí)際問題時要注意其實(shí)際意義.例如.某公司在甲，乙兩地銷售一種品牌車，2利潤（單位：萬兀）分別為li 5.06x 0.15x和l2 2x,其中x為銷售量（單位：輛）.若該.公司在這兩地共銷售 15輛車，則能獲得的最大利潤為（）a. 4

5、5.606b. 45.6c. 46.8d. 46.806分析：設(shè)甲地銷售x輛，則乙地銷售15 x輛.總利潤=2_l l1 l2 5.06x 0.15x2（15 x）51 ,51，、一當(dāng)x 一時，獲得最大利潤45.606萬元.該解答中x 一不為整數(shù)，在實(shí)際問題中是 55不可能的，因此當(dāng) x 10時，獲得最大利潤l 0.15 102 3.06 10 30 45.6萬元.故選b 題例：解析與點(diǎn)撥例1為了發(fā)展電信事業(yè)方便用戶，電信公司對移動電話采用不同的收費(fèi)方式，其中所30天）的通話時間x （分）與通話費(fèi)t（元）使用的“如意卡”與“便民卡”在某市范圍內(nèi)每月（ 儼元）（元）的關(guān)系如圖所示.(1)分別求出

6、通話費(fèi) y1,y2與通話時間x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)請幫助用戶計(jì)算，在一個月內(nèi)使用哪種卡便宜解析：(1)由圖象可設(shè) yi kix 29, y2 k2x ,把點(diǎn) b(30,35), c(30,15)分別代入 y，y2/口 1111信 ki,k2 -.y1x 29(x 0),y2x(x 0).5252一人1一1一一2(2)令 9 y2，即x 29 一 x,則 x 96-. 523一 一2 一2當(dāng)x 96一時，y y2,兩種卡收費(fèi)一致；當(dāng) x 96一時，y1 以,即使民卡便宜；33一 -2當(dāng)x 96時，y y2,即如意卡便宜；3點(diǎn)撥：函數(shù)的圖象是表示函數(shù)的三種方法之一，正確識圖、用圖、譯圖是解決函

7、數(shù)應(yīng)用題的基本技能和要求，本題運(yùn)用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，然后利用函數(shù)解析式解決實(shí)際問題。借助函數(shù)圖象表達(dá)題目中的信息，讀懂圖象是關(guān)鍵。例2 截止到2004年底，我國人口約13億，如果今后能將人口平均增長率控制在1%那么經(jīng)過20年后，我國人口約為多少(精確到億)？解析：設(shè)經(jīng)過x年后，我國人口數(shù)為 y (億).2004年底，我國人口約為 13億；經(jīng)過1年(即2005年)，人口數(shù)為13+13*1險(xiǎn)13(1+1%)(億)；經(jīng)過 2 年(即 2006 年)，人口數(shù)為 13(1 1%) 13(1 1%) 1% 13(1 1%)2 (億)；經(jīng)過 3 年(即 2007年)人口數(shù)為 13(1 1%)2 13

8、(1 1%)2 1% 13(1 1%)3 (億)所以，經(jīng)過x年，人口數(shù)為y 13(1 1%)x 13 1.01x (億).當(dāng)x 20時，20y 13 1.0120 16 (億).所以，經(jīng)過20年后，我國人口數(shù)約為 16億.點(diǎn)撥：經(jīng)過隨年限的變化，總結(jié)出人口數(shù)與x的關(guān)系是指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，反過來，求增長率，又是關(guān)于哥函數(shù)的問題.變式訓(xùn)練：截止到 2004年底，我國人口約13億，那么經(jīng)過20年后，保證我國人口數(shù)不超過16億，那么人口平均增長率應(yīng)控制在什么范圍(1%) ?例3燕子每年秋天都要從北方飛向南方過冬，研究燕子的科學(xué)家發(fā)現(xiàn)，兩歲燕子的3文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支

9、持飛行速度可以表示為函數(shù) v 51og2，單位是m/s,其中q表示燕子的耗氧量.10(1)計(jì)算：燕子靜止時的耗氧量是多少個單位？(2)當(dāng)一只燕子的耗氧量是 80個單位時，它的飛行速度是多少？q解析：(1)由題知，當(dāng)燕子靜止時，它的速度v 0,代入題給公式可得：0 51og2 10解得q 10.即燕子靜止時的耗氧量是10個單位.(2)將耗氧量q= 80代入題給公式得:80v 51og2 51og28 15(m/s).即當(dāng)一只燕子的耗氧量是 80個單位時，它的飛行速度為15m/s.點(diǎn)撥：直接以對數(shù)函數(shù)為模型的應(yīng)用問題不是很多.此類問題一般是先給出對數(shù)函數(shù)模型，利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)求解.例4 某公司生產(chǎn)

10、一種電子儀器的固定成本為20 000元，每生產(chǎn)一臺儀器需增加投入400x 1x2(0 x 400)100元，已知總收卷t足函數(shù)：r(x) 400x 2x(0 x 400),其中x是儀器的月產(chǎn)80000 (x 400)量.(1)將利潤表示為月產(chǎn)量的函數(shù)f(x);(2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時， 公司所獲利潤最大？最大利潤為多少元？(總收益=總成本+ 利潤)解析：(1)設(shè)每月產(chǎn)量為x臺，則總成本為 20000+100x,1 2從而f (x)(2)當(dāng) 0 25000;-x2 300x 20000(0 x 400)60000 100x(x 400)當(dāng)x 300時，有最大值12x 400時，f(x) -(x 3

11、00)25000,f(x) 60000 100 400 25000.當(dāng) x 400 時，f (x) 60000 100x 是減函數(shù),當(dāng)x 300時，f(x)的最大值為25000.每月生產(chǎn)300臺儀器時，利潤最大，最大利潤為25000元。點(diǎn)撥：在函數(shù)應(yīng)用題中，已知的等量關(guān)系是解題的依據(jù)，像此題中的利潤=總收益總成本，又如“銷售額=銷售價(jià)格x銷售數(shù)量”等 .像幾何中的面積、體積公式，物理學(xué)中的一些公式等，也常用來構(gòu)造函數(shù)關(guān)系.例5 某工廠今年1月、2月、3月生產(chǎn)某種產(chǎn)品分別為 1萬件、1.2萬件、1.3萬件.為了估計(jì)以后每個月的產(chǎn)量，以這三個月的產(chǎn)品數(shù)量為依據(jù)，用一個函數(shù)來模，擬該產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與

12、月份的關(guān)系.模擬函數(shù)可以選擇二次函數(shù)或函數(shù)y a bx c (其中a,b,c為常數(shù))，已知4月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為 1.37萬件，試問用以上哪個函數(shù)作為模擬函數(shù)較好？并說 明理由.解析：設(shè)兩個函數(shù)yf(x)2xpx qx r( p 0)； y2 g(x) a bc.f (1)依題意，有 f (2)p q r 1,p 0.05,4p 2q r 1.2，解得 q 0.35,f (3) 9 p 3q r 1.3.r 0.7.2yf(x) 0.05x0.35x 0.7, f (4) 1.3 (萬件)g(1) ab c 1,a 0.8,依題意，也有 g(2)ab2c1.2解得 b0.5,g(3)ab3c1.

13、3. c1.4.y g(x) 0.8 (0.5)x 1.4.一一 一 4一g(4)0.8 (0.5)1.4 1.35 (萬件)經(jīng)比較可知，g(4)1.35 (萬件)，比 f (4)1.3 (萬件)更接近于4月份的產(chǎn)量1.37萬件.選用y2 g(x)0.8 (0.5) x1.4作為模擬函數(shù)較好.再驗(yàn)證其它結(jié)論是點(diǎn)撥：本題考查擬合函數(shù)模型問題，先由某些條件確定函數(shù)解析式,否更接近，不同的函數(shù)模型能夠刻畫現(xiàn)實(shí)世界不同的變化規(guī)律，函數(shù)模型可以處理生產(chǎn)， 生 活，科技中很多實(shí)際問題 學(xué)業(yè)水平測試鞏固基礎(chǔ)1.某人從甲地去乙地，一開始跑步前進(jìn),后來步行，圖中橫軸表示走的時間，縱軸表示2.某廠原來月產(chǎn)量為a,

14、一月份增產(chǎn)10%二月份比一月份減產(chǎn)10%設(shè)二月份產(chǎn)量為b,則()a. a b b. a bc. a bd.無法比較a、b的大小3 .工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的月產(chǎn)量 y與月份x滿足關(guān)系y a 0.5x b ,現(xiàn)已知該廠今年1 月份、2月份生產(chǎn)該產(chǎn)品分別為 1萬件、1.5萬件.則此工廠 3月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量.為 萬件.4 .某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品固定成本為2000萬元，并且每生產(chǎn)一單位產(chǎn)品，成本增加101萬兀.又知總收入k是單位廣品數(shù) q的函數(shù)，k(q) 40q 麗q2,則總利潤l(q)的最大 值是 .5 .某種病毒經(jīng)30分鐘繁殖為原來的 2倍，且知病毒的繁殖規(guī)律為 y ekt (其中k為常 數(shù)，t表示時間，

15、單位：小時，y表示病毒個數(shù))，則k ,經(jīng)過5小時，1個病 毒能繁殖為 個。6 .某商店經(jīng)銷一種洗衣粉，年銷售總量為6000包，每包進(jìn)價(jià)為 2.8元，銷售價(jià)為3.4元，全年分若干次進(jìn)貨，每次進(jìn)貨均為x包，已知每次進(jìn)貨運(yùn)輸費(fèi)為62.5元，全年保管費(fèi)為1.5 x元，為使利潤最大，則 x =.能力提升7.2008年末，某商店為了吸引顧客，采取“買一百送二十，連環(huán)送”的酬賓方式，即顧客在店內(nèi)花錢滿 100元(這100元可以是現(xiàn)金，也可以是獎券，或二者合計(jì))，就送20元獎勵券；滿200元就送40元獎勵券以此類推，一位顧客在此商店購物，他所獲得的實(shí)際優(yōu)惠實(shí)際優(yōu)惠按(1實(shí)際使用的現(xiàn)金實(shí)際使用的現(xiàn)金+獲得的獎勵

16、券100%計(jì)算a. 一定段j于 10%b. 一定低于20%c.可以達(dá)到20%d.可以超過20%8 .在不考慮空氣阻力的情況下，火箭的最大速度 v(m/s)和燃料的質(zhì)量 m(kg)、火箭(除文檔來源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.燃料外)的質(zhì)量m(kg)的關(guān)系是v 20001n(1 ).當(dāng)燃料質(zhì)量與火箭質(zhì)量比 m火箭的最大速度可達(dá)12km/s?9 .如圖所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面積y(m2)與時間t (月)的關(guān)系：y at，有以下敘述：這個指數(shù)函數(shù)的底數(shù)為 2；第5個月時，浮萍面積就會超過 30吊；浮萍從4布蔓延到12 itf需要經(jīng)過1.5個月；浮萍每月增加的面積都相等

17、；若浮萍蔓延到2 m2 ,3 m2 ,6 itf所經(jīng)過的時間分別為t1,t2,t3,則t1 t2 t3.其中正確的是.10 .某工廠在甲、乙兩地的兩個分廠各生產(chǎn)某種機(jī)器12臺和6臺，現(xiàn)銷售給a地10臺，b地8臺，已知從甲地調(diào)運(yùn) 1臺至a地、b地的運(yùn)費(fèi)分別為 400元和800元，從乙地調(diào)運(yùn) 1 臺至a地、b地的運(yùn)費(fèi)分別為 300元和500元.(1)設(shè)從乙地調(diào)運(yùn) x臺.至a地，求總運(yùn)費(fèi)y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)若總運(yùn)費(fèi)不超過 9000元，問共有幾種調(diào)運(yùn)方案；(3)求出總運(yùn)費(fèi)最低的調(diào)運(yùn)方案及最低運(yùn)費(fèi)。11 .通過研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的接受能力依賴于老師引入概念和描述問題所用的時間

18、，講課開始時，學(xué)生的注意力迅速集中；中間有一段不太長的時間，學(xué)生的注意力保持較理想的狀態(tài)，隨后學(xué)生的注意力開始分散， 分析結(jié)果和實(shí)驗(yàn)表明，用f(x)表示學(xué)生掌握和接受概念的能力，x表示提出概念和講授概念的時間(單位：分) ，可有以 下的關(guān)系式:2 _ 4-0.1x2,6x 43（0 x 10）f（x） 59（10 x 16）3x 107（16 x 30）（1）開講后多少分鐘，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)？能維持多少時間？（2 ）如果每隔5分鐘測量一次學(xué)生的接受能力，再計(jì)算平均值 m ff（10） l f（30），它能高于45嗎?6拓展創(chuàng)新12.某個體經(jīng)營者把開始六個月試銷a、b兩種商品的逐月投資與所獲純

19、利潤列成下表:投資a種商品金額（力兀）123456獲純利潤（力兀）0.651.391.8521.841.40投資b種商品金額（力兀）123456獲純利潤（力兀）0.250.490.7611.261.51該經(jīng)營者準(zhǔn)備下月投入 12萬元經(jīng)營這兩種產(chǎn)品， 但不知投入a, b兩種商品各多少萬元才合算.請你幫助制定一個資金投入方案，使得該經(jīng)營者能獲得最大利潤，并按你的方案求出該經(jīng)營者下月可獲得的最大純利潤（結(jié)果保留兩位有效數(shù)字）13.為了預(yù)防流感，某學(xué)校對教室用藥熏消毒法進(jìn)行消毒， 已知藥物釋放過程中，室內(nèi)每立方米空氣中的含藥量y （毫克）與時間t （小時）1成正比；藥物釋放完比后，y與t的函數(shù)關(guān)系式為

20、 y （，）t a （ a為常16數(shù)），如圖所示，根據(jù)圖中提供的信息，回答下列問題：（1）從藥物釋放開始，每立方米空氣中的含藥量y （毫克）與時間t （小時）之間的函數(shù)關(guān)系為(2)據(jù)測定，當(dāng)空氣中每立方米的含藥量降低到0.25毫克以下時，學(xué)生方可進(jìn)教室,那么從藥物釋放開始，至少需要經(jīng)過 小時后，學(xué)生能能回到教室自主發(fā)展不同函數(shù)模型能夠刻畫現(xiàn)實(shí)世界不同的變化規(guī)律。例如：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及備函數(shù)就是常用的描述現(xiàn)實(shí)世界中不同增長規(guī)律的函數(shù)模型，充分理解這三種函數(shù)模型的增長差異，體會直線上升、 指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義，同時用函數(shù)模型解決實(shí)際問題的過程中， 往往涉及復(fù)雜的數(shù)據(jù)處理

21、， 在處理復(fù)雜數(shù)據(jù)的過程中， 需要大量使用信 息技術(shù)，在函數(shù)應(yīng)用的學(xué)習(xí)中注意充分發(fā)揮信息技術(shù)的作用。在應(yīng)用題的各種題型中，有這樣一類題型：信息由表格數(shù)據(jù)的形式給出，要求對數(shù)據(jù) 進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化處理，建立數(shù)學(xué)模型，解答有關(guān)的實(shí)際問題。解答此類題型主要有如下三 種方法：(1)直接法：若由題中條件能直接確定需要用的數(shù)學(xué)模型，或題中直接給出了需要用的數(shù)學(xué)模型，則可直接代入表中的數(shù)據(jù)，問題即可獲解；(2)列式比較法：若題所涉及的是最優(yōu)化方案問題，則可根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)先列式，然后進(jìn)行比較；(3)描點(diǎn)觀察法：若根據(jù)題設(shè)條件不能直接確定需要用哪種數(shù)學(xué)模型，則可根據(jù)表中的數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中進(jìn)行描點(diǎn)，作出散點(diǎn)圖，然

22、后觀察這些點(diǎn)的位置變化情況，確定所需要用的數(shù)學(xué)模型，問題即可順利解決。11第三章第二節(jié)參考答案學(xué)業(yè)水平測試1.c 2.b4.2500 5. 2ln 2 1024 6.500 7.b _8.e6 19.10. (1)依題意得 y 400(10 x) 800 12 (10 x) 300x 500 (6 x)y 200(x 43)(0 x 6, x z)(2)由y 9000解得x 2, qx z,0 x 6 x 0,1,2，共有三種調(diào)運(yùn)方案(3)由一次函數(shù)的單調(diào)性知，當(dāng) x 0時，總運(yùn)費(fèi)y最低，ymin 8600 (元)，即從乙地調(diào)6臺給b地，甲地調(diào)10臺給a地，調(diào)2臺給b地的調(diào)運(yùn)方案的總運(yùn)費(fèi)最低，

23、最低運(yùn) 費(fèi)為8600元.2211. (1) 0 x 10 時，f(x) 0.1x 2,6x 430.1(x 13)59.9，故當(dāng)20 x 10時，f(x)單調(diào)遞增，最大值為f(10)0.1 ( 3)2 59.9 59;顯然，當(dāng)16 x 30時，f(x)單調(diào)遞減，f(x) f(16)3 16 107 59.因此，開講后10分鐘，學(xué)生達(dá)到最強(qiáng)的接受能力(值為59),并維持6分鐘.(2) f (5) 53.5, f (10) 59, f (15) 59, f (20) 47, f(25) 32, f (30) 17,53.5 59 59 47 32 17所以m 44.6 45.故知平均值m不能高于45.612.以投資額為橫坐標(biāo)，純利潤為縱坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中畫出散點(diǎn)圖