計數原理+排列組合復習課-(高三一輪復習)

1、 兩個計數原理兩個計數原理 排列，排列數公式排列，排列數公式組合，組合數公式組合，組合數公式 應應 用用 【例例1】有兩個袋子，其中一個袋子裝有有兩個袋子，其中一個袋子裝有20個紅色小球，每個個紅色小球，每個 球上標有球上標有1至至20中的號碼，另一個袋子裝有白色小球中的號碼，另一個袋子裝有白色小球15 個，每個球上標有個，每個球上標有1至至15中的號碼，中的號碼， (1)從袋子中任取一個小球，有多少種不同的取法？從袋子中任取一個小球，有多少種不同的取法？ (2)從袋中任取紅白球各一個，有多少種不同的取法？從袋中任取紅白球各一個，有多少種不同的取法？ 點評：分清是點評：分清是“分類分類”還是還

2、是“分步分步”是是 區(qū)別應用這兩個原理的關鍵所在區(qū)別應用這兩個原理的關鍵所在 分析分析：分類：方法可分類，類與類是并列關系，一類方法能完成一件事分類：方法可分類，類與類是并列關系，一類方法能完成一件事 ； 分步：過程需分步，步與步是前后相繼的關系，一步不能完成一件事情，幾步共同才分步：過程需分步，步與步是前后相繼的關系，一步不能完成一件事情，幾步共同才 解：解： (1)分兩類：從紅球中任取一個有20種不同的取法 從白球中任取一個有15種不同的取法 由分類計數原理得201535(種), 即共35種不同取法 (2)分兩步： 從紅球中任取一個有20種不同的取法； 從白球中任取一個有15種不同的取法，

3、 由分步計數原理得2015300(種),即共300種不同取法 能完成一件事。能完成一件事。 1、分類、分步兩個原理的區(qū)別與聯系、分類、分步兩個原理的區(qū)別與聯系 分類計數原理分步計數原理 定 義 做一件事，完成它可以有做一件事，完成它可以有n類辦法，類辦法， 第一類辦法中有第一類辦法中有 種不同的方法，種不同的方法， 第二類辦法中有第二類辦法中有 種不同的方法，種不同的方法， ， 第第n類辦法中有類辦法中有 種不同的方法，種不同的方法， 那么完成這件事共有那么完成這件事共有 種不同的方法種不同的方法. 做一件事，完成它可以有做一件事，完成它可以有n個步驟，個步驟， 做第一步中有做第一步中有 種不

4、同的方法，種不同的方法， 做第二步中有做第二步中有 種不同的方法種不同的方法 ， 做第做第n步中有步中有 種不同的方法，種不同的方法， 那么完成這件事共有那么完成這件事共有 種不同的方法種不同的方法. 相同點 做一件事或完成一項工作的方法數做一件事或完成一項工作的方法數 不同點 直接（直接（分類分類）完成）完成間接（間接（分步驟分步驟）完成）完成 名稱 內容 1 m 2 m n m 123n Nmmmm 1 m 2 m n m 123n Nmmmm 【鞏固練習鞏固練習】已知集合已知集合M3,2,1,0,1,2,P(a,b)是平面是平面 上點，上點， (1) P可表示多少個不同的點？可表示多少個

5、不同的點？ (2) P可表示多少個坐標軸上的點？可表示多少個坐標軸上的點？ (2)分三類： 第一類：P為x軸上(除原點)的點有5種， 第二類：P為y軸上(除原點)的點有5種， 第三類：P為原點有1種， 由分類計數原理得55111(種)， P可表示11個坐標軸上的點 解：(1)分兩步： 第一步：先確定橫坐標a有6種不同的選法； 第二步：再確定縱坐標b有6種不同的選法， 由分步計數原理得6636 (種)， P可表示36個不同的點 【例例2】用五種不同顏色給圖中四個區(qū)域涂色，每個區(qū)域涂一用五種不同顏色給圖中四個區(qū)域涂色，每個區(qū)域涂一 種顏色種顏色 ， (1)共有多少種不同的涂色方法？共有多少種不同的

6、涂色方法？ (2)若要求相鄰若要求相鄰(有公共邊有公共邊)的區(qū)域不同色，那么共有多少的區(qū)域不同色，那么共有多少 種不同的涂色方法？種不同的涂色方法？ 1 2 3 4 解：(1)由分步計數原理可知，共有 =625種 ； 4 5 (2)只有2和4可同色。若2，4不同色有 種， 若2，4同色，有 種，共有120+60=180種。 分析分析： 有5種 有5種 有5種 有5種 分析分析： 5 4 3 2120 5 4 360 1 2 3 4 2 1 5 3 4 = 420（種）（種） 3 3 3 5 4 4 4 5 5 5 2ACACA 解：解：按顏色分類，有三類不同的著色方法：按顏色分類，有三類不同的

7、著色方法： （1）涂）涂5色：有色：有 種；種； 5 5 A （2）涂）涂4色：有色：有 種種. 4 4 4 5 AC 由分類計數原理，不同的著色方法有：由分類計數原理，不同的著色方法有： 2 （3）涂）涂3色：有色：有 種種. 3 3 3 5 AC 練習練習如圖，一個地區(qū)分為如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現給地圖著色，個行政區(qū)域，現給地圖著色， 要求相鄰地區(qū)不得使用同一顏色，現有要求相鄰地區(qū)不得使用同一顏色，現有5種顏色可供選擇，種顏色可供選擇， 則不同的著色方法共有則不同的著色方法共有 種（以數字作答）種（以數字作答）. 【例例3】有有4名學生報名參加數學、物理、化學競賽，每人限名學生報

8、名參加數學、物理、化學競賽，每人限 報一科，有多少種不同的報名方法？報一科，有多少種不同的報名方法？ 有有4名學生爭奪數學、物理、化學競賽的冠軍，有多名學生爭奪數學、物理、化學競賽的冠軍，有多 少少 種不同的結果？種不同的結果？ 分析：分析：4 4名學生報名參加競賽，不得兼報，是名學生報名參加競賽，不得兼報，是“人選科目人選科目”，每人都有，每人都有3 3種不同的種不同的 報名方法，可把報名方法，可把4 4名學生報名視為名學生報名視為4 4個步驟個步驟 ，用分步計數原理，用分步計數原理 ； 4 4名學生爭奪三項冠軍，因每位冠軍只能是一名學生獲得，故應是名學生爭奪三項冠軍，因每位冠軍只能是一名學

9、生獲得，故應是“科目選科目選 人人”，每個科目的冠軍都有，每個科目的冠軍都有4 4種可能，將種可能，將3 3個科目選冠軍視為個科目選冠軍視為3 3個步驟，也應個步驟，也應 用分步計數原理用分步計數原理 解：解：4名學生中，每人都要選報數學、物理、化學中的一科， 根據分步計數原理，共有 種報名方法 4 3 3 3 3381 4名學生爭奪數學、物理、化學三項冠軍，每一項冠軍 都有4種不同的結果 ，共有 種不同的結果 。 3 444464 2、排列和組合的區(qū)別和聯系、排列和組合的區(qū)別和聯系 名 稱排 列組 合 定義 從從n個個不同元素不同元素中取出中取出m個元素，個元素，按按 一定的順序一定的順序排

10、成一列排成一列 從從n個個不同元素不同元素中取出中取出m個元素，個元素， 把它并成把它并成一組一組 種數 所有排列的的個數所有排列的的個數所有組合的個數所有組合的個數 符號 計算 公式 關系 性質 區(qū)別 先選后排先選后排 只選不排只選不排 m n A m n C (1)(1) m n An nnm ! ()! m n n A nm !0! 1 n n An ! )1()1( m mnnn C m n )!( ! ! mnm n C m n 1 0 n C mmm nnm ACA 1 1 mm nn AnA 1 1 m n m n m n CCC mn n m n CC 【算一算算一算】 (1)

11、計算 1 1 1 1 m m nm nm n m A AA (2)解方程 34 12 140 xx AA (3) 1 1( 2) nnn mmm AnAAn 排列應用題的求解應著眼的三個方面： (1)問題的結果是否與順序有關，能否歸結為排列問題； (2)問題中的幾個元素指的是什么，m個元素的一個排列對應著 的事件是什么； (3)從n個元素中每次取出m個元素的一個排列對應著的事件是 什么 一、特殊優(yōu)先原則一、特殊優(yōu)先原則 在有限制的問題中，優(yōu)先考慮特殊在有限制的問題中，優(yōu)先考慮特殊元素元素或特殊或特殊 位置位置 三大原則：三大原則： 二、先取后排原則二、先取后排原則 先取后排原則也是解排列組合問

12、題的總原則，尤其是先取后排原則也是解排列組合問題的總原則，尤其是 排列與組合的綜合問題排列與組合的綜合問題 。 三、正難則反原則三、正難則反原則 若從正面直接解決問題有困難時，則考慮排除若從正面直接解決問題有困難時，則考慮排除 法：先不管約束條件，求出總數，再剔除不合要求法：先不管約束條件，求出總數，再剔除不合要求 的部分的部分 采用策略：采用策略： （1）特殊位置/元素優(yōu)先排列的策略： （2）合理分類與準確分步的策略； （3）排列、組合混合問題先選后排的策略； （4）正難則反、等價轉化的策略； （5）相鄰問題捆綁處理的策略； （6）不相鄰問題插空處理的策略； （7）定序問題除法處理的策略；

13、（8）分排問題直排的策略 （一排考慮，分段研究）. 排列排列: 順序；順序； 【例例1 】7人按下述要求排成一列，分別有多少種不同的站法？人按下述要求排成一列，分別有多少種不同的站法？ (1)甲不站在兩端；甲不站在兩端；(2)甲、乙必須站在兩端；甲、乙必須站在兩端；(3)甲、乙甲、乙 不相鄰；不相鄰；(4)甲、乙必須相鄰；甲、乙必須相鄰；(5)甲、乙之間相隔甲、乙之間相隔2人；人； (6)甲在乙的前面甲在乙的前面(可以不相鄰可以不相鄰) acbdeg f 分析：分析： 由于元素甲、乙有特殊要求，故可采用優(yōu)先元素或位置優(yōu)先排列由于元素甲、乙有特殊要求，故可采用優(yōu)先元素或位置優(yōu)先排列 解：解：(1

14、)(特殊位置分析法特殊位置分析法)由于甲不站在兩端，可先從除甲外 的6人中任選2人站于兩端共有 種方法，再將所剩5 人在所剩5個位置上進行全排列有 種方法，故共有 種不同的站法 2 6 A 5 5 A 25 65 3600A A (間接法間接法)7人全排列共有 種，其中甲在兩端者有 種，故甲不在兩端的所有站法，共有 種 7 7 A 16 26 A A 716 726 3600AA A (特殊元素分析法特殊元素分析法)由于甲不站在兩端，故甲只能站在中間五 個 位置之一，有 種，余下的6人進行全排列共有 種， 由分步計數原理得，共有種 不同的站法 1 5 A 6 6 A 16 56 3600A A

15、 (2)先排甲、乙于兩端有 種排法，再讓余下的5人進行排 有 種，故甲、乙站在兩端的所有排法有 種排法 2 2 A 5 5 A 52 52 A A (3)(插空法插空法)由于甲、乙不相鄰，故先排除了甲、乙以外的5人， 有 種排法，再將甲、乙兩人插入6個空檔有 種，由分 步計數原理得:甲、乙不相鄰的排法有 種不同的排法 acbde 分析分析 2 6 A 5 5 A 52 56 3600A A (間接法間接法)7人全排列有 種，其中甲、乙相鄰者有 種， 從而甲、乙不相鄰者有 種不同的排法 7 7 A 26 26 A A 726 726 3600AA A (4)(捆綁法捆綁法)設想將甲、乙2人并作一

16、人，與其余5人進行全排列， 共有 種排法，又此2人的位置可交換，即有 種排法，于 是共有 種不同的排法 6 6 A 2 2 A 26 26 1440A A acbdegf 分析分析 (5)先從另5人中選2人排于甲、乙之間，有 種排法，又甲、乙 2人的排法有 種，最后將甲、乙及其中間2人共4人并作一 個元素，與其余3人排列列有 種排法，故共有 種 不同的排法 2 5 A 2 2 A 224 524 960A A A 4 4 A (6)(整體、對稱法整體、對稱法)注意到甲在乙前與甲在乙后的排法一樣多， 故共有 種排法 7 7 1 2520 2 A 點評：點評：“先先”與與“后后”，“并并”與與“插

17、插”都是辨都是辨 證的，是可以互相轉化的，在處理限位排列問題證的，是可以互相轉化的，在處理限位排列問題 時，應靈活運用上述方法與策略時，應靈活運用上述方法與策略 考點四定序問題消序考點四定序問題消序(定序元素后排定序元素后排)策略策略 【例例3】 7人排隊人排隊, 其中甲乙丙其中甲乙丙 3 人順序一定共有多少人順序一定共有多少 不同的排法？不同的排法？ 4 7 A 【練練】 用用 1,2,3,4,5,6,7,8,9 組成沒有重復數字的十位組成沒有重復數字的十位 數字小于個位數字的五位數共有多少個？數字小于個位數字的五位數共有多少個？ 2 2 5 9 A A 【練練】某班新年聯歡會原定的某班新年

18、聯歡會原定的5個節(jié)目已排成節(jié)目個節(jié)目已排成節(jié)目 單，開演前又增加了兩個新節(jié)目單，開演前又增加了兩個新節(jié)目.如果將這兩個新如果將這兩個新 節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那節(jié)目插入原節(jié)目單中，且兩個新節(jié)目不相鄰，那 么不同插法的種數為么不同插法的種數為 30 例例7.7.8人排成前后兩排人排成前后兩排,每排每排4人人,其中甲乙在其中甲乙在 前排前排,丁在后排丁在后排,共有多少排法？共有多少排法？ 解解:8人排前后兩排人排前后兩排,相當于相當于8人坐人坐8把椅子把椅子,可以可以 把椅子排成一排把椅子排成一排.先在前先在前4個位置排甲乙兩個位置排甲乙兩 個特殊元素有個特殊元素有_種種,再排后

19、再排后4個位置上的個位置上的 特殊元素有特殊元素有_種種,其余的其余的5人在人在5個位置個位置 上任意排列有上任意排列有_種種,則共有則共有_種種. 前排后排后排 2 4 A 1 4 A 5 5 A 2 4 A 5 5 A 1 4 A 一般地一般地,元素分成多排的排列問題元素分成多排的排列問題,可可 歸結為一排考慮歸結為一排考慮,再分段研究再分段研究. 點撥點撥: 先不考慮定序的條件先不考慮定序的條件, 排好后再除以要求定序的排好后再除以要求定序的 元素的全排列數元素的全排列數. 變式變式 10人身高各不相等人身高各不相等, 排成前后排排成前后排, 每排每排5人人, 要求要求 從左至右身高逐漸

20、增加，共有多少排法？從左至右身高逐漸增加，共有多少排法？ 5 10 C 【小試牛刀小試牛刀】 (1)從a,b,c,d 4名學生中選出2名完成一件工作， 有多少種不同的選法？ (2)從a,b,c,d 4名學生中選出2名完成兩件不同的工作， 有多少種不同的選法？ 2 4 A 2 4 C 組合組合：無順序無順序 問題：將問題：將4本不同的書，按下列要求分組有多少不同本不同的書，按下列要求分組有多少不同 的分法？的分法？ (1)分成兩組，一組分成兩組，一組3本，另一組本，另一組1本；本； (2)平均分成兩組平均分成兩組 ； 分組問題分組問題 (3)分成三組，一組分成三組，一組2本，另兩組各本，另兩組各

21、1本；本； (4)分給甲、乙兩人，甲分給甲、乙兩人，甲3本，乙本，乙1本；本； (5)分給甲、乙兩人，分給甲、乙兩人，1人人3本，另本，另1人人1本；本； 1.1.把把abcdabcd分成平均兩組分成平均兩組 ababcdcd acacbdbd adadbcbc 有有_多少種分法？多少種分法？ C4 4 2 2 C2 2 2 2 A2 2 2 2 3 cdcd bdbd bcbcadad acac abab 這兩個在分組時只能算一個這兩個在分組時只能算一個 平均分成的組，不管它們的順序如何，都是一種情況平均分成的組，不管它們的順序如何，都是一種情況 ，所以分組后要除以，所以分組后要除以Amm，

22、即，即m!，其中，其中m表示組數。表示組數。 分組問題分組問題 2.2.把把abcdefabcdef分成平均三組分成平均三組有有_多少種分法？多少種分法？ 分組問題分組問題 abcdef abefcd cdabef cdefab efadcd efcdab acdeef 這這6 6個在分組時只能算一個個在分組時只能算一個 平均分成的組，不管它們的順序如何，都是一種情況平均分成的組，不管它們的順序如何，都是一種情況 ，所以分組后要除以，所以分組后要除以Amm，即，即m!，其中，其中m表示組數。表示組數。 C6 6 2 2 C4 4 2 2 A3 3 3 3 15 1.1.把把abcdabcd分成

23、兩組，一組分成兩組，一組3 3個，一組個，一組1 1個，個， abcabcd d abdabdc c acdacdb b 有有_多少種分法？多少種分法？ C 4 4 3 3 C1 1 1 1 4 bcdbcda a 分組總共有分組總共有4 4種種 分組問題分組問題:(:(不平均分組不平均分組 ) ) 有有 種方法；種方法； 1 1 C 可先分可先分3本的一組，再分本的一組，再分1本的一組，這是連續(xù)進本的一組，這是連續(xù)進 行的過程，因此應采用分步法行的過程，因此應采用分步法 將將4本不同的書，按下列要求分組有多少不同的分法？本不同的書，按下列要求分組有多少不同的分法？ (1)分析：分析： 解：解

24、： 第第1步：從步：從4本書中任取本書中任取3本分給本分給3本的一組，本的一組， 第第2步：余下的步：余下的1本書分給本書分給1本的一組，本的一組， 根據乘法原理，共有根據乘法原理，共有 =4 種不同分法種不同分法 31 41 CC 分組問題分組問題 (1)分成兩組，一組分成兩組，一組3本，另一組本，另一組1本；本； 分二步分二步 有有 種分法；種分法； 3 4 C 不平均分組，不平均分組， 無分配目標無分配目標 將將4本不同的書，按下列要求分組有多少不同的分法？本不同的書，按下列要求分組有多少不同的分法？ 有有 種方法；種方法； 2 2 C 解：解： 由于分步處理過程使分組產生了順序，要用由

25、于分步處理過程使分組產生了順序，要用“除法除法”消消 序序 第二步，再分余下的第二步，再分余下的2本書得到另一組，本書得到另一組， 有有 種分法；種分法； 2 4 C 故符合要求的分法有故符合要求的分法有 =3 種不同分法種不同分法 22 42 2 2 CC A (2)平均分成兩組；平均分成兩組； 第一步，先從第一步，先從4本書中分得本書中分得2本得到一組，本得到一組， 全部平均分配，全部平均分配， 無分配目標無分配目標 將將4本不同的書，按下列要求分組有多少不同的分法？本不同的書，按下列要求分組有多少不同的分法？ 有有 種分法；種分法； 1 2 C 解：解： 由于分步處理使后面二組產生了先后

26、順序，要用由于分步處理使后面二組產生了先后順序，要用“除法除法”消消 序序 第二步，再從余下的第二步，再從余下的2本書中分本書中分1本得到另一組本得到另一組 ， 有有 種分法；種分法； 2 4 C 故符合要求的分法有故符合要求的分法有 =3 種不同分法種不同分法 211 421 2 2 CCC A (3)分成三組，一組分成三組，一組2本，另兩組各本，另兩組各1本；本； 第一步，先從第一步，先從4本書中分本書中分2本得到一組，本得到一組， 部分平均分配，部分平均分配， 無分配目標無分配目標 第三步，余下最后第三步，余下最后1本書得到最后一組，本書得到最后一組， 有有 種分法；種分法； 1 1 C

27、 問題：將問題：將4本不同的書，按下列要求分組有多少不同本不同的書，按下列要求分組有多少不同 的分法？的分法？ (1)分成兩組，一組分成兩組，一組3本，另一組本，另一組1本；本； (2)平均分成兩組平均分成兩組 ； 一、分組不分配問題一、分組不分配問題 2. 均勻分組無分配對象的問題均勻分組無分配對象的問題 3.部分均分無分配對象的問題部分均分無分配對象的問題 (3)分成三組，一組分成三組，一組2本，另兩組各本，另兩組各1本；本； 將將4本不同的書，按下列要求分組有多少不同的分法？本不同的書，按下列要求分組有多少不同的分法？ (4)分給甲、乙兩人，甲分給甲、乙兩人，甲3本，乙本，乙1本；本；

28、(5)分給甲、乙兩人，分給甲、乙兩人，1人人3本，另本，另1人人1本；本； 分組且分配問題分組且分配問題 分組定向分配問題分組定向分配問題 分組不定向分配問題分組不定向分配問題 有有 種方法；種方法； 1 1 C 可先分給甲，再分給乙，這是連續(xù)進行的過程，可先分給甲，再分給乙，這是連續(xù)進行的過程， 因此應采用分步法因此應采用分步法 (2)分析：分析： 解：解： 第第1步：甲從步：甲從4本書中分得本書中分得3本，本， 第第2步：乙分得余下的步：乙分得余下的1本書，本書， 根據乘法原理，共有根據乘法原理，共有 =4 種不同分法種不同分法 31 41 CC 分二步：分二步：有有 種分法；種分法； 3

29、 4 C 不平均分組，不平均分組， 有分配目標且明確有分配目標且明確 有有 種分法；種分法； 1 1 C 解：解： 第 第1步：先從步：先從4本書中分得本書中分得3本得到一組，本得到一組， 第第2步：余下的步：余下的1本書得到另一組，本書得到另一組， 有有 種分法；種分法； 3 4 C 根據乘法原理，共有根據乘法原理，共有 =8 種不同分法種不同分法 312 412 CCA 第第3步：將分好的兩組再分給甲、乙兩人，步：將分好的兩組再分給甲、乙兩人， 有有 種分法；種分法； 2 2 A 不平均分組，不平均分組， 有分配目標，但不明確有分配目標，但不明確 【典型例題典型例題】12本不同的書，按下列

30、方法分堆，共有多少種不 同的方法？ (1)分成A、B、C三堆，每堆4本； (2)分成A、B、C三堆，A為6本，B、C各為3本； (3)平均分成三堆，每堆4本； (4)分成三堆，其中一堆6本，另兩堆各3本； (5)分成五堆，其中兩堆每堆3本，另外三堆每堆2本 分析分析： 444444 ABC ? 堆有編號，分堆有順序堆有編號，分堆有順序 ；平均分堆，堆無編號，堆與堆之間無順序；平均分堆，堆無編號，堆與堆之間無順序 。 (2)同(1)可得：共有 種分堆方法 444 1284 34650C C C 444 1284 3 3 5575 C C C A 633 1263 2 2 9240 C C C A

31、 (3)共有 種不同的分堆方法 (4)共有 種不同的分堆方法 (5)共有 種不同的分堆方法 3322 12962 23 23 138600 C C C C A A 解：解：(1)A堆得4本書有 種方法，B堆得4本書有 種方法， C堆得4本書有 種方法，由分步計數原理得： 共有 種不同的分堆方法 4 12 C 4 8 C 4 4 C 444 1284 34650C C C 444 3 1284 3 3 3 34650 C C C A A 點評：平均分堆問題與順序無關點評：平均分堆問題與順序無關 練習：練習： 有有1212個人，按照下列要求分配，求不同的分法種數個人，按照下列要求分配，求不同的分法

32、種數 （1 1）分為兩組，一組）分為兩組，一組7 7人，一組人，一組5 5人；人； （2 2）分為甲、乙兩組，甲組）分為甲、乙兩組，甲組7 7人，乙組人，乙組5 5人；人； （3 3）分為甲、乙兩組，一組）分為甲、乙兩組，一組7 7人，一組人，一組5 5人；人； （4 4）分為甲、乙兩組，每組）分為甲、乙兩組，每組6 6人；人； （5 5）分為兩組，每組）分為兩組，每組6 6人；人； （6 6）分為三組，一組）分為三組，一組5 5人，一組人，一組4 4人，一組人，一組3 3人；人； （7 7）分為甲、乙、丙三組，甲組）分為甲、乙、丙三組，甲組5 5人，乙組人，乙組4 4人，丙組人，丙組3 3人

33、；人； （8 8）分為甲、乙、丙三組，一組）分為甲、乙、丙三組，一組5 5人，一組人，一組4 4人，一組人，一組3 3人；人； （9 9）分為甲、乙、丙三組，每組）分為甲、乙、丙三組，每組4 4人；人； （1010）分為三組，每組）分為三組，每組4 4人人 【探索與研究探索與研究】 如圖，某城市有如圖，某城市有6縱縱7橫共橫共13條馬路，汽車從圖示條馬路，汽車從圖示A處行駛處行駛 至至B處，行駛方向規(guī)定只能是正東向或正北向，則不同的處，行駛方向規(guī)定只能是正東向或正北向，則不同的 行駛路徑有多少條？行駛路徑有多少條？ 分析：從分析：從A A行駛到行駛到B B，共需走，共需走1111“段段”路，路

34、， 其中橫路其中橫路5 5段，縱路段，縱路6 6段，而且我們知道，段，而且我們知道， 任意一條路徑都是任意一條路徑都是5 5橫橫6 6縱共縱共1111段路組段路組 成從而問題轉化為在成從而問題轉化為在1111段路徑中無順段路徑中無順 序地確定序地確定5 5段橫路的位置，這是一個組合段橫路的位置，這是一個組合 問題問題 解：解：共有 條不同的路徑 5 11 462C 點評：對于較復雜的排列組合問題，點評：對于較復雜的排列組合問題， 充分挖掘出問題的充分挖掘出問題的簡化模型簡化模型，往往是，往往是 我們快捷而準確地解決問題的關鍵我們快捷而準確地解決問題的關鍵 2.(2016課標全國,5,5分)如圖

35、,小明從街道的E處出發(fā),先到F處與小紅會合,再一起到位于G處的 老年公寓參加志愿者活動,則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數為() A.24 B.18 C.12 D.9 答案答案 B分兩步,第一步,從EF,有6條可以選擇的最短路徑;第二步,從FG,有3條可以選擇 的最短路徑.由分步乘法計數原理可知有63=18條可以選擇的最短路徑.故選B. 3、課堂小結、課堂小結 1.正確區(qū)分、合理運用兩個計數原理；正確區(qū)分、合理運用兩個計數原理； 2.真正理解排列與組合的區(qū)別和聯系；真正理解排列與組合的區(qū)別和聯系； 排列排列-順序順序；組合；組合-無順序無順序 3.掌握求解排列、組合的典型方法。掌握求解排列

36、、組合的典型方法。 間接法、捆綁法、插空法、整體對稱法間接法、捆綁法、插空法、整體對稱法等等 補充習題補充習題 例例6. 用用0, l, 2, 3, 4, 5這六個數字，這六個數字， （l）能組成多少個無重復數字的四位偶數？）能組成多少個無重復數字的四位偶數？ （2）能組成多少個無重復數字且為）能組成多少個無重復數字且為5的倍數的倍數5位數？位數？ （3）能組成多少個比）能組成多少個比1325大大無重復數字無重復數字的四位數？的四位數？ （4）能組成多少個無重復數字的且奇數在奇數位上的六位數字？）能組成多少個無重復數字的且奇數在奇數位上的六位數字？ 解：解：（2）符合條件的可分為二類：）符合條

37、件的可分為二類： 第一類：第一類：0在個位時有在個位時有 個；個； 4 5 A 第二類：第二類：5在個位時有在個位時有 個；個； 3 4 1 4 AA 由分類計數原理得，符合條件的五位數由分類計數原理得，符合條件的五位數 3 4 1 4 4 5 AAA = 216 （個）（個） 解：解：（3）符合條件的可分為三類：）符合條件的可分為三類： 第一類：千位數字為第一類：千位數字為 2、3、4、5 時有時有 個；個； 3 5 1 4 AA 第二類：千位百位數字為第二類：千位百位數字為14、15時有時有 個；個； 2 4 1 2 AA 由分類計數原理得，符合條件的數共有由分類計數原理得，符合條件的數共

38、有 1 3 1 2 2 4 1 2 3 5 1 4 AAAAAA = 270 （個）（個） 第三類：千位百位十位數字為第三類：千位百位十位數字為134、135時有時有 個；個； 1 3 1 2 AA 例例5 用用0, l, 2, 3, 4, 5這六個數字，這六個數字， （l）能組成多少個無重復數字的四位偶數？）能組成多少個無重復數字的四位偶數？ （2）能組成多少個無重復數字且為）能組成多少個無重復數字且為5的倍數的倍數5位數？位數？ （3）能組成多少個比）能組成多少個比1325大大無重復數字無重復數字的四位數？的四位數？ （4）能組成多少個無重復數字的且奇數在奇數位上的六位數字？）能組成多少個無重復數字的且奇數在奇數位上的六位數字？ 解：解：（4）先將）先將 1，3，5 在奇數位上排列，有在奇數位上排列，有 種，種， 再將其余再將其余3個偶數排在剩余個偶數排在剩余3個位置上排列，共有個位置上排列，共有 種，種， 3 3 A 由分步計數原理得，共有由分步計數原理得，共有 種排法，種排法， 2 2 3 3 3 3 3 3 AAAA = 24 （個）（個） 3 3 A 3 3 3 3 AA 而其中而其中0在首位上時不合題意，有在首位上時不合題意，有 種，種， 2 2 3 3 AA 所以符合條件的數共有所以符合條件的數共有 例例5 用用0, l, 2, 3, 4, 5這六個數