計數(shù)原理教材

1、電子課文101 分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理 看下面的問題從甲地到乙地，可以乘火車，也可以乘汽車一天中，火車有3班，汽車有2班那么一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？因為一天中乘火車有3種走法，乘汽車有2種走法，每一種走法都可以從甲地到乙地，所以共有325種不同的走法，如圖101所示一般地，有如下原理：分類計數(shù)原理 完成一件事，有n類辦法，在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2種不同的方法在第n類辦法中有mn種不同的方法那么完成這件事共有Nm1m2mn種不同的方法它又稱為加法原理再看下面的問題從甲地到乙地，要從甲地先乘火車到丙地，再于次日從丙地乘汽車到乙地一

2、天中，火車有3班，汽車有2班，那么兩天中，從甲地到乙地共有多少種不同的走法(圖102)？這個問題與前一問題不同在前一問題中，采用乘火車或乘汽車中的任何一種方式，都可以從甲地到乙地而在這個問題中，必須經(jīng)過先乘火車、后乘汽車兩個步驟，才能從甲地到達乙地這里，因為乘火車有3種走法，乘汽車有2種走法，所以乘一次火車再接乘一次汽車從甲地到乙地，共有326種不同的走法一般地，有如下原理：分步計數(shù)原理 完成一件事，需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法做第n步有mn種不同的方法那么完成這件事共有Nm1m2mn種不同的方法它又稱為乘法原理例1 書架的第1層放有4本不同的計算機

3、書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書(1)從書架上任取1本書，有多少種不同的取法？(2)從書架的第1、2、3層各取1本書，有多少種不同的取法？解：(1)從書架上任取1本書，有3類辦法：第1類辦法是從第1層取1本計算機書，有4種方法；第2類辦法是從第2層取1本文藝書，有3種方法；第3類辦法是從第3層取1本體育書，有2種方法根據(jù)分類計數(shù)原理，不同取法的種數(shù)是Nm1m2m34329答：從書架上任取1本書，有9種不同的取法(2)從書架的第1、2、3層各取1本書，可以分成3個步驟完成：第1步從第1層取1本計算機書，有4種方法；第2步從第2層取1本文藝書，有3種方法；第3步從第3層取

4、1本體育書，有2種方法根據(jù)分步計數(shù)原理，從書架的第1、2、3層各取1本書，不同取法的種數(shù)是Nm1m2m343224答：從書架的第1、2、3層各取1本書，有24種不同的取法例2 一種號碼鎖有4個撥號盤，每個撥號盤上有從0到9共10個數(shù)字，這4個撥號盤可以組成多少個四位數(shù)字號碼？解：由于號碼鎖的每個撥號盤有從0到9這10個數(shù)字，每個撥號盤上的數(shù)字有10種取法根據(jù)分步計數(shù)原理，4個撥號盤上各取1個數(shù)字組成的四位數(shù)字號碼的個數(shù)是N1010101010000答：可以組成 10000個四位數(shù)字號碼例3 要從甲、乙、丙3名工人中選出2名分別上日班和晚班，有多少種不同的選法？解：從3名工人中選1名上日班和1名

5、上晚班，可以看成是經(jīng)過先選1名上日班，再選1名上晚班這兩個步驟完成先選1名上日班，共有3種選法；上日班的工人選定后，上晚班的工人有2種選法根據(jù)分步計數(shù)原理，所求的不同的選法數(shù)是N3266種選法可以表示如下：答：從3名工人中選出2名分別上日班和晚班，有6種不同的選法注 分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理，回答的都是有關(guān)做一件事的不同方法種數(shù)的問題區(qū)別在于：分類計數(shù)原理針對的是“分類”問題，其中各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步計數(shù)原理針對的是“分步”問題，各個步驟中的方法相互依存，只有各個步驟都完成才算做完這件事練習1填空：(1)一件工作可以用2種方法完成，有5人會用第1種方法完

6、成，另有4人會用第2種方法完成，從中選出1人來完成這件工作，不同選法的種數(shù)是_；(2)從A村去B村的道路有3條，從B村去C村的道路有2條，從A村經(jīng)B村去C村，不同走法的種數(shù)是_2現(xiàn)有高中一年級的學生3名，高中二年級的學生5名，高中三年級的學生4名(1)從中任選1人參加接待外賓的活動，有多少種不同的選法？(2)從3個年級的學生中各選1人參加接待外賓的活動，有多少種不同的選法？3乘積(a1a2a3)(b1b2b3b4)(c1c2c3c4c5)展開后共有多少項？4一城市的某電話局管轄范圍內(nèi)的電話號碼由八位數(shù)字組成，其中前四位數(shù)字是統(tǒng)一的，后四位數(shù)字都是0到9之間的一個數(shù)字，那么不同的電話號碼最多有多

7、少個？5從5位同學中產(chǎn)生1名組長、1名副組長，有多少種不同的選法？電子課文102 排列 看下面的問題問題1 從甲、乙、丙3名同學中選出2名參加某天的一項活動，其中1名同學參加上午的活動，1名同學參加下午的活動，有多少種不同的方法？這個問題，就是從甲、乙、丙3名同學中每次選出2名，按照參加上午的活動在前，參加下午的活動在后的順序排列，求一共有多少種不同排法的問題解決這一問題需分2個步驟第1步，確定參加上午活動的同學從3人中任選1人，有3種方法；第2步，確定參加下午活動的同學當參加上午活動的同學確定后，參加下午活動的同學只能從余下的2人中去選，于是有2種方法根據(jù)分步計數(shù)原理，在3名同學中選出2名，

8、按照參加上午活動在前，參加下午活動在后的順序排列的不同方法共有326種，如下圖所示我們把上面問題中被取的對象叫做元素于是，所提出的問題就是從3個不同的元素a，b，c中任取2個，然后按一定的順序排成一列，求一共有多少種不同的排列方法所有不同排列是ab，ac，ba，bc，ca，cb，這些排列的種數(shù)是326問題2 從a，b，c，d這4個字母中，每次取出3個按順序排成一列，共有多少種不同的排法？解決這個問題需分3個步驟第1步，先確定左邊的字母，在a，b，c，d這4個字母中任取1個，有4種方法；第2步，確定中間的一個字母，當左邊的字母確定后，中間的字母只能從余下的3個字母中去取，有3種方法；第3步，確定

9、右邊的字母，當左邊、中間的字母都確定后，右邊的字母只能從余下的2個字母中去取，有2種方法根據(jù)分步計數(shù)原理，從4個不同的字母中，每次取出3個按順序排成一列，共有43224種不同的排法，如圖103所示由此可寫出所有的排法：abc bac cab dababd bad cad dacacb bca cba dbaacd bcd cbd dbcadb bda cda dcaadc bdc cdb dcb一般地，從n個不同元素中取出m(mn)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列根據(jù)排列的定義，兩個排列相同，當且僅當兩個排列的元素完全相同，且元素的排列順序也相同例如在

10、問題2中，abc與abd的元素不完全相同，它們是不同的排列；又如abc與acb，雖然元素完全相同，但元素的排列順序不同，它們也是不同的排列從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從nA是英文Arrangement(排列)的第一個字母上面的問題1，是求從3個不同元素中取出2個元素的排列數(shù)，它上面的問題2，是求從4個不同元素中取出3個元素的排列數(shù)，它從n個不同元素a1，a2，an中任意取2個去填空，一個空位填一個元素，每一種填法就得到一個排列；反過來，任一個排列總可以由這樣現(xiàn)在我們計算有多少種不同的填法完成填空這件事可分為2個步驟：第1步，先填第1個位置的元素，可以從這n個元素中

11、任選1個填空，有n種方法；第2步，確定填在第2個位置的元素，可以從剩下的n1個元素中任選1個填空，有n1種方法于是，根據(jù)分步計數(shù)原理，2個空位的填法種數(shù)為序的m個空位(圖105)，從n個不同元素a1，a2，an中任意取m個去填空，一個空位填1個元素，每一種填法就對應(yīng)一個填空可分為m個步驟：第1步，第1位可以從n個元素中任選一個填上，共有n種填法；第2步，第2位只能從余下的n1個元素中任選一個填上，共有n1種填法；第3步，第3位只能從余下的n2個元素中任選一個填上，共有n2種填法；第m步，當前面的m1個空位都填上后，第m位只能從余下的n(m1)個元素中任選一個填上，共有nm1種填法根據(jù)分步計數(shù)原

12、理，全部填滿m個空位共有n(n1)(n2)(nm1)種填法所以得到公式這里n，mN*，并且mn這個公式叫做排列數(shù)公式其中，公式右邊中第一個因數(shù)是n，后面的每個因數(shù)都比它前面一個因數(shù)少1，最后一個因數(shù)為nm1，共有m個因數(shù)相乘例如，想一想：如果 =171654，那么n等于什么？m等于什么？n個不同元素全部取出的一個排列，叫做n個不同元素的一個全排列這時在排列數(shù)公式中，m=n，即有就是說，n個不同元素全部取出的排列數(shù)，等于正整數(shù)1到n的連乘積正整數(shù)1到n的連乘積，叫做n的階乘，用n！表示所以n個不同元素的全排列數(shù)公式可以寫成例1 計算：因此，排列數(shù)公式還可寫成們規(guī)定0！=1利用一般的科學計算器，可

13、求出任意一個正整數(shù)的階乘數(shù)，從而可簡化排列數(shù)的計算例如，用計算器算得例2 某年全國足球甲級(A組)聯(lián)賽共有14隊參加，每隊都要與其余各隊在主、客場分別比賽1次，共進行多少場比賽？解：任何2隊間進行1次主場比賽與1次客場比賽，對應(yīng)于從14個元素中任取2個元素的一個排列，因此總共進行的比賽場次是答：一共進行182場比賽例3 (1)有5本不同的書，從中選3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？(2)有5種不同的書，要買3本送給3名同學，每人各1本，共有多少種不同的送法？解：(1)從5本不同的書中選出3本分別送給3名同學，對應(yīng)于從5個元素中任取3個元素的一個排列，因此不同送法的種數(shù)是答：共

14、有60種不同的送法(2)由于有5種不同的書，送給每個同學的1本書都有5種不同的選購方法，因此送給3名同學每人各1本書的不同方法種數(shù)是555=125答：共有125種不同的送法注 例3兩道小題的區(qū)別在于：第(1)小題是從5本不同的書中選出3本分送3位同學，各人得到的書不同，屬于求排列數(shù)問題；而第(2)小題中，給每人的書均可從5種不同的書中任選1種，各人得到哪種書相互之間沒有影響，要用分步計數(shù)原理進行計算例4 某信號兵用紅、黃、藍3面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號，每次可以任掛1面、2面或3面，并且不同的順序表示不同的信號，一共可以表示多少種不同的信號？解：如果把3面旗看成3個元素，則從3個元素

15、里每次取出1個、2個或3個元素的一個排列對應(yīng)一種信號答：一共可以表示15種不同的信號例5 用0到9這10個數(shù)字，可以組成多少個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)？解法1：由于在沒有重復數(shù)字的三位數(shù)中，百位上的數(shù)字不能是0，可根據(jù)所帶的這個附加條件將組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)看作是分成兩步完成：先排百位上的數(shù)字，它可從1到9這9個數(shù)字中任選1個，有是解法2：如圖107，符合條件的三位數(shù)可以分成3類：數(shù)的個數(shù)是復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)，即所求的三位數(shù)的個數(shù)是答：可以組成648個沒有重復數(shù)字的三位數(shù)注 對于例5這類求排列數(shù)的問題，可用適當方法將問題分解其中解法1是將組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)這件事看作是分步完成，依據(jù)是分

16、步計數(shù)原理解法2是將做這件事看作是分類完成，依據(jù)是分類計數(shù)原理而解法3則是一種逆向思考方法：先求不是三位數(shù)的3個不重復數(shù)字的排列數(shù)，然后從所有不重復的3個數(shù)字的排列數(shù)中將它減去，就得到所求的三位數(shù)練習1寫出：(1)從4個元素a，b，c，d中任取2個元素的所有排列；(2)從5個元素a，b，c，d，e中任取2個元素的所有排列2計算：3計算下表中的階乘數(shù)，并填入表中：4選擇題：(1) 18171698等于 (2)下列各式中，不等于n！的是 5求證：7從參加乒乓球團體比賽的5名運動員中選出3名進行某一場比賽，并排定他們的出場順序，有多少種不同的方法？8從4種蔬菜品種中選出3種，分別種植在不同土質(zhì)的3塊

17、土地上進行試驗，有多少種不同的種植方法？電子課文103 組合 1組合看下面的問題從甲、乙、丙3名同學中選出2名去參加一項活動，有多少種不同的選法？很明顯，從3名同學中選出2名，不同的選法有3種：甲、乙， 乙、丙， 丙、甲想一想：這一問題與上節(jié)開始提出的問題有什么不同？從甲、乙、丙3名同學中選出2名去參加一項活動，如果要求其中1名同學參加上午的活動，1名同學參加下午的活動，由于“甲上午、乙下午”與“乙上午、甲下午”是兩種不同的選法，這個問題是從3個不同的元素中取出2個，并按照一定的順序排列，要求出有多少種不同的排列方法，這是上一節(jié)研究的排列問題本節(jié)的問題，是從3名同學中選出2名參加一項活動，所選

18、出的2名之間并無順序關(guān)系，因而它是從3個不同的元素中取出2個，不管怎樣的順序并成一組，求一共有多少個不同的組，這就是本節(jié)所要研究的組合問題一般地，從n個不同元素中取出m(mn)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合從排列和組合的定義可以知道，排列與元素的順序有關(guān)，而組合與順序無關(guān)如果兩個組合中的元素完全相同，那么不管元素的順序如何，都是相同的組合；只有當兩個組合中的元素不完全相同時，才是不同的組合例如ab與ba是兩個不同的排列，但它們卻是同一個組合上面，從3名同學中選出2名參加一項活動，求有多少種不同的選法，就是要求出從3個不同的元素中取出2個元素的所有組合的個數(shù)在4個不同

19、元素a，b，c，d中取出2個，共有多少種不同的組合？為了回答這個問題，可以先畫出下圖(圖108)：由此可以寫出所有的組合：ab，ac，ad，bc，bd，cd，即共有6種不同的組合想一想：下面的問題是排列問題，還是組合問題？從4個風景點中選出2個安排游覽，有多少種不同的方法？從4個風景點中選出2個，并確定這2個風景點的游覽順序，有多少種不同的方法？從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從nC是英文Combination(組合)的第一個字母組合數(shù)還可用符號( )表示從上面知道，從3個不同元素中取出2個元素的組合數(shù)是從4個不同元素中取出2個元素的組合數(shù)是與排列的關(guān)系如下：從上面可

20、以看出，每一個組合都對應(yīng)著6個不同的排列，因此，求根據(jù)分步計數(shù)原理，得因此，下2步：根據(jù)分步計數(shù)原理，得到因此這里n，mN*，并且mn這個公式叫做組合數(shù)公式因為所以，上面的組合數(shù)公式還可以寫成例1 計算：練習1甲、乙、丙、丁4個足球隊舉行單循環(huán)賽：(1)列出所有各場比賽的雙方；(2)列出所有冠亞軍的可能情況2已知平面內(nèi)A，B，C，D這4個點中任何3個點都不在一條直線上，寫出由其中每3個點為頂點的所有三角形3寫出：(1)從5個元素a，b，c，d，e中任取2個元素的所有組合；(2)從5個元素a，b，c，d，e中任取3個元素的所有組合4利用第3題的第(1)小題的結(jié)果寫出從5個元素a，b，c，d，e中

21、任取2個元素的所有排列5計算：2組合數(shù)的兩個性質(zhì)在例1中，我們算得即怎樣對這一結(jié)果進行解釋呢？事實上，從10個元素中取出7個元素后，還剩下3個元素就是說，從10個元素中每次取出7個元素的一個組合，與剩下的(107)個元素的組合是一一對應(yīng)的因此，從10個元素中取出7個元素的組合數(shù)，與從這10個元素中取出(107)個元素的組合數(shù)是相等的，即有一般地，從n個不同元素中取出m個元素后，剩下nm個元素因為從n個不同元素中取出m個元素的每一個組合，與剩下的nm個元素的每一個組合一一對應(yīng)，所以從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，等于從這n個元素中取出nm個元素的組合數(shù)，即證明：根據(jù)組合數(shù)的公式有注 為了使

22、上面的公式在m=n時也能成立，我們規(guī)定例3 (1)平面內(nèi)有10個點，以其中每2個點為端點的線段共有多少條？(2)平面內(nèi)有10個點，以其中每2個點為端點的有向線段共有多少條？解：(1)以平面內(nèi)10個點中每2個點為端點的線段的條數(shù)，就是從10個不同元素中取出2個元素的組合數(shù)，即答：以10個點中每2個點為端點的線段共有45條(2)由于有向線段的兩個端點中一個是起點、一個是終點，以平面內(nèi)10個點中每2個點為端點的有向線段的條數(shù)，就是從10個不同元素中取出2個元素的排列數(shù)，即答：以10個點中每2個點為端點的有向線段共有90條注 在例3中，第(1)小題不考慮線段兩個端點的順序，是組合問題；第(2)小題要考

23、慮線段兩個端點的順序，是排列問題例4 一個口袋內(nèi)裝有大小相同的7個白球和1個黑球(1)從口袋內(nèi)取出3個球，共有多少種取法？(2)從口袋內(nèi)取出3個球，使其中含有1個黑球，有多少種取法？(3)從口袋內(nèi)取出3個球，使其中不含黑球，有多少種取法？解：(1)從口袋內(nèi)的8個球中取出3個球，取法種數(shù)是答：從口袋內(nèi)取出3個球，共有56種取法(2)從口袋內(nèi)取出的3個球中有1個是黑球，于是還要從7個白球中再取出2個，取法種數(shù)是答：取出含有1個黑球的3個球，共有21種取法(3)由于所取出的3個球中不含黑球，也就是要從7個白球中取出3個球，取法種數(shù)是答：取出不含黑球的3個球，共有35種取法從上面我們發(fā)現(xiàn)：你能對上面的

24、等式作出解釋嗎？實際上，從口袋內(nèi)的8個球中所取出的3個球，可以分為兩類：一類含1個黑球，一類不含黑球因此根據(jù)分類計數(shù)原理，上面的等式成立一般地，從a1，a2，an+1這n1個不同的元素中取出m個的a1的組合是從a2，a3，an+1這n個元素中取出m1個元素與a1證明：根據(jù)組合數(shù)公式有這個關(guān)系式是組合數(shù)的另一重要性質(zhì)，在下一小節(jié)將會看到它的重要應(yīng)用例5 在100件產(chǎn)品中，有98件合格品，2件次品從這100件產(chǎn)品中任意抽出3件(1)一共有多少種不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少種？(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少種？(1)解：所求的不同抽法的種數(shù)，就是從100

25、件產(chǎn)品中取出3件的組合數(shù)答：共有161700種抽法法的種數(shù)是答：3件中恰好有1件是次品的抽法有9506種(3)解法1：從100件產(chǎn)品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品這兩種情況在第(2)小題中已求得其中1件是次品法的種數(shù)是解法2：抽出的3件中至少有1件是次品的抽法的種數(shù)，也就是從100件中抽出3件的抽法的種數(shù)減去3件中都是合格品的抽法的種數(shù)，即答：3件中至少有1件是次品的抽法有9604種現(xiàn)在，我們可以回答本章“引言”里提出的第1個問題根據(jù)題意，有：第3階段的比賽場次為22=4它們的和為148，即整個賽程一共有148場比賽練習1計算： 3求證：46個朋友聚會，每兩人握手1次

26、，一共握手多少次？5學校開設(shè)了6門任意選修課，要求每個學生從中選學3門，共有多少種不同的選法？6從3，5，7，11這四個質(zhì)數(shù)中任取兩個相乘，可以得到多少個不相等的積？電子課文104 二項式定理 1二項式定理我們知道，又容易得到(ab)3=a33a2b3ab2b3那么，將(ab)4=(ab)(ab)(ab)(ab)展開后，它的各項是什么呢？容易看到，等號右邊的積的展開式的每一項，是從每個括號里任取一個字母的乘積，因而各項都是4次式，即展開式應(yīng)有下面形式的各項：a4，a3b，a2b2，ab3，b4現(xiàn)在來看一看上面各項在展開式中出現(xiàn)的次數(shù)，也就是看展開式中各項的系數(shù)是什么在上面4個括號中：因此，一般

27、地，對于任意正整數(shù)n，上面的關(guān)系式也是成立的，即有這個公式可以證明，但本書略去不證在二項式定理中，如果設(shè)a=1，b=x，則得到公式：解：先將原式化簡，再展開例3 求(xa)12的展開式中的倒數(shù)第4項解：(xa)12的展開式共有13項，所以倒數(shù)第4項是它的第10項展開式的第10項是=220x3a9例4 (1)求(12x)7的展開式的第4項的系數(shù)；解：(1)(12x)7的展開式的第4項是=358x3=280x3，所以展開式第4項的系數(shù)是280個二項展開式的某一項的二項式系數(shù)與系數(shù)是兩個不同的概念根據(jù)題意，得 92r=3，r=3因此，x3的系數(shù)是練習1寫出(pq)7的展開式2求(2a3b)6的展開式

28、的第3項3求(3b2a)6的展開式的第3項5填空：(x32x)7的展開式的第4項的二項式系數(shù)是_，第4項的系數(shù)是_6選擇題：(x1)10的展開式的第6項的系數(shù)是 2二項式系數(shù)的性質(zhì)(ab)n展開式的二項式系數(shù)，當n依次取1，2，3時，如下表所示：(ab)11 1(a十b)21 2 1(ab)31 3 3 1(ab)41 4 6 4 1(ab)51 5 10 10 5 1(ab)61 6 15 20 15 6 1上面的表叫做二項式系數(shù)表，它有這樣的規(guī)律：表中每行兩端都是1，而且除1以外的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和事實上，設(shè)表中任的性質(zhì)2知道應(yīng)特別指出的是，類似這樣的表，早在我國南宋數(shù)學家楊輝

29、1261年所著的詳解九章算法一書里就已經(jīng)出現(xiàn)了在這本書里，記載著類似下面的表(圖109)：這個表稱為楊輝三角在詳解九章算法一書里，還說明了表里“一”以外的每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和，楊輝指出這個方法出于釋鎖算書，且我國北宋數(shù)學家賈憲(約公元11世紀)已經(jīng)用過它這表明我國發(fā)現(xiàn)這個表不晚于11世紀在歐洲，這個表被認為是法國數(shù)學家帕斯卡(Blaise Pascal，1623年1662年)首先發(fā)現(xiàn)的，他們把這個表叫做帕斯卡三角這就是說，楊輝三角的發(fā)現(xiàn)要比歐洲早五百年左右，由此可見我國古代數(shù)學的成就是非常值得中華民族自豪的釋鎖是書名，釋鎖一詞是我國宋元數(shù)學家開方或解數(shù)字方程的代用名詞(ab)n展開式

30、的二項式系數(shù)是0，1，2，n，當n=6時，其圖象是圖1010中的7個孤立點下面結(jié)合“楊輝三角”和圖1010，來研究二項式系數(shù)的一些性質(zhì)(1)對稱性與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等事實上，(2)增減性與最大值因為(3)各二項式系數(shù)的和已知令x=1，則這就是說，(ab)n的展開式的各個二項式系數(shù)的和等于2n前面已經(jīng)證明，“楊輝三角”中除1以外的每一個數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)之和利用這一性質(zhì)，可根據(jù)相應(yīng)于n的各二項式系數(shù)寫出相應(yīng)于n1的各二項式系數(shù)例如，根據(jù)“楊輝三角”中相應(yīng)于n=6的各二項式系數(shù)，可寫出相應(yīng)于n=7的各二項式系數(shù)如下：1 7 21 35 35 21 7 1這樣，就可以將二項式

31、系數(shù)表延伸下去，從而可根據(jù)這個表來求二項式系數(shù)例5 證明在(ab)n的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和證明：在展開式中，令a=1，b=1，則得就是即在(ab)n的展開式中，奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和練習1填空：(2)(ab)9的各二項式系數(shù)的最大值是_；3寫出n從1到10的二項式系數(shù)表電子課文105 隨機事件的概率 1隨機事件及其概率我們來看下面的一些事件：(1)“導體通電時，發(fā)熱”；(2)“拋一石塊，下落”；(3)“在標準大氣壓下且溫度低于0時，冰融化”；(4)“在常溫下，焊錫熔化”；(5)“某人射擊一次，中靶”；(6)“擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面”

32、上面各事件的發(fā)生與否，各有什么特點？可以看到，事件(1)、(2)是必然要發(fā)生的，(3)、(4)是不可能發(fā)生的，而(5)、(6)是可能發(fā)生、也可能不發(fā)生的在一定的條件下必然要發(fā)生的事件，叫做必然事件；在一定的條件下不可能發(fā)生的事件，叫做不可能事件；在一定的條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫做隨機事件上面的(1)、(2)是必然事件，(3)、(4)是不可能事件，(5)、(6)是隨機事件在實際生活中，我們會經(jīng)常碰到隨機事件例如，“檢驗?zāi)臣a(chǎn)品，合格”，“某地5月1日，下雨”等也都是隨機事件隨機事件在一次試驗中是否發(fā)生雖然不能事先確定，但是在大量重復試驗的情況下，它的發(fā)生呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性一次試驗就是

33、將事件的條件實現(xiàn)一次例如對“擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面”這個事件來說，做一次試驗就是將硬幣拋擲一次例如，歷史上曾有人作過拋擲硬幣的大量重復試驗，結(jié)果如下面表1所示我們看到，當拋擲硬幣的次數(shù)很多時，出現(xiàn)正面的頻率值是穩(wěn)定的，接近于常數(shù)0.5，在它附近擺動再來看下面的表2和表3數(shù)0.95，在它附近擺動從表3看到，當試驗的油菜籽的粒數(shù)很多時，油菜籽發(fā)芽的頻率接近于常數(shù)0.9，在它附近擺動接近于某個常數(shù)，在它附近擺動，這時就把這個常數(shù)叫做事件A的概率，記作P(A)P是英文Probability(概率)的第一個字母概率從數(shù)量上反映了一個事件發(fā)生的可能性的大小上面，拋擲一枚硬幣出現(xiàn)“正面向上”的概率是0.5，是

34、指出現(xiàn)“正面向上”的可能性是50；任取一個乒乓球得到優(yōu)等品的概率是0.95，是指得到優(yōu)等品的可能性是95上面有關(guān)概率的定義，實際上也是求一個事件的概率的基本方法：進行大量的重復試驗，用這個事件發(fā)生的頻率近似地作為它的概率記隨機事件A在n次試驗中發(fā)生了m次，那么有0mn，于是可得0P(A)1很明顯，必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0例1 指出下列事件是必然事件，不可能事件，還是隨機事件：(1)某地1月1日刮西北風；(2)當x是實數(shù)時，x20；(3)手電筒的電池沒電，燈泡發(fā)亮；(4)一個電影院某天的上座率超過50解：由題意知，(2)是必然事件，(3)是不可能事件，(1)、(4)是隨機事件練習

35、1指出下列事件是必然事件，不可能事件，還是隨機事件：(1)如果a，b都是實數(shù)，那么ab=ba；(2)從分別標有號數(shù)1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的10張?zhí)柡炛腥稳∫粡?，得?號簽；(3)沒有水分，種籽發(fā)芽；(4)某電話總機在60秒內(nèi)接到至少15次呼喚；(5)在標準大氣壓下，水的溫度達到50時，沸騰；(6)同性電荷，相互排斥2某射手在同一條件下進行射擊，結(jié)果如下表所示：(1)計算表中擊中靶心的各個頻率；(2)這個射手射擊一次，擊中靶心的概率約是多少？3一個地區(qū)從某年起幾年之內(nèi)的新生嬰兒數(shù)及其中的男嬰數(shù)如下：(1)填寫上表中的男嬰出生頻率(如果用計算器計算，結(jié)果保留到小數(shù)點后第3位)；(

36、2)這一地區(qū)男嬰出生的概率約是多少？2等可能性事件的概率從上面知道，隨機事件的概率，一般可以通過大量重復試驗求得其近似值但對于某些隨機事件，也可以不通過重復試驗，而只通過對一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果的分析來計算其概率例如，挪一枚均勻的硬幣，可能出現(xiàn)的結(jié)果有正面向上，反面向上這2個由于硬幣是均勻的，可以認為出現(xiàn)這2種結(jié)果的可能性是相等又如，拋擲一個骰子，它落地時向上的數(shù)可能是情形1，2，3，4，5，6之一，即可能出現(xiàn)的結(jié)果有6種由于骰子是均勻的，可以認為這6種與大量重復試驗的結(jié)果也是一致的骰子是一種正方體形的玩具，在正方體的各面上分別有點數(shù)1，2，3，4，5，6骰子的漢語拼音是t$uzi，方言讀作

37、sh3izi現(xiàn)在進一步問：骰子落地時向上的數(shù)是3的倍數(shù)的概率是多少？由于向上的數(shù)是3，6這2種情形之一出現(xiàn)時，“向上的數(shù)是3的倍數(shù)”這一事件(記作事件A)發(fā)生，因此事件A的概率一次試驗連同其中可能出現(xiàn)的每一個結(jié)果稱為一個基本事件，通常此試驗中的某一事件A由幾個基本事件組成如果一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個，即此試驗由n個基本事件組成，而且所有結(jié)果出現(xiàn)A包含的結(jié)果有m個，那么事件A的概率在一次試驗中，等可能出現(xiàn)的n個結(jié)果組成一個集合I，這n個結(jié)果就是集合I的n個元素各基本事件均對應(yīng)于集合I的含有1個元素的子集，包含m個結(jié)果的事件A對應(yīng)于I的含有m個元素的子集A因此從集合的角度看，事件A的概率是子

38、集A的元素個數(shù)(記作card(A)與集合I的元素個數(shù)(記作card(I)的比值，即例如，上面骰子落地時向上的數(shù)是3的倍數(shù)這一事件A的概率如圖1011所示例2 一個口袋內(nèi)裝有大小相等的1個白球和已編有不同號碼的3個黑球，從中摸出2個球(1)共有多少種不同的結(jié)果？(2)摸出2個黑球有多少種不同的結(jié)果？(3)摸出2個黑球的概率是多少？解：(1)從裝有4個球的口袋內(nèi)摸出2個球，共有種不同的結(jié)果，即由所有結(jié)果組成的集合I含有6個元素，如圖1012所示答：共有6種不同的結(jié)果(2)從3個黑球中摸出2個球，共有種不同的結(jié)果，這些結(jié)果組成I的一個含有3個元素的子集A，如圖1012所示答：從口袋內(nèi)摸出2個黑球有3

39、種不同的結(jié)果(3)由于口袋內(nèi)4個球的大小相等，從中摸出2個球的6種結(jié)果是等可能的又在這6種結(jié)果中，摸出2個黑球的結(jié)果有3種，因此從中摸出2個黑球的概率注 例2的第(2)，(3)小題都是在從4個球中任取2個球所組成的結(jié)果集合I的基礎(chǔ)上考慮的，在內(nèi)容上完全相仿；不同的是，第(2)小題求的是相應(yīng)于I的子集A的元素個數(shù)card(A)，而第(3)小題求的是相應(yīng)于子例3 將骰子先后拋擲2次，計算：(1)一共有多少種不同的結(jié)果？(2)其中向上的數(shù)之和是5的結(jié)果有多少種？(3)向上的數(shù)之和是5的概率是多少？解：(1)將骰子拋擲1次，它落地時向上的數(shù)有1，2，3，4，5，6這6種結(jié)果根據(jù)分步計數(shù)原理，先后將這種

40、玩具拋擲2次，一共有66=36種不同的結(jié)果答：先后拋擲骰子2次，一共有36種不同的結(jié)果(2)在上面所有結(jié)果中，向上的數(shù)之和為5的結(jié)果有(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)4種，其中括弧內(nèi)的前、后2個數(shù)分別為第1、2次拋擲后向上的數(shù)上面的結(jié)果可用圖1013表示，其中不在線段上的各數(shù)為相應(yīng)的2次拋擲后向上的數(shù)之和答：在2次拋擲中，向上的數(shù)之和為5的結(jié)果有4種(3)由于骰子是均勻的，將它拋擲2次的所有36種結(jié)果是等可能出現(xiàn)的其中向上的數(shù)之和是5的結(jié)果(記為事件A)有4種，因此，所求的概率例4 在100件產(chǎn)品中，有95件合格品，5件次品從中任取2件，計算：(1)2件都是合格品的概率；(2)2

41、件都是次品的概率；(3)1件是合格品、1件是次品的概率想一想：在這個問題中，出現(xiàn)向上的數(shù)之和為5的倍數(shù)的概率是多少？解：從100件產(chǎn)品中任取2件可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)，就是從100個元都相等(1)由于在100件產(chǎn)品中有95件合格品，取到2件合格品的結(jié)果數(shù)，為事件A1，那么事件A1的概率(2)由于在100件產(chǎn)品中有5件次品，取到2件次品的結(jié)果數(shù)，就是A2，那么事件A2的概率(3)記“任取2件，1件是合格品、1件是次品”為事件A3由于在概率例5 儲蓄卡上的密碼是一種四位數(shù)字號碼，每位上的數(shù)字可在0到9這10個數(shù)字中選取(1)使用儲蓄卡時如果隨意按下一個四位數(shù)字號碼，正好按對這張儲蓄卡的密碼的概率只有多少

42、？(2)某人未記準儲蓄卡的密碼的最后一位數(shù)字，他在使用這張儲蓄卡時如果前三位號碼仍按本卡密碼，而隨意按下密碼的最后一位數(shù)字，正好按對密碼的概率是多少？解：(1)由于儲蓄卡的密碼是一個四位數(shù)字號碼，且每位上的數(shù)字有從0到9這10種取法，根據(jù)分步計數(shù)原理，這種號碼共有104個又由于是隨意按下一個四位數(shù)字號碼，按下其中哪一個號碼的可能性都相等，可得正好按對這張儲蓄卡的密碼的概率(2)按四位數(shù)字號碼的最后一位數(shù)字，有10種按法由于最后一位數(shù)字是隨意按下的，按下其中各個數(shù)字的可能性相等，可得按下的正好是密碼的最后一位數(shù)字的概率現(xiàn)在，我們可以回答本章“前言”里提出的第2個問題：由于要將所有選手分成8個小組，某選手抽簽時可能出現(xiàn)8種等可能的結(jié)果又由于避開第1小組和第8小組的結(jié)果有6種，因此避開這2個小組的概練習1先后拋擲2枚均勻的硬幣(1)一共可能出現(xiàn)多少種不同的結(jié)果？(2)出現(xiàn)“1枚正面、1枚反面”的結(jié)果有多少種？(3)出現(xiàn)“1枚正面、1枚反面”的概率是多少？(4)有人說，“一共可能出現(xiàn)2枚正面、2枚反面、1枚正面，1枚反面這3種結(jié)果，因此出現(xiàn)1枚正面、1枚反面的概2隨意安排甲、乙、丙3人在3天節(jié)日中值班每人值班1天(1)這3人的值班順序共有多少種不同的排列方法？(2)其中甲在乙之前的排法有多少種？(3)甲排在乙之前的概率是多少？3在40根纖維中，有12根的長度超過30mm，從中