近世代數(shù)課件全圖形對稱變換群、群應(yīng)用

1、 11 圖形的對稱變換群、群的應(yīng)用圖形的對稱變換群、群的應(yīng)用 7/2/2021 定義定義1: 使圖形不變形地變到與它重合的變使圖形不變形地變到與它重合的變 換稱為這個圖形的對稱變換換稱為這個圖形的對稱變換. 定義定義2：圖形的一切對稱變換關(guān)于變換的乘：圖形的一切對稱變換關(guān)于變換的乘 法構(gòu)成群，稱為這個圖形的對稱變換群法構(gòu)成群，稱為這個圖形的對稱變換群. 7/2/2021 設(shè)正三角形的三個頂點(diǎn)分別為設(shè)正三角形的三個頂點(diǎn)分別為1、 2、 3. 顯然，正三角形的每一對稱變換都導(dǎo)致正三顯然，正三角形的每一對稱變換都導(dǎo)致正三 角形的三個頂點(diǎn)的唯一一個置換角形的三個頂點(diǎn)的唯一一個置換. 反之，反之， 由由

2、 正三角形的三個頂點(diǎn)的任一置換都可得到正正三角形的三個頂點(diǎn)的任一置換都可得到正 三角形的唯一一個對稱變換，從而可用三角形的唯一一個對稱變換，從而可用 3 (1),(12),(13),(23),(123),(132)S 表示正三角形的對稱變換群表示正三角形的對稱變換群. 7/2/2021 其中其中(1)為恒等變換為恒等變換, (1 2), (1 3), (2 3) 分分 別表示關(guān)于正三角形的三個對稱軸的反射變換別表示關(guān)于正三角形的三個對稱軸的反射變換, (1 2 3), (1 3 2)分別表示關(guān)于正三角形的中分別表示關(guān)于正三角形的中 心按逆時針方向旋轉(zhuǎn)心按逆時針方向旋轉(zhuǎn)120度、度、240度的旋

3、轉(zhuǎn)變度的旋轉(zhuǎn)變 換換. l3 O l1 l2 2 3 1 l2 l1 l3 l4 O 1 2 3 4 7/2/2021 正方形的四個頂點(diǎn)分別可用正方形的四個頂點(diǎn)分別可用1、 2、 3、 4來表示來表示. 于是正方形的每一對稱變換可用一于是正方形的每一對稱變換可用一 個個4次置換來表示次置換來表示. 顯然，顯然， 不同的對稱變換不同的對稱變換 所對應(yīng)的置換也不同，而對稱變換的乘積對所對應(yīng)的置換也不同，而對稱變換的乘積對 應(yīng)了置換的乘積應(yīng)了置換的乘積. 這說明，正方形的對稱變換這說明，正方形的對稱變換 群可用一置換群來表示群可用一置換群來表示. 7/2/2021 第一類第一類: 繞中心的分別旋轉(zhuǎn)繞

4、中心的分別旋轉(zhuǎn)90度，度，180 度，度，270度，度，360度的旋轉(zhuǎn)，度的旋轉(zhuǎn)， 這對應(yīng)于置換這對應(yīng)于置換 (1234)， (13)(24)， (1432)，(1). 第二類第二類: 關(guān)于正方形的關(guān)于正方形的4條對稱軸的反射條對稱軸的反射, (1 2)(3 4)， (2 4)， (1 4)(2 3)， (2 4)， (1 3). 這對應(yīng)于置換這對應(yīng)于置換 所以所以, 正方形的對稱變換群有上述正方形的對稱變換群有上述 8個元素個元素. 這是四次對稱群的一個子群這是四次對稱群的一個子群. 7/2/2021 1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 7/2/2021 1 ： AB CD 2

5、Pi 7/2/2021 2 AB CD 2 Pi A BC D Pi 2 7/2/2021 3 AB CD 2 Pi AB CD Pi 7/2/2021 4 AB CD 2 Pi A BC D 3 Pi 2 7/2/2021 5 AB CDAB CD 7/2/2021 6 AB CD AB CD 7/2/2021 7 AB CD A BC D 7/2/2021 8 AB CD A BC D 7/2/2021 正正n邊形的對稱變換群階為邊形的對稱變換群階為2n. . 這種群稱這種群稱 為為2n 元二面體群元二面體群. . 記為記為Dn 1 123,n 2 2 123,n 1 1 123, n n

6、 n , 0 1 , 0 2(31),nn 7/2/2021 6 D 1 2 3 4 5 6 (1),(123456), (135)(246), (14)(25)(36), (153)(264), (165432), (26)(35),(13)(46),(15)(24), (16)(25)(34),(12)(36)(45),(14)(23)(56) 7/2/2021 2 個個2-循環(huán)，循環(huán)， n 個個n-循環(huán)循環(huán), 組成，則稱組成，則稱 12 1 2 n n 型置換，型置換， 其中其中 12 12. n nn 例：例： 5 S 中中 (123)(123)(4)(5) 是一個是一個 21 1 3

7、 型置換型置換 (12345)是一個是一個 1 5 型置換型置換 (12)(34)(12)(34)(5) 是一個是一個 12 1 2 型置換型置換 是一個是一個 一個一個n次置換次置換 ，如果其循環(huán)置換分解式，如果其循環(huán)置換分解式 是由是由 1 個個1-循環(huán)，循環(huán)， 7/2/2021 二面體群二面體群 n D 是一個是一個n次置換群次置換群 0 (1),123,1,1 k k nkn 0 2(31),nn k 的類型是的類型是 d n d 型，其中型，其中( , )dn k k 當(dāng)當(dāng)n是奇數(shù)時，都是是奇數(shù)時，都是 1 1 2 1 2 n 型的型的 當(dāng)當(dāng)n是偶數(shù)時，有兩種類型：是偶數(shù)時，有兩種類

8、型： 1 2 2 1 2 n 型和型和2 2 n 型型 7/2/2021 問題的提法：問題的提法： 用用n種顏色的珠子做成有種顏色的珠子做成有m顆珠子的項(xiàng)鏈，顆珠子的項(xiàng)鏈， 問可做成多少種不同類型的項(xiàng)鏈？問可做成多少種不同類型的項(xiàng)鏈？ 這里所說的不同類型的項(xiàng)鏈，指兩個這里所說的不同類型的項(xiàng)鏈，指兩個 項(xiàng)鏈無論怎樣旋轉(zhuǎn)與翻轉(zhuǎn)都不能重合。項(xiàng)鏈無論怎樣旋轉(zhuǎn)與翻轉(zhuǎn)都不能重合。 7/2/2021 設(shè)由設(shè)由m顆珠子做成一個項(xiàng)鏈，可用一個正顆珠子做成一個項(xiàng)鏈，可用一個正m邊形邊形 來代表它，它的每個頂點(diǎn)代表一顆珠子。來代表它，它的每個頂點(diǎn)代表一顆珠子。 12 3 5 4 6 7 8 沿逆時針方向給珠子標(biāo)號，

9、沿逆時針方向給珠子標(biāo)號， 由于每一顆珠子的顏色有由于每一顆珠子的顏色有n種選種選 擇，因而用乘法原理，這些有標(biāo)擇，因而用乘法原理，這些有標(biāo) 號的項(xiàng)鏈共有號的項(xiàng)鏈共有nm種。種。 但其中有一些可以通過旋轉(zhuǎn)一個角但其中有一些可以通過旋轉(zhuǎn)一個角 度或翻轉(zhuǎn)度或翻轉(zhuǎn)180度使它們完全重合，度使它們完全重合， 我們稱為是本質(zhì)相同的，我們要考我們稱為是本質(zhì)相同的，我們要考 慮的是無論怎么旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)都不能慮的是無論怎么旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)都不能 使它們重合的項(xiàng)鏈類型數(shù)。使它們重合的項(xiàng)鏈類型數(shù)。 7/2/2021 設(shè)設(shè)X=1，2，m, 代表代表m顆珠子的集合，顆珠子的集合， 它們逆時針排列組成一個項(xiàng)鏈，由于每顆珠子它們逆

10、時針排列組成一個項(xiàng)鏈，由于每顆珠子 標(biāo)有標(biāo)號，我們稱這樣的項(xiàng)鏈為有標(biāo)號的項(xiàng)鏈標(biāo)有標(biāo)號，我們稱這樣的項(xiàng)鏈為有標(biāo)號的項(xiàng)鏈. . 12 , n A a aa 為為n種顏色的集合種顏色的集合. 則每一個映射則每一個映射 : XA 代表一個有標(biāo)號代表一個有標(biāo)號 的項(xiàng)鏈的項(xiàng)鏈. |: XA m n ，它是全部有，它是全部有令令 標(biāo)號項(xiàng)鏈的集合，顯然有標(biāo)號項(xiàng)鏈的集合，顯然有 ，是全部有標(biāo)號項(xiàng)鏈的數(shù)目，是全部有標(biāo)號項(xiàng)鏈的數(shù)目. 7/2/2021 12km 1 2 iiii m km g D 12km 1 2 c c c c km k cA 設(shè)設(shè) ，其中，其中 mD 7/2/2021 g 12m1 1m 212

11、m 12 iii c ccc cc ggg m gg e 1 11 12 21 12 g g ggg g 111 121 221 ggg ggg 1212 g ggg 定義定義 則則 ，所以，所以. . 對對的作用為的作用為 7/2/2021 D g m m g D 12 g 2 其直觀意義是，其直觀意義是， 對對的作用就是的作用就是 使使 對項(xiàng)鏈的點(diǎn)號作一個旋轉(zhuǎn)變換或翻轉(zhuǎn)變換，因而對項(xiàng)鏈的點(diǎn)號作一個旋轉(zhuǎn)變換或翻轉(zhuǎn)變換，因而 1 與與是同一類型的是同一類型的 屬于同一軌道屬于同一軌道. 2 1 與與 mD 因此，每一類型的項(xiàng)鏈對應(yīng)一個軌道，因此，每一類型的項(xiàng)鏈對應(yīng)一個軌道，不同不同 類型項(xiàng)鏈數(shù)

12、目就是類型項(xiàng)鏈數(shù)目就是對對 ，可用，可用Burnside引理求解引理求解. 作用下的軌道數(shù)目作用下的軌道數(shù)目 7/2/2021 m g D g 下一個關(guān)鍵問題是：下一個關(guān)鍵問題是：如何求如何求在在 上的不動點(diǎn)數(shù)上的不動點(diǎn)數(shù) g f g 12 g g 的循環(huán)置換分解式可表為的循環(huán)置換分解式可表為 （1） g g 12 12 m m ，這與，這與的置換類型有關(guān)的置換類型有關(guān). 是一個是一個 型置換型置換. 設(shè)設(shè) 7/2/2021 6 123645g D 1 112332 123456 aaaaaa 例如，設(shè)例如，設(shè) ，則，則 1 112332 (1)(2)(3)(4)(5)(6) )( ggggg

13、g g aaaaaa 1 112332 216543 aaaaaa 1 g故故是是 的一個不動點(diǎn)的一個不動點(diǎn). 7/2/2021 g 2 122332 123456 aaaaaa 2 g 反之，若對應(yīng)反之，若對應(yīng) ，則，則 故故 不是不是的不動點(diǎn)的不動點(diǎn). . 的循環(huán)置換分解式中某個的循環(huán)置換分解式中某個 循環(huán)置換中號碼的珠子有不同的顏色，例如循環(huán)置換中號碼的珠子有不同的顏色，例如 2 122332 (1)(2)(3)(4)(5)(6) )( gggggg g aaaaaa 122332 216543 aaaaaa 2 7/2/2021 g f |, g fg gg 下面我們來進(jìn)一步計(jì)算不動點(diǎn)

14、數(shù)下面我們來進(jìn)一步計(jì)算不動點(diǎn)數(shù) 而滿足而滿足的的 ，對應(yīng)于，對應(yīng)于 的同一循環(huán)置換中的珠子的顏色必須相同，的同一循環(huán)置換中的珠子的顏色必須相同， 因而，每一個循環(huán)置換中的珠子顏色共有因而，每一個循環(huán)置換中的珠子顏色共有 n種選擇種選擇. . g 12m 而而所含的循環(huán)置換個數(shù)為所含的循環(huán)置換個數(shù)為 12m n 所以滿足條件所以滿足條件的項(xiàng)鏈顏色有的項(xiàng)鏈顏色有 種選擇種選擇 g 7/2/2021 12m g f n 12 1 m m m g N n D D mD 12 2 1 1 12, 1 2 , m mm N n m D m c 12,mc 故故 將它代入將它代入Burnside公式，就得項(xiàng)

15、鏈的種類數(shù)為公式，就得項(xiàng)鏈的種類數(shù)為 其中和式是對其中和式是對 進(jìn)一步表示為進(jìn)一步表示為 其中其中 和式是對所有可能的不同置換類型求和和式是對所有可能的不同置換類型求和. 中每一個置換求和中每一個置換求和. 為同一類型的群元素個數(shù)，為同一類型的群元素個數(shù)， 7/2/2021 解解1 2 3 4 5 6 6 D (1),(123456), (135)(246), (14)(25)(36), (153)(264), (165432), (26)(35),(13)(46),(15)(24), (16)(25)(34),(12)(36)(45),(14)(23)(56) 7/2/2021 按類型計(jì)算每一個群元素的不動點(diǎn)數(shù)：按類型計(jì)算每一個群元素的不動點(diǎn)數(shù)： 6 1 6 3 g f 型置換有型置換有1個，每一個元素的不動點(diǎn)數(shù)為個，每一個元素的不