雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)[竹菊書苑]

1、2.2.2 雙曲線雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)( (一一) ) 復(fù)習(xí)引入復(fù)習(xí)引入 這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)焦點(diǎn). 兩焦點(diǎn)的距離叫做雙曲線的兩焦點(diǎn)的距離叫做雙曲線的焦距焦距. 1. 雙曲線的定義：雙曲線的定義： 我們把平面內(nèi)與兩個(gè)我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)定點(diǎn)F1、F2的的 距離的距離的差差的絕對(duì)值等于常數(shù)的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于小于| F1F2 |) 的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線. 湖南省長(zhǎng)沙市一中衛(wèi)星遠(yuǎn)程學(xué)校 新課講授新課講授 2. 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程： x y F1 F2 O c2a2b2 F2 y F1 x O 是是F1(c, 0)、F

2、2(c, 0). 焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)軸上，焦點(diǎn) 是是F1(0, c)、F2(0, c). 焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)軸上，焦點(diǎn) (a0,b0)1 2 2 2 2 b y a x (a0,b0)1 2 2 2 2 b x a y 復(fù)習(xí)引入復(fù)習(xí)引入 10 e a c e (a, 0) (0, b) 圖形關(guān)于圖形關(guān)于x 軸、軸、y軸、軸、 原點(diǎn)對(duì)稱原點(diǎn)對(duì)稱by ax 范圍范圍對(duì)稱性對(duì)稱性頂點(diǎn)頂點(diǎn)離心率離心率 (ab0)1 2 2 2 2 b y a x 3. 橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)：橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)： xa A1 y B2 F2 O F1 A 2 -a b B1-b 新課講授新課講授 利用利用雙曲

3、線的標(biāo)準(zhǔn)方程雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程研究研究雙曲線雙曲線的的 幾何性質(zhì)幾何性質(zhì) 1 2 2 2 2 b y a x 以以為例為例(a0，b0) 新課講授新課講授 1范圍范圍 , 1 2 2 a x 雙曲線上點(diǎn)雙曲線上點(diǎn) (x, y)都滿足都滿足 即即 x2a2， aa xa與與xa所表示的區(qū)域內(nèi)所表示的區(qū)域內(nèi) |x|a (a0) 雙曲線在不等式雙曲線在不等式 y O x F1 F2 22 22 10 xy ab 新課講授新課講授 y O x F1 F2 2對(duì)稱性對(duì)稱性 雙曲線關(guān)于雙曲線關(guān)于y軸、軸、x軸、原點(diǎn)軸、原點(diǎn)都是對(duì)稱的都是對(duì)稱的 坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸是雙曲線的對(duì)稱軸是雙曲線的對(duì)稱軸 原點(diǎn)原點(diǎn)是雙曲線的

4、對(duì)稱中心是雙曲線的對(duì)稱中心 雙曲線的對(duì)稱中心叫做雙曲線的對(duì)稱中心叫做 雙曲線的中心雙曲線的中心 新課講授新課講授 3頂點(diǎn)頂點(diǎn) 令令y0，得，得xa，雙曲線和雙曲線和x軸軸 有兩個(gè)交點(diǎn)有兩個(gè)交點(diǎn)A1(a, 0)、A2(a, 0) . 令令x0，得，得y2b2， 這個(gè)方程沒有實(shí)數(shù)根，這個(gè)方程沒有實(shí)數(shù)根， 則雙曲線和則雙曲線和y軸無交點(diǎn)軸無交點(diǎn). 雙曲線和它的對(duì)稱軸雙曲線和它的對(duì)稱軸 有兩個(gè)交點(diǎn)，它們叫做有兩個(gè)交點(diǎn)，它們叫做雙雙 曲線的頂點(diǎn)曲線的頂點(diǎn) 特殊點(diǎn)特殊點(diǎn)B1(0,b)、B2(0, b). y O xA1A2 F1F2 y=b y=-b B2 B1 新課講授新課講授 3頂點(diǎn)頂點(diǎn) a叫做雙曲線

5、的叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)實(shí)半軸長(zhǎng) b叫做雙曲線的叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)虛半軸長(zhǎng) 實(shí)軸實(shí)軸的長(zhǎng)等于的長(zhǎng)等于2a 線段線段A1A2 叫做雙曲線的叫做雙曲線的實(shí)軸實(shí)軸 線段線段B1B2叫做雙曲線的叫做雙曲線的虛軸虛軸. 虛軸虛軸的長(zhǎng)等于的長(zhǎng)等于2b 實(shí)軸與虛軸等長(zhǎng)的雙曲線實(shí)軸與虛軸等長(zhǎng)的雙曲線 叫叫等軸雙曲線等軸雙曲線. y O xA1A2 F1F2 B2 B1 新課講授新課講授 4漸近線漸近線 經(jīng)過經(jīng)過A2、A1作作y軸的平行線軸的平行線 xa， 經(jīng)過經(jīng)過B2、B1作作x 軸的平行線軸的平行線yb，四，四 條直線圍成一個(gè)矩形條直線圍成一個(gè)矩形 (如圖如圖) y O xA1A2 B2 B1 F1F2 a

6、 b 1 2 2 2 2 b y a x 的的漸近線漸近線. x a b y 叫做雙曲線叫做雙曲線 0 b y a x 兩條直線兩條直線 新課講授新課講授 4漸近線漸近線 1 2 2 2 2 b x a y y a b x . 0 b x a y (a0, b0)的的漸近線漸近線為為 y Ox A1 A2 B2B1 a b 新課講授新課講授 4漸近線漸近線 這時(shí)雙曲線方程為這時(shí)雙曲線方程為x2y2a2，漸，漸 近線方程為近線方程為xy，它們互相垂直，并，它們互相垂直，并 且平分雙曲線實(shí)軸和虛軸所成的角且平分雙曲線實(shí)軸和虛軸所成的角 ab時(shí)，實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)，這樣的時(shí)，實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)，這樣的 雙曲

7、線叫做雙曲線叫做等軸雙曲線等軸雙曲線. 新課講授新課講授 4漸近線漸近線 利用漸近線畫雙曲線草圖利用漸近線畫雙曲線草圖 畫出雙曲線的漸近線；畫出雙曲線的漸近線； 畫出雙曲線的頂點(diǎn)、第一象限內(nèi)雙曲畫出雙曲線的頂點(diǎn)、第一象限內(nèi)雙曲 線的大致圖象；線的大致圖象； 利用雙曲線的對(duì)稱性畫出完整雙曲線利用雙曲線的對(duì)稱性畫出完整雙曲線. 新課講授新課講授 5離心率離心率（刻畫雙曲線的開口程度）刻畫雙曲線的開口程度） 雙曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比雙曲線的焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比 a c e 叫做雙曲線的離心率叫做雙曲線的離心率 ， c a0， a ac a b 22 1 2 2 a c .1 2 e e1 新課講授新課講

8、授 5離心率離心率 也也越越大大，即即漸漸近近線線越越大大，因因此此 a b e 雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊雙曲線的形狀就從扁狹逐漸變得開闊. 由此可知，雙曲線的由此可知，雙曲線的離心率越大離心率越大，它，它 的的開口就越闊開口就越闊 ，這時(shí)，這時(shí)的斜率的絕對(duì)值也越大的斜率的絕對(duì)值也越大x a b y 例題講解例題講解 例例1. 求雙曲線求雙曲線9y216x2144的實(shí)半的實(shí)半 軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、 漸近線方程漸近線方程. 例題講解例題講解 例例1. 求雙曲線求雙曲線9y216x2144的實(shí)半的實(shí)半 軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、軸長(zhǎng)和

9、虛半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、 漸近線方程漸近線方程. 練習(xí)練習(xí).教科書教科書P53練習(xí)第練習(xí)第1、2、3題題. 湖南省長(zhǎng)沙市一中衛(wèi)星遠(yuǎn)程學(xué)校 1 2 2 2 2 b y a x 的方程為解：依題意可設(shè)雙曲線 8162aa，即 10, 4 5 c a c e又 36810 22222 acb 1 3664 22 yx 雙曲線的方程為 xy 4 3 漸近線方程為 )0 ,10(),0 ,10( 21 FF 焦點(diǎn) . 4 5 16 線和焦點(diǎn)坐標(biāo)程，并且求出它的漸近 出雙曲線的方軸上，中心在原點(diǎn)，寫焦點(diǎn)在 ，離心率離是已知雙曲線頂點(diǎn)間的距 x e 例例2: 例題講解例題講解 . 2 )31( 線標(biāo)準(zhǔn)方程線標(biāo)準(zhǔn)方程 的雙曲的雙曲且離心率為且離心率為，經(jīng)過點(diǎn)經(jīng)過點(diǎn) 為坐標(biāo)軸，為坐標(biāo)軸，求中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸求中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸 P 例例2. 課堂小結(jié)課堂小結(jié) 范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、實(shí)軸和虛軸、范圍、對(duì)稱性