兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布

1、 我們主要討論兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布我們主要討論兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 問題，然后將其推廣到多個(gè)隨機(jī)變量的情形問題，然后將其推廣到多個(gè)隨機(jī)變量的情形. 當(dāng)隨機(jī)變量當(dāng)隨機(jī)變量X1, X2, ,Xn的聯(lián)合分布的聯(lián)合分布 已知時(shí)，如何求出它們的函數(shù)已知時(shí)，如何求出它們的函數(shù) Yi=gi(X1, X2, ,Xn), i=1,2,m 的聯(lián)合分布的聯(lián)合分布? 3.5 兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布 3.5.1 二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律二維離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布律 設(shè)設(shè)(X,Y)是二維離散型隨機(jī)變量，其分布律為是二維離散型隨機(jī)變量，其分布律為 PX=xi ,Y=yj= pij ,

2、(i, j=1,2,) 且二元函數(shù)且二元函數(shù)z=g(x, y)對于不同的對于不同的(xi, yj)有不同有不同 函數(shù)值，則隨機(jī)變量函數(shù)值，則隨機(jī)變量Z=g(X, Y)的分布律為的分布律為 PZ=g(xi ,yj)= pij , (i, j=1,2,) 例例1 若若X、Y獨(dú)立，獨(dú)立，P(X=k)=ak , k=0,1,2, P(Y=k)=bk , k=0,1,2, ,求求Z=X+Y的概率函數(shù)的概率函數(shù). 解解: )()(rYXPrZP X+Y =r X=0, X+Y =r X=1, X+Y =r X=r, X+Y =r 且諸且諸X=i, X+Y =r ,i=0，1,2, ,r互不相容互不相容 例

3、例1 若若X、Y獨(dú)立，獨(dú)立，P(X=k)=ak , k=0,1,2, P(Y=k)=bk , k=0,1,2, ,求求Z=X+Y的概率函數(shù)的概率函數(shù). 于是有于是有: )()(rYXPrZP r i irYPiXP 0 )()( =a0br+a1br-1+arb0 r i irYiXP 0 ),( 由獨(dú)立性由獨(dú)立性 此即離散此即離散 卷積公式卷積公式 r=0,1,2, 解：依題意解：依題意 r i irYPiXPrZP 0 )()(） 例例2 若若X和和Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立,它們分別服從參數(shù)為它們分別服從參數(shù)為 的泊松分布的泊松分布, 證明證明Z=X+Y服從參數(shù)為服從參數(shù)為 21, 21 的泊松

4、分布的泊松分布. 由卷積公式由卷積公式 i=0,1,2, j=0,1,2, ! )( i e iXP i 1 1 ! )( j e jYP j 2 2 r i irYPiXPrZP 0 )()(（） 由卷積公式由卷積公式 r i 0 i - r 2 - i 1 - i)!-(r e i! e 21 r i r e 0 i - r 2 i 1 )( i)!-(ri! r! ! 21 ,)( ! 21 )( 21 r r e 即即Z服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松分布的泊松分布. 21 r =0,1， 例例3 設(shè)設(shè)X和和Y相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，XB(n1,p),YB(n2,p),求求 Z=X+Y 的分布

5、的分布. 回憶第二章對服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量回憶第二章對服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量 所作的直觀解釋所作的直觀解釋: 我們給出不需要計(jì)算的另一種證法我們給出不需要計(jì)算的另一種證法: 同樣，同樣，Y是在是在n2次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)出現(xiàn) 的次數(shù)的次數(shù),每次試驗(yàn)中每次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的概率為出現(xiàn)的概率為p. 若若X B(n1,p),則則X 是在是在n1次獨(dú)立重復(fù)試次獨(dú)立重復(fù)試 驗(yàn)中事件驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)出現(xiàn)的次數(shù),每次試驗(yàn)中每次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的出現(xiàn)的 概率都為概率都為p. 故故Z=X+Y 是在是在n1+n2次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 中事件中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的次數(shù)，

6、每次試驗(yàn)中A出現(xiàn)出現(xiàn) 的概率為的概率為p，于是，于是Z是以（是以（n1+n2，p）為參）為參 數(shù)的二項(xiàng)隨機(jī)變量，即數(shù)的二項(xiàng)隨機(jī)變量，即Z B(n1+n2, p). 3.5.2 連續(xù)型分布的情形連續(xù)型分布的情形 1. Z=X+Y的分布的分布 例例4 設(shè)設(shè)X和和Y的聯(lián)合密度為的聯(lián)合密度為 f (x,y),求求Z=X+Y的的 密度密度. 解解: Z=X+Y的分布函數(shù)是的分布函數(shù)是: FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z) D dxdyyxf),( 這里積分區(qū)域這里積分區(qū)域D=(x, y): x+y z 是直線是直線x+y =z 左下方的半平面左下方的半平面. 化成累次積分化成累次積分,得得 zyx

7、 Z dxdyyxfzF),()( yz Z dydxyxfzF),()( 固定固定z和和y,對方括號內(nèi)的積分作變量代換對方括號內(nèi)的積分作變量代換, 令令x=u-y,得得 z Z dyduyyufzF),()( z dudyyyuf),( 變量代換變量代換 交換積分次序交換積分次序 由概率由概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系密度與分布函數(shù)的關(guān)系, 即得即得Z=X+Y的的 概率密度為概率密度為: 由由X和和Y的對稱性的對稱性, fZ (z)又可寫成又可寫成 dyyyzfzFzf ZZ ),()()( 以上兩式即是兩個(gè)隨機(jī)變量和以上兩式即是兩個(gè)隨機(jī)變量和 的概率密度的一般公式的概率密度的一般公式. dxxz

8、xfzFzf ZZ ),()()( z Z dudyyyufzF),()( 特別，當(dāng)特別，當(dāng)X和和Y獨(dú)立，設(shè)獨(dú)立，設(shè)(X,Y)關(guān)于關(guān)于X,Y的邊緣的邊緣 密度分別為密度分別為fX(x) , fY(y) , 則上述兩式化為則上述兩式化為: dyyfyzfzf YXZ )()()( 這兩個(gè)公式稱為卷積公式這兩個(gè)公式稱為卷積公式 . dxxzfxfzf YXZ )()()( 下面我們用下面我們用卷積公式來求卷積公式來求 Z=X+Y的概率密度的概率密度 為確定積分限為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域的區(qū)域 例例5 若若X和和Y 獨(dú)立獨(dú)立,具有共同的概率密度具有共同的概率密度

9、 求求Z=X+Y的概率密度的概率密度 . 其它, 0 10, 1 )( x xf dxxzfxfzf YXZ )()()( 解解: 由卷積公式由卷積公式 10 10 xz x 也即也即 zxz x 1 10 為確定積分限為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域的區(qū)域 其它, 0 21,2 10, )( 1 1 0 z z Z zzdx zzdx zf 如圖示如圖示: 10 10 xz x 也即也即 zxz x 1 10 于是于是 dxxzfxfzf YXZ )()()( 例例3.12 設(shè)設(shè)X和和Y是兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們是兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們 都服從都服從N(0,1

10、),其概率密度分別為其概率密度分別為 ),()( 2 2 2 1 x X exf ),()( 2 2 2 1 y Y eyf 和和 求求Z=X+Y的概率密度。的概率密度。 解解 由卷積公式知，由卷積公式知， dxxzfxfzf YXZ )()()( dxee xzx 22 22 2 1 )( dxee z x z 2 2 24 2 1 )( 得得令令, 2 z xt dxeezf t z Z 2 2 4 2 1 )( 4 2 2 1 z e . )( 2 2 2 22 4 22 1 2 1 z z ee 用類似的方法可以證明用類似的方法可以證明: ),( 2 2 2 121 NYXZ 若若X和

11、和Y 獨(dú)立獨(dú)立, ),(),( 2 22 2 11 NYNX 結(jié)論又如何呢結(jié)論又如何呢? 此結(jié)論此結(jié)論可以推廣到可以推廣到n個(gè)獨(dú)立個(gè)獨(dú)立正態(tài)正態(tài)隨機(jī)變隨機(jī)變 量之和的情形量之和的情形. 即有：若即有：若X和和Y 獨(dú)立獨(dú)立,具有相同的分布具有相同的分布 N(0,1),則則Z=X+Y服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布N(0,2). 常數(shù)及有限個(gè)獨(dú)立正態(tài)變量的線性組常數(shù)及有限個(gè)獨(dú)立正態(tài)變量的線性組 合仍然服從正態(tài)分布合仍然服從正態(tài)分布. 更一般地更一般地, 可以證明可以證明: 定理：設(shè)定理：設(shè)）相相互互獨(dú)獨(dú)立立，（niX i ,21 為常數(shù)，為常數(shù)，和和 iiii baNX),( 2 ， ii n i Xba

12、Y 1 則則 ).,( 2 1 2 1 i n i i n i ii bbaNY 例如，設(shè)例如，設(shè)X、Y獨(dú)立，都服從正態(tài)分布，獨(dú)立，都服從正態(tài)分布， ),(),( 22 2150 NYNX 服從正態(tài)分布，且服從正態(tài)分布，且 則則 3X-4Y+1也也 .,)( 2222 245311403143 NYX ).,(2895143NYX 即即 或或 ).,( 2 175143NYX 從前面例從前面例4可以看出，可以看出， 在求隨機(jī)向量在求隨機(jī)向量(X,Y) 的函數(shù)的函數(shù)Z=g(X,Y)的分布時(shí)，關(guān)鍵是設(shè)法將其的分布時(shí)，關(guān)鍵是設(shè)法將其 轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為(X,Y)在一定范圍內(nèi)取值的形式，從而在一定范圍內(nèi)取值

13、的形式，從而 利用已知的分布求出利用已知的分布求出Z=g(X,Y)的分布的分布. 若每一個(gè)問題都這樣求，是很麻煩的若每一個(gè)問題都這樣求，是很麻煩的. 下下 面我們介紹一個(gè)用來求隨機(jī)向量面我們介紹一個(gè)用來求隨機(jī)向量(X,Y)的函數(shù)的函數(shù) 的分布的定理的分布的定理 . 對二維情形對二維情形,表述如下：表述如下： 2.假定變換和它的逆都是連續(xù)的假定變換和它的逆都是連續(xù)的; 3. 假定偏導(dǎo)數(shù)假定偏導(dǎo)數(shù) i i y h 1. 設(shè)設(shè)y1=g1(x1,x2), y2=g2 (x1,x2)是是 到自身的到自身的 一對一的映射一對一的映射, 即存在定義在該變換的值域上即存在定義在該變換的值域上 的逆變換的逆變換

14、: x1=h1(y1, y2), x2=h2(y1, y2) 2 （ i=1,2, j=1,2 ） 存在且連續(xù)存在且連續(xù); 定理定理 設(shè)設(shè)(X1,X2)是具有密度函數(shù)是具有密度函數(shù) f (x1,x2)的連的連 續(xù)型二維隨機(jī)變量續(xù)型二維隨機(jī)變量, （略）（略） 4假定逆變換的雅可比行列式假定逆變換的雅可比行列式 則則Y1,Y2具有聯(lián)合密度具有聯(lián)合密度 w(y1,y2)=|J | f(h1(y1,y2), h2(y1,y2) （*） 0),( 2 2 1 2 2 1 1 1 21 y h y h y h y h yyJ 即即 J (y1,y2)對于在變換的值域中的對于在變換的值域中的(y1,y2)

15、是不是不 為為0的的. 例例6 設(shè)設(shè)(X1,X2)具有密度函數(shù)具有密度函數(shù) f (x1,x2). 令令 Y1= X1+X2，Y2= X1- -X2 試用試用f 表示表示Y1和和Y2的聯(lián)合密度函數(shù)的聯(lián)合密度函數(shù). 故由故由(*)式式,所求密度函數(shù)為所求密度函數(shù)為 解解: 令令y1= x1+x2, y2= x1- -x2，則逆變換為，則逆變換為 , 2 21 1 yy x , 2 21 2 yy x 02/1 2/12/1 2/12/1 ),( 21 yyJ ) 2 , 2 ( 2 1 ),( 2121 21 yyyy fyyw 有時(shí)，我們所求的只是一個(gè)函數(shù)有時(shí)，我們所求的只是一個(gè)函數(shù) Z= g(

16、X,Y)的分布的分布 . 一個(gè)辦法是：一個(gè)辦法是： 對任意對任意 z, 找出找出Z z在在(x,y)平面上對平面上對 應(yīng)的區(qū)域應(yīng)的區(qū)域g(X,Y) z，記為，記為D. 求出求出Z的分布函數(shù)的分布函數(shù). 然后由然后由 ,),()( D dxdyyxfzZP 2.Z=X/Y的分布的分布 x y x=yz G1 G2 )()()(z Y X PzZPzFZ zyx dxdyyxf / ),( ,/0yzxzyxy 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)，區(qū)區(qū)域域 1 G ,/0yzxzyxy 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)，區(qū)區(qū)域域 2 G 12 ),(),()( GG Z dxdyyxfdxdyyxfzF 0 0 ),(),( yz yz dx

17、yxfdydxyxfdy 0 0 ),(),( z z uyx duyuyfydyduyuyfydy 0 0 ),(),( z z uyx duyuyfydyduyuyfydy z z dyyuyyfdudyyuyyfdu 0 0 ),(),( dudyyuyyfdyyuyyf z ),(),( 0 0 dudyyuyfydyyuyfy z ),(),( 0 0 dudyyuyfy z ),( .),()( dyyzyfyzf Z 所以所以 當(dāng)當(dāng)X與與Y獨(dú)立時(shí)，有獨(dú)立時(shí)，有 .)()()( dyyfzyfyzf YXZ 例例3.14 設(shè)設(shè)X和和Y相互獨(dú)立，且服從同一分布，其概率相互獨(dú)立，且服從

18、同一分布，其概率 密度為密度為 1000, 0 1000, 1000 )( 2 x x xxf 求求Z=X/Y的概率密度。的概率密度。 解解.)()()( dyyfzyfyzf YXZ 因?yàn)橐驗(yàn)?1000 0 1000 1000 y z y yz ,1000 1000 1000 1 y y yz z時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) ,1000 1000 1000 10 yz y yz z時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng) ,1000 1000 1000 1 y y yz z時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) 所以所以 dyyfzyfyzf YXZ )()()( 1000 2222 /1000 222 1, 2 110001000 10 , 2 11000100

19、0 0, 0 z z dy yzy y zdy yzy y z z 3、M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布的分布 設(shè)設(shè)X，Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它 們的分布函數(shù)分別為們的分布函數(shù)分別為FX(x)和和FY(y),我們來我們來 求求M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布函數(shù)的分布函數(shù). 又由于又由于X和和Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立,于是得到于是得到M=max(X,Y) 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為: 即有即有 FM(z)= FX(z)FY(z) FM(z)=P(Mz) =P(Xz)P(Yz) =P(Xz,Yz) 由于由于M=max(X,Y)不大于

20、不大于z等價(jià)于等價(jià)于X和和Y都都 不大于不大于z，故有，故有 分析：分析： P(Mz)=P(Xz,Yz) 類似地，可得類似地，可得N=min(X,Y)的分布函數(shù)是的分布函數(shù)是 下面進(jìn)行推廣下面進(jìn)行推廣 即有即有 FN(z)= 1-1-FX(z)1-FY(z) =1- -P(Xz,Yz) FN(z)=P(Nz) =1- -P(Nz) =1- - P(Xz)P(Yz) 設(shè)設(shè)X1,Xn是是n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量, 它們的分布函數(shù)分別為它們的分布函數(shù)分別為 我們來求我們來求 M=max(X1,Xn)和和 N=min(X1,Xn)的分布函數(shù)的分布函數(shù). )(xF i X (i =0,

21、1，, n) 用與二維時(shí)完全類似的方法，可得用與二維時(shí)完全類似的方法，可得 特別，當(dāng)特別，當(dāng)X1,Xn相互獨(dú)立且具有相相互獨(dú)立且具有相 同分布函數(shù)同分布函數(shù)F(x)時(shí)，有時(shí)，有 N=min(X1,Xn)的分布函數(shù)是的分布函數(shù)是 M=max(X1,Xn)的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為: FM(z)=F(z) n )(1 1)( 1 zFzF XN )(1 zF n X )()( 1 zFzF XM )(zF n X FN(z)=1-1-F(z) n 若若X1,Xn是連續(xù)型隨機(jī)變量，在求得是連續(xù)型隨機(jī)變量，在求得 M=max(X1,Xn)和和N=min(X1,Xn)的分布的分布 函數(shù)后，不難求得函數(shù)后，

22、不難求得M和和N的密度函數(shù)的密度函數(shù). 當(dāng)當(dāng)X1,Xn相互獨(dú)立且具有相同分布函數(shù)相互獨(dú)立且具有相同分布函數(shù) F(x)時(shí)，有時(shí)，有 FM(z)=F(z) n FN(z)=1-1-F(z) n 解一解一: P(Y=n)= P(max(X1,X2)=n) =P(X1=n, X2n)+P( X2 =n, X1 n) n k kn pqpq 1 11 1 1 11 n k kn pqpq q q qp n n 1 1 12 q q qp n n 1 1 1 12 )2( 11 nnn qqpq 記記1-p=q 例例8 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X1,X2相互獨(dú)立相互獨(dú)立,并且有相同的幾并且有相同的幾 何分布何

23、分布: P(Xi=k)=p(1-p)k-1 , k=1,2, ( i =1,2) 求求Y=max(X1,X2)的分布的分布 . n=1,2, 解二解二: P(Y=n)=P(Yn)- -P(Yn-1) 2 1 1 n k k pq =P(max(X1,X2) n )- -P(max(X1,X2) n-1) =P(X1 n, X2n)- -P( X1 n-1, X2 n-1) 2 1 1 1 n k k pq 22 1 1 q q p n 2 )1 ( n q 2 1 2 1 1 q q p n 21 )1 ( n q )2( 11 nnn qqpqn=1,2, 例例 XE(1),YU(0,2),

24、U=max X, Y, V=min X,Y, 求求U、V的密度函數(shù)。的密度函數(shù)。 解解 , 0, 0 0, )( x xe xf x X 其其他他, 0 20 , 2/1 )( y yfY )()()(zFzFzF YXU , 0, 0 0,1 )( x xe xF x X 其其他他, 0 20 , 2/ 2, 1 )(yy y yF Y 0, 0 20),1( 2 2,1 z ze z ze z z )()()(zFzFzF YXU 0, 0 20),1( 2 1 2 1 2, )( z zze ze zf z z U , 0, 0 0,1 )( x xe xF x X 其其他他, 0 20

25、 , 2/ 2, 1 )(yy y yF Y , 0, 1 0, )(1 z ze zF z X 其其他他, 1 20 , 2/1 2, 0 )(1zz z zF Y 其其他他, 1 20),2/1 ( 2, 0 )(1)(1 zze z zFzF z YX )(1)(1 1)(zFzFzF YXV 其其他他, 1 20),2/1 ( 2, 0 )(1)(1 zze z zFzF z YX 其其他他, 0 20),2/1 (1 2, 1 zze z z 其其他他, 0 20),3( 2 1 )( zze zf z V 例例3.15 設(shè)二維隨機(jī)變量設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概

26、率密度為 其其他他, 0 10 , 20, ),( 2 yxAxy yxf (1) 確定常數(shù)確定常數(shù)A； （2）判定）判定X、Y是否相互獨(dú)立；是否相互獨(dú)立； （3）計(jì)算概率）計(jì)算概率);1( YXP （4）求）求Z=X+Y的概率密度。的概率密度。 ）計(jì)計(jì)算算概概率率是是否否獨(dú)獨(dú)立立；（，）判判斷斷；（確確定定常常數(shù)數(shù)32) 1(YXA 的的概概率率密密度度。求求YXZYXP )4(;1 解解 dxdyyxf),(1 2 0 1 0 2dxdy Axy 2 0 1 0 2dy yxdxA , 3 2 3 1 2AA ; 2 3 A （1） （2） 其其他他, 0 20 , 22 3 )( 1 0 2 x x dyxy xf X 其其他他, 0 10 ,3 2 3 )( 2 2 0 2 yydxxy yfY 相相互互獨(dú)獨(dú)立立。，所所以以顯顯然然有有YXyfxfyxf YX ),()(),( （3） 1 ),(1 yx dxdyyxfyxP dxxydy y 2 1 0 1 0 2 3 y=x+1 y=x-1 1 12 1 0 1 0 2 2 3 y xdxdyy. 40 31 （4）dyyfyzfzf YXZ )()()( 10 20 y yz 應(yīng)應(yīng)有有 10