第三章 直線、圓、橢圓生成算法

1、第三章第三章 直線、圓、橢圓生成算法直線、圓、橢圓生成算法 圖形的掃描轉(zhuǎn)換（光柵化）：確定一個(gè)像素集合，用圖形的掃描轉(zhuǎn)換（光柵化）：確定一個(gè)像素集合，用 于顯示一個(gè)圖形的過(guò)程。步驟如下：于顯示一個(gè)圖形的過(guò)程。步驟如下： 1、確定有關(guān)像素、確定有關(guān)像素 2、用圖形的顏色或其它屬性，對(duì)像素進(jìn)行寫操作。、用圖形的顏色或其它屬性，對(duì)像素進(jìn)行寫操作。 對(duì)一維圖形，不考慮線寬，則用一個(gè)像素寬的直線來(lái)對(duì)一維圖形，不考慮線寬，則用一個(gè)像素寬的直線來(lái) 顯示圖形。二維圖形的光柵化，即區(qū)域的填充：確定顯示圖形。二維圖形的光柵化，即區(qū)域的填充：確定 像素集，填色或圖案。像素集，填色或圖案。 任何圖形的光柵化，必須顯示

2、在一個(gè)窗口內(nèi)，否則不任何圖形的光柵化，必須顯示在一個(gè)窗口內(nèi)，否則不 予顯示。即確定一個(gè)圖形的哪些部分在窗口內(nèi)，哪些予顯示。即確定一個(gè)圖形的哪些部分在窗口內(nèi)，哪些 在窗口外，即裁剪。在窗口外，即裁剪。 圖形顯示前需要：掃描轉(zhuǎn)換圖形顯示前需要：掃描轉(zhuǎn)換+裁剪裁剪 裁剪裁剪-掃描轉(zhuǎn)換：最常用，節(jié)約計(jì)算時(shí)間。掃描轉(zhuǎn)換：最常用，節(jié)約計(jì)算時(shí)間。 掃描轉(zhuǎn)換掃描轉(zhuǎn)換-裁剪：算法簡(jiǎn)單；裁剪：算法簡(jiǎn)單； 本章內(nèi)容本章內(nèi)容 ？掃描轉(zhuǎn)換直線段？掃描轉(zhuǎn)換直線段 DDA算法算法 中點(diǎn)畫線法中點(diǎn)畫線法 Bresenham畫線算法畫線算法 ？圓弧、橢圓弧掃描轉(zhuǎn)換？圓弧、橢圓弧掃描轉(zhuǎn)換 中點(diǎn)算法中點(diǎn)算法 內(nèi)接正多邊形迫近法內(nèi)接

3、正多邊形迫近法 等面積正多邊形逼近法等面積正多邊形逼近法 生成圓弧的正負(fù)法生成圓弧的正負(fù)法 直線段的掃描轉(zhuǎn)換算法直線段的掃描轉(zhuǎn)換算法 n直線的掃描轉(zhuǎn)換直線的掃描轉(zhuǎn)換: 確定最佳逼近于該直線確定最佳逼近于該直線 的一組象素，并且按掃描線順序，對(duì)這的一組象素，并且按掃描線順序，對(duì)這 些象素進(jìn)行寫操作。些象素進(jìn)行寫操作。 n三個(gè)常用算法：三個(gè)常用算法： 數(shù)值微分法（數(shù)值微分法（DDA） 中點(diǎn)畫線法中點(diǎn)畫線法 Bresenham算法。算法。 數(shù)值微分法（）數(shù)值微分法（） 假定直線的起點(diǎn)、終點(diǎn)分別為：（假定直線的起點(diǎn)、終點(diǎn)分別為：（x0,y0), (x1,y1)，且都為整數(shù)。，且都為整數(shù)。 (X i+1

4、 ,Yi + k) (X i , Int(Yi +0.5) (X i , Yi) 柵格交點(diǎn)表示象素點(diǎn)位置柵格交點(diǎn)表示象素點(diǎn)位置 。 。 。 。 數(shù)值微分?jǐn)?shù)值微分(DDA)法法 n基本思想基本思想 已知過(guò)端點(diǎn)已知過(guò)端點(diǎn)P0 (x0, y0), P1(x1, y1)的直線段的直線段L y=kx+b 直線斜率為直線斜率為 這種方法直觀，但效率太低，因?yàn)槊恳徊叫枰淮胃↑c(diǎn)乘法這種方法直觀，但效率太低，因?yàn)槊恳徊叫枰淮胃↑c(diǎn)乘法 和一次舍入運(yùn)算。和一次舍入運(yùn)算。 01 01 xx yy k )(, ; 10 yroundx bkxy stepxxxxxx 令 數(shù)值微分?jǐn)?shù)值微分(DDA)法法 計(jì)算計(jì)算yi

5、+1 i+1= kxi+1i+1+b = kxi i+b+k x = yi i+k x 當(dāng)當(dāng) x =1;yi+1 i+1 = yi i+k n即：當(dāng)即：當(dāng)x每遞增每遞增1，y遞增遞增k(即直線斜率即直線斜率)； n注意上述分析的算法僅適用于注意上述分析的算法僅適用于 k 1的情的情 形。在這種情況下，形。在這種情況下，x每增加每增加1,y最多增加最多增加 1。 n當(dāng)當(dāng) k 1時(shí)，必須把時(shí)，必須把x，y地位互換地位互換 數(shù)值微分?jǐn)?shù)值微分(DDA)法法 n增量算法：在一個(gè)迭代算法中，如果每增量算法：在一個(gè)迭代算法中，如果每 一步的一步的x、y值是用前一步的值加上一個(gè)值是用前一步的值加上一個(gè) 增量來(lái)

6、獲得，則稱為增量算法。增量來(lái)獲得，則稱為增量算法。 nDDA算法就是一個(gè)增量算法。算法就是一個(gè)增量算法。 數(shù)值微分(DDA)法 void DDALine(int x0,int y0,int x1,int y1,int color) int x； float dx, dy, y, k; dx= x1-x0, dy=y1-y0; k=dy/dx, y=y0; for (x=x0; xx1, x+) drawpixel (x, int(y+0.5), color); y=y+k; 數(shù)值微分(DDA)法 n例：畫直線段P0(0,0)-P1(5,2) x int(y+0.5) y+0.5 000+0.5

7、 100.4+0.5 210.8+0.5 311.2+0.5 421.6+0.5 522.0+0.5 0 1 2 3 4 5 3 2 1 Line: P0(0, 0)- P1(5, 2) 數(shù)值微分?jǐn)?shù)值微分(DDA)法法 n缺點(diǎn)：缺點(diǎn)： 在此算法中，在此算法中，y、k必須是必須是float，且，且 每一步都必須對(duì)每一步都必須對(duì)y進(jìn)行舍入取整，不利于硬件進(jìn)行舍入取整，不利于硬件 實(shí)現(xiàn)。實(shí)現(xiàn)。 中點(diǎn)畫線法中點(diǎn)畫線法 n原理：原理： 假定直線斜率假定直線斜率0K1，且已確，且已確 定點(diǎn)亮象素點(diǎn)定點(diǎn)亮象素點(diǎn)P（Xp ,Yp ）,則則 下一個(gè)與直線最接近的像素只下一個(gè)與直線最接近的像素只 能是能是P1點(diǎn)或

8、點(diǎn)或P2點(diǎn)。設(shè)點(diǎn)。設(shè)M為中點(diǎn)，為中點(diǎn)， Q為交點(diǎn)為交點(diǎn) 現(xiàn)需確定下一個(gè)點(diǎn)亮的象素?，F(xiàn)需確定下一個(gè)點(diǎn)亮的象素。 P=(xp,yp) Q P2 P1 M 中點(diǎn)畫線法中點(diǎn)畫線法 n當(dāng)當(dāng)M在在Q的下方時(shí)，的下方時(shí)， P2 2離直線更近更近，取離直線更近更近，取 P2 2 。 。 nM在在Q的上方時(shí)，的上方時(shí)， P1 1離直線更近更近，取離直線更近更近，取P1 1 nM與與Q重合，重合， P1 1、P2 2任取一點(diǎn)。任取一點(diǎn)。 n 問(wèn)題：如何判斷問(wèn)題：如何判斷M與與Q點(diǎn)的關(guān)系？點(diǎn)的關(guān)系？ P=(xp,yp) Q P2 P1 M 中點(diǎn)畫線法 假設(shè)直線方程為：ax+by+c=0 其中a=y0-y1, b=x

9、1-x0, c=x0y1-x1y0 由常識(shí)知，令F(x,y)=ax+by+c： 將任意（x,y）代入F(x,y) 欲判斷M點(diǎn)是在Q點(diǎn)上方還是在Q點(diǎn)下方，只需把 M代入F(x,y),并檢查它的符號(hào)。 點(diǎn)在直線下方 點(diǎn)在直線上方 點(diǎn)在直線上面 0, 0, 0, yxF yxF yxF P=(xp,yp) Q P2 P1 中點(diǎn)畫線法 構(gòu)造判別式：d=F(M)=F(xp+1,yp+0.5) =a(xp+1)+b(yp+0.5)+c 當(dāng)d0，M在直線(Q點(diǎn))上方，取右方P1； 當(dāng)d=0，選P1或P2均可，約定取P1； 能否采用增量算法呢？ P=(xp,yp) Q P2 P1 中點(diǎn)畫線法 若d0，則M在直

10、線上方，取P1; 此時(shí)再下一個(gè)象素的判別式為 d1=F(xp+2, yp+0.5) =a(xp+2)+b(yp+0.5)+c =a(xp +1)+b(yp +0.5)+c +a =d+a； 增量為a P=(xp,yp) Q P2 P1 中點(diǎn)畫線法 n若d0，則M在直線下方，取P2; n此時(shí)再下一個(gè)象素的判別式為 d2= F(xp+2, yp+1.5) =a(xp+2)+b(yp+1.5)+c = a(xp +1)+b(yp +0.5)+c +a +b =d+a+b ； 增量為ab P=(xp,yp) Q P2 P1 中點(diǎn)畫線法 n畫線從(x0, y0)開始，d的初值 d0=F(x0+1, y0

11、+0.5)= a(x0 +1)+b(y0 +0.5)+c = F(x0, y0)+a+0.5b = a+0.5b 由于只用d 的符號(hào)作判斷，為了只包含整數(shù)運(yùn)算, 可以用2d代替d來(lái)擺脫小數(shù)，提高效率。 公式：已知兩個(gè)端點(diǎn)P0(x0,y0),P1(x1,y1) a=y0-y1, b=x1-x0, c=x0y1-x1y0 d0 =2a+b d=d+a d 0,x=x+1 d=d+a+b d0,x=x+1,y=y+1 X從x0變化到x1 中點(diǎn)畫線法 void Midpoint Line (int x0,int y0,int x1, int y1,int color) int a, b, d1, d2

12、, d, x, y; a=y0-y1, b=x1-x0, d=2*a+b; d1=2*a, d2=2* (a+b); x=x0, y=y0; drawpixel(x, y, color); while (xx1) if (d0) x+; y+; d+=d2; else x+; d+=d1; drawpixel (x, y, color); /* while */ /* mid PointLine */ 中點(diǎn)畫線法 n例：用中點(diǎn)畫線法P0(0,0) P1(5,2) a=y0-y1=-2 b=x1-x0=5 d0=2a+b=1 d1=2a=-4 d2=2(a+b)=6 i xiyid 1 001

13、2 10-3 3 213 4 31-1 5 425 0 1 2 3 4 5 3 2 1 Bresenham畫線算法 在直線生成的算法中在直線生成的算法中BresenhamBresenham算法是最有算法是最有 效的算法之一。令效的算法之一。令 k=y/x k=y/x，就，就 0k10k1的情況來(lái)說(shuō)明的情況來(lái)說(shuō)明BresenhamBresenham算法。算法。 由由DDADDA算法可知：算法可知： y yi+1 i+1=y =yi i+k (1)+k (1) 由于由于k k不一定是整數(shù)，由此式求出的不一定是整數(shù)，由此式求出的y yi i也也 不一定是整數(shù)，因此要用坐標(biāo)為（不一定是整數(shù)，因此要用坐

14、標(biāo)為（x xi i,y,yir ir） ） 的象素來(lái)表示直線上的點(diǎn)，其中的象素來(lái)表示直線上的點(diǎn)，其中y yir ir表示 表示 最靠近最靠近y yi i的整數(shù)。的整數(shù)。 Bresenham畫線算法 設(shè)圖中xi列上已用（xi,yir）作為表示直線的點(diǎn)， 又設(shè)B點(diǎn)是直線上的點(diǎn)，其坐標(biāo)為（xi+1,yi+1），顯然 下一個(gè)表示直線的點(diǎn)（ xi+1,yi+1,r）只能從圖中的C或 者D點(diǎn)中去選。設(shè)A為CD邊的中點(diǎn)。 若B在A點(diǎn)上面則 應(yīng)取D點(diǎn)作為（ xi+1,yi+1,r），否則應(yīng)取C點(diǎn)。 (x)的幾何意義 為能確定B在A點(diǎn)上面或下面，令 (xi+1)=yi+1-yir-0.5 (2) 若B在A的下面

15、，則有(xi+1)0。由圖可知 yi+1,r=yir+1，若(xi+1)0 (3) yi+1,r=yir， 若(xi+1)0 Bresenham畫線算法 由式（2）和式（3）可得到 (xi+2)=yi+2 - yi+1,r - 0.5 =yi+1 + k - yi+1,r - 0.5 （4） yi+1 - yir -0.5 + k - 1,當(dāng)(xi+1)0 yi+1 - yir -0.5 + k, 當(dāng)(xi+1)0 (xi+2)= (xi+1) + k -1 ,當(dāng)(xi+1)0 (xi+2)= (xi+1) + k , 當(dāng)(xi+1)0 由式（1）和式（2）可得到 (x2)= k - 0.5

16、(5) 程序如下： BresenhamLine(x0,y0,x1,y1,color) int x0,y0,x1,y1,color; int x,y,dx,dy; float k,e; int e; dx = x1-x0; dy = y1-y0; k = dy/dx; e = -0.5; x=x0; y=y0; e = - dx; for( i=0; i 0) e = e - 1; e = e - 2*dx; if(e =0) y+; Bresenham畫線算法 圓的掃描轉(zhuǎn)換算法 下面僅以圓心在原點(diǎn)、半徑R為整數(shù)的圓為 例，討論圓的生成算法。 假設(shè)圓的方程為： X 2 + Y2 = R2 圓弧掃

17、描算法 nX 2 + Y2 = R2 Y = Sqrt(R 2 - X2) 在一定范圍內(nèi)，每給定一 X值，可得一Y值。 當(dāng)X取整數(shù)時(shí)，Y須取整。 缺點(diǎn)：浮點(diǎn)運(yùn)算，開方， 取整，不均勻。 y x 角度DDA法 x = x0 + Rcos y = y0 + Rsin dx =- Rsind dy = Rcosd xn+1 =x n + dx y n+1 =y n + dy xn+1 = x n + dx = x n - Rsind =x n - (y n - y 0 )d y n+1 = y n + dy = y n + Rcosd =y n + (x n - x 0 )d 顯然，確定x,y的初值

18、及d值后，即可以增量方式獲 得圓周上的坐標(biāo)，然后取整可得象素坐標(biāo)。但要 采用浮點(diǎn)運(yùn)算、乘法運(yùn)算、取整運(yùn)算。 中點(diǎn)畫圓法 利用圓的對(duì)稱性，只須討論1/8圓。第二個(gè)8分圓 P為當(dāng)前點(diǎn)亮象素，那么，下一個(gè)點(diǎn)亮的象素可 能是P1（Xp+1，Yp）或P2（Xp +1，Yp +1)。 M P1 P2 P（Xp ，Yp ） 中點(diǎn)畫圓法 構(gòu)造函數(shù)：F（X，Y）=X 2 + Y2 - R2 ；則 F（X，Y）= 0 （X，Y）在圓上； F（X，Y） 0 （X，Y）在圓外。 設(shè)M為P1、P2間的中點(diǎn)，M=(Xp+1,Yp-0.5) M P1 P2 中點(diǎn)畫圓法 有如下結(jié)論： F（M）M在圓內(nèi)- 取P1 F（M）=

19、0 -M在圓外- 取P2 為此，可采用如下判別式： M P1 P2 中點(diǎn)畫圓法 d = F(M) = F(xp + 1, yp - 0.5) =(xp + 1) 2 + (y p - 0.5) 2 - R2 若d=0, 則P2 為下一個(gè)象素，那么再下一個(gè)象素的判 別式為： d1 = F(xp + 2, yp - 1.5) = (xp + 2) 2 + (y p - 1.5) 2 - R2 = d + （2x p + 3）+（-2 yp + 2） 即d 的增量為 2 (xp - yp) +5. d的初值:d0 = F(1, R-0.5)= 1 + (R-0.5) 2 - R2 = 1.25 -

20、R M P1 P2 中點(diǎn)畫圓法 MidpointCircle(int r, int color) int x,y; float d; x=0; y=r; d=1.25-r; drawpixel(x,y,color); while(xy) if(d0) d+ = 2*x+3; x+ elsed+ = 2*(x-y) + 5; x+;y-; 中點(diǎn)畫圓法 n為了進(jìn)一步提高算法的效率，可以將上 面的算法中的浮點(diǎn)數(shù)改寫成整數(shù)，將乘 法運(yùn)算改成加法運(yùn)算，即僅用整數(shù)實(shí)現(xiàn) 中點(diǎn)畫圓法。 n使用e=d-0.25代替d ne0=1-R 中點(diǎn)畫圓法 n上述算法能否再改進(jìn)呢？ n注意到d的增量是x,y的線性函數(shù)， n

21、每當(dāng)x遞增1，則d的增量遞增x=2 n每當(dāng)y遞減1，則d的增量遞增y=2 nx初始值=3；y初始值=-2r+2 n見173頁(yè)算法。 Bresenham畫圓算法 Bresenham畫圓算法 現(xiàn)在從A點(diǎn)開始向右下方逐點(diǎn)來(lái)尋找 弧AB要用的點(diǎn)。如圖中點(diǎn)Pi-1是已 選中的一個(gè)表示圓弧上的點(diǎn)，根 據(jù)弧AB的走向，下一個(gè)點(diǎn)應(yīng)該從 Hi或者Li中選擇。顯然應(yīng)選離AB最 近的點(diǎn)作為顯示弧AB的點(diǎn)。 假設(shè)圓的半徑為R，顯然，當(dāng) xhi2 + yhi2 -R2 R2 - (xli2 + yli2)時(shí)，應(yīng)該取Li。否則取Hi。 令di = xhi2 + yhi2 + xli2 + yli2 - 2R2 顯然，當(dāng)d

22、i 0 時(shí)應(yīng)該 取Li。否則取Hi。 Pi-1Hi Li 應(yīng)取Hi還是取Li Bresenham畫圓算法 剩下的問(wèn)題是如何快速的計(jì)算di。設(shè)圖中 Pi-1的坐標(biāo)為(xi-1,yi-1)，則Hi和Li的坐 標(biāo)為(xi,yi-1)和(xi,yi-1-1 ) di = xi2 + yi-12 + xi2 + (yi-1-1)2 - 2R2 =2xi2 + 2yi-12 - 2yi-1 - 2R2 di+1 = (xi + 1)2 + yi2 + (xi + 1)2 + (yi - 1)2 - 2R2 =2xi2 + 4xi + 2yi2 - 2yi - 2R2 + 3 Pi-1Hi Li 應(yīng)取Hi還

23、是取Li Bresenham畫圓算法 當(dāng)di取Hi - yi=yi-1，則 di+1 = di + 4xi-1 + 6 當(dāng)di 0時(shí)-取Li - yi=yi-1-1，則 di+1 = di + 4(xi-1-yi-1) + 10 易知 x0=0，y0=R,x1=x0+1 因此 d0=12 + y02 + 12 +(y0 - 1)2 - 2R2 = 3 - 2y0 = 3 - 2R Pi-1Hi Li 應(yīng)取Hi還是取Li 生成圓弧的正負(fù)法 原理： 設(shè)圓的方程為F(x,y)=X 2 + Y2 - R2=0; 假設(shè)求得Pi的坐標(biāo)為(xi,yi)； 則當(dāng)Pi在圓內(nèi)時(shí)- F(xi,yi) 向右- 向圓外

24、 Pi在圓外時(shí)- F(xi,yi)0 - 向下- 向圓內(nèi) 生成圓弧的正負(fù)法 即求得Pi點(diǎn)后選擇下一個(gè)象素點(diǎn)Pi+1的規(guī)則為： 當(dāng)F(xi,yi) 0 取xi+1 = xi+1，yi+1 = yi; 當(dāng)F(xi,yi) 0 取xi+1 = xi， yi+1 = yi - 1; 這樣用于表示圓弧的點(diǎn)均在圓弧附近，且使 F(xi,yi) 時(shí)正時(shí)負(fù)，故稱正負(fù)法。 快速計(jì)算的關(guān)鍵是F(xi,yi) 的計(jì)算，能否采用增 量算法？ 生成圓弧的正負(fù)法 n若F(xi,yi) 已知，計(jì)算F(xi+1,yi+1) 可分兩種 情況： n1、F(xi,yi)0- xi+1 = xi+1，yi+1 = yi; n - F

25、(xi+1,yi+1)= (xi+1 ) 2 +(y i+1 ) 2 -R2 n - = (x i+1) 2+ y i 2 -R 2 = F(x i,yi) +2xi +1 n2、 F(xi,yi)0- xi+1 = xi，yi+1 = yi -1; n - F(xi+1,yi+1)= (xi+1 ) 2 +(y i+1 ) 2 -R2 n - = x i 2+(y i 1) 2-R2 = F(x i,yi) - 2yi +1 n3、初始值：略 生成圓弧的多邊形逼近法 ? 圓的內(nèi)接正多邊形迫近法 ? 圓的等面積正多邊形迫近法 圓的內(nèi)接正多邊形逼近法 n思想：當(dāng)一個(gè)正多邊形的邊數(shù)足夠多時(shí)， 該多

26、邊形可以和圓無(wú)限接近。即 n因此，在允許的誤差范圍內(nèi)，可以用正 多邊形代替圓。 n設(shè)內(nèi)接正n邊形的頂點(diǎn)為Pi(xi,yi), Pi的幅 角為i ,每一條邊對(duì)應(yīng)的圓心角為a，則有 nxi =Rcos i nyi =Rsin i 圓邊正內(nèi)接多邊形） n n (lim 圓的內(nèi)接正多邊形逼近法 內(nèi)接正內(nèi)接正n邊形代替圓邊形代替圓 n計(jì)算多邊形各頂點(diǎn)的遞推公式計(jì)算多邊形各頂點(diǎn)的遞推公式 Xi+1 Rcos( a+ i) = Yi +1 Rsin (a+ i) Xi+1 cos a- sin a Xi = Yi +1 sin a cosa Yi 因?yàn)? a是常數(shù)， sin a， cosa只在開始時(shí)計(jì)算一

27、次所以，一個(gè)頂點(diǎn)只需4次乘法，共4n次乘法， 外加直線段的中點(diǎn)算法的計(jì)算量。 圓的等面積正多邊形逼近 法 n當(dāng)用內(nèi)接正多邊形逼近圓時(shí)，其面積要 小于圓的面積；而當(dāng)用圓的外切正多邊 形逼近圓時(shí)，其面積則要大于圓的面積。 為了使近似代替圓的正多邊形和圓之間 在面積上相等，只有使該正多邊形和圓 弧相交，稱之為圓的等面積正多邊形。 圓的等面積正多邊形逼近法 步驟： l求多邊形徑 長(zhǎng)，從而求 所有頂點(diǎn)坐 標(biāo)值 l由逼近誤差 值，確定邊 所對(duì)應(yīng)的圓 心角 橢圓的掃描轉(zhuǎn)換 nF(x,y)=b2x2+a2y2-a2b2=0 n橢圓的對(duì)稱性，只考慮第一象限橢圓弧生成， 分上下兩部分，以切線斜率為-1的點(diǎn)作為分 界點(diǎn)。 n橢圓上一點(diǎn)處的法向： N(x,y) = (F) x i + (F) y j = 2b2 x i + 2a2 y j 在上半部分,法向量的y分量大 在下半部分,法向量的x分量大 上半部分 下半部分 法向量 兩分量相等 M1 M2 在當(dāng)前中點(diǎn)處，法向量（ 2b2 (Xp+1) ，2a2 (Yp-0.5)的y分量比x分 量大, 即： b2