北師大版九年級上冊4.6 利用相似三角形測高

1、4.6 利用相似三角形測高 第四章 圖形的相似 導(dǎo)入新課講授新課當(dāng)堂練習(xí)課堂小結(jié) 1.通過測量旗桿的高度的活動(dòng)，并復(fù)習(xí)鞏固相似三角 形有關(guān)知識.（重點(diǎn)） 2.靈活運(yùn)用三角形相似的知識解決實(shí)際問題.（難點(diǎn)） 學(xué)習(xí)目標(biāo) 世界上最高的樹世界上最高的樹 紅杉紅杉 導(dǎo)入新課導(dǎo)入新課 樂山大佛樂山大佛 臺北臺北101大樓大樓 怎樣測量這些非常怎樣測量這些非常 高大物體的高度？高大物體的高度？ 利用相似三角形可以解決一些不能直 接測量的物體的高度及兩物之間的距 離問題. 利用相似三角形測量高度一 講授新課講授新課 據(jù)傳說，古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家泰勒斯曾利 用相似三角形的原理，在金字塔影子的頂部立一根 木桿，

2、借助太陽光線構(gòu)成兩個(gè)相似三角形，來測量 金字塔的高度. 例1 如圖，木桿 EF 長 2 m，它的影長 FD 為3m，測 得 OA 為 201 m，求金字塔的高度 BO. 怎樣測出 OA 的長？ 解：太陽光是平行的光線，因此 BAO =EDF. 又 AOB =DFE = 90，ABO DEF. ， BOOA EFFD 201 2 3 OA EF BO FD =134 (m). 因此金字塔的高度為 134 m. 表達(dá)式：物1高 ：物2高 = 影1長 ：影2長 測高方法一： 測量不能到達(dá)頂部的物體的高度，可以用“在 同一時(shí)刻物高與影長成正比例”的原理解決. 歸納： 1. 如圖，要測量旗桿 AB 的高

3、度， 可在地面上豎一根竹竿 DE， 測量出 DE 的長以及 DE 和 AB 在同一時(shí)刻下地面上的影長即 可，則下面能用來求AB長的等 式是 ( ) A B C D C ABEF DEBC ABDE EFBC ABBC DEEF ABAC DEDF 練一練 2. 如圖，九年級某班數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)想利用所學(xué) 數(shù)學(xué)知識測量學(xué)校旗桿的高度，當(dāng)身高 1.6 米的楚 陽同學(xué)站在 C 處時(shí)，他頭頂端的影子正好與旗桿 頂端的影子重合，同一時(shí)刻，其他成員測得 AC = 2 米，AB = 10 米，則旗桿的高度是_米 8 例2 如圖，左、右并排的兩棵大樹的高分別是 AB = 8 m 和 CD = 12 m，兩樹

4、底部的距離 BD = 5 m，一個(gè)人 估計(jì)自己眼睛距離地面 1.6 m，她沿著正對這兩棵樹 的一條水平直路 l 從左向右前進(jìn)，當(dāng)她與左邊較低的 樹的距離小于多少時(shí)，就看不到右邊較高的樹的頂端 C 了? 分析：如圖，設(shè)觀察者眼睛的位置 (視點(diǎn)) 為點(diǎn) F，畫 出觀察者的水平視線 FG，它交 AB，CD 于點(diǎn) H，K. 視線 FA，F(xiàn)G 的夾角 AFH 是觀察點(diǎn) A 的仰角. 類似 地，CFK 是觀察點(diǎn) C 時(shí)的仰角，由于樹的遮擋，區(qū) 域和都在觀察者看不到的區(qū)域 (盲區(qū)) 之內(nèi). 再往 前走就根本看不到 C 點(diǎn)了. 由此可知，如果觀察者繼續(xù)前進(jìn)， 當(dāng)她與左邊的樹的距離小于 8 m 時(shí)，由于這棵樹

5、的遮擋，就看不到右邊樹的頂端 C . 解：如圖，假設(shè)觀察者從左向右走到點(diǎn) E 時(shí)，她的眼 睛的位置點(diǎn) E 與兩棵樹的頂端點(diǎn) A，C 恰在一條 直線上 ABl，CDl，ABCD. AEHCEK. ， EHAH EKCK 8 1.66.4 . 512 1.610.4 EH EH 即 解得 EH=8. 測高方法二：測高方法二： 測量不能到達(dá)頂部的物體的高度， 也可以用“利用標(biāo)桿測量高度”的原理 解決. 練一練：如圖，小明為了測量一棵樹CD的高度，他在 距樹24m處立了一根高為2m的標(biāo)桿EF，然后小明前后調(diào) 整自己的位置，當(dāng)他與樹相距27m的時(shí)候，他的眼睛、 標(biāo)桿的頂端和樹的頂端在同一條直線上.已知小

6、明的眼 高1.6m，求樹的高度. 解析：人、樹、標(biāo)桿相互平行，添加輔助線，過點(diǎn)A作 ANBD交ID于N，交EF于M，則可得AEMACN. A E C DFB N A E C DFB N 解：過點(diǎn)A作ANBD交CD于N，交EF于M，因?yàn)槿?、?biāo) 桿、樹都垂直于地面， ABF=EFD=CDF=90, ABEFCD, EMA=CNA. EAM=CAN, AEMACN , . AB=1.6m , EF=2m , BD=27m , FD=24m , , CN=3.6（m）， CD=3.6+1.6=5.2（m）. 故樹的高度為5.2m. AN AM CN EM 27 2427602 CN . AF E B

7、O 還可以有其他測量方法嗎？ OB EF = OA AF ABOAEFOB = OA EF AF 平面鏡 想一想： 例3：為了測量一棵大樹的高度，某同學(xué)利用手邊的工具 （鏡子、皮尺）設(shè)計(jì)了如下測量方案：如圖， 在距離樹AB底部15m的E處放下鏡子； 該同學(xué)站在距離鏡子1.2m的C處，目高CD為1.5m； 觀察鏡面，恰好看到樹的頂端. 你能幫助他計(jì)算出大樹的大約高度嗎？ 解：1=2,DCE=BAE=90, DCEBAE. , 解得 BA=18.75（m）. 因此，樹高約為18.75m. 15 2151. , BAAE CE BA DC D B AC E 21 測高方法三： 測量不能到達(dá)頂部的物體

8、的高度，也可以 用“利用鏡子的反射測量高度”的原理解決. 如圖是小明設(shè)計(jì)用手電來測量某古城墻高度的 示意圖，點(diǎn) P 處放一水平的平面鏡，光線從點(diǎn) A出 發(fā)經(jīng)平面鏡反射后，剛好射到古城墻的頂端 C 處， 已知 AB = 2 米，且測得 BP = 3 米，DP = 12 米，那 么該古城墻的高度是 ( ) A. 6米 B. 8米 C. 18米 D. 24米 B 試一試： 利用三角形相似測高的模型： 歸納總結(jié) 1. 小明身高 1.5 米，在操場的影長為 2 米，同時(shí)測得 教學(xué)大樓在操場的影長為 60 米，則教學(xué)大樓的高 度應(yīng)為 ( ) A. 45米 B. 40米 C. 90米 D. 80米 當(dāng)堂練習(xí)

9、當(dāng)堂練習(xí) 2. 小剛身高 1.7 m，測得他站立在陽光下的影子長為 0.85 m，緊接著他把手臂豎直舉起，測得影子長 為 1.1 m，那么小剛舉起的手臂超出頭頂 ( ) A. 0.5m B. 0.55m C. 0.6m D . 2.2m A A 3. 如圖所示，有點(diǎn)光源 S 在平面鏡上面，若在 P 點(diǎn)看 到點(diǎn)光源的反射光線，并測得 AB10 cm，BC 20 cm，PCAC，且 PC24 cm，則點(diǎn)光源 S 到平 面鏡的距離 SA 的長度為 .12 cm 4.如圖 ，利用標(biāo)桿BE測量建筑物的高度。如果標(biāo)桿BE 高1.2m，測得AB=1.6m，BC=12.4m，樓高CD是多少？ 解：解： EBC

10、D ABEACD CD=10.5m. EBAB CDAC 1.21.6 14CD EBAC , CDAC 1.2m 12.4m 1.6m 5. 如圖，某校數(shù)學(xué)興趣小組利用自制的直角三角形硬 紙板 DEF 來測量操場旗桿 AB 的高度，他們通過調(diào) 整測量位置，使斜邊 DF 與地面保持平行，并使邊 DE 與旗桿頂點(diǎn) A 在同一直線上，已知 DE = 0.5 米， EF = 0.25 米，目測點(diǎn) D 到地面的距離 DG = 1.5 米， 到旗桿的水平距離 DC = 20 米，求旗桿的高度. A B CD G E F A B CD G E F 解：由題意可得：DEFDCA， DE=0.5米，EF=0.

11、25米，DG=1.5米，DC=20米， 則 . DEEF DCCA 解得：AC = 10， 故 AB = AC + BC = 10 + 1.5 = 11.5 (m). 答：旗桿的高度為 11.5 m. 0.50.25 20 CA ， 6. 如圖，某一時(shí)刻，旗桿 AB 的影子的一部分在地面 上，另一部分在建筑物的墻面上小明測得旗桿 AB 在地面上的影長 BC 為 9.6 m，在墻面上的影 長 CD 為 2 m同一時(shí)刻，小明又測得豎立于地面 長 1 m 的標(biāo)桿的影長為 1.2 m請幫助小明求出旗 桿的高度 A BC D E 解：如圖：過點(diǎn) D 作 DEBC，交 AB 于點(diǎn) E， DE = CB = 9.6 m