大地坐標體系中的歐勒角 不同大地坐標體系的轉換

1、大地坐標系中的歐勒角大地坐標系中的歐勒角 不同大地坐標系的轉換不同大地坐標系的轉換 測繪學院一系大地測量教研室測繪學院一系大地測量教研室 （FOUNDATION OF GEODESY） 大地坐標系中的歐勒角大地坐標系中的歐勒角 Eulers Angle in Geodetic Coordinate System 1、用矢量分析的方法討論坐標轉換、用矢量分析的方法討論坐標轉換 問題問題 Discussion Coordinate Transformation with Vector Analytic Method 2、以歐勒角為旋轉參數的坐標變換、以歐勒角為旋轉參數的坐標變換 Coordinat

2、e Transformation with Rotation Parameters denoted by Eulers Angle 3、廣義垂線偏差公式和拉普拉斯方程廣義垂線偏差公式和拉普拉斯方程 Generalized Deflection of the Vertical and Laplace Equation 本章內容綜述本章內容綜述 提問：大地測量的基本任務是什么？提問：大地測量的基本任務是什么？ 精密確定地面點位及其變精密確定地面點位及其變 化化，研究地球重力場、地研究地球重力場、地 球形狀和地球動力學現象。球形狀和地球動力學現象。 需要一個與需要一個與 地球的關系地球的關系 相對確

3、定的相對確定的 坐標系坐標系 大地坐標系大地坐標系 二維天文二維天文 坐標系坐標系 大地空間直大地空間直 角坐標系角坐標系 大地極坐標系大地極坐標系 高斯平面直高斯平面直 角坐標系角坐標系 這些坐標系這些坐標系 在數學上是在數學上是 等價的等價的。 高斯平面極高斯平面極 坐標系坐標系 量量 度度 坐坐 標標 系系 水平控制網水平控制網 CTRS衛(wèi)星衛(wèi)星 高程控制網高程控制網 坐標系、參考架和參考系坐標系、參考架和參考系 Coordinate systemCoordinate system、Reference frame and reference Reference frame and ref

4、erence systemsystem 坐標系：坐標系：由理論定義給出的用于描述點的位由理論定義給出的用于描述點的位 置和運動的數學工具置和運動的數學工具。一個坐標系的定義包括。一個坐標系的定義包括 坐標原點位置、坐標軸的指向、坐標參量的尺坐標原點位置、坐標軸的指向、坐標參量的尺 度和度量方式。例如：大地坐標系、高斯平面度和度量方式。例如：大地坐標系、高斯平面 直角坐標系等。直角坐標系等。 基本地球坐標系：基本地球坐標系：用于描述地球上點的位置用于描述地球上點的位置 和運動的坐標系，和運動的坐標系，可觀測性和無整體運動可觀測性和無整體運動。 參考架與坐標系的關系：參考架與坐標系的關系：參考架中

5、參考點參考架中參考點 的坐標可以用不同形式表示，所以同的坐標可以用不同形式表示，所以同一參考一參考 架可以對應不同的坐標系架可以對應不同的坐標系。 參考架：參考架：數學上定義的坐標系需要通過一定數學上定義的坐標系需要通過一定 數量的物理點的標定來體現。這種由數量的物理點的標定來體現。這種由標定了坐標定了坐 標值的一組物理點組成的框架標值的一組物理點組成的框架稱為參考架。稱為參考架。 坐標系、參考架和參考系坐標系、參考架和參考系 Coordinate systemCoordinate system、Reference frame and reference Reference frame and

6、 reference systemsystem 參考架與參考系的關系：參考架與參考系的關系：參考架的目的是參考架的目的是 提供一個使參考系具體化的方法，以便于用它提供一個使參考系具體化的方法，以便于用它 來定量描述地球上來定量描述地球上( (地球參考架地球參考架) )或天球上或天球上( (天球天球 參考架參考架) )的位置和運動。的位置和運動。參考系是總體概念，參考系是總體概念， 參考架才是具體應用形式。參考架才是具體應用形式。 參考系：參考系：實現理想的基本坐標系的一套整體實現理想的基本坐標系的一套整體 方案。方案。一個參考系包括：一組模型和常數；一個參考系包括：一組模型和常數； 一套理論和

7、數據處理方法；一個參考架。一套理論和數據處理方法；一個參考架。 坐標系、參考架和參考系坐標系、參考架和參考系 Coordinate systemCoordinate system、Reference frame and reference Reference frame and reference systemsystem 坐標系是概念性的、抽象的、數學坐標系是概念性的、抽象的、數學 的、沒有誤差的；的、沒有誤差的； 坐標系、參考架和參考系坐標系、參考架和參考系 Coordinate systemCoordinate system、Reference frame and reference R

8、eference frame and reference systemsystem 參考架是物理的；參考架是物理的； 參考系是實現基本坐標系的某種整參考系是實現基本坐標系的某種整 體方案，是多方面集成的。體方案，是多方面集成的。 1、用矢量分析法討論坐標轉換問題、用矢量分析法討論坐標轉換問題 Discussion Coordinate Transformation with Vector Analytic Method a b c d abc abd 矢量：矢量：稱只有大小而沒有方向的量為標量，稱只有大小而沒有方向的量為標量， 稱既有大小又有方向且加法滿足平行四邊形稱既有大小又有方向且加法滿足

9、平行四邊形 法則的量為矢量。法則的量為矢量。 位置矢量及其表示：位置矢量及其表示： M X Z Y r O rxiyjzk x y z ijk xx ryy zz R 1、用矢量分析法討論坐標轉換問題、用矢量分析法討論坐標轉換問題 Discussion Coordinate Transformation with Vector Analytic Method x yRr z M X Z Y O x y r z 1 12 3 1 3 3 2 cos, ii i a ba ba ba ba b b aaaRRb b 1、用矢量分析法討論坐標轉換問題、用矢量分析法討論坐標轉換問題 Discussio

10、n Coordinate Transformation with Vector Analytic Method 矢量的數乘：矢量的數乘： i RRjijkI k sin,aba ba b 矢量的叉乘：矢量的叉乘： aRabaiajakRbbR 12332 aia ia ja kia ja k 321321 32 31 21 0 0 0 a ja ka ka ia ia j aa Raa a R a a 11 22 33 bb Rbb b R b b R 3212332 3123113 2131221 0 0 0 aaba ba b abRaabRa ba ba b aaba ba b 1111

11、213 2123212223 3313233 aa ba ba b abRabbbRRa ba ba bR aa ba ba b 矢量的并乘二階張量：矢量的并乘二階張量： 111213111213 212223212223 313233313233 rrrppp FRrrrRPpppP rrrppp 111213111213 212223212223 313233313233 rrrppp rrrRPpppPR rrrppp 21123113 12213223 13312332 0 0 0 a ba ba ba b abRRRa ba ba ba bR a ba ba ba b 三重叉乘積三重

12、叉乘積 abcabRRc abRRbaab abcbaabcc a bc ba 三矢量的三重叉乘積仍然是一個矢量，這個矢三矢量的三重叉乘積仍然是一個矢量，這個矢 量在量在a a，b b構成的平面內并垂直與矢量構成的平面內并垂直與矢量c c。 坐標平移轉換：坐標平移轉換： M r X Y O X Y Z O r 0 r 0 rrr 0 0 0 xxx RyRyRy zzz 1、用矢量分析法討論坐標轉換問題、用矢量分析法討論坐標轉換問題 Discussion Coordinate Transformation with Vector Analytic Method Z M X Z Y r X Y

13、Z 12 3 1、用矢量分析法討論坐標轉換問題、用矢量分析法討論坐標轉換問題 Discussion Coordinate Transformation with Vector Analytic Method 1 2 3 3 cos,cos cos,cos cos,cos cos,cos iiii ijij ikik k kk k Rijk Pijk 正交變換正交變換 rx iy jz k xiyjzk xxiiyijzik zxk iykjzk k 1、用矢量分析法討論坐標轉換問題、用矢量分析法討論坐標轉換問題 Discussion Coordinate Transformation with

14、 Vector Analytic Method iiijik j ijjj k k xx y ikj y zkkz xx rPyRy zz PR xx yy zz yx j iyjjzj k 123 123 123 coscoscos coscoscos coscoscos xxx yyy zz R z P 0coscoscoscoscoscos 0coscoscoscoscoscos 0coscoscoscoscoscos 1coscoscos 1coscoscos 1coscoscos 131313 323232 212121 3 2 3 2 3 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2

15、 1 2 九個旋轉角中只有三個角是獨立九個旋轉角中只有三個角是獨立 為了保證轉換后坐標的正交性，要求為了保證轉換后坐標的正交性，要求 ： 坐標系的正交變換坐標系的正交變換 x rPy z x yPr z PRQTTRPrRr R xx yPrPRPRry zz 123 123 123 coscoscos coscoscos coscoscos PR 2，3的意義的意義： 3 ：兩坐標系兩坐標系Z Z軸的夾角軸的夾角 2 ：兩坐標系起始大地子午面的夾角兩坐標系起始大地子午面的夾角 橢球短軸間的夾角橢球短軸間的夾角 缺點：直接選用缺點：直接選用1，1， 1； ；2， ，2，2； ； 3， ，3，

16、3作為方向角，參數不作為方向角，參數不 獨立，公式十分冗長。獨立，公式十分冗長。 M X Z Y r X Y Z 3 1 2 Z Y X RRR Z Y X ZZYYXX )()()( 三個旋轉角三個旋轉角 Z、 Y 、 X ，描述飛描述飛 行器的姿態(tài)時分行器的姿態(tài)時分 別稱為別稱為偏航角、偏航角、 俯仰角和滾動角俯仰角和滾動角 X Z Y Z Y X O Y X Z Z Z0 X0 Y0 Y X 2、以歐勒角為旋轉參數的坐標變換、以歐勒角為旋轉參數的坐標變換 Coordinate Transformation with Rotation Parameters denoted by Euler

17、s Angle 2、以歐勒角為旋轉參數的坐標變換、以歐勒角為旋轉參數的坐標變換 Coordinate Transformation with Rotation Parameters denoted by Eulers Angle 2、以歐勒角為旋轉參數的坐標變換、以歐勒角為旋轉參數的坐標變換 Coordinate Transformation with Rotation Parameters denoted by Eulers Angle ZXZ XX YRRRY ZZ 三個旋轉角三個旋轉角 、 和和 ， ，在研究剛體轉動 在研究剛體轉動 時分別表示時分別表示進動角、進動角、 自轉角和章動角自

18、轉角和章動角。 Z Z X X N Y N O Y 100 ()0cossin 0sincos cos0sin ()010 sin0cos cossin0 ()sincos0 001 XXXX XX YY YY YY ZZ ZZZZ R R R 旋轉矩陣旋轉矩陣 111 222 333 coscoscos coscoscos cos ()()() coscoscossinsin cossinsinsincoscoscossinsinc coscos oss XXYYZZ YZYZY XZXYZXZXYZ XXX YYY ZZZ RRR incos sinsincossincossincosco

19、ssinsincoscos XY XYXYZXZXYZXY X Y Z 當當 X ， Y ， Z 很小時，有：很小時，有： coscoscos1 sin,sin,sin sinsinsinsinsinsin0 XYz XXYYZZ XYYZZX 系數陣亦稱為系數陣亦稱為微分旋轉矩陣微分旋轉矩陣 1 1 1 ZY ZX YX XX YY ZZ 2、以歐勒角為旋轉參數的坐標變換、以歐勒角為旋轉參數的坐標變換 Coordinate Transformation with Rotation Parameters denoted by Eulers Angle 100 ()0cossin 0sincos

20、 cos0sin ()010 sin0cos cossin0 ()sincos0 001 XXXX XX YY YY YY ZZ ZZZZ R R R 100 01 01 10 010 01 10 10 001 XXX X Y YY Y Z ZZZ R R R 1 1 1 ()()()()()() ZY ZXXXYYZZXXZZYY YX RRRRRR 12 21()()()( )() 1 ZY ZXXXXYYZZXXZZ YXX RRRRR cos1 sin 3 2 1 coscoscos coscoscossinsinsin coscoscos XY XZXYZ YZ 22 3 22 2

21、22 1 XY XZ YZ 1、 2、 3與與歐勒歐勒 角的關系角的關系（略去三略去三 次以上微小項次以上微小項）： 2、以歐勒角為旋轉參數的坐標變換、以歐勒角為旋轉參數的坐標變換 Coordinate Transformation with Rotation Parameters denoted by Eulers Angle 01 1 01 0 ZY ZX YX ZY ZX YX XXX YYY ZZ X Z Y Z 上式中的紅色部分可看作是在坐標系上式中的紅色部分可看作是在坐標系 中的矢量中的矢量 由于坐標系的微小旋轉引起的坐標變由于坐標系的微小旋轉引起的坐標變 化化，如果在該坐標系中定

22、義矢量，如果在該坐標系中定義矢量 則紅色部分可看作矢量則紅色部分可看作矢量 的坐標，在后續(xù)的課的坐標，在后續(xù)的課 程地球自轉中我們將看到程地球自轉中我們將看到 即是即是角速度矢量角速度矢量。 OX Y Z r xyx ijk r 2、以歐勒角為旋轉參數的坐標變換、以歐勒角為旋轉參數的坐標變換 Coordinate Transformation with Rotation Parameters denoted by Eulers Angle ( )( )( )()()() coscossincos sincossinsincoscossinsin sincoscoscos sinsinsinco

23、scoscoscossin sinsinsincosc ZXZXXYYZZ XXX RRRRYY Z RYR ZZ o s X Y Z X ， Y ， Z 與與 、 、 的微分關系即剛的微分關系即剛 體轉動的歐拉運動學方程體轉動的歐拉運動學方程 坐標系繞某一矢量旋轉一個角度的變換坐標系繞某一矢量旋轉一個角度的變換 如何求繞空間任一矢量旋轉一個角度的如何求繞空間任一矢量旋轉一個角度的 正交變換？正交變換？ 1 2basisaxisP 12basisbasisaxis 1 1basisaxisPaxis 21 1 co 1 cos11sin2 s1sin2basisbas PPbasis Pbas

24、isbas s is i X Z Y O r a r X Z Y r a r 1 b 2 b r r P P Z X Z X X Z Y Z Y X Y X Z Z Z0 X0 Y0 Y X O 2111 2 111 2 1 1cossin 1cossin 1cossin PPaxisaxisPaxisP PaxisPaxis Iaxisaxis P P 0 0 0 zy axiszx yx 2 2 2 2 1 1 1 xxyxz axisxyyyz xzyzz 222 1xyz cos sin 1 c s tc 2 21 2 2 1 txctxyzstxzys txyzstyctyzxs t

25、xzystyzxs PP z 3,11,32 3,22,32 2,11,22 mmsy mmsx mmsz /sin /sin /sin r r r xsx ysy zsz 3 2 2 22 13 /sin1 64 169 50040 SSS 22 2 2 22222 1 3,11,33,22,3 4 2,11,2sin Smmmm mmsxyz 如已知轉換矩陣如已知轉換矩陣Rmij，亦可求得相應的旋轉，亦可求得相應的旋轉 矢量，并使其大小等于旋轉角。矢量，并使其大小等于旋轉角。 357 11 31 3 5 arcsin 2 32 3 42 3 4 5 xxxxx 3 、廣義垂線偏差和廣義拉普

26、拉斯方程式、廣義垂線偏差和廣義拉普拉斯方程式 Generalized Deflection of the Vertical and Laplace Equation 垂線偏差和拉普拉斯方程式垂線偏差和拉普拉斯方程式： ()cos B L tansin)( LA 前提條件前提條件： 橢球短軸與地軸平行橢球短軸與地軸平行 起始大地子午面與起始天文子午面平行起始大地子午面與起始天文子午面平行 (180)(90) zy Xx YRL RBy Zz 11 11 11 (180)(90) zy Xx YRRy Zz Z Y X RRR Z Y X ZZYYXX )()()( 1 1 1 3 、廣義垂線偏差

27、和廣義拉普拉斯方程式、廣義垂線偏差和廣義拉普拉斯方程式 Generalized Deflection of the Vertical and Laplace Equation 1 1 1 1 1 1 xx yy zz 1 1 1 ZY ZX YX XX YY ZZ 1 1 1 (90 )(180 )()()()(180)(90) yzZZYYXXzy xx yR BR LRRRRRy zz X Z Y Z Y X O Y X Z Z X0 Y0 Y X u Y X Z sincos cossin sincoscossincossi sinsino n cossc XY XY XY Z Z L

28、L B sincos sinsin cos AM xZA yrZA zZ 大 大 大 1 1 1 sincos sinsin cos AM xZ yrZ zZ 天 天 天 3 、廣義垂線偏差和廣義拉普拉斯方程式、廣義垂線偏差和廣義拉普拉斯方程式 Generalized Deflection of the Vertical and Laplace Equation 3 、廣義垂線偏差和廣義拉普拉斯方程式、廣義垂線偏差和廣義拉普拉斯方程式 Generalized Deflection of the Vertical and Laplace Equation coscossinsincossinco

29、s sincos sinsin cossinsincos sin coscos coscos X Y Z A ctgZctgZ ctgZctgZ ct LL gZ c ZBtg 天 大大 大大 大 s i n sincoscos cossin sinsin coscossinsi cos nsincossin X Z BLZZ 天大 不同大地坐標系的轉換不同大地坐標系的轉換 Transformation of Geodetic Coordinate Systems 1、不同空間直角坐標系的轉換、不同空間直角坐標系的轉換 Transformation of Space Rectangular C

30、oordinate Systems 2、不同大地坐標系的轉換、不同大地坐標系的轉換 Transformation of Geodetic Coordinate Systems Z、 YX ZYX 、 三個平移參數三個平移參數 三個旋轉參數三個旋轉參數 1 、不同大地空間直角坐標系的轉換、不同大地空間直角坐標系的轉換 Transformation of Space Rectangular Coordinate Systems 舊新 Z Y X Z Y X Z Y X XY XZ YZ 1 1 1 0 0 0 尺度比：尺度比： 舊 舊新 S SS m 舊舊 mXXX 舊舊 mYYY 舊舊 mZZZ 1 、不同大地空間直角坐標系的轉換、不同大地空間直角坐標系的轉換 Transformation of Space Rectangular Coordinate Systems m是均勻的，與是均勻的，與 點位和方向無關點位和方向無關 舊舊 舊舊 舊舊 新 mZZ mYY mXX Z Y X Z Y X XY XZ YZ 1 1 1 0 0 0 忽略二階忽略二階 小量并整小量并整 理得：理得： 0 0 0 0 (1)0 0 ZY ZX YX X mY XXX Y Z YY ZZZ 新舊舊 布爾莎七參數模型布爾莎七參數模型 1 、不同大地空間直角坐標系的轉換、不同大地空間直角坐標系的轉換 Tr