(大學(xué)微積分第三版)-偏導(dǎo)數(shù)

1、 (大學(xué)微積分第三版)-偏導(dǎo)數(shù) 定定義義 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),( 00 yx的的某某一一鄰鄰 域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，當(dāng)當(dāng)y固固定定在在 0 y而而x在在 0 x處處有有增增量量 x 時時，相相應(yīng)應(yīng)地地函函數(shù)數(shù)有有增增量量 ),(),( 0000 yxfyxxf ， 如如果果 x yxfyxxf x ),(),( lim 0000 0 存存在在，則則稱稱 此此極極限限為為函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),( 00 yx處處對對x的的 偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，記記為為 一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計算法 0,0 (x y ) f x 0, 0 x (x y ) z, x00 f (x ,y )

2、或或 或或 (大學(xué)微積分第三版)-偏導(dǎo)數(shù) (大學(xué)微積分第三版)-偏導(dǎo)數(shù) 同同理理可可以以定定義義函函數(shù)數(shù)),(yxfz 對對自自變變量量y的的偏偏導(dǎo)導(dǎo) 數(shù)數(shù)，記記作作 y z ， y f ， y z或或),(yxf y . 0 (, )( , ) lim x f xx yf x y x 存存 在在 0 ( ,)( , ) lim y f x yyf x y y 存在存在 (大學(xué)微積分第三版)-偏導(dǎo)數(shù) 偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù) 如如 在在 處處 ),(zyxfu ),(zyx , ),(),( lim),( 0 x zyxfzyxxf zyxf x x

3、 , ),(),( lim),( 0 y zyxfzyyxf zyxf y y . ),(),( lim),( 0 z zyxfzzyxf zyxf z z (大學(xué)微積分第三版)-偏導(dǎo)數(shù) 例例 1 1 求求 22 3yxyxz 在點在點)2 , 1(處的偏導(dǎo)數(shù)處的偏導(dǎo)數(shù) 解解 x z ;32yx y z .23yx 2 1 y x x z ,82312 2 1 y x y z .72213 由偏導(dǎo)數(shù)的定義可知，求由偏導(dǎo)數(shù)的定義可知，求z=f(x,y)并不需要新的方法，只在應(yīng)并不需要新的方法，只在應(yīng) 用一元函數(shù)求導(dǎo)法就可以了：用一元函數(shù)求導(dǎo)法就可以了： z x 求求時，把時，把 y 看成是常數(shù)而

4、對看成是常數(shù)而對 x 求導(dǎo)；求導(dǎo)； z y 求求時，把時，把 x 看成是常數(shù)而對看成是常數(shù)而對 y 求導(dǎo)；求導(dǎo)； (大學(xué)微積分第三版)-偏導(dǎo)數(shù) 證證 x z , 1 y yx y z ,ln xx y y z xx z y x ln 1 xx x yx y x yy ln ln 1 1 yy xx .2z 原結(jié)論成立原結(jié)論成立 (大學(xué)微積分第三版)-偏導(dǎo)數(shù) 例例4 求求 222 rxyz的偏導(dǎo)數(shù)。的偏導(dǎo)數(shù)。 解解 r x 222 x xyz x r r y 222 y xyz y r r z 222 z xyz z r (大學(xué)微積分第三版)-偏導(dǎo)數(shù) 練習(xí)：練習(xí)：1.（1）（）（3）（）（5）

5、(大學(xué)微積分第三版)-偏導(dǎo)數(shù) 解解 x z x yx x yx x 22 22 2 1 1 322 222 )(|yx y y yx . | 22 yx y |)|( 2 yy (大學(xué)微積分第三版)-偏導(dǎo)數(shù) y z y yx x yx x 22 22 2 1 1 322 22 )( )( |yx xy y yx yyx x1 sgn 22 )0( y 0 0 y xy z 不存在不存在 22 x zarcsin xy (大學(xué)微積分第三版)-偏導(dǎo)數(shù) 證證 V RT p; 2 V RT V p p RT V; p R T V R pV T; R V p T p T T V V p 2 V RT p

6、 R R V .1 pV RT 結(jié)果不是結(jié)果不是1，說明偏導(dǎo)，說明偏導(dǎo) 不能看成微商，但導(dǎo)數(shù)不能看成微商，但導(dǎo)數(shù) 能看成微商。能看成微商。 f x df dx (大學(xué)微積分第三版)-偏導(dǎo)數(shù) 偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) x u 是是一一個個整整體體記記號號，不不能能拆拆分分; ).0, 0(),0, 0(,),(, yx ffxyyxfz求求設(shè)設(shè)例例如如 有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點說明：有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點說明： 、 、 求分界點、不連續(xù)點處的偏導(dǎo)數(shù)要用求分界點、不連續(xù)點處的偏導(dǎo)數(shù)要用 定義求；定義求； 解解 x x f x x 0|0| lim)0 , 0( 0 0 ).0 , 0( y f (大學(xué)微積分第三版)-偏導(dǎo)數(shù)

7、 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義 ,),(),(,( 00000 上上一一點點為為曲曲面面設(shè)設(shè)yxfzyxfyxM 如圖如圖 幾何意義幾何意義: : 偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)),( 00 yxf y 就就是是曲曲面面被被平平面面 0 xx 所所截截得得的的曲曲線線在在點點 0 M處處的的切切線線 y TM 0 對對y軸軸的的 斜斜率率. (大學(xué)微積分第三版)-偏導(dǎo)數(shù) 練習(xí)：5. (大學(xué)微積分第三版)-偏導(dǎo)數(shù) .),( )0 , 0(),(0 )0 , 0(),( ),( 22 的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求 設(shè)設(shè) yxf yx yx yx xy yxf 例例 5 5 解解,)0 , 0(),(時時當(dāng)當(dāng) yx 22

8、2 22 )( 2)( ),( yx xyxyxy yxf x , )( )( 222 22 yx xyy 222 22 )( 2)( ),( yx xyyyxx yxf y , )( )( 222 22 yx yxx (大學(xué)微積分第三版)-偏導(dǎo)數(shù) ,)0 , 0(),(時時當(dāng)當(dāng) yx按定義可知：按定義可知： x fxf f x x )0 , 0()0 ,( lim)0 , 0( 0 , 0 0 lim 0 x x y fyf f y y )0 , 0(), 0( lim)0 , 0( 0 , 0 0 lim 0 y y , )0 , 0(),(0 )0 , 0(),( )( )( ),( 2

9、22 22 yx yx yx xyy yxf x . )0 , 0(),(0 )0 , 0(),( )( )( ),( 222 22 yx yx yx yxx yxf y (大學(xué)微積分第三版)-偏導(dǎo)數(shù) 偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系 例例如如,函函數(shù)數(shù) 0, 0 0, ),( 22 22 22 yx yx yx xy yxf, 依依定定義義知知在在)0 , 0(處處，0)0 , 0()0 , 0( yx ff. 但函數(shù)在該點處并不連續(xù)但函數(shù)在該點處并不連續(xù). 偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)連續(xù). 一元函數(shù)中在某點可導(dǎo)一元函數(shù)中在某點可導(dǎo) 連續(xù)，連續(xù)， 多元函數(shù)中在某點偏導(dǎo)數(shù)存在多元函

10、數(shù)中在某點偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)，連續(xù)， (大學(xué)微積分第三版)-偏導(dǎo)數(shù) ),( 2 2 yxf x z x z x xx ),( 2 2 yxf y z y z y yy ),( 2 yxf yx z x z y xy ),( 2 yxf xy z y z x yx 函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為 純偏導(dǎo)純偏導(dǎo) 混合偏導(dǎo)混合偏導(dǎo) 定義：二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)定義：二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù). . 二、高階偏導(dǎo)數(shù) (大學(xué)微積分第三版)-偏導(dǎo)數(shù) 例例 6 設(shè)設(shè)13 323 xyxyyxz， 求求 2 2 x z 、 xy z 2 、 yx z 2 、 2

11、 2 y z 及 3 3 x z . 解解 x z ,33 322 yyyx y z ;92 23 xxyyx 2 2 x z ,6 2 xy 2 2 y z ;182 3 xyx 3 3 x z ,6 2 y xy z 2 . 196 22 yyx yx z 2 , 196 22 yyx (大學(xué)微積分第三版)-偏導(dǎo)數(shù) 原函數(shù)圖形原函數(shù)圖形 偏導(dǎo)函數(shù)圖形偏導(dǎo)函數(shù)圖形 偏導(dǎo)函數(shù)圖形偏導(dǎo)函數(shù)圖形 二階混合偏二階混合偏 導(dǎo)函數(shù)圖形導(dǎo)函數(shù)圖形 觀察上例中原函數(shù)、偏導(dǎo)函數(shù)與二階混合偏導(dǎo)觀察上例中原函數(shù)、偏導(dǎo)函數(shù)與二階混合偏導(dǎo) 函數(shù)圖象間的關(guān)系：函數(shù)圖象間的關(guān)系： z x z y yx z 2 xy z

12、2 (大學(xué)微積分第三版)-偏導(dǎo)數(shù) 練習(xí)：6.（1）（3） (大學(xué)微積分第三版)-偏導(dǎo)數(shù) 解解 ,cosbyae x u ax ;sinbybe y u ax ,cos 2 2 2 byea x u ax ,cos 2 2 2 byeb y u ax ,sin 2 byabe yx u ax .sin 2 byabe xy u ax (大學(xué)微積分第三版)-偏導(dǎo)數(shù) 問題：問題：混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？ .),( )0 , 0(),(0 )0 , 0(),( ),( 22 3 的的二二階階混混合合偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求 設(shè)設(shè) yxf yx yx yx yx yxf 例例 8 8 解解,)0

13、 , 0(),(時時當(dāng)當(dāng) yx 222 3222 )( 2)(3 ),( yx yxxyxyx yxf x , )( 23 222 4 22 2 yx yx yx yx , )( 2 ),( 222 23 22 3 yx yx yx x yxf y (大學(xué)微積分第三版)-偏導(dǎo)數(shù) ,)0 , 0(),(時時當(dāng)當(dāng) yx按定義可知：按定義可知： x fxf f x x )0 , 0()0 ,( lim)0 , 0( 0 , 0 0 lim 0 x x y fyf f y y )0 , 0(), 0( lim)0 , 0( 0 , 0 0 lim 0 y y y fyf f xx y xy )0 ,

14、0(), 0( lim)0 , 0( 0 , 0 x fxf f yy x yx )0 , 0()0 ,( lim)0 , 0( 0 . 1 ).0 , 0()0 , 0( yxxy ff 顯顯然然 (大學(xué)微積分第三版)-偏導(dǎo)數(shù) 定定理理 如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的兩兩個個二二階階混混合合偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù) xy z 2 及及 yx z 2 在在區(qū)區(qū)域域 D D 內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，那那末末在在該該區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)這這 兩兩個個二二階階混混合合偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)必必相相等等 問題：問題：具備怎樣的條件才能使混合偏導(dǎo)數(shù)相等？具備怎樣的條件才能使混合偏導(dǎo)數(shù)相等？ (大學(xué)微積分第三版)-偏導(dǎo)數(shù) , 22 yx

15、x x u , 22 yx y y u , )()( 2)( 222 22 222 22 2 2 yx xy yx xxyx x u . )()( 2)( 222 22 222 22 2 2 yx yx yx yyyx y u 2 2 2 2 y u x u .0 222 22 222 22 )()(yx yx yx xy 證畢證畢 解解 ),ln( 2 1 ln 2222 yxyx .0 2 2 2 2 y u x u (大學(xué)微積分第三版)-偏導(dǎo)數(shù) 222 222 0 uuu xyz 證：證： u x 2 1 r rx 2 1 x rr 3 , x r 2 2 u x 34 13 xr rr

16、x 2 35 13 x rr 2 2 u y 2 35 13 y rr 2 2 u z 例例8 設(shè)設(shè) ,證明：函數(shù)證明：函數(shù) 滿足方程滿足方程 222 rxyz 1 u r 2 35 13 z rr 所以所以 222 222 uuu xyz 222 35 33 (xyz ) rr 33 33 0 rr (大學(xué)微積分第三版)-偏導(dǎo)數(shù) 222 222 0 uuu xyz 22 22 0 uu xy 和和 都叫拉普拉斯方程，都叫拉普拉斯方程， 在研究熱傳導(dǎo)、流體運動等問題中有著重要的應(yīng)用。在研究熱傳導(dǎo)、流體運動等問題中有著重要的應(yīng)用。 (大學(xué)微積分第三版)-偏導(dǎo)數(shù) 練習(xí)：8. (大學(xué)微積分第三版)-

17、偏導(dǎo)數(shù) 偏導(dǎo)數(shù)的定義偏導(dǎo)數(shù)的定義 偏導(dǎo)數(shù)的計算、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)的計算、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義 高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù) （偏增量比的極限）（偏增量比的極限） 純偏導(dǎo)純偏導(dǎo) 混合偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)（相等的條件）（相等的條件） 三、小結(jié) (大學(xué)微積分第三版)-偏導(dǎo)數(shù) 若函數(shù)若函數(shù)),(yxf在 點在 點),( 000 yxP連連 續(xù)，能否斷定續(xù)，能否斷定),(yxf在點在點),( 000 yxP 的偏導(dǎo)數(shù)必定存在？的偏導(dǎo)數(shù)必定存在？ 思考題思考題 (大學(xué)微積分第三版)-偏導(dǎo)數(shù) 思考題解答思考題解答 不能不能. ,),( 22 yxyxf 在在)0 , 0(處處連連續(xù)續(xù), 但但 )0 , 0()0 , 0(

18、 yx ff 不不存存在在. 例如例如, (大學(xué)微積分第三版)-偏導(dǎo)數(shù) 一一、 填填空空題題: : 1 1、 設(shè)設(shè) y x ztanln , ,則則 x z _ _ _ _ _ _ _ _ _; ; y z _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 2 2、 設(shè)設(shè) x z yxez xy 則則),(_ _ _ _ _ _ _ _; ; y z _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 3 3、 設(shè)設(shè), z y xu 則則 x u _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _; ; y u _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _; ; z u _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 4 4、 設(shè)設(shè),arctan x y z 則則 2 2 x z _ _ _ _ _ _ _ _ _; ; 2 2 y z _ _ _ _ _ _ _ _; ; yx z 2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 練練 習(xí)習(xí) 題題 (大學(xué)微積分第三版)-偏導(dǎo)數(shù) 5 5、設(shè)、設(shè) z y x u)( , ,則則 yz u 2 _. . 二、二、 求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)求下列函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù): : 1 1、 y x