MPA聯(lián)考數(shù)學-導(dǎo)數(shù)與微分

1、1 引例引例 導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的定義 導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 求導(dǎo)舉例求導(dǎo)舉例 小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè) 第一節(jié)第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 (derivative) 第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分 2 例例1 1直線運動的瞬時速度問題直線運動的瞬時速度問題 一質(zhì)點作直線運動一質(zhì)點作直線運動,已知路程已知路程 s 與時間與時間 t 的的 試確定試確定t0時的瞬時速度時的瞬時速度v(t0). ),()( 00 tsttss )( tv 這段時間內(nèi)的平均速度這段時間內(nèi)的平均速度 在每個時刻的速度在每個時刻的速度. 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)

2、的概念 解解 . t s 若運動是勻速的若運動是勻速的, 平均速度就等于質(zhì)點平均速度就等于質(zhì)點 一、一、引例引例 ).(tss 關(guān)系關(guān)系 質(zhì)點走過的路程質(zhì)點走過的路程 00 ,ttt從時刻 3 此式既是它的定義式此式既是它的定義式,又指明了它的計算又指明了它的計算 它越近似的它越近似的 定義為定義為 )( 0 tv , )()( lim 00 0 t tstts t 并稱之為并稱之為t0時的瞬時速度時的瞬時速度v(t0). 瞬時速度是路程對時間的變化率瞬時速度是路程對時間的變化率. 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 若運動是非勻速的若運動是非勻速的,)( tv 平均速度平均速度是這段是這段 時間內(nèi)運動快慢

3、的平均值時間內(nèi)運動快慢的平均值,t 越小越小, 表明表明 t0 時運動的快慢時運動的快慢. 因此因此, 人們把人們把 t0時的速度時的速度 注注 方法方法, t s 0 lim t 4 例例2 2 割線的極限位置割線的極限位置 對于一般曲線如何定義其切線呢對于一般曲線如何定義其切線呢? 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 曲線的切線斜率問題曲線的切線斜率問題 若已知平面曲線若已知平面曲線),(xfy )(,( 000 xfxM 如何作過如何作過 的切線呢的切線呢. 初等數(shù)學中并沒有給出曲線切線的定義初等數(shù)學中并沒有給出曲線切線的定義. 過該點的切線過該點的切線. 我們知道與圓周有唯一交點的直線我們知道與圓周

4、有唯一交點的直線即為圓周即為圓周 但此定義不適應(yīng)其它曲線但此定義不適應(yīng)其它曲線. 如如 與拋物線有唯一交點的直線不一定是切線與拋物線有唯一交點的直線不一定是切線. 切線位置切線位置. 曲線上點曲線上點 法國法國 數(shù)學家費馬在數(shù)學家費馬在1629年提出了如下的定義和求年提出了如下的定義和求 法法, P.de Fermat 1601-1665 從而圓滿地解決了這個問題從而圓滿地解決了這個問題. 5 0 x 處切線的斜率處切線的斜率.),( 000 yxM 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 已知曲線的方程已知曲線的方程確定點確定點 如果割線如果割線MN繞點繞點 M旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置旋轉(zhuǎn)而趨向極限位置 MT, 極

5、限位置即極限位置即 , 0MN C在點在點M處的處的切線切線. 如圖如圖, . 0 NMT ),(xfy x T x y O )(xfy C N M 6 ),( 00 yxM設(shè)設(shè) 0 0 tan xx yy , )()( 0 0 xx xfxf N tan k 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 0 0) ()( xx xfxf ).,(yxN割線割線MN的斜率為的斜率為 , 0 xx 切線切線MT的斜率為的斜率為 C沿曲線沿曲線 ,M 0 lim xx 0 xx T x y O )(xfy C N M 7 ),(xfy 就其實際意義來說各不相同就其實際意義來說各不相同, 關(guān)系上確有如下的共性關(guān)系上確有如下

6、的共性: 但在數(shù)量但在數(shù)量 1. 在問題提法上在問題提法上,都是已知一個函數(shù)都是已知一個函數(shù) 求求y關(guān)于關(guān)于x在在x0處的變化率處的變化率. 2. 計算方法上計算方法上, (1) 當當y隨隨 x均勻變化時均勻變化時,用除法用除法. (2) 當變化是非均勻的時當變化是非均勻的時,需作平均變化率的需作平均變化率的 x y x 0 lim 在現(xiàn)實生活中在現(xiàn)實生活中,凡涉及變化率的問凡涉及變化率的問 題題,其精確描述和計算都離不開此式所其精確描述和計算都離不開此式所 規(guī)定的這一運算規(guī)定的這一運算. 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 上述兩例上述兩例, 分別屬于運動學、幾何學中的問題分別屬于運動學、幾何學中的問題,

7、 x xfxxf x )()( lim 00 0 極限運算極限運算: 8 定義定義 的的某某個個鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)在在點點設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù) 0 )(xxfy x xfxxf x y )()( 00 的的稱為稱為)(xf 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 , 00 時時變變到到當當自自變變量量從從xxx )()()( 00 xfxxfyxfy 的增量的增量 函數(shù)函數(shù) 之比之比變量的增量變量的增量 x 與自與自 平均變化率平均變化率. . 二、導(dǎo)數(shù)的定義二、導(dǎo)數(shù)的定義 ,有定義有定義 9 , 0 x如如 處可導(dǎo)處可導(dǎo)在在并說并說 0 )(xxf , 0 xx y )( 0 x f 中的任何一個表示中的任何一個表示, )

8、( 0 xf 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 x y 存在存在, 如如 平均變化率的極限平均變化率的極限: )1( )()( lim 00 0 x xfxxf x 0 lim x .)( 0處 處的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在xxf 或或, d d 0 xx x y 0 d )(d xx x xf x xfxxf x )()( lim 00 0 函數(shù)在一點函數(shù)在一點 處的變化率處的變化率 0 x (derivative) 或有導(dǎo)數(shù)或有導(dǎo)數(shù). 可用下列記號可用下列記號 則稱此極限值為則稱此極限值為 10 處不可導(dǎo)或?qū)?shù)不存在處不可導(dǎo)或?qū)?shù)不存在.特別當特別當(1)式的極限為式的極限為 有時也說在有時也說在x0處導(dǎo)數(shù)是正

9、處導(dǎo)數(shù)是正(負負)無無 注注 要注意要注意 導(dǎo)數(shù)定義可以寫成多種形式導(dǎo)數(shù)定義可以寫成多種形式: , )()( lim)( 00 0 0 xfxf xf . )()( lim)( 00 0 0 xfxf xf 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 當極限當極限(1)式不存在時式不存在時, 就說函數(shù)就說函數(shù) f (x)在在x0 在利用導(dǎo)數(shù)的定義證題或計算時在利用導(dǎo)數(shù)的定義證題或計算時, 正正(負負)無窮時無窮時, 窮大窮大,但這時導(dǎo)數(shù)不存在但這時導(dǎo)數(shù)不存在. )1( )()( lim)( 00 0 0 x xfxxf xf x x x x h h h h h h 11 )( 0 xf 關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說明關(guān)于導(dǎo)數(shù)的說明

10、 或或 如果如果 x0= 0,可以寫成可以寫成 )0( f 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 特別是特別是, x xfxxf xf x )()( lim)( 00 0 0 xx 0 , )()( lim 0 0 0 xx xfxf xx . )0()( lim 0 x fxf x 0 xx (1) 點導(dǎo)數(shù)是因變量在點點導(dǎo)數(shù)是因變量在點x0處的變化率處的變化率,它反映了它反映了 因變量隨自變量的變化而變化的快慢程度因變量隨自變量的變化而變化的快慢程度. (2) 如果函數(shù)如果函數(shù)y = f (x)在開區(qū)間在開區(qū)間 I 內(nèi)的每點處都可內(nèi)的每點處都可 導(dǎo)導(dǎo),就稱函數(shù)就稱函數(shù) f (x)在開區(qū)間在開區(qū)間 I 內(nèi)可導(dǎo)

11、內(nèi)可導(dǎo). 12 x xfxxf y x )()( lim 0 . )()( lim)( 0 h xfhxf xf h 注注 )( 0 xf 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 , y 記作記作),(x f x y d d . d )(d x xf 或或 即即 或或 )(x f 0 xx (3) 對于任一對于任一都對應(yīng)著都對應(yīng)著 f (x)的一個確定的的一個確定的, Ix 導(dǎo)數(shù)值導(dǎo)數(shù)值.這個函數(shù)叫做原來函數(shù)這個函數(shù)叫做原來函數(shù)f (x)的的導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù). 13 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 例例 用導(dǎo)數(shù)表示下列極限用導(dǎo)數(shù)表示下列極限 . 5 )()3( lim,)()1( 0 x afxaf axxf x 求求可可導(dǎo)

12、導(dǎo)在在設(shè)設(shè) 解解 x afxaf x 5 )()3( lim)1( 0 )()3( lim 0 afxaf x x afxaf x 3 )()3( lim 5 3 0 x3 3 5 ).( 5 3 a f . 2 )()( lim, 2)()2( 0 h afhaf af h 求求已知已知 h xfhxf xf h )()( lim)( 00 0 0 解解 h afhaf h 2 )()( lim)2( 0 )()( lim 0 afhaf h )( 2 1 af 2 1 1 h 14 右導(dǎo)數(shù)右導(dǎo)數(shù) 4. 單側(cè)導(dǎo)數(shù)單側(cè)導(dǎo)數(shù) 左導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù) )( 0 xf )( 0 xf 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 ;

13、 )()( lim 00 0 x xfxxf x . )()( lim 00 0 x xfxxf x )0( 0 x f )0( 0 x f 又分別可以解釋為曲線又分別可以解釋為曲線)(xfy )(,( 00 xfx在在 點的左切線的斜率與右切線的斜率點的左切線的斜率與右切線的斜率. 0 0 0 )()( lim 0 xx xfxf xx 0 0 0 )()( lim 0 xx xfxf xx 從幾何上從幾何上 (left derivative) (right derivative) 15 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 處的可導(dǎo)性處的可導(dǎo)性. )(af 且且 )(bf 和和.,)(上可導(dǎo)上可導(dǎo)在閉區(qū)間

14、在閉區(qū)間就說就說baxf 處可導(dǎo)處可導(dǎo)在在 0 )(xxf ,)()( 00 都都存存在在和和右右導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)左左導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)xfxf 且相等且相等 此性質(zhì)常用于判定分段函數(shù)在此性質(zhì)常用于判定分段函數(shù)在 分段點分段點 如果如果 )(xf 在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), 都存在都存在, 16 求增量求增量)1( 算比值算比值)2( 求求極極限限)3( 例例.)()(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為常數(shù)為常數(shù)求函數(shù)求函數(shù)CCxf 解解 h xfhxf xf h )()( lim)( 0 0 lim h . 0 0)( C 三、求導(dǎo)舉例三、求導(dǎo)舉例( (幾個基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)幾個基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)) ) 導(dǎo)數(shù)的概念

15、導(dǎo)數(shù)的概念 步 步 驟驟 );()(xfxxfy ; )()( x xfxxf x y .lim 0 x y y x 即即 CC h 導(dǎo)數(shù)的定義不僅給出了導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的定義不僅給出了導(dǎo)數(shù)的概念, 也提供了計算方法也提供了計算方法.因而它也屬于雙重意因而它也屬于雙重意 義的定義義的定義. 0)( C 17 例例 ,sin)(xxf 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù) 解解 h xhx x h sin)sin( lim)(sin 0 2 2 sin ) 2 cos(lim 0h h h x h .cos x .cos)(sinxx 4 )(sin x x. 2 2 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 .)(sin)(sin 4 x

16、 xx 及及求求 4 cos x x 即即 同理可得同理可得.sin)(cosxx 自己練習自己練習 18 例例.)(的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為正正整整數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)nxy n 解解 h xhx x nn h n )( lim)( 0 ! 2 )1( lim 121 0 nnn h hhx nn nx 1 n nx 1 )( nn nxx 更一般地更一般地)(.)( 1 Rxx )( x如如 1 2 1 2 1 x x2 1 )( 1 x 11 )1( x 2 1 x 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 即即 19 例例.)1, 0()(的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) aaaxf x 解解 h aa a xhx h x

17、0 lim)( h a a h h x 1 lim 0 .lnaa x aaa xx ln)( .)( xx ee 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 即即 20 例例 .)1, 0(log的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) aaxy a 解解 h xhx y aa h log)(log lim 0 e x x aa log 1 )(log . 1 )(ln x x x x h x h a h 1 )1(log lim 0 h x a h x h x )1(loglim 1 0 .log 1 e x a 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 即即 21 例例 .0|)(處處的的可可導(dǎo)導(dǎo)性性在在討討論論函函數(shù)數(shù) xxxf 解解, |)

18、0()0( h h h fhf h fhf h )0()0( lim 0 , 1 h fhf h )0()0( lim 0 . 1 ),0()0( ff .0)(點點不不可可導(dǎo)導(dǎo)在在函函數(shù)數(shù) xxfy 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 即即 h h h 0 lim h h h 0 lim xy x y O 22 1.幾何意義幾何意義 表表示示)( 0 x f 特別地特別地: 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 )( ,tan)( 0 為傾角為傾角 x f )(xfy 曲線曲線 , )(,( 00 切線的斜率切線的斜率 處的處的在點在點xfxM 即即 四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義 0 x x

19、y O )(xfy C T M 000 (1)()0,( )(,() ; fxyf xxf x Ox 若則曲線在點 的切線平行于軸 23 ).)( 000 xxxfyy .0)()( )( 1 00 0 0 xfxx xf yy ,)()2( 0 x f若若 )(,()( 00 xfxxfy在在點點則則曲曲線線 .軸軸的切線垂直于的切線垂直于Ox :)(,()( 00 處的切線方程為處的切線方程為在點在點曲線曲線xfxxfy :)(,()( 00 的的法法線線方方程程為為在在點點曲曲線線xfxxfy 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 24 例例 , )2 , 2 1 ( 1 斜率斜率 處的切線的處的切線的

20、在點在點求等邊雙曲線求等邊雙曲線 x y 解解得切線斜率為得切線斜率為 2 1 x yk 2 1 ) 1 ( x x 2 1 2 1 x x . 4 所求切線方程為所求切線方程為 法線方程為法線方程為 ), 2 1 (42 xy ), 2 1 ( 4 1 2 xy . 044 yx . 01582 yx 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 .方程和法線方程方程和法線方程并寫出在該點處的切線并寫出在該點處的切線 由導(dǎo)數(shù)的幾何意義由導(dǎo)數(shù)的幾何意義, 即即 即即 )( 000 xxxfyy )( )( 1 0 0 0 xx xf yy 25 2.物理意義物理意義 非均勻變化量的瞬時變化率非均勻變化量的瞬時變化率.

21、 路程對時間的導(dǎo)數(shù)為物體的瞬時速度路程對時間的導(dǎo)數(shù)為物體的瞬時速度; . d d lim)( 0 t s t s tv t 電量對時間的導(dǎo)數(shù)為電流強度電量對時間的導(dǎo)數(shù)為電流強度; . d d lim)( 0 t q t q ti t 為物體的線為物體的線(面面,體體)密度密度. 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 變速直線運動變速直線運動 交流電路交流電路 非均勻的物體非均勻的物體 質(zhì)量對長度質(zhì)量對長度(面積面積,體積體積)的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) 26 該點必連續(xù)該點必連續(xù). . 證證 ,)(可導(dǎo)可導(dǎo)在點在點設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxf )(lim 0 xf x y x )(xf x y xxxfy )( 0 lim x 0

22、.)(連續(xù)連續(xù)在點在點函數(shù)函數(shù)xxf )0(0 x 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 定理定理如果函數(shù)如果函數(shù) 則函數(shù)在則函數(shù)在 五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系五、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 在點在點x處可導(dǎo)處可導(dǎo), , )(xf 即即 函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系函數(shù)極限與無窮小的關(guān)系 所以所以, , lim 0 x 27 如如, , ,0處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)但在但在 x 該定理的逆定理不一定成立該定理的逆定理不一定成立. 注注 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 ,0)(處處連連續(xù)續(xù)在在 xxxf .)(0的的角角點點為為xfx 連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件連續(xù)是可導(dǎo)的必要條件, ,不是可導(dǎo)的充分條件不是可導(dǎo)的充分條件. . xy x y O 28 例

23、例 .0 , 0, 0 0, 1 sin )( 處處的的連連續(xù)續(xù)性性與與可可導(dǎo)導(dǎo)性性在在 討討論論函函數(shù)數(shù) x x x x x xf 解解, 1 sin是是有有界界函函數(shù)數(shù) x 0 1 sinlim 0 x x x .0)(處連續(xù)處連續(xù)在在 xxf ,0處處在在 x x y , 1 sin x ,0時時當當 x .0)(處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)在在 xxf 0)(lim)0( 0 xff x 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 .11之之間間振振蕩蕩而而極極限限不不存存在在和和在在 x y x x 0 1 sin)0( x 0 29 ., , )( 0 0 2 xxbax xxx xf 當當 當當 設(shè)設(shè) 為了使為了

24、使 f(x) 在在x0處可導(dǎo)處可導(dǎo), 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 解解 首先函數(shù)必須在首先函數(shù)必須在x0處連續(xù)處連續(xù).由于由于 )(lim 0 xf xx )(lim 0 xf xx )( 0 xf 故應(yīng)有故應(yīng)有. 2 00 xbax 又因又因 , 2 0 x, 0 bax . 2 0 x )( 0 xf 0 0 )()( lim 0 xx xfxf xx 0 2 0 2 0 lim xx xx xx 0 2x 應(yīng)如何選取應(yīng)如何選取a,b ? 30 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 )( 0 xf 0 0) ()( lim 0 xx xfxf xx 0 2 0 )( lim 0 xx xbax xx 0 0 )

25、()( lim 0 xx baxbax xx 2 00 xbax 0 0 0 lim xx axax xx a 從而從而,當當 )( 0 xf 0 2x ,2 0 xa f(x) 在在x0處可導(dǎo)處可導(dǎo)., 2 0 xb ., , )( 0 0 2 xxbax xxx xf 當當 當當 設(shè)設(shè) 應(yīng)如何選取應(yīng)如何選取a,b?為了使為了使 f(x) 在在x0處可導(dǎo)處可導(dǎo), 31 導(dǎo)數(shù)的實質(zhì)導(dǎo)數(shù)的實質(zhì): 增量比的極限增量比的極限; 導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的幾何意義: 切線的斜率切線的斜率; 函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo)函數(shù)可導(dǎo)一定連續(xù)，但連續(xù)不一定可導(dǎo); 求導(dǎo)數(shù)最基本的方法求導(dǎo)數(shù)最基本的方法: 由定義

26、求導(dǎo)數(shù)由定義求導(dǎo)數(shù). 判斷可導(dǎo)性判斷可導(dǎo)性 不連續(xù)不連續(xù),一定不可導(dǎo)一定不可導(dǎo). 連續(xù)連續(xù) 直接用定義直接用定義; 看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等看左右導(dǎo)數(shù)是否存在且相等. 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 六、小結(jié)六、小結(jié) ;)()()( 000 axfxfaxf 32 思考題思考題(是非題是非題) 導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念 ,)(. 1 0點 點可可導(dǎo)導(dǎo)在在若若xxf ,| )(|. 2 0點 點可可導(dǎo)導(dǎo)在在若若xxf ?| )(| 0點 點必必可可導(dǎo)導(dǎo)是是否否在在xxf ?)( 0點必可導(dǎo) 點必可導(dǎo)在在是否是否xxf 非非,)(xxf 如如處處在在0 x可導(dǎo)可導(dǎo); 但但| )(|xf處處在在0 x不可導(dǎo)不可導(dǎo)

27、. 非非 ，如如 0, 1 0, 1 )( x x xf1| )(| xf 處可導(dǎo)；處可導(dǎo)；在在0 x 但但)(xf 處處在在0 x不可導(dǎo)不可導(dǎo). 33 函數(shù)的線性組合、積、商的求導(dǎo)法則函數(shù)的線性組合、積、商的求導(dǎo)法則 小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè) 第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則 第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分 反函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則 基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 34 定理定理1 ,)(),(處處可可導(dǎo)導(dǎo)在在點點如如果果函函數(shù)數(shù)xxvxu )()()1(xvxu 并且并且 則它們的線性組合、積、商則它們的線性

28、組合、積、商在點在點 x處也可導(dǎo)處也可導(dǎo), );()(xvxu )()()2(xvxu);()()()(xvxuxvxu )( )( )3( xv xu )( )()()()( 2 xv xvxuxvxu 函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則 ).0)( xv .,R 一、函數(shù)的線性組合、積、商的求導(dǎo)法則一、函數(shù)的線性組合、積、商的求導(dǎo)法則 35 證證 則由導(dǎo)數(shù)的定義有則由導(dǎo)數(shù)的定義有 h xfhxf xf h )()( lim)( 0 h xuhxu h )()( lim 0 h xvhxv h )()( lim 0 ).()(xvxu 函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則 )()()1(xvxu );()

29、(xvxu .,R 0 lim h h ( )( )( ),f xu xv x設(shè) ()( )u xhu x 0 ()() ( )( ) lim h u xhv xhu xv x h ()( )v xhv x 36 )( )( xv xu ).0)( )( )()()()( 2 xv xv xvxuxvxu , v u y 設(shè)設(shè)證證 .yvu 則則 )()()2(xvxu);()()()(xvxuxvxu 由乘積的導(dǎo)數(shù)由乘積的導(dǎo)數(shù): u 得得故故 v vyu y v v v u u )0( 2 v v vuvu v y ,v y y 特別特別 )( 1 xv )( )( 2 xv x v . 2

30、 v vuvu v u 即即 函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則 37 推論推論,處均可導(dǎo)處均可導(dǎo)在點在點、若若xwvu wvu uvw ,wvu 則則 ,處也可導(dǎo)處也可導(dǎo)在同一點在同一點x 且且uvw v w w vuwuv 函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則 u vw u 38 例例.sin2 23 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求求xxxy 解解 2 3xy x4 例例.ln2sin的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求xxy 解解xxxylncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 x xx 1 cossin2 .cos x .2sin 1 ln2cos2x x xx 函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則 39

31、例例.tan的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求xy 解解)(tan xy x 2 cos x xx 2 22 cos sincos x x 2 2 sec cos 1 .sec)(tan 2 xx )(cot x同理可得同理可得 x x cos sin 即即 .csc 2 x 2 v vuvu v u 函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則 )(cossin xxxx cos)(sin 40 例例 .sec的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求xy 解解) cos 1 ()(sec x xy x x 2 cos )(cos .tansecxx x x 2 cos sin xxxcotcsc)(csc 同理可得同理可得 )( 1 xv )( )

32、( 2 xv x v 即即xxxtansec)(sec 函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則 41 . 1 1 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求 x x y 解解 法一法一 2 )1( )1)(1()1()1( x xxxx y 2 )1( 2 x 法二法二 1 1 x x y 1 2 1 x ) 1 2 ()1( x y 2 )1( 2 x 注注 在進行求導(dǎo)運算中在進行求導(dǎo)運算中, 且也能提高結(jié)果的準且也能提高結(jié)果的準這樣使求導(dǎo)過程簡單這樣使求導(dǎo)過程簡單, 盡量先化簡再求導(dǎo)盡量先化簡再求導(dǎo), 確性確性. 2 )1( 1 2 x 函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則 )( 1 xv )( )( 2 xv x v 42 函數(shù)的

33、求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則 用求導(dǎo)法則與用定義求導(dǎo)數(shù)時用求導(dǎo)法則與用定義求導(dǎo)數(shù)時, 結(jié)果有時不一致結(jié)果有時不一致, 這是為什么這是為什么? 如已知如已知).0(,sin)( 3 fxxxf 求求 無意義無意義, 解解.cossin 3 1 )( 31 32 xxx x xf )0( f 所以所以, )0( f 不存在不存在. 上述解法有問題嗎上述解法有問題嗎? 注意問題出在注意問題出在 )(0 xfx 處處不連續(xù)不連續(xù).因此 因此)(x f 可能在不連續(xù)點處不代表該點處的導(dǎo)數(shù)值可能在不連續(xù)點處不代表該點處的導(dǎo)數(shù)值. ,0時時當當 x )(xf ,0時時當當 x , 0用定義用定義! ,cossin

34、 3 1 3 32 xxx x 43 )( 1 )( 1 yf xf 或或 . d d 1 d d y x x y 第一章第九節(jié)定理第一章第九節(jié)定理2: 單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有 單調(diào)的連續(xù)反函數(shù)單調(diào)的連續(xù)反函數(shù). . 定理定理2內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)、在在某某區(qū)區(qū)間間如如果果函函數(shù)數(shù) y Iyfx)( ,0)( y f且且在在那末它的反函數(shù)那末它的反函數(shù))( 1 xfy ,內(nèi)內(nèi)也也可可導(dǎo)導(dǎo)對對應(yīng)應(yīng)區(qū)區(qū)間間 x I 且且 可導(dǎo)可導(dǎo) 函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則 二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則二、反函數(shù)的求導(dǎo)法則 證證, x Ix 任任取取xx 以以增增量量給給 )()( 11 xfxxfy 連續(xù)連續(xù),

35、 ), 0( x Ixxx , 0 . 1 y x x y , 0lim 0 y x )( 1 xfy 故故從而從而 有有 0 lim x0 lim y . )( 1 y f )( 1 xf 因因 反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù). . 1y x x y 44 . 1 1 2 x 例例 .arcsin的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)xy 解解yxsin yycos)(sin 且且 內(nèi)內(nèi)有有在在)1 , 1( x I )(arcsin x ycos 1 y 2 sin1 1 . 1 1 2 x . 1 1 )(arccos 2 x x 同理可得同理可得 ; 1 1 )

36、(arctan 2 x x . 1 1 )cotarc( 2 x x , 0 )(sin 1 y )(arcsin x 函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則 )( 1 )( 1 yf xf 單調(diào)、可導(dǎo)單調(diào)、可導(dǎo), 直接函數(shù)直接函數(shù) 反函數(shù)反函數(shù) , 2 2 y I 在內(nèi) 45 注注 如果利用三角學中的公式如果利用三角學中的公式: ,arcsin 2 arccosxx , 1 1 )(arccos 2 x x . 1 1 )cot( 2 x x arc ,arctan 2 cotarcxx 也可得公式也可得公式 也可得公式也可得公式 函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則 46 例例.log的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函

37、數(shù)xy a , 0ln)( aaa yy 且且內(nèi)內(nèi)有有在在), 0( x I )( 1 )(log y a a x aa y ln 1 . ln 1 ax 解解,),(內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)、可可導(dǎo)導(dǎo)在在 y y Iax 特別地特別地 . 1 )(ln x x 函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則 47 定理定理3 鏈導(dǎo)法則鏈導(dǎo)法則 )(ufy 而而 x y d d )(x g )(u f 三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則 可導(dǎo)可導(dǎo), ,且其導(dǎo)數(shù)為且其導(dǎo)數(shù)為 或或 u y x y d d d d . d d x u 因變量對自變量求導(dǎo)因變量對自變量求導(dǎo), ,等于因變量對

38、中間等于因變量對中間 變量求導(dǎo)變量求導(dǎo), ,乘以中間變量對自變量求導(dǎo)乘以中間變量對自變量求導(dǎo). . ( ),ug xx如果函數(shù)在點 可導(dǎo) ( ), ( )ug xyf g xx在點可導(dǎo) 則復(fù)合函數(shù)在點 48 證證,)(可導(dǎo)可導(dǎo)在點在點由由uufy )(lim 0 uf u y u )(uf u y 故故 uuufy )(則則 x y x u uf x0 lim)( 函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則 x y d d 規(guī)定規(guī)定 0 0 lim x x u x u uf )( 0 lim x x u xx 00 limlim , 0,0 ux時時當當 xxgfy在在點點則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù))( ,)(可

39、可導(dǎo)導(dǎo)在在點點如如果果函函數(shù)數(shù)xxgu 可導(dǎo)可導(dǎo), ,且其導(dǎo)數(shù)為且其導(dǎo)數(shù)為可導(dǎo)可導(dǎo), , 定理定理3 ( )( )yf uug x而在點 d ( )( ) d y f ug x x (lim0) 0u 0,u 0,u 0 lim x 0 lim0. u ( )f u( ).g x 49 推廣推廣 ),(ufy 設(shè)設(shè) 的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù))(xfy 例例 .sinln的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xy 解解,lnuy u y x y d d d d u 1 x x sin cos xcot x y d d ),(vu ),(xv .sin xu xcos 函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則

40、d d y u d d u v d . d v x d d u x 50 例例.)1( 102 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù) xy 解解 92 )1(10 xy 92 )1(10 x.)1(20 92 xx 例例 .arcsin 22 2 22 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù) a xa xa x y 解解 ) 2 ( 22 xa x y 22 2 1 xa 22 2 1 xa )0( a x2 )arcsin 2 ( 2 a xa 2 2 1 1 2 a x a )1( 2 x 函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則 )( 22 xa a x 22 1 2 2 x ax 2 22 2 x ax 2 22 2 a

41、ax 51 例例.)2( 2 1 ln 3 2 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù) x x x y 解解 ),2ln( 3 1 )1ln( 2 1 2 xxy x x y2 1 1 2 1 2 )2(3 1 1 2 xx x 例例. 1 sin 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) x ey 解解) 1 (sin x x e 1 sin . 1 cos 1 1 sin 2 x e x x )2(3 1 x x ey 1 sin x 1 cos) 1 ( x 函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則 52 0 x , lnx ex )()( ln x ex 因為因為 所以所以 x e ln x )ln( x . 1 x x 1

42、函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則 的情形證明冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式的情形證明冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 1 ()xx 53 xxx xx xx C tansec)(sec sec)(tan cos)(sin 0)( 2 1. 常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 xxx xx xx xx cotcsc)(csc csc)(cot sin)(cos )( 2 1 ax x aaa a xx ln 1 )(log ln)( x x ee xx 1 )(ln )( 四、基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式四、基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式 函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則 2 1 1 )(arcsin x x 2 1 1 )

43、(arccos x x 2 1 1 )(arctan x x 2 1 1 )cotarc( x x 54 2. 函數(shù)的線性組合、積、商的求導(dǎo)法則函數(shù)的線性組合、積、商的求導(dǎo)法則 函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則 )(),(xvvxuu 設(shè)設(shè) 都可導(dǎo)都可導(dǎo), 則則 3. 反函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則 )( 1 )( 1 yf xf 或或 . d d 1 d d y x x y 內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)、在在某某區(qū)區(qū)間間如如果果函函數(shù)數(shù) y Iyfx)( ,0)( y f且且在在對對應(yīng)應(yīng)區(qū)區(qū)間間則則它它的的反反函函數(shù)數(shù))( 1 xfy 且且 可導(dǎo)可導(dǎo) .,R (1) (),uvuv (2) ().u vu v

44、uv 2 (3)(0). uu vuv v vv , x I 內(nèi)也可導(dǎo) 55 4. 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 ,)()()(),(都都可可導(dǎo)導(dǎo)及及且且而而設(shè)設(shè)xgufxguufy 初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù).注注 函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則 的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù))(xgfy ).()()( d d d d d d xgufxy x u u y x y 或或 利用上述公式及法則初等函數(shù)求導(dǎo)問題利用上述公式及法則初等函數(shù)求導(dǎo)問題 可完全解決可完全解決. 56 例例.的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù)xxxy 解解 y xxx2 1 ) 2 1 1( 2

45、 1 1( 2 1 xxx xxx . 8 124 2 2 xxxxxx xxxx )( xxx xxx 2 1 1()( 2 1 xx xx 函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則 57 例例 .,可可導(dǎo)導(dǎo)其其中中函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求g x g ey 1 解解 x g 1 x g e 1 2 1 11 xx ge x g x g e x x g 1 2 1 y x g e 1 x g 1 x 1 函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則 58 例例).( 00 0 sin )( 2 xf x x x x xf 求求設(shè)設(shè) 解解,0時時 x ,0時時 x x x x x 0 sin lim 2 0 2 2 0 s

46、in lim x x x 2 2 sin2sin x x x x x x xf 2 sin )( 0 )0()( lim)0( 0 x fxf f x 1 所以所以 01 0 sin2sin )( 2 2 x x x x x x xf 函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則 59 例例 .)(sin的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)求函數(shù)求函數(shù) nnn xfy 解解 y )(sin 1nn xn n xcos ).(sin)(sin)(sin )(sincos 1 113 nnnnn nnnnn xxfx xfxxn )(sin 1nnn xnf )(sin nn xf )(sin n x 1 n nx 函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的

47、求導(dǎo)法則 60 例例與兩坐標軸的交點所與兩坐標軸的交點所過曲線過曲線證明證明 2 4 : x x y , 0 x令令 證證 , 0 y令令 );2 , 0(Ay軸的交點為軸的交點為曲線與曲線與 ),0 , 4(Bx軸的交點為軸的交點為曲線與曲線與 . 2 y得得 . 4 x得得 2 4 x x y 函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則 , 2 1 0 x y, 2 1 4 x y 由于斜率相等由于斜率相等,知二切線平行知二切線平行. (1) 求交點求交點 , )2( 2 2 x 2 2 1 x 分別為曲線在分別為曲線在A, B點點 的切線斜率的切線斜率. (2) 求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù) 作的曲線的切線彼此平行作

48、的曲線的切線彼此平行. 61 xe xeex x xx 22 sin)1( sin)1(cos 解解 2 1 sin 1 1 x e x 1 sin x e x y 函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則 sin arctan. 1 x x y e 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 62 解解 ),(ufy 設(shè)設(shè) y xxf3cos)3(sin3 注注 xu3sin u y )(uf x3cos3 則則 x u .的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)對對不表示不表示xf 函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則 上式中上式中是函數(shù)是函數(shù) f 對括號中的中間對括號中的中間 變量求導(dǎo)變量求導(dǎo), ? sin3,.yfxf求的導(dǎo)數(shù) 其中函數(shù)可導(dǎo) (sin3 )fx

49、(sin3 ) (sin3 )fxfx 63 .)(, )( 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求是是可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè) xfx eefyf 解解 函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則 分析分析 這是抽象函數(shù)與具體函數(shù)相結(jié)合的導(dǎo)數(shù)這是抽象函數(shù)與具體函數(shù)相結(jié)合的導(dǎo)數(shù), 綜合運用函數(shù)線性組合、積、商求導(dǎo)法則以及綜合運用函數(shù)線性組合、積、商求導(dǎo)法則以及 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則. )( )( xfx eefy )( )( xfx eef )(xf e )()()( )( xfefeefe xxxxf )( )( xfx eef xx eef )()( )( xfe xf )( x ef 64 .的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求函函數(shù)

50、數(shù) xaa axa aaxy 答案答案 1 a aa xay a xa axaa 1 ln x axa aa 2 ln 函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則 解解 ax afxf af ax )()( lim)( ax xax ax 0)()( lim )(limx ax )(a ( ),( )() ( ),xxaf xxax若在處連續(xù) ( ).fa求 65 (注意成立條件注意成立條件); 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則 五、小結(jié)五、小結(jié) )()(xvxu )( )( xv xu );()(xvxu . )( )( xv xu 不能遺漏不能遺漏); (對于復(fù)合函數(shù)對

51、于復(fù)合函數(shù), 反函數(shù)的求導(dǎo)法則反函數(shù)的求導(dǎo)法則 層的復(fù)合結(jié)構(gòu)層的復(fù)合結(jié)構(gòu), 注意一層注意一層 函數(shù)的積、商求導(dǎo)法則函數(shù)的積、商求導(dǎo)法則 注意注意 記住基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式記住基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 66 思考題思考題(是非題是非題) .)(, 0處不可導(dǎo) 處不可導(dǎo)在在則則處不可導(dǎo)處不可導(dǎo)xxf )()(,)( 000 xuufyxxu 在在處處可可導(dǎo)導(dǎo)在在若若 非非 例如例如 2 )(xxu 處處可導(dǎo)處處可導(dǎo), |)(uufy 0)0( 0 u在在處不可導(dǎo)處不可導(dǎo),但復(fù)合函數(shù) 但復(fù)合函數(shù) 2 )(xxfy 處處可導(dǎo)處處可導(dǎo). 函數(shù)的求導(dǎo)法則函數(shù)的求導(dǎo)法則 67 高階導(dǎo)數(shù)的定義高階導(dǎo)數(shù)的定義

52、萊布尼茨萊布尼茨(Leibniz)公式公式 小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè) 第三節(jié)第三節(jié) 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù) 第二章第二章 導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分 幾個基本初等函數(shù)的幾個基本初等函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù) 68 問題問題: :變速直線運動的加速度變速直線運動的加速度. ),(tss 設(shè)設(shè))()(tstv 則瞬時速度為則瞬時速度為 是是加速度加速度a )(ta 定義定義)()(xfxf 的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)如如果果函函數(shù)數(shù) x xfxxf xf x )()( lim)( 0 高階導(dǎo)數(shù)也是由實高階導(dǎo)數(shù)也是由實 際需要而引入的際需要而引入的. 這就是二階導(dǎo)數(shù)的物理意義這就是二階導(dǎo)數(shù)的物理意義)(t v )(t s

53、的變化率的變化率對時間對時間速度速度tv 一、高階導(dǎo)數(shù)的定義一、高階導(dǎo)數(shù)的定義 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù) 處處的的在在點點為為函函數(shù)數(shù)則則稱稱xxfxf)() )( 存在存在,二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù). . )( 即即處可導(dǎo)處可導(dǎo)在點在點,x 記作記作),(x f 2 2 d d x y . d )(d 2 2 x xf 或或 , y 69 階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)稱稱為為的的函函數(shù)數(shù)1)( nxf . d )(d d d ,),( )()( n n n n nn x xf x y yxf或或 三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為 二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為 ;)(,稱為零階導(dǎo)數(shù)稱為

54、零階導(dǎo)數(shù)相應(yīng)地相應(yīng)地xf . d d ,),( 3 3 x y yxf 二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為 . d d ,),( 4 4 )4()4( x y yxf 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù). .)(稱為一階導(dǎo)數(shù)稱為一階導(dǎo)數(shù)x f 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù) 的的函數(shù)函數(shù))(xf 三階導(dǎo)數(shù)三階導(dǎo)數(shù), , 四階導(dǎo)數(shù)四階導(dǎo)數(shù), , n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù), , 記作記作 一般地一般地, 70 例例 解解 2 1 1 x y ) 1 1 ( 2 x y 22 )1( 2 x x 22 )1( 2 x x y 32 2 )1( )13(2 x x ; 0 . 2 由高階導(dǎo)數(shù)的定義由高階導(dǎo)數(shù)的定義,欲求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)欲求函數(shù)

55、的高階導(dǎo)數(shù), 只需按求導(dǎo)法則和基本公式一階階的算下去只需按求導(dǎo)法則和基本公式一階階的算下去, 而不需要新的方法而不需要新的方法. 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù) .,arctan 00 xx yyxy求求設(shè)設(shè) 0 220 )1( 2 x x x x y 0 32 2 0 )1( )13(2 x x x x y 71 例例 .),( )(n yRxy求求設(shè)設(shè) 解解 1 xy )( 1 xy 2 )1( x 3 )2)(1( x)1( 2 xy )1()1()1( )( nxny nn ,n為自然數(shù)為自然數(shù)若若 )()( )( nnn xy , !n ) !( )1( ny n . 0 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù) 二、幾

56、個基本初等函數(shù)的二、幾個基本初等函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù) 則則 72 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù) 例例., )(nx yey求求設(shè)設(shè) 解解, x ey , x ey , x ey .)( )(xnx ee 例例.),1( )1ln( )(n yxxy求求設(shè)設(shè) 解解 x y 1 1 2 )1( 1 x y 3 )1( ! 2 x y 4 )4( )1( ! 3 x y )1! 0, 1( )1( )!1( )1( 1)( n x n y n nn 73 例例 .,sin )(n yxy求求設(shè)設(shè) 解解 xycos ) 2 sin( x ) 2 cos( xy) 22 sin( x) 2 2sin( x ) 2 2cos( xy) 2 3sin( x ) 2 sin( )( nxy n ) 2 cos()(cos )( nxx n 同理可得同理可得 即即) 2 sin()(sin )( nxx n 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù) 74 求求n階導(dǎo)數(shù)時階導(dǎo)數(shù)時, 關(guān)鍵要尋找規(guī)律關(guān)鍵要尋找規(guī)律, 注注 另外在另外在 的規(guī)律性的規(guī)律性,寫出寫出n 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù). 高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù) 便可看出規(guī)律