初中數(shù)學重點：從一道數(shù)學壓軸題談起

1、初中數(shù)學重點：從一道數(shù)學壓軸題談起由于工作的關(guān)系，我經(jīng)常接到一些學生的咨詢，反映在考試時，一見數(shù)學壓軸題就發(fā)怵，經(jīng)常折騰個把小時做不完；還有的學生以為壓軸題一定很難，不敢碰它，所以不如干脆放棄，挪些時間檢查，保證基礎(chǔ)題少丟分，這也是部分老師的諄諄教導(dǎo)和學生家長的千叮萬囑.這種做法是否明智？數(shù)學壓軸題是在初中主干知識的交匯處命制，是多個基礎(chǔ)知識點的融合或深挖，所涉及的知識點多，覆蓋面廣，綜合性強，對思維能力思維品質(zhì)的考查要求很高，幾乎都涉及到數(shù)學學科的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想與基本方法，如三角形的全等、相似；函數(shù)解析式的求法與應(yīng)用、方程的思想、分類討論的思想、數(shù)形結(jié)合的思想等，所以具有一定難

2、度，絕大部分學生難以全部完成.1 壓軸題真的就不能碰嗎？下面以2009年東營市壓軸題為例談?wù)勎覀兊目捶}目：（2009年東營市24題）已知正方形abcd中，e為對角線bd上一點，過e點作efbd交bc于f，連接df，g為df中點，連接eg，cg（1）求證：eg=cg；（2）將圖中bef繞b點逆時針旋轉(zhuǎn)45，如圖所示，取df中點g，連接eg，cg問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由 （3）將圖中bef繞b點旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖所示，再連接相應(yīng)的線段，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結(jié)論？（均不要求證明）fbadceg圖fbadceg圖dfbac

3、e圖 這一壓軸題改編自廣州市2007年初中學生學業(yè)考試數(shù)學試題第25題，原題如下：已知rtabc中，ab=ac，在rtade中，ad=de，連結(jié)ec，取ec中點m，連結(jié)dm和bm.（1）若點d在邊ac上，點e在邊ab上且與點b不重合，如圖，求證：bm=dm且bmdm；（2）如圖中的ade繞點a逆時針轉(zhuǎn)小于45的角，如圖，那么（1）中的結(jié)論是否仍成立？如果不成立，請舉出反例；如果成立，請給予證明該題主要考查三角形、圖形的旋轉(zhuǎn)、特殊四邊形等基礎(chǔ)知識，考查空間觀念、演繹推理能力命題組給出的參考解答及評分意見如下：fbceg圖 解：（1）證明：在rtfcd中， g為df的中點， cg=fd1分同理，在

4、rtdef中， eg=fd 2分 cg=eg3分（2）（1）中結(jié)論仍然成立，即eg=cg4分證法一：連接ag，過g點作mnad于m，與ef的延長線交于n點fbadcegmnn圖 （一）在dag與dcg中， ad=cd，adg=cdg，dg=dg， dagdcg ag=cg5分在dmg與fng中， dgm=fgn，fg=dg，mdg=nfg， dmgfng mg=ng 在矩形aenm中，am=en 6分在rtamg 與rteng中， am=en， mg=ng， amgeng ag=egfbadcegm圖 （二） eg=cg 8分證法二：延長cg至m,使mg=cg，連接mf，me，ec， 4分在d

5、cg 與fmg中，fg=dg，mgf=cgd，mg=cg，dcg fmgmf=cd，fmgdcg mfcdab5分在rtmfe 與rtcbe中， mf=cb，ef=be，mfe cbe6分fbadce圖gmecmeffeccebcef90 7分 mec為直角三角形 mg = cg， eg=mc 8分（3）（1）中的結(jié)論仍然成立，即eg=cg其他的結(jié)論還有:egcg10分分析：解答壓軸題，除了要具備扎實的數(shù)學知識和良好的的讀題習慣外，還要具備較高的應(yīng)考能力，要特別關(guān)注題目中的特殊圖形，如題目中的“正方形的對角線”；特殊的位置關(guān)系，如“efbd”；特殊的點“中點g”等；要找準壓軸題的“題眼”， “

6、題眼”一般在于某一個特殊圖形中或在于某個思想方法中該壓軸題由3個小題組成.第（1）題要求證明兩條線段相等，這可以分別在rtfcd和rtdef中利用“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”得到要證得結(jié)論，這一問是比較簡單的，容易上手；第(2)題是改變圖中bef的位置，將圖中bef繞b點逆時針旋轉(zhuǎn)45，如圖所示，取df中點g，連接eg，cg問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由這一問稍難，但仍還屬于常規(guī)題型，證明的過程需要添加輔助線，通過證兩次三角形的全等，借助于等量代換，得到；第(3)題較難，能力要求較高如果從合情推理的角度出發(fā)，可以通過量一量、猜一猜的辦法解決在

7、解答時把最容易的第（1）小題的分數(shù)完全拿到，中等難度的第（2）小題力爭拿到全分，最難的第（3）小題要爭取得到一點分，這樣就大大提高了獲得數(shù)學高分的可能性另外，從評分標準可以看出，一定要重視分段得分.一道壓軸題做不出來，不等于一點思路沒有，要考慮各種可能由淺入深的分析，知道一步做一步.因此，對壓軸題要理解多少做多少，最大限度地發(fā)揮自己的水平所以，我要大聲疾呼：千萬莫輕易向壓軸題投降！2 還有其他解法嗎下面再給出（2）的另外幾種證法：證法三：過點g作mnad交ab于m，交cd于n，gpad于p，fbadcegpn圖 （三）m則bmg與dng均是等腰直角三角形，四邊形mncb是矩形，四邊形pdng是

8、正方形.所以mg=bm=cn.由于g為df的中點，所以em=am=dn=gn,所以rtemgrtgng,所以證法四：過g作gmad交ab于m，fbadcegmn圖 （四）因為efad,dg=gf,所以am=me，所以ga=ge.因為四邊形abcd是正方形，所以ad=cd,gd=gd,agd=cgd，所以agdcgd,所以ag=cg.所以3 該壓軸題能推廣嗎？將試題中“e為對角線bd上一點，過e點作efbd交bc于f”變換為“e為直線bd上一點，過e點作efbd交直線bc于f”，可得：變式1：已知正方形abcd中，e為直線bd上一點，過e點作efbd交直線bc于f，連接df，g為df中點，連接e

9、g，cg（1）求證：eg=cg；（2）將bef繞b點逆時針旋轉(zhuǎn)45，取df中點g，連接eg，cg問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由 abcdefgabcdefgabcdefg（3）將bef繞b點旋轉(zhuǎn)任意角度，再連接相應(yīng)的線段，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結(jié)論？.將變式1中“將bef繞b點逆時針旋轉(zhuǎn)45”變換為“將bef繞b點順時針旋轉(zhuǎn)45”，可得：變式2：已知正方形abcd中，e為直線bd上一點，過e點作efbd交直線bc于f，連接df，g為df中點，連接eg，cg（1）求證：eg=cg；（2）將bef繞b點順時針旋轉(zhuǎn)45，取df中點

10、g，連接eg，cg問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由 （3）將bef繞b點旋轉(zhuǎn)任意角度，再連接相應(yīng)的線段，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結(jié)論？如果將條件“過e點作efbd交直線bc于f，連接df，g為df中點，連接eg，cg”變換為“過e點作efbc交直線bc于f，連接de，g為de中點，連接fg，cg”可得：變式3：已知正方形abcd中，e為直線bd上一點，過e點作efbc交直線bc于f，連接de，g為de中點，連接fg，cg （1）求證：fg=cg；（2）將bef繞b點順（或逆）時針旋轉(zhuǎn)45，取de中點g，連接fg，cg問（1）中的

11、結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由 abcdfgabcabcdeeffgg（3）將bef繞b點旋轉(zhuǎn)任意角度，再連接相應(yīng)的線段，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結(jié)論？由證法四，可得變式4：如圖，p是正方形abcd對角線ac上一動點（p與a、c不重合），點e在射線bc上，且pe=pb.求證： pe=pd ； pepd.若將條件“知正方形abcd中，e為對角線bd上一點，過e點作efbd交bc于f，連接df，g為df中點，連接eg，cg”變換為“知正方形abcd中，p為對角線ac上一點，過p點作pebc交bc于e，pfcd交cd于f”可得：變式5：圖2圖1

12、如圖1，已知p為正方形abcd的對角線ac上一點(不與a、c重合)，pebc于點e，pfcd于點f(1) 求證：bp=dp；(2) 如圖2，若四邊形pecf繞點c旋轉(zhuǎn)任意一個角度，在旋轉(zhuǎn)過程中是否總有bp=dp？若是，請給予證明；若不是，請用反例加以說明；(3) 試選取正方形abcd的兩個頂點，分別與四邊形pecf的兩個頂點連結(jié)，使得到的兩條線段在四邊形pecf繞點c按逆時針方向旋轉(zhuǎn)的過程中長度始終相等，并證明你的結(jié)論4 能得到什么啟示？（1）回歸課本，夯實基礎(chǔ)近年來中考數(shù)學有許多新題型，多數(shù)試題取材于教科書，試題的構(gòu)成是在教科書中的例題、練習題、習題的基礎(chǔ)上通過類比、加工改造、加強條件或減弱條件、延伸或擴展而成的，也就是說，教科書中的例題、練習題、習題為編擬中考數(shù)學試題提供了豐富的題源.所以，我們要回到教材，認真研究教材，發(fā)揮教材的示范作用.（2）注重過程，發(fā)展能力要親身經(jīng)歷數(shù)學問題的提出過程、解決方法的探索過程、問題結(jié)論的深化過程、方法能力的遷移過程.積極參與數(shù)學思維活動、經(jīng)歷