結(jié)構(gòu)動力計算

1、1 1、掌握單自由度體系的自由振動、強迫振動、阻 尼對振動的影響等； 2、掌握求解多自由度體系的自由振動的剛度法； 3、掌握多自由度體系在簡諧荷載下的強迫振動； 4、了解多自由度體系主振型的正交性和主振型； 5、了解無限自由度體系的自由振動； 6、熟悉近似法求自振頻率； 7、了解矩陣位移法求剛架的自振頻率。 基本要求： 第2頁/共188頁 2 10-1 結(jié)構(gòu)動力計算的特點和動力 計算自由度 一、結(jié)構(gòu)動力計算的特點 1、幾個概念 要研究結(jié)構(gòu)在動力荷載作用下的結(jié)構(gòu)計算問 題，首先要了解什么是動力荷載(動荷載)以及與此 有關(guān)的概念。如：靜荷載、動荷載、自由振動、 強迫振動、動力反應(yīng)。 第3頁/共18

2、8頁 3 （1）靜荷載：荷載的大小、方向及作用位置都 不隨時間變化（如自重），或者雖有變化，但變化 相當(dāng)緩慢，它所引起的結(jié)構(gòu)上各質(zhì)點的加速度可以 忽略不計。例如：雪荷載、人群、設(shè)備重量、吊車 荷載。即是說我們討論的“移動荷載”一般看作靜 力荷載。 （2）動荷載：荷載的大小、方向和作用位置隨 時間迅速變化，由此引起的結(jié)構(gòu)質(zhì)量加速度及慣性 力不能忽略不計。 第4頁/共188頁 4 即：動荷載引起的結(jié)構(gòu)(結(jié)構(gòu)上各質(zhì)點)的加速 度較大，對結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和位移的影響不能忽略。 加載后雖然荷載不再變化，但是加載速度卻很 大，致使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生明顯的振動，則屬于動荷載。 （3）荷載周期與結(jié)構(gòu)自振周期 一種荷載是否作為

3、動荷載來處理，我們通常用 荷載周期TH與結(jié)構(gòu)自振周期TJ的比值來衡量。 如荷載的周期TH =1s，而TJ =0.1s，TH / TJ =10， 則荷載對結(jié)構(gòu)而言可當(dāng)作靜荷載處理。 若結(jié)構(gòu)自振 第5頁/共188頁 5 周期TJ =10s，有TH / TJ =0.1，則該荷載就應(yīng)作為動 荷載來處理。 一般而言， TH / TJ 5，該荷載就可作為靜荷載 處理。 自振周期：(廣義的解釋)是結(jié)構(gòu)經(jīng)歷一個循環(huán)的 自由振動所需的時間。 (4) 動力反應(yīng)：動荷載作用下，結(jié)構(gòu)產(chǎn)生振動， 結(jié)構(gòu)的分布質(zhì)量和集中質(zhì)量的位移、速度、加速度 以及作用在質(zhì)量上的慣性力都是時間 t 的函數(shù)，上 第6頁/共188頁 6 述內(nèi)

4、力、位移、速度、加速度以及慣性力等統(tǒng)稱為 結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)。 習(xí)慣上稱動內(nèi)力和動位移為結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)。 學(xué)習(xí)動力學(xué)就是要掌握動力反應(yīng)的計算原理和 方法，并確定其隨時間的變化規(guī)律。 結(jié)構(gòu)的動力反應(yīng)和結(jié)構(gòu)本身的動力特性有關(guān)。 （5）動力特性：結(jié)構(gòu)的自振頻率、自振周期、 阻尼特性以及多自由度體系的主振型等則是結(jié)構(gòu)固 有的動力特性。 第7頁/共188頁 7 反映結(jié)構(gòu)動力特性的這些參數(shù)對結(jié)構(gòu)的動力分 析有著重要的影響，需通過分析結(jié)構(gòu)的自由振動而 得到。 （6）自由振動：結(jié)構(gòu)在動力荷載下將發(fā)生振動， 若起振后就再無外力的激振作用，則這種振動稱之 為自由振動。 或者說：動荷載引起結(jié)構(gòu)振動，若在整個振動 過程中

5、再無外力作用，則稱這種振動為自由振動。 第8頁/共188頁 8 （7）強迫振動：結(jié)構(gòu)在振動過程中受到動荷載 (干擾力)的作用，稱為強迫振動。 （8）動靜法：根據(jù)達朗伯原理，若假想把慣性 力作用在振動著的質(zhì)量上，則在任一時刻，結(jié)構(gòu)在 動荷載以及慣性力作用下處于平衡狀態(tài)。這樣就把 動力計算問題轉(zhuǎn)化為靜力平衡問題。 但是，這是形式上的平衡，是一種動平衡，是 一種引進慣性力條件下的平衡，是瞬間平衡。 第9頁/共188頁 9 關(guān)于風(fēng)荷載：對一般房屋結(jié)構(gòu)來說，風(fēng)荷載可 看作靜力荷載，而對于高聳柔軟結(jié)構(gòu)來說則應(yīng)作為 動力荷載處理。 英國多倫多電視塔，世界 第一高塔，1973年開工、 1976年建成。鋼筋混凝

6、土 結(jié)構(gòu)，用鋼量5600噸，混 凝土4萬余立方米。高553 米，主體451米，天線桅桿 102米，電視塔桅桿部分用 巨型直升機吊裝。 第10頁/共188頁 10 多 倫 多 電 視 塔 夜 景 第11頁/共188頁 11 多倫多電視 塔時間間隔 特寫鏡頭 第12頁/共188頁 12 莫 斯 科 電 視 塔 “歐洲第一、世 界 第 二 ” 塔 。 1967年建成，高 540米，鋼筋混 凝土結(jié)構(gòu)，頂端 合理擺幅可達20 米。 第13頁/共188頁 13 2000年8月27 日莫斯科電視 塔發(fā)生火災(zāi)， 煙霧從340米 高塔段冒出。 第14頁/共188頁 14 上海“東方明 珠”，亞洲第一、 世界第三

7、高塔。 1994年建成， 塔高468米，主 體結(jié)構(gòu)350米， 天線桅桿118米。 第15頁/共188頁 15 建筑資料建筑資料 【建設(shè)地點】：廣州市海珠區(qū)赤崗塔,珠江新城 對岸 【開工時間】：2005年11月25日 【竣工時間】：預(yù)計2009年9月,2008年8月27 日，主塔體完成封頂 第16頁/共188頁 16 【占地面積】：17.546萬平方米 【建筑面積】：11.4054萬平方米 【建筑高度】：塔身主體454米，天線桅桿156 米?？偢叨?10米 【建筑層數(shù)】：37層 【結(jié)構(gòu)形式】：鋼筋混凝土結(jié)構(gòu) 【建筑造價】：人民幣22億元 【投資單位】：廣州電視臺,廣州建設(shè)投資公司 【設(shè)計單位】：

8、英國ARUPQualifi-cation 【建設(shè)用途】：電視廣播,游樂園,觀光 【施工單位】：寶鋼公司 第17頁/共188頁 17 【英文名稱】：Canton Tower 【別稱】：廣州電視觀光塔,廣州塔 正在全球征集塔名，獎金10萬。 另外：日本將建634米高塔，超過廣州新電視塔 24米。 第18頁/共188頁 18 二、動荷載分類 1、周期荷載 特點：隨時間呈周期性變化。 (1) 簡諧性周期荷載（典型） 按簡諧規(guī)律隨時間 改變其量值的荷載。 如馬達質(zhì)量偏心產(chǎn) 生的荷載。 t P F - P F ( ) P F t 圖(a)簡諧荷載 工程上常用的有下面幾種動力荷載。 第19頁/共188頁 1

9、9 FP(t)t的變化規(guī)律可用正弦或余弦函數(shù)表示。 (2) 非簡諧性周期荷載 不是按簡諧規(guī)律周期性變化的荷載(圖b、c)，其 中圖c表示鍛錘產(chǎn)生的周期沖量。 圖( b) FP(t) t t t t FP(t) t 圖( c) 第20頁/共188頁 20 （a) t P F ( ) P F t r t t P F ( ) P F t d t （b) 核爆炸沖擊波荷載曲線 急劇增加 化爆沖擊波荷載曲線 急劇減小 特點：這類荷載在很短的時間內(nèi)，荷載值急劇 增大或急劇減小。 2、 沖擊荷載 第21頁/共188頁 21 FP(t) t 爆炸沖擊荷載 荷載急劇增減 （c） 沖擊壓力作用時間小于或 略大于結(jié)

10、構(gòu)的自振周期 第22頁/共188頁 22 3、隨機荷載 荷載在將來某一時刻的大小和方向無法事先確 定，稱為非確定性荷載，或稱為隨機荷載，例如地 震荷載及風(fēng)荷載就是隨機荷載。 第23頁/共188頁 23 4、脈動風(fēng)壓 特點：荷載在任一時刻的數(shù)值是無法事先確定的。 圖示是不規(guī)則變化的風(fēng)壓。實測表明不規(guī)則風(fēng)壓 可以分解為穩(wěn)定風(fēng)壓(平均風(fēng)壓)和脈動風(fēng)壓。在一次 大風(fēng)過程中，當(dāng)風(fēng)力最強時，結(jié)構(gòu)某一高度處的風(fēng) 壓圍繞其平均值變化，這是符合統(tǒng)計規(guī)律的。 Q Q1 t 脈動風(fēng)壓脈動風(fēng)壓 穩(wěn)定風(fēng)壓穩(wěn)定風(fēng)壓 第24頁/共188頁 24 下面是1940年美國塔克瑪大橋由風(fēng)震而破壞的錄 相。 穩(wěn)定風(fēng)壓Q1：對結(jié)構(gòu)的作

11、用可視為靜力荷載。 脈動風(fēng)壓：對高聳柔性結(jié)構(gòu)則視為動力荷載。 第25頁/共188頁 25 從以上分析知： (1) 周期荷載和沖擊荷載是確定性動力荷載。變 化規(guī)律可知，即可用確定性函數(shù)來描述。 (2) 地震荷載和脈動風(fēng)壓是非確定性動力荷載。 又稱隨機荷載。不能表示為時間的確定性函數(shù)，但 受統(tǒng)計規(guī)律的制約，需用概率和數(shù)理統(tǒng)計的知識分 析，得出某些共同的規(guī)律，作為設(shè)計依據(jù)。 特別指出：當(dāng)荷載的周期為結(jié)構(gòu)的自振周期五倍 以上時，動力作用較小，此時的動力荷載可視為靜 力荷載以簡化計算。 第26頁/共188頁 26 三、慣性力 當(dāng)物體受外界因素的作用發(fā)生運動狀態(tài)改變， 即獲得加速度時，物體由于慣性產(chǎn)生對外

12、界抵抗的 作用力稱為慣性力。正是由于慣性力的作用使結(jié)構(gòu) 的動力計算具有不同于靜力計算的特點。 四、彈性體系的動力計算自由度 定義：為確定彈性體系在振動過程中任一時刻 全部質(zhì)量的位置所需要的獨立幾何參數(shù)的數(shù)目稱為 彈性體系的動力計算自由度。 第27頁/共188頁 27 對于桿系結(jié)構(gòu)，通常忽略梁式桿的軸向變形， 且體系為線性彈性體。 對于集中質(zhì)量體系，為了約束全部質(zhì)量的線位 移所需要的獨立幾何參數(shù)的數(shù)目很容易確定。下圖 中，n為動力計算自由度數(shù)。 n=1n=2 n=0 n=1 n=2 n=2 第28頁/共188頁 28 因為，實際結(jié)構(gòu)的質(zhì)量都是連續(xù)分布的，因此 可以說任何一個實際結(jié)構(gòu)都具有無限個自

13、由度。 但是如果所有結(jié)構(gòu)都按無限自由度計算，是十分 困難的，也是不必要的。這就需要簡化結(jié)構(gòu)成有 限個自由度的問題。 簡化方法：集中質(zhì)量法和廣義坐標(biāo)法。 1、集中質(zhì)量法 集中質(zhì)量法：把連續(xù)分布的質(zhì)量集中為有限個 質(zhì)點，將無限自由度問題簡化為有限自由度問題。 第29頁/共188頁 29 幾個實例 (1) 圖（a）示簡支梁，跨中有一重物W。當(dāng)梁本 身的質(zhì)量遠小于重物的質(zhì)量時，可取圖b所示的計算 簡圖。此時，體系可看作是具有一個自由度的體系。 W (a) 質(zhì)點m (b) 第30頁/共188頁 30 (2) 圖a所示的三層平面剛架，在水平力的作用下 計算剛架的側(cè)向振動時，只有三個自由度。 (a)(b)

14、第31頁/共188頁 31 (3) 圖a所示為一單層廠房排架，考慮水平振 動時可簡化 圖b。屋蓋與屋架質(zhì)量較大，可將其集中 于直立柱的頂端，柱的部分質(zhì)量也集中到頂端。當(dāng)考 慮水平振動時，只有一個自由度，即水平位移y(t)。 (a) y(b) 第32頁/共188頁 32 (4) 圖a所示兩層單跨平面剛架，考慮水平振動時 通常也將梁、柱和樓板的質(zhì)量都集中在結(jié)點上，使 體系成為具有四個質(zhì)點的體系。體系有兩個自由度， y1= y2；y3= y4 。 (a)(b) y1y2 y4y3 y1 y 2 (c) 第33頁/共188頁 33 (5) 圖a所示為一塊形基礎(chǔ)，可簡化為一剛性質(zhì)塊。 當(dāng)考慮平面內(nèi)的振動

15、時，共有三個自由度，即水 平位移x，豎向位移y，和角位移 (圖b)。 當(dāng)僅考慮豎直方向的振動時，則只有一個自由度 (圖c)。所以，體系的自由度與計算的精度有關(guān)。 （a）(b) x y (c) y 第34頁/共188頁 34 2、廣義坐標(biāo)法 (1) 具有分布質(zhì)量的簡支梁是一個具有無限自由 度的體系。簡支梁的撓度曲線可用三角級數(shù)來表示： )(sin)( 1 a l xk axy k k ak稱為廣義坐標(biāo)，是一組待定參數(shù)。 其中： 為形狀函數(shù)，是一組給定的函數(shù)； l xk sin 第35頁/共188頁 35 當(dāng)形狀函數(shù)選定后，梁的撓度曲線y(x)即由無限 多個廣義坐標(biāo)a1、 a2、 an、所確定，因

16、此簡支 梁具有無限自由度。在簡化計算中，通常只取級數(shù)的 前n項： )(sin)( 1 b l xk axy n k k 這時簡支梁被簡化為具有n個自由度的體系。 書中其他實例自學(xué)。 第36頁/共188頁 36 3、附加支桿法確定體系的自由度 當(dāng)體系比較復(fù)雜時，可以用附加支桿的方法確 定其自由度。 附加支桿法： 在各個質(zhì)點可發(fā)生獨立位移的方 向上附加剛性支桿，直到全部質(zhì)點不能再運動，此時 所需支桿的最小數(shù)目就是體系的自由度數(shù)。 n=2 第37頁/共188頁 37 n=4 4、關(guān)于自由度的概念 動力計算自由度與幾何構(gòu)造分析中自由度的概念 既有共同點又有不同點。 共同點：它們都表明體系運動形式的獨立

17、坐標(biāo)數(shù)。 不同點：幾何構(gòu)造分析中討論的是剛體體系的運 動自由度，動力計算中討論的是變形體系中質(zhì)量的運 動自由度。 第38頁/共188頁 38 練習(xí)題：指出下列體系的自由度 y4 y3 y1 y2 y1 = y2 n=3 (a) y1 y2 (b) n=2 y1 y2 (c) n=3 y3 y1 (d) y2 n=2 第39頁/共188頁 39 EA1 EA2 (e) n=2 n=2 (f) (h) n=1 EI= y1 y3 y2 n=3 (g) 由上面的例子可以看出，結(jié)構(gòu)動力計算自由度 的數(shù)目與集中質(zhì)量的數(shù)目、結(jié)構(gòu)型式以及質(zhì)量在結(jié) 構(gòu)上的分布有關(guān)，應(yīng)具體問題具體分析。 第40頁/共188頁

18、40 10-2 單自由度體系的自由振動 進行結(jié)構(gòu)的動力分析，往往是先建立體系的運動 微分方程，而微分方程的建立要依據(jù)動力學(xué)模型。 本節(jié)討論單自由度體系的動力學(xué)模型。 單自由度體系的動力分析簡單而重要。其原因： 一是很多實際的動力學(xué)模型?？梢园磫巫杂啥润w系 進行計算（或進行初步的估算）；二是單自由度體 系的動力分析是多自由度體系動力分析的基礎(chǔ)。 第41頁/共188頁 41 自由振動：單自由度體系初始時（t=0）受外界 干擾而起振，以后再無外界干擾而進行的振動。外 界干擾可以是初位移y0，或初速度v0。 一、運動方程（振動微分方程） 1、 實例(簡化) 建筑結(jié)構(gòu)作為單自由度體 系進行研究的實例。

19、m(W) p(t) y 帶質(zhì)塊的簡支梁帶質(zhì)塊的簡支梁 p(t) y 塊式基礎(chǔ)塊式基礎(chǔ) 支承在彈性地基支承在彈性地基 上的塊式基礎(chǔ)上的塊式基礎(chǔ) 第42頁/共188頁 42 p(t) y 水塔 p(t) 門式剛架或排架 鉸結(jié)或剛結(jié) 2、建立運動方程的剛度法（動靜法） 根據(jù)力系平衡建立運動方程的方法稱為剛度法。 依據(jù)：達朗倍爾原理。 下面討論單自由度體系的自由振動。 第43頁/共188頁 43 考慮集中 質(zhì)量上力系的 平衡，得到： ( )( )0my tky t 即 ( )( )0my tky t 1 k m k y(t) ( )my t ( )ky t yyy 若把集中質(zhì)量取作隔離體，其上作用有慣

20、性力 與加速度 方向相反）及彈性力 （與 方向 相反）。 ( )ky t( )my t ( )my t ( )ky t 第44頁/共188頁 44 根據(jù)位移協(xié)調(diào)建立運動方程的方法稱為柔度法。 集中質(zhì)量在任一時刻的位移 y(t) 可看作是慣性 力 作用下產(chǎn)生的靜位移 。 ( )my t ( )( )0my tky t 1 k 運動方程為： ( )( )y tmy t 3、建立運動方程的柔度法 y y y m y(t) 1 -( )my t 第45頁/共188頁 45 二、方程解答 ( )( )0my tky t0 k yy m 令 2 k m k m 所以 2 ( )( )0y ty t 特征方

21、程為 0 22 i 和 ti e ti e 是方程的兩個特解。 常系數(shù)線性齊次方程 第46頁/共188頁 46 由歐拉公式得： 可以證明 和 也是方程的兩個特解。 costsin t cossin cossin it it etit etit 所以tCtCtycossin)( 21 若初位移和初速度分別為 ， ： 00 (0)(0)yyvv 則 0220 01yCCy 由 10 ( )cossiny tCtyt 第47頁/共188頁 47 得到 0 011 10CC 動位移為 0 0 ( )sincosy ttyt 令 0 0 sincos v yaa 則 22 00 0 0 ( )sin()

22、 () y tat vy aytg v 分析(10-3)式可知：振動是由兩部分組成的。 (10- -3) (10- -4) 振幅 初始相位角 第48頁/共188頁 48 (1) 單獨由初始位移y0 (初始速度v0=0)引起的振動， 質(zhì)點按y0cos t的規(guī)律振動(圖a)。 2/ t=0 2 y T y0 -y0 t O tytycos)( 0 t= /2 3/2 y T t O t v ty sin)( 0 0 v 0 v (2) 單獨由初始速度v0(初始位移y0=0)引起的振動， 質(zhì)點按(v0 / )sint 的規(guī)律振動(圖b)。 第49頁/共188頁 49 若按（10-4）式，其 振動圖形

23、如右圖。 推導(dǎo)參數(shù)a、 與參 數(shù)y0、v0之間的關(guān)系： tatatysincoscossin)( 與式(10-3)比較，即得： cossin)0( 0 a v ay 或 (10-5a、b) 0 0 1 2 2 0 2 0 , v y tg v ya t+= /2 3/2 y T t a -a O ( )() tatysin / 展開式(10-4)的右邊，有： 第50頁/共188頁 50 三、自振頻率和自振周期 1、自振頻率 k m 1 st kgg mmW 單位（1/s） st W W st 2 T 通常，為表明單位時間內(nèi)體系的振動次數(shù)，引 入“頻率”的概念。習(xí)慣上稱為“工程頻率”，記 為f：

24、 1/k=m=W/g st W 第51頁/共188頁 51 自振頻率(圓頻率)的重要性質(zhì)： (1) 只與體系的質(zhì)量和剛度有關(guān)，與外界激發(fā)振 動的因素?zé)o關(guān)； (10-7) 2 1 T f ：表示在2個單位時間內(nèi)的振動次數(shù)，稱為圓 頻率(角頻率、固有頻率、自振頻率)。 f：單位時間內(nèi)的振動次數(shù)(1/s)，稱為赫茲(Hz)。 (10-8) f T 2 2 第52頁/共188頁 52 上面給出了自振周期T計算公式的幾種形式。 (2) 是結(jié)構(gòu)體系所固有的屬性-稱為固有頻率； (3) 剛度k越大(質(zhì)量m越小)，越高，反之越低。 (4) 是設(shè)計結(jié)構(gòu)的一個重要參數(shù)(根據(jù)的特性， 可期望其達到某一數(shù)值，從而達到

25、減振的目的)。 2、自振周期 2 2222 st mW Tm kgg 自振周期：振動一次所需的時間(單位：秒)。 第53頁/共188頁 53 解釋：沿質(zhì)點振動方向的結(jié)構(gòu)柔度系數(shù)，表示 在質(zhì)點上沿振動方向施加單位荷載時質(zhì)點沿振動方向 所產(chǎn)生的靜位移。 st：st=W表示在質(zhì)點上沿振動方向施加數(shù)值為 W的荷載時，質(zhì)點沿振動方向所產(chǎn)生的靜位移。 自振周期T的重要性質(zhì)： (1) 自振周期與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和結(jié)構(gòu)的剛度有關(guān)，而 且只與這兩者有關(guān)，與外界的干擾因素?zé)o關(guān)。干擾力 的大小只能影響振幅 a 的大小，而不能影響結(jié)構(gòu)自振 第54頁/共188頁 54 周期T的大小。 (2) 自振周期與質(zhì)量的平方根成正比，質(zhì)

26、量越大， 則周期越大(頻率f越小)；自振周期與剛度的平方根 成反比，剛度越大，則周期越小(頻率f越大)。要改 變結(jié)構(gòu)的自振周期，只有從改變結(jié)構(gòu)的質(zhì)量或剛度 著手。 (3) 自振周期T是結(jié)構(gòu)動力性能的一個很重要的 數(shù)量標(biāo)志。兩個外表相似的結(jié)構(gòu)，如果周期相差很 大， 則動力性能相差很大； 反之，兩個外表看來并 第55頁/共188頁 55 不相同的結(jié)構(gòu)，如果其自振周期相近，則在動荷載 作用下其動力性能基本一致。地震中常發(fā)現(xiàn)這樣的 現(xiàn)象。所以自振周期的計算十分重要。 自振頻率和自振周期是結(jié)構(gòu)的固有特性。 通過以上分析，由自振頻率和自振周期的計算 公式可得如下變化規(guī)律（前面性質(zhì)的圖示）： k T k T

27、 m T m T 第56頁/共188頁 56 四、單位制 質(zhì)量kg（千克） 重力N （牛頓） 長度m （米） 時間 s （秒） 在公式 和 中，若質(zhì)量m 的單位為kg，則剛度k的單位應(yīng)取N/m，不能取N/cm。 k m 2 m T k 2 2 1 ? N cmkg m sm kgcm kgcm s 第57頁/共188頁 57 五、重力對運動方程的影響 運動方程為： 0mYkYW 因為( )( ) st Y ty t 所以 ( ) st myk y tW 又 st kkWW ( )myky tWW ( )0m yk y t ( )( )Y ty t ( )y t ()Y t m w -mY -k

28、Y 1 k st 第58頁/共188頁 58 maxmax () st yaW my maxmax ()MWmyl 可見，重力對動位移y (t ) 的運動方程無影響。 質(zhì)量圍繞靜力平衡位置進行振動。 a a a a l a max y max Wmy m st 質(zhì)量的最大位移為： 結(jié)構(gòu)的最大彎矩為： 第59頁/共188頁 59 六、結(jié)構(gòu)剛度系數(shù)或柔度系數(shù)的求解 1) 3 12 2 kEI h 3 24EI k h 2) 23 1 12 315177 () 2 2 2 3 163 32896768 lllllll EIEIEI 1 k EIh k/2 k/2 2 6EI h 2 6EI h 1

29、1 h km EI EIEI 1 m EI 2l2l 5 32l 3 16l 1 EI 2l2l 2l 第60頁/共188頁 60 3) 23 1 12 51 3177 () 2383822448 lllll l l EIEIEI 3 148 7 EI k l l l 1 ll l EI EI 1 3/ 8l 5/ 8l m 第61頁/共188頁 61 4) 333 1 12121 () 2 2 2 3 22 23 23 4 15 () 24 1648 llllll l EI lll EIEI 3 148 5 EI k l l2l /2l1 /4l l2l /2l 1 EIm 第62頁/共18

30、8頁 62 強迫振動：結(jié)構(gòu)在動荷載FP(t)作用下的振動。 10-3 單自由度體系的無阻尼強迫振動 單自由度體系的振動模 型(圖a) 受力分析：取質(zhì)量m為 隔離體分析(圖b)，彈性力- ky，慣性力-m，動荷載 FP(t)。 k y(t) m ( ) P F t m ( ) P F t-( )my t -( )ky t yyy (a)(b) 第63頁/共188頁 63 運動方程為： ( )( ) P myky tF t ( ) ( ) P kF t yy t mm 令 2 k m 得到 2 ( ) ( ) P F t yy t m 下面討論幾種常見的動荷載作用時結(jié)構(gòu)的振動情 況。 第64頁/共

31、188頁 64 一、簡諧荷載 2 ( )sin F yy tt m ( )sin P FtFt 1、方程解答 運動方程為： 齊次方程 的通解為： 2 ( )0yy t 12 ( )sincosy tCtCt 是簡諧荷載的圓頻率，F(xiàn)是荷載幅值。 第65頁/共188頁 65 * 2 sin cos sin yAt yAt yAt 設(shè)方程的特解為： 22 () F A m 2222 2 1 () 1 FF A mm 22 sinsinsin F AtAtt m 代入原方程得： 得： 第66頁/共188頁 66 所以特解為： 22 2 1 sin 1 F yt m 令: 2 st FF yF mk y

32、st 為動荷載幅值F產(chǎn)生的靜位移。 原方程一般解為：（齊次解+特解） 122 2 1 ( )sincossin 1 st y tCtCtyt * 2 2 1 sin 1 st yyt 特解為: F st y 第67頁/共188頁 67 2、待定常數(shù) 設(shè)初始條件為： 。(0)0, (0)0y 由 ，可得 C2= 0。(0)0y 于是得到： 12 2 1 ( )sinsin 1 st y tCtyt 12 2 1 ( )coscos 1 st y tCtyt 由 得：(0)0 1122 22 22 22 2 2 1 0 11 1 ( )sinsin 11 1 (sinsin) 1 stst sts

33、t st CyCy y tytyt ytt 第68頁/共188頁 68 1122 22 22 22 2 2 1 0 11 1 ( )sinsin 11 1 (sinsin) 1 stst stst st CyCy y tytyt ytt 由上式可以知，振動分兩部分：一部分按荷載 頻率振動，另一部分按自振頻率振動。因?qū)嶋H過 程中存在阻尼力，故按自振頻率振動的部分會逐漸 消失，最后余下按荷載頻率振動的部分。 所以方程的解為： 第69頁/共188頁 69 在平穩(wěn)階段，任意時刻的動位移為： 2 2 1 ( )sinsin 1 stst y tytyt 3、平穩(wěn)階段 過渡階段：振動開始時，體系以兩種頻率

34、、 進行振動的階段。 平穩(wěn)階段：只按照荷載頻率進行振動的階段。 一般過渡階段延續(xù)的時間較短，因此在實際問 題中平穩(wěn)階段的振動較為重要。 第70頁/共188頁 70 上式中， 為動力系數(shù)，等于動位移振幅 y(t)max 與動荷載幅值引起的靜位移yst的比值。 max 2 2 ( )1 1 st y t y max ( ) st y ty 若求得的0，則取絕對值即可： 2 2 1 1 位移振幅 第71頁/共188頁 71 1) ，即/ 1時 2 2 1 1 12 4 3 2 1 3 5 的絕對值隨/的增大而變小，即y(t)max逐 步變小。當(dāng)遠大于時， y(t)maxu 0 0 0 1 ( )si

35、ncos( )sin() t P y ttytFtd m 若體系初位移和初速度分別為y0及v0，則： 杜哈梅(J.M.C.Duhamel)積分的意義：計算初始 處于靜止?fàn)顟B(tài)的單自由度體系在任意動荷載FP(t)作 用下的動位移(位移公式)。 第77頁/共188頁 77 三、 一般動荷載 t ( ) P F t 0P F 0 00 ( ) 0 P P t F t Ft 運用杜哈梅積分(y0=0,v0=0)： 1、突加荷載 設(shè)體系原處于靜止?fàn)顟B(tài)。在t=0 時刻，突然加上荷載FP0，且FP0 一 直作用在結(jié)構(gòu)上。 突加荷載的數(shù)學(xué)表達式為： FP (t)t曲線為階梯形曲線， 在t=0處，曲線有間斷點。

36、第78頁/共188頁 78 0 0 0 0 00 0 22 1 ( )sin() 1 sin() () cos()(1cos) (1cos) t P t P t PP st y tFtd m F tdt m FF tt mm yt 上式中 表示在靜荷載FP0作用下產(chǎn)生的靜位移。 00 2 PP st FF y mk 0P F 第79頁/共188頁 79 最大位移即振幅為： max ( )2 st y ty 2 最大位移產(chǎn)生的時刻： cos1 2/2 m T ttt T 所以 st y st y ( )y t t 0 32 結(jié)論：突加荷載引起的最大位移是靜位移2倍。 第80頁/共188頁 80

37、2、短時突加荷載 0 00 ( )0 0 PP t F tFtu tu u t ( ) P F t 0P F 荷載FP0在時刻t=0突然加上，在0tu時段內(nèi)， 荷載數(shù)值保持不變，在時刻t=u荷載又突然消失。 短時荷載的數(shù)學(xué)表達式為： 此時的動位移計算分為兩個階段。 階段(0tu)：此階段荷載為突加荷載 第81頁/共188頁 81 0 0 00 0 20 11 ( )sin ()sin ()() cos ()cos () cos 2sinsin () 22 uu P P u P st st F y tFtdtdt mm F tyt ut m uu yt ( )(1cos) st y tyt 階段

38、II ：無荷載作用，體系為自由振動。()tu 其動位移公式為： 其動位移公式為： 第82頁/共188頁 82 以上公式也可以如此獲得: 由于此階段以階段終了時刻(t=u)的位移y(u)和 速度v(u)作為起始位移和起始速度并作自由振動， 因此也可利用書中式(10-3)求得 2 sin2)cos1 ()( 2 u yuyuy stst 2 cos 2 sin2sin)( uu yuyuv stst 將y(u)和v(u)代入式(17-3)，可得: 第83頁/共188頁 83 ) 2 (sin 2 sin2 )( 2 sin 2 sin2 )(sin 2 cos)(cos 2 sin 2 sin2

39、)(sin 2 cos 2 sin2)(cos 2 sin2 )(sin )( )(cos)()( 2 u t u y ut uu y ut u ut uu y ut uu yut u y ut uv utuyty st st st stst 下面討論最大動位移y(t)max ，有兩種情況。 1) 當(dāng)uT/2，即荷載持續(xù)時間大于半個結(jié)構(gòu)周 期。最大位移產(chǎn)生在第一階段：2 第84頁/共188頁 84 max ( )22 2 mst T ty ty max ( )2sin(2sin) 2 2sin2() 2 stst uu y tyy T uu TT 2) 當(dāng)u0.5 0.0628 0.6181.

40、01.6181.9022.02.0 第86頁/共188頁 86 3、線性漸增荷載 在一定時間內(nèi)(0ttr)，荷載由0增至FP0，然后荷 載值保持不變。 )(tFP 0P F O r tt 線性漸增荷載的數(shù)學(xué)表達式為： 時當(dāng) 時當(dāng) rP r r P P ttF ttt t F tF , 0, )( 0 0 第87頁/共188頁 87 其動力反應(yīng)可利用“杜哈梅”公式求，結(jié)果如 下： 時當(dāng) 時當(dāng) rr r st r r st ttttt t y tt t t t y ty ),(sinsin 1 1 ), sin ( 1 )( 對于這種線性漸增荷載，其動力反應(yīng)與升載時 間tr的長短有很大關(guān)系。動力系

41、數(shù)隨升載時間比值 tr/T而變化的情形，即動力系數(shù)的反應(yīng)譜曲線(如下 圖)。 第88頁/共188頁 88 0 . 1 2 . 1 4 . 1 6 . 1 8 . 1 0 . 2 00 . 10 . 20 . 30 . 4 T tr r t 0P F 可看出：動力系數(shù)介乎于1和2之間。若升載時間很短， 如 tr4T則接近于1.0，相當(dāng)于靜荷載。設(shè)計時，一般以上圖 所示外包虛線作為設(shè)計依據(jù)。 第89頁/共188頁 89 734 6 112 222 23 121 42(21) 233 1820 (4) 33 201 34.5101010 1.4810/ EI EIEI mN 例10-3-1 圖示體系

42、，已知FP0=5kN， m=800kg， EI=4.5107kN.cm2，=35（1/s），g=9.8m/s2。在平 穩(wěn)階段，求C截面的最大位移和B截面的最大彎矩。 解：1) 求柔度系數(shù) C EI AB EI 4m2m 0sinP Ft C 1 C 1 A B 1 2 A B 2 m 第90頁/共188頁 90 2) 求自振頻率 6 11 29.06(1/ ) 800 1.48 10 s m 3) 求動力系數(shù) 22 22 11 2.22 35 11 29.06 4) 求(MB)max及ymax 3 max0 ()() 2(2.22 5 800 9.8 10 ) 2 (11.1 7.84) 23

43、7.88. BP MFW kN m （上拉） max00 36 3 ()()() 18.94 101.48 10 28.03 10 28.03( ) ststPP yyFWFW m mm 第91頁/共188頁 91 10-4 阻尼對振動的影響 前面討論忽略了阻尼的影響，其結(jié)果大體上反 映實際結(jié)構(gòu)的振動規(guī)律，如：自振頻率是結(jié)構(gòu)的固 有值；簡諧荷載下可能出現(xiàn)共振等。但是，自由振 動時振幅永不衰減，共振時振幅趨于無窮等結(jié)論， 與實際振動情況不盡相符。為進一步了解結(jié)構(gòu)的振 動規(guī)律，本節(jié)研究阻尼力對結(jié)構(gòu)振動的影響。 本節(jié)討論兩個問題： (1) 有阻尼的自由振動；(2) 有阻尼的強迫振動。 第92頁/共1

44、88頁 92 1、產(chǎn)生阻尼的原因 （1）材料的內(nèi)摩擦； （2）周圍介質(zhì)的阻尼力，如水和其他液體產(chǎn)生 的阻尼力； （3）結(jié)構(gòu)的結(jié)點及支座處的摩擦力等，因為在 結(jié)點及支座處并非理想聯(lián)結(jié)及理想約束； （4）地基土的內(nèi)摩擦及塑性變形。 一、 概述 第93頁/共188頁 93 2、阻尼力的特點 對質(zhì)點運動起阻礙作用，阻尼力總是與質(zhì)點的 速度方向相反。 數(shù)值上阻尼力與質(zhì)點速度有如下關(guān)系： (1) 阻尼力與質(zhì)點速度成正比，這種阻尼力比較 常用，稱作“粘滯阻尼力”。 (2) 阻尼力與質(zhì)點速度的平方成正比，固體在流 體中運動受到的阻力屬于這一類。 (3) 阻尼力的大小與質(zhì)點速度無關(guān)，摩擦力屬于 此類。 第94頁

45、/共188頁 94 工程中常采用所謂粘滯阻尼，即阻尼力的大小 與速度成正比，但方向相反。(其它類型的阻尼力也 可化為等效粘滯阻尼力) R Fcy 式中c 為阻尼系數(shù) 二、有阻尼自由振動 0my cy ky 0 ck yyy mm 運動方程： 令 2 2 2 kcc mmm k y(t) m m-()myt -( )ky t -( )cy t y y y 第95頁/共188頁 95 方程為 2 20yyy 阻尼比 特征方程為 22 20 222 2 1 2 244 1 2 ， 兩個特解為 22 (1)(1)tt ee 1、當(dāng) (低阻尼情況)時1 （1）微分方程的解 第96頁/共188頁 96 2

46、2 1 2 11 rr ii ， 1 i 特解為 ()() rr itit ee () (cossin) r itt rr eetit () (cossin) r itt rr eetit 所以 也是方程的兩個 特解。 cossin tt rr etet 和 12 ( )(cossin) t rr y teCtCt 初始條件為： 00 (0)(0)yyvv 動位移為： 第97頁/共188頁 97 由 0 (0)yy 10 Cy 因為： 02 02 ( )(sincos) ()(cossin) t rrrr t rr y teytCt eytCt 由 0 (0)vv 020r vCy 00 2

47、r yv C 所以：00 0 ( )(cossin) sin() t rr r t r yv y teytt eat 式中 22 000r 0 r00 ()tg yvy ay yv 振幅 自振圓頻率相位角 第98頁/共188頁 98 （2） yt曲線 曲線特點：是一條振幅逐漸衰減的波動曲線。 可以看出，在低阻尼體系中阻尼對自振頻率和振幅 的影響。 （3）阻尼的影響 t T 0 k t k y 1k y t ae y 對自振頻率的影響： r 稱為有阻尼體系的自振 頻率。 r恒小于無阻尼的 自振圓頻率，在 1 (過阻尼)時 （1）微分方程的解 當(dāng)1時，特征根是兩個負實數(shù)，此時微分方 程的解為： )

48、1ch1sh( 2 2 2 1 tCtCey t （2）對振動的影響分析 因式中不含有簡諧振動的因子，所以由于很大 阻尼的作用，受干擾后偏離平衡位置的體系不會產(chǎn) 生振動。 其原因是所積蓄的初始能量在恢復(fù)平衡位 第107頁/共188頁 107 位置的過程中全部消耗于克服阻尼，不足以引起 體系的振動。 4、綜合分析 綜合以上分析可知：當(dāng)1時，體 系處于過阻尼的無振動狀態(tài)(非周期運動狀態(tài)，實 際情況中很少遇到)；當(dāng)=1時，體系處于臨界阻尼 狀態(tài)。 第108頁/共188頁 108 例10-4-1 圖示門架為一單層建筑的計算簡圖。 設(shè)橫梁EI=，屋蓋系統(tǒng)和橫梁重量以及柱子的部 分重量可認為集中在橫梁處，

49、設(shè)總重為W。為了確 定水平振動時門架的動力特性，進行以下振動試 驗：在橫梁處加一水平力FP=98kN，門架發(fā)生側(cè)移 y0=0.5cm；然后突然釋放，使結(jié)構(gòu)作自由振動。此 時測得周期T測=1.50s，并測得一個周期后橫梁擺 回的側(cè)移為y1=0.4cm。計算門架的阻尼系數(shù)及振動 5周后的振幅。 第109頁/共188頁 109 y FP m=W/g 222 ) 5 . 1 2 () 2 ( Tm k mMN y F k P /6 .19 005. 0 98 0 而 解：因阻尼對周期影響很 小，可取T=T測=1.50s，故有 因此有tMkgkm112012. 16 .19057. 0) 2 5 . 1

50、 ( 2 0355. 0 4 . 0 5 . 0 ln 2 1 ln 2 1 1 0 y y 阻尼比： 第110頁/共188頁 110 阻尼常數(shù)： sMkg mcc r /33. 0 5 . 1 2 12. 120355. 0 2 cmy y y y e y y e y y TT 164. 05 . 0) 5 . 0 4 . 0 ()( 5 0 5 0 1 5 0 1 5 0 5 測測， 引深：對此題求振幅衰減到y(tǒng)0的5%(即0.025cm) 以下所需的時間(以整周期計)。 計算振動5周后的振幅y5： 因為： 所以有： cmy y y y e y y e y y TT 164. 05 . 0)

51、 5 . 0 4 . 0 ()( 5 0 5 0 1 5 0 1 5 0 5 測測， 第111頁/共188頁 111 對于相隔n個周期的振幅，阻尼比可寫為： n y y n 0 ln 2 1 1443.13996. 2 0355. 02 1 025. 0 5 . 0 ln 2 1 ln 2 1 0 n y y n 所以有： 即經(jīng)過14個周期后，振幅可衰減到初始位移的 5%以下。 第112頁/共188頁 112 三、有阻尼強迫振動 由前述有阻尼自由振動的 解答可知，若y(0)=0,v(0)=v0， 則： 0 ( )sin t r r v y tet 若體系在t=0時受沖量S作用，則動位移為： 1

52、、有阻尼體系的杜哈梅積分 ( ) P F t t u t d P SF d 0 ( )sin() t r r SS y tetv mm 第113頁/共188頁 113 若體系在 時刻受微沖量dS=Fp()d 作用，則 動位移增量為： 所以對于受任意動荷載的有阻尼單自由度體系有： () 0 ( ) ( )sin()() t t P r r Fd y tetdtu m () ( ) ( )sin() t P r r Fd dy tet m 杜哈梅積分的意義：在有阻尼情況下，計算初始 處于靜止?fàn)顟B(tài)的單自由度體系在任意動荷載FP(t)作 用下的動位移。 第114頁/共188頁 114 若體系有初位移y

53、0及初速度v0，則 00 0 () 0 ( )(cossin) ( ) sin() t rr r t t P r r yv y teytt Fd etd m 1、突加荷載FP0 突加荷載：設(shè)體系原處于靜止 狀態(tài)。在t=0時，突然加上荷載， 且FP0一直作用在結(jié)構(gòu)上。 0P F O t )(tFP 下面利用上式討論幾種動荷載的動力反應(yīng)。 第115頁/共188頁 115 0t 0 , , 0 )( 0 當(dāng) 當(dāng)t F tF P P )sin(cos1 )sin(cos1 )( 2 0 ttey tte m F ty r r r t st r r r tP 動力位移圖：利用上式可得突加荷載的動位移 圖

54、，可與無阻尼體系的動位移圖相對應(yīng)。 突加荷載的數(shù)學(xué)表達式為： 即可得出當(dāng)t 0時，突加荷載下的動位移： 第116頁/共188頁 116 st y )(ty 0 234 t 56 由圖看出，具有 阻尼的體系在突加荷 載作用下，最初引起 的最大位移可能接近 靜力位移yst的兩倍， 然后經(jīng)過衰減振動， 最后停留在靜力平衡 位置。 )(ty st y 0 234 t 有阻尼時動位移圖 無阻尼時動位移圖 第117頁/共188頁 117 sinmy cy kyFt sinckFt yyy mmm 2 2 2 kcc mmm 方程為： 2 2sin F yyyt m （1）運動方程及解答 ( )sin P

55、FtFt 2、簡諧荷載 令 m-()myt -( )ky t -( )cy t( ) P F t k y(t) m ( ) P F t y y y 第118頁/共188頁 118 齊次方程 2 20yyy _ 12 ( )(cossin) t rr y teCtCt 解答為： 非齊次方程的特解設(shè)為： * * *22 ( )sincos ( )cossin ( )sincos ytAtBt ytAtBt ytAtBt 代入原方程得： 22 2 sincos2(cossin) (sincos)sin AtBtAtBt F AtBtt m 第119頁/共188頁 119 2222 sin (2)si

56、n(2)cos Ft ABAtBABt m 比較等式兩邊可得： 22 22 20 2 BAB F ABA m 22 22 2()0 ()2 AB F AB m 解關(guān)于A、B的線性方程組，得到： 22 2222 ()4() F A m 2222 2 ()4() F B m 方程通解為： _ * 12 ( )( )( ) (cossin)sincos t rr y ty tyt eCtCtAtBt 第120頁/共188頁 120 其中兩個常數(shù)C1和C2由初始條件確定。 分析：上式右邊分為兩部分，表明體系的振動 由兩個具有不同頻率(r和)的振動所組成。 第一部分：由于阻尼作用，含有振動衰減因子 e-

57、t，此項振動逐漸衰減而最后消失。 第二部分：頻率為，由于受到周期荷載的影 響而不衰減，稱為平穩(wěn)振動。 平穩(wěn)振動是討論的重點。下面對其進行討論： 第121頁/共188頁 121 ( )sincosy tAtBt 令cossin PP AyBy 則( )sin () P y tyt （2）討論平穩(wěn)階段的振動 22 22221/2 222 2 22 22 22 (1)4 1 (1)4 P st P st st F yAB m y yF yF ym 式中 222 2 2 2 1 B tg A 任一時刻的動位移 關(guān)于這見書P457 第122頁/共188頁 122 式表明：動力 系數(shù)不僅與頻率比 值/有關(guān)

58、，而且與 阻尼比有關(guān)。對于 不同的值，可畫出 相應(yīng)的與/之間的 曲線。 1.02.0 4.0 3.0 2.0 1.0 3.0 5.0 1.0 0.5 0.3 0.2 0.1 0 曲線 （3）討論 當(dāng) ,隨著 的增大， 越來越小。 相應(yīng)的曲線漸趨平緩。 01 第123頁/共188頁 123 當(dāng)/ =1,稱為共振，可得動力放大系數(shù) 若忽略阻尼的影響，令0，則得出無阻尼體 系共振時動力系數(shù)趨于無窮大的結(jié)論。 2 1 1 若考慮阻尼的影響，則不為0，因而得出共振 時動力系數(shù)總是一個有限值的結(jié)論。所以研究結(jié)構(gòu) 共振時的動力反應(yīng)，阻尼的影響是不容忽略的。 第124頁/共188頁 124 代入 表達式，有

59、max 2 1 21 令/ ( /)0dd 2 /12 在阻尼體系中，共振時的動力系數(shù)并不等于 最大的動力系數(shù)max，但二者的數(shù)值比較接近。 求對參數(shù)(/)的導(dǎo)數(shù)，并令其為零，可求出 max為峰值時相應(yīng)的頻率比(/)。即： 對于實際結(jié)構(gòu) ，有 可得：2/1021 2 1 max 第125頁/共188頁 125 max 1 2 通常 遠小于1，則有 1 max 由表達式y(tǒng)(t)=yPsin(t-)，可見有阻尼體系 的位移比荷載滯后一個相位角。 根據(jù)tg 的表達式可進一步討論如下： 當(dāng)/0， tg 0,則 0。 此時，體系振動很慢，慣性力和阻尼力很小， 動荷載主要與彈性力平衡。位移y(t)與荷載F

60、P(t)同步。 第126頁/共188頁 126 位移y(t)比荷載FP(t)滯后相位角/2。在荷載達 到最大值，即t= /2時，y(t)和 接近于0，所以 慣性力與彈性力近似等于零，動荷載主要與阻尼力 平衡。 ( )y t 位移y(t)與荷載FP(t)反向。此時，體系振動很快， 慣性力很大，而彈性力和阻尼力較小，動荷載主要 與慣性力平衡。 當(dāng)/1， tg ， 則 /2。 當(dāng)/，則 。 第127頁/共188頁 127 10-5 多自由度體系的自由振動 結(jié)構(gòu)中很多問題不能簡化成單自由度體系計算， 必須按多自由度體系處理。如“多層房屋的側(cè)向振 動”和“不等高排架的振動”等問題。 求解方法：剛度法和柔