大學(xué)畫法幾何5投影變換概要

1、2021/2/211 V1 X1 a1 b1 2 a2 b2 2021/2/212 4-1 概概 述述 當(dāng)直線或平面相對于投影面處于特殊位置（平行當(dāng)直線或平面相對于投影面處于特殊位置（平行 或垂直）時或垂直）時,它們的投影反映線段的實長、平面的實它們的投影反映線段的實長、平面的實 形及其與投影面的傾角。形及其與投影面的傾角。 當(dāng)直線或平面和投影面處于一般位置時當(dāng)直線或平面和投影面處于一般位置時,則它們則它們 的投影面就不具備上述特性。的投影面就不具備上述特性。 投影變換就是講直線或平面從一般位置變換為和投影變換就是講直線或平面從一般位置變換為和 投影面平行或垂直的位置投影面平行或垂直的位置,

2、,以簡便地解決它們的度量以簡便地解決它們的度量 和定位問題。和定位問題。 a a b b 兩點之間兩點之間距離距離 a ab b c c 三角形三角形實形實形 a a b b c c d d 直線與平面的直線與平面的交點交點 a b c d a b cd 兩平面兩平面夾角夾角 解決問題解決問題 一、換面法原理及規(guī)律一、換面法原理及規(guī)律 二、六個基本問題二、六個基本問題 三、應(yīng)用舉例三、應(yīng)用舉例 42 換面法換面法 換面法就是保持空間幾何元素不動換面法就是保持空間幾何元素不動, ,用新的投影面替換用新的投影面替換 舊的投影面舊的投影面, ,使新投影面對于空間幾何元素處于有利于解題使新投影面對于空

3、間幾何元素處于有利于解題 的位置。的位置。 （一）、換面法的基本概念（一）、換面法的基本概念 a1 c1 b1 V1 X1 X1 換面法換面法空間幾何元素的位置保持不動空間幾何元素的位置保持不動,用新的投影面用新的投影面 來代替舊的投影面來代替舊的投影面,使對新投影面的相對位置變成有利解題使對新投影面的相對位置變成有利解題 的位置的位置,然后找出其在新投影面上的投影。然后找出其在新投影面上的投影。 V/H 體系變?yōu)轶w系變?yōu)閂1/H 體系體系 c1 b1 a1 bc a b a c X 一、換面法原理及規(guī)律一、換面法原理及規(guī)律 新投影面的選擇必須符合以下兩個基本條件新投影面的選擇必須符合以下兩個

4、基本條件: : 1 1新投影面必須和空間幾何元素處于有利解題的位置。新投影面必須和空間幾何元素處于有利解題的位置。 2 2新投影面必須垂直于一個不變投影面。新投影面必須垂直于一個不變投影面。 （二）、（二）、新投影面的選擇原則新投影面的選擇原則 1點的一次變換點的一次變換 （變換（變換V面）面） X1 V1 a1 （三）、點的投影變換規(guī)律（三）、點的投影變換規(guī)律 a1 X1 V1 a1 X1 H V1 V1 a1 點的投影變換有什么規(guī)律點的投影變換有什么規(guī)律? 點的投影變換規(guī)律點的投影變換規(guī)律 （1 1） 點的新投影和不變投影的連線點的新投影和不變投影的連線, ,必垂直于新投影軸。必垂直于新投

5、影軸。 （2 2） 點的新投影到新軸的距離等于被替換的投影到舊軸的距離點的新投影到新軸的距離等于被替換的投影到舊軸的距離。 2021/2/2110 練習(xí)練習(xí):41 求點求點A和和B在新投影體系在新投影體系V1/H中的投影。中的投影。 b a a b X V H X H V1 1 a 1 b 1 H1 X1 2點的一次變換（變換點的一次變換（變換H面）面） X1 H1 V a1 a1 a2 3 點的兩次變換點的兩次變換 X2 H2 V1 2 X2 a2 二、六個基本問題 （一）（一） 把一般位置直線變?yōu)榘岩话阄恢弥本€變?yōu)橥队懊嫫叫芯€投影面平行線 1 1次次 （二）（二） 把把投影面平行線變?yōu)橥队?/p>

6、面垂直線投影面平行線變?yōu)橥队懊娲怪本€ 1 1次次 （三）（三） 把把一般位置直線變?yōu)橥队懊娲怪本€一般位置直線變?yōu)橥队懊娲怪本€ 2 2次次 （四）（四） 把一般位置平把一般位置平面變?yōu)橥队懊娲怪泵婷孀優(yōu)橥队懊娲怪泵?1 1次次 （五）（五） 把把投影面垂直面變?yōu)橥队懊嫫叫忻嫱队懊娲怪泵孀優(yōu)橥队懊嫫叫忻?1 1次次 （六）（六） 把一般位置平把一般位置平面變?yōu)橥队懊嫫叫忻婷孀優(yōu)橥队懊嫫叫忻?2 2次次 線線 面面 把線面轉(zhuǎn)換成特殊位置把線面轉(zhuǎn)換成特殊位置,不但可以解決線面求實形、不但可以解決線面求實形、 傾角問題傾角問題,而且也是解決各種應(yīng)用問題的基礎(chǔ)而且也是解決各種應(yīng)用問題的基礎(chǔ)! V1 X1

7、（一）（一） 把一般位置直線變?yōu)榘岩话阄恢弥本€變?yōu)橥队懊嫫叫芯€投影面平行線 a1 b1 a1 b1 X1 V1 H 求對哪個投影面的傾角求對哪個投影面的傾角 就平行那個投影作圖就平行那個投影作圖 2021/2/2115 X c d d c 練習(xí)練習(xí):42 用換面法求線段用換面法求線段CD的實長和對的實長和對V面的傾角面的傾角 V H c d 1 1 CD實長 H V 1 X1 求對哪個投影面的傾角求對哪個投影面的傾角 就平行那個投影作圖就平行那個投影作圖 X1 H1 V a1 b1 （二）（二） 把把投影面平行線變?yōu)橥队懊娲怪本€投影面平行線變?yōu)橥队懊娲怪本€ b b 1 X1 a1 b1 （三）

8、（三） 把把一般位置直線變?yōu)橥队懊娲怪本€一般位置直線變?yōu)橥队懊娲怪本€ V1 X1 a1 b1 2 a2 b2 把把一般位置直線變?yōu)橥队懊娲怪本€一般位置直線變?yōu)橥队懊娲怪本€ X2 H2 V1 a2 b2 X1H V1 a1 b1 2021/2/2119 X c d d c 練習(xí)練習(xí):42 用換面法把線段用換面法把線段CD轉(zhuǎn)換成投影面的垂直線。轉(zhuǎn)換成投影面的垂直線。 V H c d 1 1 CD實長 H V 1 X1 X2 H1 V2 d2(c2) a c X V H b b a c （四）（四） 把一般位置平把一般位置平面變?yōu)橥队懊娲怪泵婷孀優(yōu)橥队懊娲怪泵?c d d D X1 H1 a1 c1

9、 b1 d1 d X1H 1 V d b1 a1 c1 d1 求對哪個投影面的傾角就求對哪個投影面的傾角就 做這個投影面的平行線做這個投影面的平行線,并并 緊鄰這個投影面作圖緊鄰這個投影面作圖 2021/2/2121 X a c a b c 練習(xí)練習(xí):48 用換面法求用換面法求ABC對對H面的傾角面的傾角 H V1 a a a 1 1 1 X1 求對哪個投影面的傾角就求對哪個投影面的傾角就 做這個投影面的平行線做這個投影面的平行線,并并 緊鄰這個投影面作圖緊鄰這個投影面作圖 （五）（五） 把把投影面垂直面變?yōu)橥队懊嫫叫忻嫱队懊娲怪泵孀優(yōu)橥队懊嫫叫忻?V1 c1 b1 a1 X1 X1 V1 c

10、1 b1 a1 a1 c1 b1 X1 c d d b1 a1 c1 d1 X1H 1 V a2 c2 b2 d2 X2 V2 H1 （六）（六） 把一般位置平把一般位置平面變?yōu)橥队懊嫫叫忻婷孀優(yōu)橥队懊嫫叫忻?實形實形 2021/2/2125 三、應(yīng)用舉例 （一）距離問題（一）距離問題 （二）角度問題（二）角度問題 （三）綜合問題（三）綜合問題 把線面轉(zhuǎn)換成特殊位置解決一些實際度把線面轉(zhuǎn)換成特殊位置解決一些實際度 量和位置問題量和位置問題: 2021/2/2126 4 求點求點S S到平面到平面ABCABC的距離的距離 6 求兩平行平面間的距離求兩平行平面間的距離 5 求直線與平面間的距離求直

11、線與平面間的距離 1 求點求點C到直線到直線AB的距離的距離 3 求兩直線求兩直線ABAB與與CDCD的公垂線的公垂線 2 求兩平行線間的距離求兩平行線間的距離 （一）距離問題（一）距離問題 把線面轉(zhuǎn)換成把線面轉(zhuǎn)換成垂直于投影面垂直于投影面 即可解決距離問題即可解決距離問題! 角度角度 到直線的距離到直線的距離 把直線轉(zhuǎn)換成投影把直線轉(zhuǎn)換成投影 面的面的垂直線垂直線換面換面2 2次次 到平面的距離到平面的距離 把平面轉(zhuǎn)換成投影面把平面轉(zhuǎn)換成投影面 的的垂直面垂直面換面換面1 1次次 2021/2/2127 c2 c1 b1 a1 X2 H1 V2 H1 X1 V k k k1 b2 k2 a2

12、 距離距離 例題例題1 求點求點C到直線到直線AB的距離及垂的距離及垂 足足 2021/2/2128 例題例題2 求兩平行線的距離求兩平行線的距離 H2 V1 X l b2 (a2) d2 (c2) d1 a1 b1 c1 V1 H X1 2021/2/2129 2 1 11 21 12 22 X2 H2 V1 X1 H V1 a2b2 d2 c2 b1 a1 d1 c1 2 1 b 例題例題3 求兩直線求兩直線AB與與CD的公垂線的公垂線 。 2021/2/2130 k1 X1H1 V b1 a1 c1 d1 s1 例題例題4 求點求點S到平面到平面ABC的距離的距離 距離距離 垂足垂足?

13、k k V H X 2021/2/2131 3.3.兩平面的夾角兩平面的夾角（使交線使交線投影面投影面, ,換面換面2 2次次） 2.2.直線與平面的夾角直線與平面的夾角 3 3次次 （二）角度問題（二）角度問題 1.1.兩直線的夾角兩直線的夾角（即求平面的實形（即求平面的實形, ,換面換面2 2次）次） 綜合綜合 求兩直線的夾角就是求由它們構(gòu)成的平面實求兩直線的夾角就是求由它們構(gòu)成的平面實 形（形（投影面平行面投影面平行面）, ,當(dāng)有平面時先當(dāng)有平面時先把面轉(zhuǎn)換成把面轉(zhuǎn)換成 線（線（投影面垂直面投影面垂直面）。）。 2021/2/2132 例題例題5 求求 ABC的實形的實形 V X1 H1

14、 c2 b2 a2 a1(b1)c1 H2 V1 X2 2021/2/2133 例題例題6 直線直線AB與平面與平面CDE的夾角的夾角 H3 V2 X3 X2 V2 H1 X1 V H1 b3 e3 c3 c2 d3 a3 e1 b1 e2b2 c1 a1 d1 a2 d2 f f 通過變換使通過變換使AB與與 投影面平行投影面平行,CDE與與 投影面垂直。投影面垂直。 三次變換。三次變換。 空間分析 2021/2/2134 例題例題6 直線直線AB與平面與平面CDE的夾角的夾角 2021/2/2135 H2 V1 X2 H v 1 X1 c d b a d a c b d1 c1 a1 d2

15、 b1 c2 a2 b2 V H X 例例7 求平面求平面ABC和和ABD的兩面角。的兩面角。 空間及投影分析空間及投影分析: 由幾何定理知由幾何定理知:兩面角為兩平兩面角為兩平 面同時與第三平面垂直相交時所得面同時與第三平面垂直相交時所得 兩交線之間的夾角。兩交線之間的夾角。 當(dāng)兩平面的交線垂直于投當(dāng)兩平面的交線垂直于投 影面時影面時, ,則兩平面垂直于該投則兩平面垂直于該投 影面影面, ,它們的投影積聚成直線它們的投影積聚成直線, , 直線間的夾角為所求。直線間的夾角為所求。 . . 2021/2/2136 （三）綜合問題（三）綜合問題 例例8 8 求平面求平面ABCABC與直線與直線DE

16、DE的交點的交點 例例9 9 求平面求平面ABCABC與平面與平面DEFDEF的交線的交線 例例11 11 E E點在平面點在平面ABCABC上上, ,距離距離A A、B B為為1515, ,求點求點E E的投影的投影 例例10 E10 E到平面到平面ABCABC的距離為的距離為N,N,求求E E點的正面投影點的正面投影e e 例例12 12 過過C C點作直線點作直線CDCD與與ABAB相交成相交成6060角角 例例13 13 在直線在直線ABAB上找一點上找一點K,K,使使K K點到直線點到直線CDCD的距離等于的距離等于L L 將其中一個面轉(zhuǎn)換成投將其中一個面轉(zhuǎn)換成投 影面的影面的垂直面

17、垂直面換面換面1次次 主要是主要是實形實形（含角度）（含角度）和和距離距離問題的逆向應(yīng)用問題的逆向應(yīng)用: 例例14 例例16 例例15 例例17 17 過過K K點作一直線與交叉兩直線點作一直線與交叉兩直線ABAB、CDCD相交相交例例1818 2021/2/2137 歸納總結(jié)歸納總結(jié): : 作業(yè)作業(yè):4-1、2、4、7、8、9、10、 11、12、13、14、15、16 1、掌握換面法的基本原理和換面法作圖的投影變換規(guī)律。、掌握換面法的基本原理和換面法作圖的投影變換規(guī)律。 2、掌握用換面法求線段實長、平面實形及其對投影面傾角、掌握用換面法求線段實長、平面實形及其對投影面傾角 的基本作圖方法。

18、（即六個基本問題）的基本作圖方法。（即六個基本問題） 3、掌握用換面法解決一般空間幾何元素間的定位和度量、掌握用換面法解決一般空間幾何元素間的定位和度量 問題。（距離、角度及其綜合應(yīng)用問題）問題。（距離、角度及其綜合應(yīng)用問題） 2021/2/2138 點線面小結(jié)點線面小結(jié) 內(nèi)容內(nèi)容單一幾何元素單一幾何元素 從屬關(guān)系從屬關(guān)系 并列關(guān)系并列關(guān)系 點點點的投影規(guī)律點的投影規(guī)律 直線直線三類七種線的三類七種線的 投影特性投影特性 直角法求一般直角法求一般 線實長、傾角線實長、傾角 直線上的點的直線上的點的 投影特性投影特性 直線直線直線直線 直線直線直線直線 直線直線 直線直線 直線直線直線直線 平面

19、平面三類七種面的三類七種面的 投影特性投影特性 平面上的點和平面上的點和 線的作圖方法線的作圖方法 直線直線平面平面 平面平面平面平面 換面法換面法 求線段實長求線段實長 求平面實形求平面實形 投影面傾角投影面傾角 距離問題距離問題 夾角問題夾角問題 相交問題相交問題 投影特性投影特性 求交點（線）求交點（線） 判別可見性判別可見性 綜合應(yīng)用綜合應(yīng)用基本問題基本問題 2021/2/2139 2021/2/2140 （3）3 （1） 例題例題8 求平面求平面ABC與直線與直線DE的交點的交點 a1 f V H1 X1 b1 c1 d1 e1 k k1 f 作作X1軸垂直于軸垂直于a f k 2

20、1 2 1 4 3 4 作圖步驟作圖步驟: 1.在三角形平面在三角形平面ABC 上作正平線上作正平線AF ; 2.作作X1軸垂直于軸垂直于a f ; 3. 求三角形平面求三角形平面 ABC和和DE在垂直于在垂直于 AF的新投影面上的的新投影面上的 投影投影a1b1c1和和d1e1; 4.求三角形平面求三角形平面ABC 和和DE的交點在新投的交點在新投 影面上的投影影面上的投影k1,再再 求出求出k和和k; 5.利用重影點的特點利用重影點的特點 判別可見性。判別可見性。 2021/2/2141 例題例題9 求平面求平面ABC與平面與平面DEF的交線的交線 H X1 V1 e1 f1 d 1 b

21、1 c1 a 1 1 m n m n 1 m1 n c 作作X1軸垂直于軸垂直于a 1 1 2021/2/2142 e N d d X1 V H1 k1 e1 例題例題10 已知已知E到平面到平面ABC的距離為的距離為N,求求E點的正面投影點的正面投影e 。 b1 a1 c1 d1 2021/2/2143 V1x1 H L L a V x H k k b b a c c k1 b1c1 a1 例例16已知三角形已知三角形ABC的的H面投影和面投影和BC邊的邊的V面投影面投影,點點K到到ABC 平面的距離為定長平面的距離為定長L。試補(bǔ)全。試補(bǔ)全ABC平面的平面的V面投影。面投影。 變換思路變換思

22、路: 新投影面新投影面 實距實距 P 作圖步驟作圖步驟: 1.1.設(shè)新軸垂直于設(shè)新軸垂直于bc;bc; 2.2.作圖得作圖得bb1 1cc1 1 kk1 1; ; 3.3.以以kk1 1為圓心為圓心,L,L為半徑作圓為半徑作圓; ; 4.4.過過bb1 1cc1 1作圓的切線作圓的切線, ,aa1 1必在此線上必在此線上; ; 5.5.返回。返回。 2021/2/2144 例題例題11 已知已知E點在平面點在平面ABC上上,距離距離A、B為為15,求點求點E的投影。的投影。 d d b1 a1 c1 d1 X1H 1 V a2 c2 b2 d2 X2 V2 H1 15 15 e e e1 e2

23、 2021/2/2145 空間及投影分析空間及投影分析: : ABAB與與CDCD都平行于投影面時都平行于投影面時, ,其投影的夾角才反映實大（其投影的夾角才反映實大（6060）, ,因因 此需將此需將ABAB與與C C點所確定的平面變換成投影面平行面。點所確定的平面變換成投影面平行面。 例例12 過過C點作直線點作直線CD與與AB相交成相交成60角角。 d X1 H P1 X1 P1 P2 a b a c b X V H c 作作 圖圖: c2 c1 a1 b1 a2 d2 d b2 幾個解幾個解? 兩個解兩個解! 已知點已知點C是等邊三角形的頂點是等邊三角形的頂點,另兩個頂點在直線另兩個頂點在直線AB上上,求求 等邊三角形的投影。等邊三角形的投影。 思考思考: 如何解如何解? 解法相同解法相同! 60 D點的投影點的投影 如何返回如何返回? . . 2021/2/2146 m a b b a X m 1 V H 1 a1 b1 m1 X2 V2 H1 m2 a2 b2 60 反映實形反映實形 c2 c1 c c 例例14已知直線已知直線AB及線外一點及線外一點M,試在直線上找一點試在直線上找一點C,使使 直線直線MC與直線與直線