差分方程的解法

1、第二節(jié)差分方程常用解法與性質(zhì)分析1、常系數(shù)線性差分方程的解(8)方程 a0Xn ka1Xn k 1 akXnb(n)其中a0,a1,.,ak為常數(shù)，稱方程（8）為常系數(shù)線性方程。(9)又稱方幣程 a0Xn kai xn k 1 ak xn0為方程（8）對應(yīng)的齊次方程。n如果（9）有形如Xn的解,帶入方程中可得:kk 1a 0 a1 a k 1ak 0(10)稱方程（10）為方程（8）、（9）的特征方程。顯然，如果能求出（10）的根，則可以得到（9）的解基本結(jié)果如下：（1） 若（10）有k個不同的實根，貝9）有通解：nnnXn C1 1 C2 2 Ck k（2） 若（10）有m重根，則通解中有構(gòu)

2、成項：m 1 n（G c2 n cm n ）（3）若（10）有一對單復(fù)根Cl（4）若有arcta n ，則n .cos nC2sinm重復(fù)根:(9)的通解中有構(gòu)成項:ie ，則（9）的通項中有成項:cos n(Cm 1 Cm 2 nm 1、 n c2m n ) sin n綜上所述，由于方程（10）恰有k個根，從而構(gòu)成方程（9）的通解中必有k個獨立的任意常數(shù)。通解可記為：Xn如果能得到方程（8）的一個特解：Xn，則（8）必有通解:*Xn Xn + 焉（11）（1）的特解可通過待定系數(shù)法來確定。例如：如果b（n）bkm（n）, pMn）為門的多項式，則當(dāng)b不是特征 根時，可設(shè)成形如bqm（n）形式

3、的特解，其中qm（n）為m次多項式；如 果b是r重根時，可設(shè)特解：bnnrqm（n），將其代入（8）中確定出系 數(shù)即可。2、差分方程的z變換解法對差分方程兩邊關(guān)于Xn取Z變換，利用人的Z變換F (Z)來表示出Xnk的Z變換，然后通過解代數(shù)方程求出 F (z),并把F(z)在z=0的解析圓環(huán)域中展開成洛朗級數(shù)，其系數(shù)就是所例 1設(shè)差分方程 Xn 2 3Xn 1 2Xn ，Xo 0，Xl 1，求 Xn解：解法1：特征方程為2 3 2 0，有根：1 1, 2 2故:XnCi( 1)nnc2( 2)為方程的解。由條件 X0 0, X1 1 得：Xn ( 1)n ( 2)n解法2：設(shè)F( z)二Z(Xn

4、)，方程兩邊取變換可得:2 1z2(F(z) Xo X1-) 3z(F(z) Xo) 2F(z) 0zz由條件 X00，X11 得 F(z) z2 3z 2由F(z)在z 2中解析，有1 1F(z) zX 齊)；冷(1)k42 k o zz2 k. 丄、厶. 丄、k /丄k、k(1)r ( 1) (12 )z所以，& ( 1)n (2)nk 0 z k 03、二階線性差分方程組x設(shè) z(n)(y2，Abd),形成向量方程組z(n 1)Az( n)(12)z(n 1)Anz(1)(13)(13)即為(12)的解。為了具體求出解(13)，需要求出An，這可以用高等代數(shù)的方法計算。常用的方法有:(1

5、) 如果A為正規(guī)矩陣，則A必可相似于對角矩陣，對角線上的元素就是A的特征值，相似變換矩陣由A的特征向量構(gòu)成：A p 1 P,An p 1 np, z(n 1) (p 1 np)z(1)。(2) 將A分解成A /， 為列向量，則有An ( . /)n .-.(/ )n1.A從而，z(n 1) Anz(1)( / )n1.Az(1)(3)或者將A相似于約旦標準形的形式，通過討論 A的特征值的性態(tài),找出A的內(nèi)在構(gòu)造規(guī)律，進而分析解z(n)的變化規(guī)律，獲得 它的基本性質(zhì)。4、關(guān)于差分方程穩(wěn)定性的幾個結(jié)果(1) k階常系數(shù)線性差分方程(8)的解穩(wěn)定的充分必要條件是它對應(yīng)的特征方程(10)所有的特征根J 1,2k滿足i(2) 階非線性差分方程(14)Xn 1f(Xn)(14)的平衡點x由方程x f(x)決定,將A)在點