圓的概念公式及推導(dǎo)完整版

1、圓的定義 幾何說(shuō)：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓。定點(diǎn)稱為圓心，定長(zhǎng)稱為半徑。 軌跡說(shuō)：平面上一動(dòng)點(diǎn)以一定點(diǎn)為中心，一定長(zhǎng)為距離運(yùn)動(dòng)一周的軌跡稱為圓周，簡(jiǎn)稱圓。 集合說(shuō)：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓。圓的相關(guān)量 圓弧和弦：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧。大于半圓的弧稱為優(yōu)弧，小于半圓的弧稱為劣 弧。連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑。圓心角和圓周角：頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角。頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn) 的角叫做圓周角。內(nèi)心和外心：過(guò)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心。和三角形三 邊都相切的圓叫做這

2、個(gè)三角形的內(nèi)切圓，其圓心稱為內(nèi)心。扇形：在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形。圓錐側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形。這個(gè)扇形的 半徑成為圓錐的母線。圓和圓的相關(guān)量字母表示方法圓一O半徑一r扇形弧長(zhǎng)圓錐母線一 l圓和其他圖形的位置關(guān)系圓和點(diǎn)的位置關(guān)系：以點(diǎn) r ； P 在O O 上，PO= r ；弧一c周長(zhǎng) C直徑 d面積一 SP與圓0的為例（設(shè)P是一點(diǎn)，則P0是點(diǎn)到圓心的距離），P在O 0外，P0P 在O 0 內(nèi)，PCX r。直線與圓有 3 種位置關(guān)系：無(wú)公共點(diǎn)為相離；有兩個(gè)公共點(diǎn)為相交；圓與直線有唯一公共點(diǎn)為相切，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)唯一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。以直線AB與圓0為例（設(shè)0P丄AB

3、于P,則PO是AB到圓心的距離）： AB與O 0相離，PC r; AB與O 0相切，P0= r ; AB與O 0相交，PCX r。 兩圓之間有 5 種位置關(guān)系： 無(wú)公共點(diǎn)的， 一圓在另一圓之外叫外離， 在之內(nèi)叫內(nèi)含； 有唯一公共點(diǎn)的， 一圓在另一圓之外叫外切，在之內(nèi)叫內(nèi)切；有兩個(gè)公共點(diǎn)的叫相交。兩圓圓心之間的距離叫做圓心距。兩圓的半徑分別為R和r，且R r，圓心距為 P:外離P R+r ；外切P=R+r；相交R-r X Px R+r ；內(nèi)切P=R-r;內(nèi)含 Px R-r?！緢A的平面幾何性質(zhì)和定理】有關(guān)圓的基本性質(zhì)與定理圓的確定：不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。圓的對(duì)稱性質(zhì)：圓是軸對(duì)稱圖形，其

4、對(duì)稱軸是任意一條過(guò)圓心的直線。圓也是中心對(duì)稱圖形，其對(duì)稱中心是圓心。垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧。逆定理：平分弦（不是直徑）的直徑 垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的弧。有關(guān)圓周角和圓心角的性質(zhì)和定理在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角，兩個(gè)圓周角，兩條弧，兩條弦中有一組量相等，那么他們所對(duì)應(yīng) 的其余各組量都分別相等。一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。直徑所對(duì)的圓周角是直角。 90 度的圓周角所對(duì)的弦是直徑。有關(guān)外接圓和內(nèi)切圓的性質(zhì)和定理一個(gè)三角形有唯一確定的外接圓和內(nèi)切圓。外接圓圓心是三角形各邊垂直平分線的交點(diǎn)，到三角形三 個(gè)頂點(diǎn)距離相等；內(nèi)切圓的圓心是三角形各內(nèi)角平分

5、線的交點(diǎn)，到三角形三邊距離相等。有關(guān)切線的性質(zhì)和定理圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的直徑；經(jīng)過(guò)直徑的一端，并且垂直于這條直徑的直線，是這個(gè)圓的切線。切線判定定理：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。切線的性質(zhì)：（1）經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線。（2）經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心。（3）圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑。切線的長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)到圓的兩條切線的長(zhǎng)相等。有關(guān)圓的計(jì)算公式1.圓的周長(zhǎng) C=2n r= n d 2. 圓的面積S=n r2 3. 扇形弧長(zhǎng) 匸n n r/1804.扇形面積 S=nn r2/360=rl/25.圓錐側(cè)面積 S=n rl弦切角定義頂點(diǎn)在圓上，一

6、邊和圓相交，另圖示一邊和圓相切的角叫做。如右圖所示，直線PT切圓0于點(diǎn)C, BC、AC為圓0的弦，則有/ PCA=/ PBC（/ PCA為弦切角）。弦切角定理弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半.（弦切角就是與弦所夾的角）弦切角定理證明：證明一：設(shè)圓心為0,連接 0C 0B,連接BA并延長(zhǎng)交直線T于點(diǎn)P。/ TCB=90- / 0CB/ BOC=180-2 / OCB此圖證明的是弦切角/TCB , / BOC=2Z TCA （定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的度數(shù)的一半）/ BOC=2Z CAB （圓心角等于圓周角的兩倍）/ TCA=Z CAB （定理：弦切角的度

7、數(shù)等于它所夾的弧的圓周角）證明已知：AC是O O的弦，AB是O O的切線，A為切點(diǎn)，弧是弦切角/BAC所夾的弧.求證：（弦切角定理） 證明：分三種情況：（1）圓心O在/ BAC的一邊AC上/ AC為直徑，AB切O O于A，弧 CmA弧 CA為半圓，/ CAB=90=弦CA所對(duì)的圓周角B點(diǎn)應(yīng)在A點(diǎn)左側(cè)（2）圓心O在/ BAC的內(nèi)部.過(guò)A作直徑AD交O O于D,若在優(yōu)弧 m所對(duì)的劣弧上有一點(diǎn)E那么，連接 EC、ED、EA則有：/ CED=/ CAD / DEA=/ DAB/ CEA=Z CAB（弦切角定理）（3） 圓心0在/ BAC的外部，過(guò)A作直徑AD交O 0于D那么 / CDA+Z CAD=Z

8、 CAB+Z CAD=90:丄 CDA=Z CAB（弦切角定理）弦切角推論：若兩弦切角所夾的弧相等，則這兩個(gè)弦切角也相等舉例：例1:如圖，在中，Z C=90，以 AB為弦的O 0與AC相切于點(diǎn) A,Z CBA=60 , AB=a 求BC長(zhǎng).解：連結(jié) OA, 0B.在中，Z C=90 Z BAC=30: BC=1/2a（ RTA中 30角所對(duì)邊等于斜邊的一半）例1:如圖，在中，Z C=90，以 AB為弦的O 0與AC相切于點(diǎn) A，Z CBA=60 , AB=a 求 BC長(zhǎng). 解：連結(jié) OA, 0B.在中，Z C=90 Z BAC=30: BC=1/2a（ RTA中 30角所對(duì)邊等于斜邊的一半）例

9、2 :如圖，AD是 ABC中Z BAC的平分線，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的O 0與BC切于點(diǎn) D,與AB，AC分別相交于E，F(xiàn).求證：EF/ BC.證明：連 DF.AD是Z BAC的平分線 Z BAD=Z DACZ EFD=Z BADZ EFD=Z DACO 0 切 BC 于 D Z FDC=Z DACZ EFD=Z FDCEF / BC例3 :如圖， ABC內(nèi)接于O 0，AB是O 0直徑，CD丄AB于D, MN切O 0于C，求證：AC平分Z MCD BC平分Z NCD.證明： AB是O 0直徑 Z ACB=90/ CD丄 AB:丄 ACD=Z B,/ MN切O O于 C：Z MCA=Z B,：Z MCA=/

10、 ACD, 即AC平分/ MCD 同理：BC平分/ NCD.從圓外一點(diǎn)引圓的兩條，它們的相等，圓心和這一點(diǎn)的連線，平分兩條切線的夾角。如圖中，切線長(zhǎng)AC=AB。/ ABO=/ ACO=90BO=CO半徑AO=AO公共邊： Rt ABO Rt ACO（）： AB=AC/ AOB=/ AOC/ OAB=/ OAC切線長(zhǎng)定理推論：圓的外接四邊形的兩組對(duì)邊的和相等切線長(zhǎng)的概念.如圖，P是O O外一點(diǎn)，PA，PB是O O的兩條切線，我們把線段PA，PB叫做點(diǎn)P到O O的切線長(zhǎng).引導(dǎo)學(xué)生理解：切線和切線長(zhǎng)是兩個(gè)不同的概念，切線是直線，不能度量；切線長(zhǎng)是線段的長(zhǎng)，這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別是圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)，可以

11、度量.切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平 分兩條切線的夾角.推廣：連接 BC，BC丄AO相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等。（經(jīng)過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)引兩條線，各弦 被這點(diǎn)所分成的兩段的積相等）相交弦說(shuō)明幾何語(yǔ)言：若弦AB、CD交于點(diǎn) P貝U PA- PB=PC PD （相交弦定理）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的幾何語(yǔ)言：若AB是直徑， CD垂直 AB于點(diǎn)P，則PCA2=PA PB （相交弦定理推論）如何證明證明：連結(jié) AC, BD,由的推論，得/A=Z D,/ C=Z B。（推論 2:同（等）弧所對(duì)圓周

12、角相等.） PA3A PDB,. PA： PD= PC： PB, PA- PB= PC- PD注：其可作為證明圓的的方法.P點(diǎn)若選在圓內(nèi)任意一點(diǎn)更具一般性。切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的和，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的。是的一 種。幾何語(yǔ)言：/ PT切O O于點(diǎn)T, PBA是O O的割線 PT的平方=PA- PB （切割線定理）推論：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等幾何語(yǔ)言：/ PBA, PDC是O O的割線 PD- PC=PA PB （切割線定理推論）（）由上可矢知:PT的平方=PA- PB=PC PD證明切割線定理證明 ：設(shè)ABP是O O的

13、一條割線，PT是O O的一條切線，切點(diǎn)為 T,貝U PT²=PA PB證明：連接 AT, BT/ PTB=/ PAT（）/ P=/ P（公共角） PBTsA PTA（兩角對(duì)應(yīng)相等 ，兩三角形相似 ）貝U PB： PT=PT： AP即：PT²=PB- PA相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等。（經(jīng)過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)引兩條線，各弦被這點(diǎn)所分成的兩段的積相等）相交弦說(shuō)明幾何語(yǔ)言：若弦AB、CD交于點(diǎn) P貝U PA- PB=PC PD （相交弦定理）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的幾何語(yǔ)言：若AB是直徑，CD垂直 AB于點(diǎn)P,則PCA

14、2=PA PB （相交弦定理推論）如何證明證明：連結(jié) AC, BD,由的推論，得/A=Z D,Z C=Z B。（推論 2:同（等）弧所對(duì)圓周角相等.） PA3A PDB,. PA： PD= PC： PB, PA- PB= PC- PD注：其可作為證明圓的的方法.P點(diǎn)若選在圓內(nèi)任意一點(diǎn)更具一般性。從圓外一點(diǎn) P引兩條證明：如圖直線 ABP和CDP是自點(diǎn) P引的O O的兩條割線，則PA- PB=PC PD證明：連接AD、BC/ A和/ C都對(duì)弧BD由，得 / A=Z C又/ APD=Z CPB ADP CBP AP:CP=DP:BP,也就是 AP- BP=CP DP101圓是定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)

15、的集合102圓的內(nèi)部可以看作是圓心的距離小于半徑的點(diǎn)的集合103圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點(diǎn)的集合104同圓或等圓的半徑相等105到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡，是以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓106和已知線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡，是著條線段的垂直平分線107到已知角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡，是這個(gè)角的平分線108到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡，是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線109定理 不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓。110垂徑定理 垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對(duì)的兩條弧111推論1平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧 弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)

16、圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧 平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧112推論2圓的兩條平行弦所夾的弧相等113圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形 114定理 在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等115推論 在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都相等116定理 一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半117推論1同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等118推論2半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90的圓周角所對(duì)的弦是直徑119推論3如果

17、三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形120定理 圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角121直線L和OO相交d v r 直線L和OO相切d=r 直線L和O 0相離d r122切線的判定定理經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線123切線的性質(zhì)定理 圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑124推論1經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)125推論2經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心126切線長(zhǎng)定理 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角127圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相等128弦切角定理 弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角129推論如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等130相交弦定理 圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等131推論 如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)132切割線定理 從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割 線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)133