高等數(shù)學(xué)-定積分在幾何物理上的應(yīng)用廣義積分

1、高等數(shù)學(xué)-定積分在幾何物理上的 應(yīng)用廣義積分 O y xx x x x x xabx 設(shè)yf (x)0 (xa，b) A(x) f (t)dt x a A(x) f (t)dt是以a, x為底的曲邊梯形的面積 x a A= f(x)dx 是以a, b為底的曲邊梯形的面積 b a 5.4 定積分在幾何問(wèn)題中的應(yīng)用舉例 高等數(shù)學(xué)-定積分在幾何物理上的 應(yīng)用廣義積分 曲邊梯形面積A(x)的微分為dA(x)f (x)dx， 點(diǎn)x處，高為f (x) 、寬為dx的矩形的面積為：f (x)dx O y xx+dxab DAf (x)dx，且DAf (x)dxo(dx) f (x)dx稱(chēng)為曲邊梯形的面積元素

2、x 以dx為寬的曲邊梯形面積為：DA dttf dxx x )( 以a，b為底的曲邊梯形的面積A就是以面積元素f (x)dx為 被積表達(dá)式，以a，b為積分區(qū)間的定積分： A(x) f (t)dt x a A f (x)dx b a 高等數(shù)學(xué)-定積分在幾何物理上的 應(yīng)用廣義積分 一般情況下，為求某一量U (不一定就是面積，即使是面積 也不一定是曲邊梯形的面積)，先將此量看成是某區(qū)間a，b上的 函數(shù)U(x)，再求這一量在a，b上的元素 d U(x)， 設(shè)d U(x)u(x)dx，然后以u(píng)(x)dx為被積表達(dá)式，以a，b為積分區(qū) 間求定積分即得 用這一方法求一量的值的方法稱(chēng)為微元法(或元素法) U

3、u(x)dx b a 注注：量U的特點(diǎn)： 1：與區(qū)間a,b有關(guān)； 2：具有可加性。 高等數(shù)學(xué)-定積分在幾何物理上的 應(yīng)用廣義積分 微元法的步驟：微元法的步驟： 1：取積分變量并決定其變化區(qū)間a,b； 2：在區(qū)間a,b上找一小區(qū)間x,x+x,得微元 Uf(x)dx=dU，且UdU=o(dx) 3: 在區(qū)間a,b上相加(在a,b上做定積分)得 ( ). bb aa UdUf x dx 主要思想主要思想：以直代曲；以不變代變。 高等數(shù)學(xué)-定積分在幾何物理上的 應(yīng)用廣義積分 二、平面圖形的面積 O y xab y=f 上(x) y=f 下(x) x x+dx 求由曲線y=f 上(x)、 y=f 下(x

4、)及直線x=a、 x=b所圍成的圖形 的面積 面積元素為： 所求圖形的面積為： f 上(x)f 下(x)dx A= f 上(x)f 下(x)dx b a 高等數(shù)學(xué)-定積分在幾何物理上的 應(yīng)用廣義積分 討論：下圖形的面積元素是什么？面積公式是什么？ ab y=f 上(x) y=f 下(x) O y xA1 O y x ab y=f 上(x) y=f 下(x) A2 O x y c d x=f 左( y) x=f 右( y) A3 A1=A2= f 上(x)f 下(x)dx b a 3 ( )( ) d c Afyfydy 右左 高等數(shù)學(xué)-定積分在幾何物理上的 應(yīng)用廣義積分 O y xab 求由曲

5、線y=f 上(x)、 y=f 下(x)及直線x=a、 x=b所圍成的圖形的 面積，也可以按如下方法求面積： 所求的圖形的面積可以看成是兩個(gè)曲邊梯形面積的差 y=f 上(x) y=f 下(x) y=f 下(x) A= f 上(x)dx b a f 下(x)dx b a 高等數(shù)學(xué)-定積分在幾何物理上的 應(yīng)用廣義積分 例1 計(jì)算由兩條拋物線：y2x、yx 2 所圍成的圖形的面積 解 在區(qū)間0, 1上過(guò)x點(diǎn)且垂直于x 軸的直線左側(cè)的面積記 為A(x)， 于是面積元素為 得所求的圖形面積 以0, 1為積分區(qū)間求定積分 01 1 x y x x+dx 直線平移dx 后所產(chǎn)生的面積的改變量近似為 A(x)

6、y2x yx 2 DA ( x 2)dx ，x 以( x 2)dx為被積表達(dá)式，x dA = ( x 2)dx ，x A 1 0 (xx 2)dx x 2)dx 3 2 x 3/2 3 1 x3 1 0 3 1 高等數(shù)學(xué)-定積分在幾何物理上的 應(yīng)用廣義積分 例2 計(jì)算拋物線y22x 與直線yx4所圍成的圖形的面積 解 02468x 4 2 -2 y 2=2x y=x4 (8, 4) (2, -2) 高等數(shù)學(xué)-定積分在幾何物理上的 應(yīng)用廣義積分 例2 計(jì)算拋物線y22x 與直線yx4所圍成的圖形的面積 解求兩曲線的交點(diǎn)得：(2，2)，(8，4) 將圖形向 y 軸投影得區(qū)間2，4 A(y)為區(qū)間2

7、，4上過(guò)y點(diǎn)且垂直于 y軸的直線下側(cè)的面積 直線平移dy 后所產(chǎn)生的面積的改變量近似為 于是面積元素為 所求的圖形面積為 DA (y 4 y2)dy ， 2 1 dA = (y 4 y2)dy ， 2 1 A 4 2 (y 4 2 1 y2)dy y2)dy 2 1 y 24y 6 1 y 3 4 2 18 02468x 4 2 -2 y 2=2x y=x4 (8, 4) (2, -2) 高等數(shù)學(xué)-定積分在幾何物理上的 應(yīng)用廣義積分 解 設(shè)橢圓在第一象限的面積為A1，則橢圓的面積為A4A1 第一象限的部分橢圓在x 軸上的投影區(qū)間為0，a 因?yàn)槊娣e元素為ydx， 于是 A 4A1 a b 橢圓的

8、參數(shù)方程為: yb sin t ， xa cos t ， y x O 1 2 2 2 2 b y a x a b y dx 所以 a 0 A1 ydx ， A1 a 0 ydx b sin t d (a cos t) a b 0 2 sin 2t d t ydx 0 2 b sin t d (a cos t) a b 2 1 a b 2 0 (1cos 2t )d t 2 1 (1cos 2t )d t 2 1 a b 2 4 1 a b 例 3 求橢圓1 2 2 2 2 b y a x 所圍成的圖形面積 高等數(shù)學(xué)-定積分在幾何物理上的 應(yīng)用廣義積分 2. 極坐標(biāo)的情形 曲邊扇形及曲邊扇形的面

9、積元素： 由曲線r()及射線 ， 圍成的圖形稱(chēng)為曲邊扇形 曲邊扇形的面積為 x O r () +d 曲邊扇形的面積元素： dA () 2d 2 1 2 1 A () 2d 高等數(shù)學(xué)-定積分在幾何物理上的 應(yīng)用廣義積分 例4 計(jì)算阿基米德螺線ra (a 0)上相應(yīng)于從0變到2 的 一段弧與極軸所圍成的圖形的面積 解 O x 2a ra d 2 0 2 1 A a 2 d a 2 3 a 2 3 3 1 2 0 3 4 dA= 2 1 a 2 d 高等數(shù)學(xué)-定積分在幾何物理上的 應(yīng)用廣義積分 A2 0 2 1 a(1cos ) 2d 例5 計(jì)算心形線ra(1cos ) (a0) 所圍成的圖形的面積

10、 解 O x ra(1cos ) 2a ) d dA = 2 1 a(1cos ) 2d a 2 2 3 2sin 4 1 sin2 0 2 3 a 2 a 2 0 ( 2 1 2cos 2 1 cos 2 ) d 高等數(shù)學(xué)-定積分在幾何物理上的 應(yīng)用廣義積分 三、體積 旋轉(zhuǎn)體就是由一個(gè)平面圖形繞這平面內(nèi)一條直線旋轉(zhuǎn)一周 而成的立體這直線叫做旋轉(zhuǎn)軸 常見(jiàn)的旋轉(zhuǎn)體：圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球體 高等數(shù)學(xué)-定積分在幾何物理上的 應(yīng)用廣義積分 旋轉(zhuǎn)體都可以看作是由連續(xù)曲線yf (x)、直線xa 、 xb及x 軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體 Oxba y yf (x) 高等數(shù)學(xué)-定積分在幾何物理

11、上的 應(yīng)用廣義積分 aOxb y yf (x) 設(shè)過(guò)區(qū)間a，b內(nèi)點(diǎn)x 且垂直于x軸的平面左側(cè)的旋轉(zhuǎn)體的 體積為V (x)， 旋轉(zhuǎn)體的體積為 dV f (x)2dx ， 于是體積元素為 DVf (x)2dx ， 當(dāng)平面右平移dx后，體積的增量近似為 V (x) dx f (x) V f (x)2dx b a x 高等數(shù)學(xué)-定積分在幾何物理上的 應(yīng)用廣義積分 例1 連接坐標(biāo)原點(diǎn)O及點(diǎn)P(h，r)的直線、直線xh 及x 軸圍 成一個(gè)直角三角形將它繞x軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成一個(gè)底半徑為r、高為h 的圓錐體計(jì)算這圓錐體的體積 體積元素為 解 過(guò)原點(diǎn)O及點(diǎn)P(h，r)的直線方程為 x h r y dV ( )2dxx

12、 h r h r x y O x h r y 所求圓錐體的體積為 V ( )2dxx h r h 0 x 3 h r 2 h 0 2 2 h r 3 1 3 1 高等數(shù)學(xué)-定積分在幾何物理上的 應(yīng)用廣義積分 及x軸圍成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的立體 旋轉(zhuǎn)體(旋轉(zhuǎn)橢球體)的體積 體積元素為 于是所求旋轉(zhuǎn)橢球體的體積為 a b x y O dV y 2dx ， 例2 計(jì)算由橢圓 所成的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的1 2 2 2 2 b y a x 解 這個(gè)旋轉(zhuǎn)橢球體也可以看作是由半個(gè)橢圓 22 xa a b y V y 2dx a a (a 2x 2)dx a a 2 2 a b a 2x x 3 2 2 a

13、 b 3 1 a a a b 2 3 4 a b 22 xa a b y 高等數(shù)學(xué)-定積分在幾何物理上的 應(yīng)用廣義積分 22 2 1sin 2 xdx 2 2 1 cos2 22 x dx 222 244 2 x y 1 o V 解： 高等數(shù)學(xué)-定積分在幾何物理上的 應(yīng)用廣義積分 2. 平行截面面積為已知的立體的體積 設(shè)立體在x軸的投影區(qū)間為a，b， x y O ba dx 則體積元素為A(x)dx ， 立體的體積為 面與立體相截，已知截面面積為A(x)， V A(x)dx b a A(x) 過(guò)點(diǎn)x 且垂直于x軸的平 x 高等數(shù)學(xué)-定積分在幾何物理上的 應(yīng)用廣義積分 例4 一平面經(jīng)過(guò)半徑為R的

14、圓柱體的底圓中心，并與底面 交成角計(jì)算這平面截圓柱所得立體的體積 解 取這平面與圓柱體的底面的交線為x軸，底面上過(guò)圓中心 且垂直于x軸的直線為y軸那么底圓的方程為x 2 y 2R 2 于是所求的立體體積為 ) y x O ) R Rx 2 y 2R 2 截面積為A(x) (R 2x 2)tan a ， 2 1 V (R 2x 2) tan a dx 2 1 R R tan a R 2x x 3 R R 2 1 3 1 R 3tan a 3 2 22 xR tan a 22 xR 高等數(shù)學(xué)-定積分在幾何物理上的 應(yīng)用廣義積分 四、平面曲線的弧長(zhǎng) 定理 光滑曲線弧是可求長(zhǎng)的 設(shè)A，B 是曲線弧的兩

15、個(gè)端點(diǎn) 在弧AB上任取分點(diǎn) ) AM0，M1，M2， ，Mi1，Mi， ，Mn1，MnB ， 并依次連接相鄰的分點(diǎn)得一內(nèi)接折線當(dāng)分點(diǎn)的數(shù)目無(wú)限增加 極限存在， 且每個(gè)小段Mi1Mi都縮向一點(diǎn)時(shí)， 是可求長(zhǎng)的 則稱(chēng)此極限為曲線弧AB的弧長(zhǎng)， M0 Mn A B M1M2 Mn1 如果此折線的長(zhǎng) |Mi1Mi|的 n i 1 ) 并稱(chēng)此曲線弧AB 高等數(shù)學(xué)-定積分在幾何物理上的 應(yīng)用廣義積分 1. 直角坐標(biāo)的情形 設(shè)曲線弧由直角坐標(biāo)方程 yf(x) (axb) 給出，其中f(x)在區(qū)間a，b上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù) 曲線yf(x)上相應(yīng)于 x 點(diǎn)的弧長(zhǎng)增量近似為， 弧長(zhǎng)元素(即弧微分)為 已知曲線的弧長(zhǎng)

16、為 Ds M x dx dy M x+dx Ds M0 x0 x y O yf(x) 22 )()(dydxdxy 2 1， ds，dxy 2 1 s b a dxy 2 1 高等數(shù)學(xué)-定積分在幾何物理上的 應(yīng)用廣義積分 討論： (2)設(shè)曲線弧由極坐標(biāo)方程r = r() ( )給出，其中r() 在，上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)， 問(wèn)弧長(zhǎng)元素ds和弧長(zhǎng) s 各是什么？ (1)設(shè)曲線弧由參數(shù)方程 (t)、(t)在，上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)， 問(wèn)弧長(zhǎng)元素ds和弧長(zhǎng) s 各 是什么？ ( t )給出，其中 )( ),( ty tx 設(shè)曲線弧由直角坐標(biāo)方程 yf(x) (axb)給出，其中f(x)在區(qū) 間a，b上具有一階連續(xù)導(dǎo)

17、數(shù)，則 ds，dxy 2 1s b a dxy 2 1 高等數(shù)學(xué)-定積分在幾何物理上的 應(yīng)用廣義積分 dx y dy M N P O ) ,sMOMPD ) 22 ,dsMPdxdy ) 2 2 11. dy dsdxydx dx ) ) ) 22 22 .dsdxdyx ty tdt ) ) ) 22 22 .dsdxdyrrd ),yf x ) ),xx tyy t ),rr 直角坐標(biāo)系下 參數(shù)方程下 極坐標(biāo) 高等數(shù)學(xué)-定積分在幾何物理上的 應(yīng)用廣義積分 解 因此，所求弧長(zhǎng)為 yx 1/2， 從而弧長(zhǎng)元素 例1 計(jì)算曲線 上相應(yīng)于x從a到b的一段弧的長(zhǎng)度 2/3 3 2 xy dsdxy

18、2 1dxx 22/1 )(1，dxx1 s dxx b a 1 b a x 2/3 )1 ( 3 2 ，)1 ()1( 3 2 2/32/3 ab 高等數(shù)學(xué)-定積分在幾何物理上的 應(yīng)用廣義積分 課堂練習(xí)課堂練習(xí) ln38yxx求曲線對(duì)應(yīng)于的一段弧長(zhǎng)？ 解： 1 ,y x 2 8 3 1 1sdx x 2 8 3 1x dx x 22 2 1,1, 1 t xtxtdxdt t 令 3 222 11 tt sdt tt 2 3 3 2 2 2 1113 1ln1ln . 12122 tt dt tt 高等數(shù)學(xué)-定積分在幾何物理上的 應(yīng)用廣義積分 2. 參數(shù)曲線的情形 設(shè)曲線弧由參數(shù)方程 其中(

19、t)、(t)在，上 具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)如圖 dx(t)d t ，所以弧長(zhǎng)元素為 所求弧長(zhǎng)為 ( t ) )( ),( ty tx dx dy 因?yàn)?)( )( t t ， (t)d tds )( )( 1 2 2 t t ，dttt)()( 22 st dtt )()( 22 dx y dy M N P O 高等數(shù)學(xué)-定積分在幾何物理上的 應(yīng)用廣義積分 解 所求弧長(zhǎng)為 8a a2 a 2a x y O 弧長(zhǎng)元素為 x ( )a (1cos )，y ( )a sin 例3 計(jì)算擺線的一拱(0 2 )的長(zhǎng)度 )cos1 ( ),sin( ay ax dsdyx)()( 22 daa 2222 sin)c

20、os1 ( da 2 sin2 s 2 0 2 sin2da 2 0 2 cos22 a 高等數(shù)學(xué)-定積分在幾何物理上的 應(yīng)用廣義積分 3. 極坐標(biāo)的情形 設(shè)曲線弧由極坐標(biāo)方程 給出，其中r()在，上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù) 由直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系可得 r = r() ( ) 于是得弧長(zhǎng)元素為 從而所求弧長(zhǎng)為 ,sin)( ,cos)( ry rx ds，drr)()( 22 s drr)()( 22 高等數(shù)學(xué)-定積分在幾何物理上的 應(yīng)用廣義積分 解 ds 于是所求弧長(zhǎng)為 例4 求阿基米德螺線ra (a0)相應(yīng)于 從0到2 一段的弧 長(zhǎng) s 弧長(zhǎng)元素為r( ) a O x 2a ra drr)()( 2

21、2 daa 222 ， da 2 1 2 0 2 1da)412ln(412 2 22 a 高等數(shù)學(xué)-定積分在幾何物理上的 應(yīng)用廣義積分 (1cos )ra求心形線的全長(zhǎng)？ 課堂練習(xí)課堂練習(xí) 解： ) ) 22 dsrrd) 22 (1cos )asad 2(1 cos )2cos 2 aad 0 4cos 2 ad ) ) 22 0 2srrd 0 8 sin8 . 2 aa 高等數(shù)學(xué)-定積分在幾何物理上的 應(yīng)用廣義積分 作業(yè)：p301 9,13 高等數(shù)學(xué)-定積分在幾何物理上的 應(yīng)用廣義積分 5.5 定積分在物理中的應(yīng)用舉例 解 于是所求的功為 W q1 O rabr r+dr 1 例1 把

22、一個(gè)帶q電量的點(diǎn)電荷放在r軸上坐標(biāo)原點(diǎn)O處，它 產(chǎn)生一個(gè)電場(chǎng)這個(gè)電場(chǎng)對(duì)周?chē)碾姾捎凶饔昧τ晌锢韺W(xué)知 道，如果有一個(gè)單位正電荷放在這個(gè)電場(chǎng)中距離原點(diǎn)O為r的地 方，那么電場(chǎng)對(duì)它的作用力的大小為 當(dāng)這個(gè)單位正電荷在電場(chǎng)中從ra處沿r軸移動(dòng)到rb(aa 如果極限 存在，則稱(chēng)此極限為函數(shù)f(x)在無(wú)窮區(qū)間a，)上的廣義積分， 即 dxxf a )( 如果上述極限不存在，函數(shù)f(x)在無(wú)窮區(qū)間a，)上的廣義 b limdxxf b a )( dxxf a )( 記作 ， b limdxxf b a )( ， 積分 就沒(méi)有意義，dxxf a )( 此時(shí)稱(chēng)廣義積分 發(fā)散dxxf a )( 這時(shí)也稱(chēng)廣義積分

23、收斂；dxxf a )( 高等數(shù)學(xué)-定積分在幾何物理上的 應(yīng)用廣義積分 類(lèi)似地，設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(，b 上連續(xù)，取a0) 1 limlimlim0 pb pbpb bbb b be epe 高等數(shù)學(xué)-定積分在幾何物理上的 應(yīng)用廣義積分 定理1：設(shè)F(x)為f(x)在區(qū)間a,+上的一個(gè)原函數(shù)，則 )lim( )( ) a x f x dxF xF a ) ).FF a ) )f x dxF x 設(shè)F(x)為f(x)在區(qū)間,+上的一個(gè)原函數(shù)，則 ).FF 2 arctan. 1 dx x x 0 pt te dt 0 1 pt tde p 00 11 ptpt teedt pp 2 0 1 p

24、t e p 2 1 . p 例1： 例2： 高等數(shù)學(xué)-定積分在幾何物理上的 應(yīng)用廣義積分 例 2 計(jì)算廣義積分dtte pt 0 (p 是常數(shù)，且 p0) 0 00 0 2 11 () 111 () ptptptpt pt tedttd eteedt pp te ppp 1 11 lim()limlim0 pt ptpt ttt t p te pepe 高等數(shù)學(xué)-定積分在幾何物理上的 應(yīng)用廣義積分 發(fā)散 當(dāng)p1時(shí)，這廣義積分發(fā)散 1 1 p a p 因此，當(dāng)p1時(shí)，這廣義積分收斂，其值為 ； 例3 證明廣義積分 (a0)當(dāng)p1時(shí)收斂，當(dāng)p1時(shí)dx x p a 1 證 當(dāng)p1時(shí)， dx x p a 1 dx x a 1 ln a xdx x p a 1 dx x a 1 ln a xdx x p a 1 dx x a 1 ln a x 當(dāng)p1時(shí)，dx x p a 1 1 1 1 a p x p1 1 p a p dx x p a 1 1 1 1 a p x p1 1 p a p 高等數(shù)學(xué)