二元函數(shù)的分布

1、第三節(jié)第三節(jié) 二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布二維隨機(jī)變量函數(shù)的分布 在第二章中，我們討論了一在第二章中，我們討論了一 維隨機(jī)變量函數(shù)的分布，現(xiàn)在我維隨機(jī)變量函數(shù)的分布，現(xiàn)在我 們學(xué)習(xí)了二維隨機(jī)變量，來(lái)進(jìn)一們學(xué)習(xí)了二維隨機(jī)變量，來(lái)進(jìn)一 步討論步討論: 當(dāng)二維隨機(jī)變量當(dāng)二維隨機(jī)變量X, Y的聯(lián)合分布已知的聯(lián)合分布已知 時(shí)，如何求出它們的函數(shù)時(shí)，如何求出它們的函數(shù) Z=g(X, Y) 的聯(lián)合分布的聯(lián)合分布? (X,Y)(x1,y1)(x1,y2)(xi,yj) pp11p12pij Z=g(X,Y)g(x1,y1) g(x1,y2) g(xi,yj) 一、離散型分布的情形一、離散型分布的情形 設(shè)二維離散型隨

2、機(jī)變量設(shè)二維離散型隨機(jī)變量(X，Y)， (X, Y)P(Xxi, Yyj)pij ，i, j1, 2, 則則 Zg(X, Y)P(Zzk) pk , k1, 2, kji zyxgji ij p ),(:, 或或 例例1 設(shè)（設(shè)（X,Y)的概率分布為：的概率分布為： Y X -1 0 2 0 0.1 0.2 0 1 0.3 0.05 0.1 2 0.15 0 0.1 求求XYYX,的概率分布。的概率分布。 (X,Y) (0,-1) (0,0) (0,2) (1,-1) (1,0) (1,2) (2,-1) (2,0) (2,2) p0.10.2 00.3 0.05 0.1 0.15 0 0.1

3、 X+Y -102013124 XY000-102-204 =X+Y-101234 p0.10.50.200.10.1 =XY-1-2024 p 0.150.30.350.10.1 因此，因此，X+Y與與XY的分布列分別為的分布列分別為 例例2 若若X、Y獨(dú)立，獨(dú)立，P(X=k)=ak , k=0,1,2, P(Y=k)=bk , k=0,1,2, ,求求Z=X+Y的概率函數(shù)的概率函數(shù). 解解: )()(rYXPrZP r i irYPiXP 0 )()( =a0br+a1br-1+arb0 r i irYiXP 0 ),( 由獨(dú)立性由獨(dú)立性 此即離散此即離散 卷積公式卷積公式 r=0,1,2

4、, 同書(shū)中同書(shū)中P95例例3.3.2 解：依題意解：依題意 r i irYiXPrZP 0 ),()( 例例3 若若X和和Y相互獨(dú)立相互獨(dú)立,它們分別服從參數(shù)為它們分別服從參數(shù)為 的泊松分布的泊松分布, 證明證明Z=X+Y服從參數(shù)為服從參數(shù)為 21, 21 的泊松分布的泊松分布. 由卷積公式由卷積公式 i=0,1,2, j=0,1,2, ! )( i e iXP i 1 1 ! )( j e jYP j 2 2 r i irYiXPrZP 0 ),()( 由卷積公式由卷積公式 r i 0 i - r 2 - i 1 - i)!-(r e i! e 21 r i r e 0 i - r 2 i

5、1 )( i)!-(ri! r! ! 21 ,)( ! 21 )( 21 r r e 即即Z服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松分布的泊松分布(可加性可加性). 21 r =0,1， 同書(shū)中同書(shū)中P96例例3.3.3. 例例4 設(shè)設(shè)X和和Y相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，XB(n1,p),YB(n2,p),求求 Z=X+Y 的分布的分布. 回憶第二章對(duì)服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量回憶第二章對(duì)服從二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量 所作的直觀解釋所作的直觀解釋: 我們給出不需要計(jì)算的另一種證法我們給出不需要計(jì)算的另一種證法: 同樣，同樣，Y是在是在n2次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)出現(xiàn) 的次數(shù)的次數(shù),每次試驗(yàn)中每次試驗(yàn)中

6、A出現(xiàn)的概率為出現(xiàn)的概率為p. 若若X B(n1,p),則則X 是在是在n1次獨(dú)立重復(fù)試次獨(dú)立重復(fù)試 驗(yàn)中事件驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)出現(xiàn)的次數(shù),每次試驗(yàn)中每次試驗(yàn)中A出現(xiàn)的出現(xiàn)的 概率都為概率都為p. 故故Z=X+Y 是在是在n1+n2次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn) 中事件中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的次數(shù)，每次試驗(yàn)中A出現(xiàn)出現(xiàn) 的概率為的概率為p，于是，于是Z是以（是以（n1+n2，p）為參）為參 數(shù)的二項(xiàng)隨機(jī)變量，即數(shù)的二項(xiàng)隨機(jī)變量，即Z B(n1+n2, p). 二、連續(xù)型分布的情形二、連續(xù)型分布的情形 設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量(X，Y)的聯(lián)合的聯(lián)合 概率密度為概率密度

7、為f(x,y),z=g(X,Y)為連續(xù)函數(shù)，為連續(xù)函數(shù)， 則則z=g(X,Y)為一維為一維r.v.,它的分布函數(shù)為它的分布函數(shù)為 ),()()(zYXgPzZPzF Z dxdyyxf zyxg ),( ),( )( )(zFzf ZZ -分布函數(shù)法分布函數(shù)法 例例5 設(shè)設(shè)X和和Y的聯(lián)合密度為的聯(lián)合密度為 f (x,y),求求Z=X+Y 的密度的密度. 解解: Z=X+Y的分布函數(shù)是的分布函數(shù)是: FZ(z)=P(Zz)=P(X+Y z) D dxdyyxf),( 這里積分區(qū)域這里積分區(qū)域D=(x, y): x+y z 是直線是直線x+y =z 左下方的半平面左下方的半平面. 化成累次積分化成

8、累次積分,得得 zyx Z dxdyyxfzF),()( yz Z dydxyxfzF),()( 固定固定z和和y,對(duì)方括號(hào)內(nèi)的積分作變量代換對(duì)方括號(hào)內(nèi)的積分作變量代換, 令令u=x+y,得得 z Z dyduyyufzF),()( z dudyyyuf),( 變量代換變量代換 交換積分次序交換積分次序 由概率由概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系密度與分布函數(shù)的關(guān)系, 即得即得Z=X+Y 的概率密度為的概率密度為: 由由X和和Y的對(duì)稱(chēng)性的對(duì)稱(chēng)性, fZ (z)又可寫(xiě)成又可寫(xiě)成 dyyyzfzFzf ZZ ),()()( 以上兩式即是兩個(gè)隨機(jī)變量和以上兩式即是兩個(gè)隨機(jī)變量和 的概率密度的一般公式的概率密度

9、的一般公式. dxxzxfzFzf ZZ ),()()( z Z dudyyyufzF),()( 特別，當(dāng)特別，當(dāng)X和和Y獨(dú)立，設(shè)獨(dú)立，設(shè)(X,Y)關(guān)于關(guān)于X,Y的邊緣的邊緣 密度分別為密度分別為fX(x) , fY(y) , 則上述兩式化為則上述兩式化為: dyyfyzfzf YXZ )()()( 這兩個(gè)公式稱(chēng)為卷積公式這兩個(gè)公式稱(chēng)為卷積公式 . dxxzfxfzf YXZ )()()( 下面我們用下面我們用卷積公式來(lái)求卷積公式來(lái)求 Z=X+Y的概率密度的概率密度 ,),()( dyyyzfzf Z dxxzxfzf Z ),()( 為確定積分限為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為先找出使被積

10、函數(shù)不為0的區(qū)域的區(qū)域 例例6 若若X和和Y 獨(dú)立獨(dú)立,具有共同的概率密度具有共同的概率密度 求求Z=X+Y的概率密度的概率密度 . 其它, 0 10, 1 )( x xf dxxzfxfzf YXZ )()()( 解解: 由卷積公式由卷積公式 10 10 xz x 也即也即 zxz x 1 10 為確定積分限為確定積分限,先找出使被積函數(shù)不為先找出使被積函數(shù)不為0的區(qū)域的區(qū)域 其它, 0 21,2 10, )( 1 1 0 z z Z zzdx zzdx zf 如圖示如圖示: 10 10 xz x 也即也即 zxz x 1 10 于是于是 dxxzfxfzf YXZ )()()( 同課后習(xí)題

11、三同課后習(xí)題三15 用類(lèi)似的方法可以證明用類(lèi)似的方法可以證明: ),( 2 2 2 121 NYXZ 若若X和和Y 獨(dú)立獨(dú)立,),(),( 2 22 2 11 NYNX 結(jié)論又如何呢結(jié)論又如何呢? 此結(jié)論此結(jié)論可以推廣到可以推廣到n個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量之個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量之 和的情形和的情形,請(qǐng)自行寫(xiě)出結(jié)論請(qǐng)自行寫(xiě)出結(jié)論. 例例7(書(shū)中例書(shū)中例3.3.5) 若若X和和Y 獨(dú)立獨(dú)立,具有相同的具有相同的 分布分布N(0,1),則則Z=X+Y服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布N(0,2). 有限個(gè)獨(dú)立正態(tài)變量的線性組合仍然有限個(gè)獨(dú)立正態(tài)變量的線性組合仍然 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布. 更一般地更一般地, 可以證明可以證

12、明: 一般地，設(shè)隨機(jī)變量X1, X2，., Xn獨(dú)立且 Xi服從正態(tài)分布N(i ,i2),i=1,.,n, 則 ),( 2 1 2 11 i n i i n i ii n i ii aaNXa 的概率密度。的概率密度。求求 ，相互獨(dú)立，且都服從相互獨(dú)立，且都服從和和已知已知 22 )1 , 0( YXZ NYX 例例8 從前面例子可以看出，從前面例子可以看出， 在求隨機(jī)向量在求隨機(jī)向量 (X,Y)的函數(shù)的函數(shù)Z=g(X,Y)的分布時(shí)，關(guān)鍵是設(shè)法的分布時(shí)，關(guān)鍵是設(shè)法 將其轉(zhuǎn)化為將其轉(zhuǎn)化為(X,Y)在一定范圍內(nèi)取值的形式，在一定范圍內(nèi)取值的形式， 從而利用已知的分布求出從而利用已知的分布求出Z=g

13、(X,Y)的分布的分布. 三、三、M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布的分布 設(shè)設(shè)X，Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它 們的分布函數(shù)分別為們的分布函數(shù)分別為FX(x)和和FY(y),我們來(lái)我們來(lái) 求求M=max(X,Y)及及N=min(X,Y)的分布函數(shù)的分布函數(shù). 又由于又由于X和和Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立,于是得到于是得到M=max(X,Y) 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為: 即有即有 FM(z)= FX(z)FY(z) FM(z)=P(Mz) =P(Xz)P(Yz) =P(Xz,Yz) 由于由于M=max(X,Y)不大于不大于z等價(jià)于等價(jià)于X和和Y都都 不大

14、于不大于z，故有，故有 分析：分析： P(Mz)=P(Xz,Yz) 類(lèi)似地，可得類(lèi)似地，可得N=min(X,Y)的分布函數(shù)是的分布函數(shù)是 可進(jìn)行推廣?？蛇M(jìn)行推廣。 即有即有 FN(z)= 1-1-FX(z)1-FY(z) =1- -P(Xz,Yz) FN(z)=P(Nz) =1- -P(Nz) =1- - P(Xz)P(Yz) 需要指出的是，當(dāng)需要指出的是，當(dāng)X1,Xn相互獨(dú)立且相互獨(dú)立且 具有相同分布函數(shù)具有相同分布函數(shù)F(x)時(shí)時(shí), 常常稱(chēng)稱(chēng) M=max(X1,Xn)，N=min(X1,Xn) 為極值為極值 . 由于一些災(zāi)害性的自然現(xiàn)象，如地震、由于一些災(zāi)害性的自然現(xiàn)象，如地震、 洪水等等

15、都是極值，研究極值分布具有重要洪水等等都是極值，研究極值分布具有重要 的意義和實(shí)用價(jià)值的意義和實(shí)用價(jià)值. 下面我們?cè)倥e一例，說(shuō)明當(dāng)下面我們?cè)倥e一例，說(shuō)明當(dāng)X1,X2為離散為離散 型型r.v時(shí)，如何求時(shí)，如何求Y=max(X1,X2)的分布的分布. 解一解一: P(Y=n)= P(max(X1,X2)=n) =P(X1=n, X2n)+P( X2 =n, X1 n) n k kn pqpq 1 11 1 1 11 n k kn pqpq q q qp n n 1 1 12 q q qp n n 1 1 1 12 )2( 11 nnn qqpq 記記1-p=q 例例9 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X1,X2相互獨(dú)立相互獨(dú)立,并且有相同的幾并且有相同的幾 何分布何分布: P(Xi=k)=p(1-p)k-1 , k=1,2, ( i =1,2) 求求Y=max(X1,X2)的概率分布的概率分布 . n=1,2, 解二解二: P(Y=n)=P(Yn)- -P(Yn-1) 2 1 1 n k k pq =P(max(X1,X2) n )- -P(max(X1,X2) n-1) =P(X1 n, X2n)- -P(