求極限的方法大全PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1 求極限的方法大全求極限的方法大全 割圓術(shù)：（割圓術(shù)：（劉徽劉徽） 1、概念的引入、概念的引入 R 截丈問題：截丈問題： “一尺之棰，日截其半，萬世不竭一尺之棰，日截其半，萬世不竭” 第1頁/共21頁 例例,2,8,4,2 n , 2 1 , 8 1 , 4 1 , 2 1 n 2 n 2 1 n ,)1( ,1,1,1 1 n )1( 1 n , )1( , 4 3 , 3 4 , 2 1 ,2 1 n n n )1( 1 n n n 數(shù)列數(shù)列 定義在自然數(shù)集合的函數(shù)定義在自然數(shù)集合的函數(shù) )(nfan 整標(biāo)函數(shù)整標(biāo)函數(shù) 第2頁/共21頁 2、數(shù)列極限的定義、數(shù)列極限的定義 aa n

2、 n lim記作記作 n aa 可以無限接近可以無限接近 注意注意 不一定能到達(dá)不一定能到達(dá) n a n a 對(duì)于數(shù)列對(duì)于數(shù)列 ，當(dāng)，當(dāng) （即無限增大）（即無限增大） 時(shí)，時(shí)， （常數(shù)），則（常數(shù)），則 a 稱為稱為 的極限，的極限， aan n 第3頁/共21頁 概述：概述：函數(shù)的極限是指當(dāng)函數(shù)的極限是指當(dāng) x 按某種規(guī)律變按某種規(guī)律變 化，化，f (x) 的變化趨勢。的變化趨勢。 axf x )(lim x1、 時(shí)函數(shù)的極限時(shí)函數(shù)的極限 定義：定義： 當(dāng)自變量的絕對(duì)值當(dāng)自變量的絕對(duì)值| x |無限增大時(shí)，無限增大時(shí)， )(xf如果函數(shù)如果函數(shù) （常數(shù)），則稱（常數(shù)），則稱 a 為為axf)

3、( x 在在 時(shí)的極限，記作時(shí)的極限，記作 )()( xaxf或或 第4頁/共21頁 . 0 sin )(,無限接近于無限接近于無限增大時(shí)無限增大時(shí)當(dāng)當(dāng) x x xfx . sin 時(shí)的變化趨勢時(shí)的變化趨勢當(dāng)當(dāng)觀察函數(shù)觀察函數(shù) x x x x x y sin a 例例 第5頁/共21頁 bxf x )(lim 例例 2 1 1)()1( x xf xxfarctg)()2( 1)(lim xf x 2 )(lim xf x2 )(lim xf x 單側(cè)極限單側(cè)極限 axf x )(limaxfaxf xx )(lim)(lim且且 axf x )(lim 第6頁/共21頁 第7頁/共21頁 a

4、xf xx )(lim 0 0 xx 2、 時(shí)函數(shù)的極限時(shí)函數(shù)的極限 定義：定義： 當(dāng)當(dāng) ，若，若 ，則，則 稱稱 axf)( 0 xx )(xf 0 xx a 為為 在在 時(shí)的極限，記作時(shí)的極限，記作 .0 00 的過程的過程表示表示xxxx x 0 x 0 x 0 x 第8頁/共21頁 考察函數(shù)考察函數(shù) f（x）= x2, 當(dāng)當(dāng)x2 時(shí)的變化趨時(shí)的變化趨 勢勢 例例 x 2. 52. 12. 01 2. 001 2. 0001 . 2 f (x) 6. 25 4. 41 4. 04 4. 004 4. 0004 . 4 x 1. 51. 91. 99 1. 999 1. 9999 . 2

5、f (x) 2. 25 3. 61 3. 96 3. 996 3. 9996 . 4 第9頁/共21頁 3.61 1. 9 0 y x 2 4 2.1 4.41 2 )(xxf 注意：注意：;)( 0是 是否否有有定定義義無無關(guān)關(guān)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)極極限限與與xxf 4lim 2 2 x x 第10頁/共21頁 例例 )(lim 0, 1 0,1 )( 0 2 xf xx xx xf x 求求 設(shè)設(shè) 兩種情況分別討論兩種情況分別討論和和分分00 xx , 0 xx從左側(cè)無限趨近從左側(cè)無限趨近; 0 0 xx記作記作 , 0 xx從右側(cè)無限趨近從右側(cè)無限趨近; 0 0 xx記作記作 y ox 1

6、xy 1 1 2 xy 3、單側(cè)極限、單側(cè)極限 解解 第11頁/共21頁 左極限左極限 右極限右極限 axfaxf xx )0()(lim 0 0 0 或或 )1(lim)(lim 0000 xxf xx 1 axfaxf xx )0()(lim 0 0 0 或或 )1(lim)(lim 2 0000 xxf xx 1 1)(lim 0 xf x axf xx )(lim 0 axfaxf xxxx )(lim)(lim 00 00 且且 兩個(gè)單側(cè)極限為兩個(gè)單側(cè)極限為是函數(shù)的分段點(diǎn)是函數(shù)的分段點(diǎn) ,0 x 左右極限存在且相等左右極限存在且相等, 注注 第12頁/共21頁 .lim 0 不存在不

7、存在驗(yàn)證驗(yàn)證 x x x y x 1 1 o x x x x xx 00 limlim 左右極限存在但不相等左右極限存在但不相等, .)(lim 0 不存在不存在xf x 例例 證證 1)1(lim 0 x x x x x xx00 limlim 11lim 0 x 第13頁/共21頁 4、判別極限存在的法則、判別極限存在的法則 法則法則 1若在同一極限過程中，有下列關(guān)系若在同一極限過程中，有下列關(guān)系 )()()( 21 xfxfxf Axfxf xxxx )(lim)(lim 21 00 且且 Axf xx )(lim 0 則則 法則法則 2 單調(diào)有界數(shù)列（函數(shù)）一定有極限單調(diào)有界數(shù)列（函數(shù)

8、）一定有極限 第14頁/共21頁 極限為零的極限為零的變量變量稱為稱為無窮小無窮小。定義：定義： 例如例如 , 0sinlim 0 x x 時(shí)的無窮小時(shí)的無窮小是當(dāng)是當(dāng)函數(shù)函數(shù)0sinxx , 0 1 lim x x 時(shí)的無窮小時(shí)的無窮小是當(dāng)是當(dāng)函數(shù)函數(shù) x x 1 無窮小是變量，不能與很小的數(shù)混淆無窮小是變量，不能與很小的數(shù)混淆;注意注意 第15頁/共21頁 定理定理1 判定定理：判定定理： 定理定理3 有界變量或常數(shù)與無窮小的積是無窮小有界變量或常數(shù)與無窮小的積是無窮小 定理定理4 有限個(gè)無窮小的和或積是無窮小有限個(gè)無窮小的和或積是無窮小 axf)(lim0)(lim axf 定理定理2

9、若若 為無窮小，為無窮小，)(x | )(| )(|xx 則則 也是無窮小也是無窮小 )(x 第16頁/共21頁 定理定理 . 0, )( )( lim)3( ;)()(lim)2( ;)()(lim)1( ,)(lim,)(lim B B A xg xf BAxgxf BAxgxf BxgAxf 其中其中 則則設(shè)設(shè) 證證.)(lim,)(limBxgAxf . 0, 0.)(,)( 其中其中BxgAxf 由無窮小運(yùn)算法則由無窮小運(yùn)算法則,得得 )()()(BAxgxf .)1( 成立成立 第17頁/共21頁 推論推論1 推論推論2 則則存存在在若若,)(limxf nn xx xx 0 0

10、lim )(lim)(limxfCxfC 例例1 1. 53 1 lim 2 3 2 xx x x 求求 解解)53(lim 2 2 xx x 5lim3limlim 22 2 2 xxx xx 5limlim3)lim( 22 2 2 xxx xx5232 2 , 03 53 1 lim 2 3 2 xx x x )53(lim 1limlim 2 2 2 3 2 xx x x xx . 3 7 3 12 3 第18頁/共21頁 解解 例例2 2. 32 1 lim 2 2 1 xx x x 求求 .,1分分母母的的極極限限都都是是零零分分子子時(shí)時(shí)x .1后再求極限后再求極限因子因子先約去不為零的無窮小先約去不為零的無窮小 x )1)(3( )1)(1( lim 32 1 lim 1 2 2 1 xx xx xx x xx 3 1 lim 1 x x x . 2 1 ) 0 0 (型型 (消去零因子法消去零因子法) 第19頁/共21頁 例例3 3. 147 532 lim 23 23 xx xx x 求求