理論力學(xué)第13章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)-48

1、第第13章章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ)機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ) 13-1 機(jī)械振動(dòng)及其描述機(jī)械振動(dòng)及其描述 13-2 單自由度系統(tǒng)振動(dòng)單自由度系統(tǒng)振動(dòng) 13-3 兩自由度系統(tǒng)振動(dòng)兩自由度系統(tǒng)振動(dòng) 13-4 機(jī)械振動(dòng)的工程應(yīng)用機(jī)械振動(dòng)的工程應(yīng)用 2021-7-15 理論力學(xué)2 13.1.1機(jī)械振動(dòng)現(xiàn)象機(jī)械振動(dòng)現(xiàn)象 振動(dòng)是日常生活和工程實(shí)際中常見的現(xiàn)象。振動(dòng)是日常生活和工程實(shí)際中常見的現(xiàn)象。 例如：鐘擺的往復(fù)擺動(dòng)例如：鐘擺的往復(fù)擺動(dòng),汽車行駛時(shí)的顛簸，電動(dòng)機(jī)、機(jī)汽車行駛時(shí)的顛簸，電動(dòng)機(jī)、機(jī) 床等工作時(shí)的振動(dòng)，以及地震時(shí)引起的建筑物的振動(dòng)等。床等工作時(shí)的振動(dòng)，以及地震時(shí)引起的建筑物的振動(dòng)等。 利：利：振動(dòng)給料機(jī)振動(dòng)給料機(jī)

2、弊：弊：磨損，減少壽命，影響強(qiáng)度磨損，減少壽命，影響強(qiáng)度 振動(dòng)篩振動(dòng)篩 引起噪聲，影響勞動(dòng)條件引起噪聲，影響勞動(dòng)條件 振動(dòng)沉拔樁機(jī)等振動(dòng)沉拔樁機(jī)等 消耗能量，降低精度等。消耗能量，降低精度等。 研究振動(dòng)的目的研究振動(dòng)的目的：消除或減小有害的振動(dòng)，充分利用振動(dòng)消除或減小有害的振動(dòng)，充分利用振動(dòng) 為人類服務(wù)。為人類服務(wù)。 振動(dòng)的利弊振動(dòng)的利弊： 所謂機(jī)械振動(dòng)就是系統(tǒng)在平衡位置附近作往復(fù)運(yùn)動(dòng)。所謂機(jī)械振動(dòng)就是系統(tǒng)在平衡位置附近作往復(fù)運(yùn)動(dòng)。 13-1 機(jī)械振動(dòng)及其描述機(jī)械振動(dòng)及其描述 2021-7-15 理論力學(xué)3 振動(dòng)系統(tǒng)模型振動(dòng)系統(tǒng)模型 1. 力學(xué)模型力學(xué)模型 連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng) 實(shí)際工程結(jié)構(gòu)的物理

3、參數(shù)，例如板殼、梁、軸實(shí)際工程結(jié)構(gòu)的物理參數(shù)，例如板殼、梁、軸 等的質(zhì)量及彈性，一般是連續(xù)分布的，保持這種特點(diǎn)等的質(zhì)量及彈性，一般是連續(xù)分布的，保持這種特點(diǎn) 抽象出的模型中的系統(tǒng)稱為抽象出的模型中的系統(tǒng)稱為連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)或或分布參數(shù)系統(tǒng)分布參數(shù)系統(tǒng)。 離散系統(tǒng)離散系統(tǒng) 絕大多數(shù)場(chǎng)合中，為了能夠分析或者便于分析，絕大多數(shù)場(chǎng)合中，為了能夠分析或者便于分析， 需要通過適當(dāng)?shù)臏?zhǔn)則將分布參數(shù)需要通過適當(dāng)?shù)臏?zhǔn)則將分布參數(shù)“凝縮凝縮”成有限個(gè)離成有限個(gè)離 散的參數(shù)，這樣便得到散的參數(shù)，這樣便得到離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)。 2021-7-15 理論力學(xué)4 2. 自由度自由度 自由度數(shù)自由度數(shù)是指完全描述該系統(tǒng)一切部

4、位在任何瞬是指完全描述該系統(tǒng)一切部位在任何瞬 時(shí)的位置所需要的時(shí)的位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目的數(shù)目。 力學(xué)模型力學(xué)模型離散系統(tǒng)離散系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng)連續(xù)系統(tǒng) 自由度數(shù)自由度數(shù)多自由度系統(tǒng)多自由度系統(tǒng)無限自由度系統(tǒng)無限自由度系統(tǒng) 參數(shù)特征參數(shù)特征集中參數(shù)系統(tǒng)集中參數(shù)系統(tǒng)分布參數(shù)系統(tǒng)分布參數(shù)系統(tǒng) 數(shù)學(xué)工具數(shù)學(xué)工具常微分方程常微分方程偏微分方程偏微分方程 最簡(jiǎn)模型最簡(jiǎn)模型單自由度系統(tǒng)單自由度系統(tǒng)一維振動(dòng)一維振動(dòng) 2021-7-15 理論力學(xué)5 3. 振動(dòng)系統(tǒng)：振動(dòng)系統(tǒng)：按運(yùn)動(dòng)微分方程的形式分按運(yùn)動(dòng)微分方程的形式分 振動(dòng)振動(dòng)/ /系統(tǒng)分類系統(tǒng)分類運(yùn)動(dòng)方程運(yùn)動(dòng)方程線性疊加原理線性疊加原理 線性振動(dòng)線性

5、振動(dòng)/ /系統(tǒng)系統(tǒng)線性微分方程線性微分方程成立成立 非線性振動(dòng)非線性振動(dòng)/ /系統(tǒng)系統(tǒng) 非線性微分方程非線性微分方程不成立不成立 2021-7-15 理論力學(xué)6 4. 振動(dòng)分類振動(dòng)分類 按激勵(lì)的有無和性質(zhì)分按激勵(lì)的有無和性質(zhì)分 振動(dòng)分類振動(dòng)分類定義定義特點(diǎn)與例子特點(diǎn)與例子 固有振動(dòng)固有振動(dòng) 無激勵(lì)時(shí)系統(tǒng)所有可能運(yùn)動(dòng)的無激勵(lì)時(shí)系統(tǒng)所有可能運(yùn)動(dòng)的 集合集合 不是現(xiàn)實(shí)的振動(dòng)，不是現(xiàn)實(shí)的振動(dòng)，僅反映系統(tǒng)關(guān)于振動(dòng)僅反映系統(tǒng)關(guān)于振動(dòng) 的固有屬性。的固有屬性。 自由振動(dòng)自由振動(dòng)激勵(lì)消失后系統(tǒng)所作的振動(dòng)激勵(lì)消失后系統(tǒng)所作的振動(dòng)是現(xiàn)實(shí)的振動(dòng)。是現(xiàn)實(shí)的振動(dòng)。 強(qiáng)迫振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng)系統(tǒng)在外界激勵(lì)下所作的振動(dòng)系統(tǒng)在外界激

6、勵(lì)下所作的振動(dòng) 隨機(jī)振動(dòng)隨機(jī)振動(dòng) 系統(tǒng)在非確定性的隨機(jī)激勵(lì)下系統(tǒng)在非確定性的隨機(jī)激勵(lì)下 所作的振動(dòng)。所作的振動(dòng)。 包括物理參數(shù)具有隨機(jī)性質(zhì)的系統(tǒng)發(fā)生包括物理參數(shù)具有隨機(jī)性質(zhì)的系統(tǒng)發(fā)生 的振動(dòng)。行駛在公路上的汽車的振動(dòng)。的振動(dòng)。行駛在公路上的汽車的振動(dòng)。 自激振動(dòng)自激振動(dòng) 系統(tǒng)受到由其自身運(yùn)動(dòng)誘發(fā)出系統(tǒng)受到由其自身運(yùn)動(dòng)誘發(fā)出 來的激勵(lì)作用而產(chǎn)生和維持的來的激勵(lì)作用而產(chǎn)生和維持的 振動(dòng)。振動(dòng)。 系統(tǒng)包含有補(bǔ)充能量的能源系統(tǒng)包含有補(bǔ)充能量的能源。演奏提琴演奏提琴 所發(fā)出的樂聲所發(fā)出的樂聲, , 是琴弦作自激振動(dòng)所致。是琴弦作自激振動(dòng)所致。 車床切削加工時(shí)在某種切削用量下所發(fā)車床切削加工時(shí)在某種切削用

7、量下所發(fā) 生的激烈的高頻振動(dòng)生的激烈的高頻振動(dòng), , 架空電纜在風(fēng)作架空電纜在風(fēng)作 用下所發(fā)生的與風(fēng)向垂直的上下振動(dòng)以用下所發(fā)生的與風(fēng)向垂直的上下振動(dòng)以 及飛機(jī)機(jī)翼的顫振等。及飛機(jī)機(jī)翼的顫振等。 參數(shù)振動(dòng)參數(shù)振動(dòng) 激勵(lì)因素以系統(tǒng)本身的參數(shù)隨激勵(lì)因素以系統(tǒng)本身的參數(shù)隨 時(shí)間變化的形式出現(xiàn)的振動(dòng)。時(shí)間變化的形式出現(xiàn)的振動(dòng)。 秋千在初始小擺角下被越蕩越高，受到秋千在初始小擺角下被越蕩越高，受到 的激勵(lì)以擺長(zhǎng)隨時(shí)間變化的形式出現(xiàn)，的激勵(lì)以擺長(zhǎng)隨時(shí)間變化的形式出現(xiàn)， 擺長(zhǎng)的變化由人體的下蹲及站直造成。擺長(zhǎng)的變化由人體的下蹲及站直造成。 2021-7-15 理論力學(xué)7 (2) A f 振幅 圓頻率 初相角

8、 13.1.2. 13.1.2. 簡(jiǎn)諧振動(dòng)簡(jiǎn)諧振動(dòng) -最基本的周期振動(dòng)最基本的周期振動(dòng) 1. 表示表示 2. 三要素三要素 ( )sin()x tAt 2021-7-15 理論力學(xué)8 12 T f 3. 周期與頻率周期與頻率 周期周期 T 頻率頻率 f 1 2 f T 單位：?jiǎn)挝唬篢：s(秒秒) f：Hz(赫茲赫茲) ：rad/s 2021-7-15 理論力學(xué)9 4. 位移、速度與加速度位移、速度與加速度 位移位移 速度速度 加速度加速度 ( )sin()xx tAt ( ) cos() sin() 2 dx t xAt dt At 2 2 2 2 ( ) sin() sin() d x t

9、xAt dt At 2021-7-15 理論力學(xué)10 5. 位移、速度與加速度關(guān)系位移、速度與加速度關(guān)系 (1) 位移、速度與加速度均為簡(jiǎn)諧函數(shù)，且同頻。位移、速度與加速度均為簡(jiǎn)諧函數(shù)，且同頻。 (2) 速度超前位移速度超前位移90，加速度超前位移，加速度超前位移180。 (3) 加速度與位移關(guān)系：加速度與位移關(guān)系： 加速度與位移成正比加速度與位移成正比, 方向相反方向相反, 指向平衡位置。指向平衡位置。 2 xx 2021-7-15 理論力學(xué)11 旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量 簡(jiǎn)諧振動(dòng)表示簡(jiǎn)諧振動(dòng)表示 位移、速度與加速度關(guān)系位移、速度與加速度關(guān)系 x x o M t M x o A x o A A A2

10、 6. 旋轉(zhuǎn)矢量表示旋轉(zhuǎn)矢量表示 ( )sin()x tAt 2021-7-15 理論力學(xué)12 ()it zAe ( )Im( )sin()x tzAt ( ) ii ti t z tAeeAe i AAe 旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量 復(fù)振幅，包含振幅和相位信息復(fù)振幅，包含振幅和相位信息 cos()sin()AtiAt 7.復(fù)數(shù)表示復(fù)數(shù)表示 2021-7-15 理論力學(xué)13 二二. 簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成 1. 兩個(gè)同頻率振動(dòng)合成兩個(gè)同頻率振動(dòng)合成 111 ( )sin()x tAt 12 ( )( )( )sin()x tx tx tAt 22 11221122 (sinsin)(coscos)AA

11、AAA 1122 1122 sinsin coscos AA tg AA 222 ( )sin()x tAt 同頻振動(dòng)合成同頻振動(dòng)合成 x x(t) o A A1 1 A2 2 2021-7-15 理論力學(xué)14 111 222 ( )sin ( )sin x tAt x tAt 二二. 簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成 2. 兩個(gè)不同頻率振動(dòng)合成兩個(gè)不同頻率振動(dòng)合成 (1) 1與與 2之比為有理數(shù)之比為有理數(shù) 1 12 212 22m mnTmTnT n 設(shè) 12 ( )( )( )x tx tx t 12 1122 12 ()()() ()() ( )( ) ( ) x tTx tTx tT x t

12、mTx tnT x tx t x t 2021-7-15 理論力學(xué)15 111 222 ( )sin ( )sin x tAt x tAt 二. 簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成 2. 兩個(gè)不同頻率振動(dòng)合成兩個(gè)不同頻率振動(dòng)合成 (1) 1與與 2之比為有理數(shù)之比為有理數(shù) T為為x1(t)和和x2(t)合成之周期合成之周期。 結(jié)論結(jié)論： 兩不同頻振動(dòng)合成不再為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。但兩不同頻振動(dòng)合成不再為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。但 頻率比為有理數(shù)時(shí)，可合成為周期振動(dòng)。合頻率比為有理數(shù)時(shí)，可合成為周期振動(dòng)。合 成振動(dòng)周期為兩簡(jiǎn)諧振動(dòng)周期之最小公倍數(shù)成振動(dòng)周期為兩簡(jiǎn)諧振動(dòng)周期之最小公倍數(shù)。 2021-7-15 理論力學(xué)16 ( )2cossin

13、 2 ( )sin x tAtt A tt 1212 AAA若，設(shè) (2) 1與與 2之比為無理數(shù)之比為無理數(shù) 結(jié)論結(jié)論:無公共周期，合成振動(dòng)為非周期振動(dòng)。無公共周期，合成振動(dòng)為非周期振動(dòng)。 111 222 ( )sin ( )sin x tAt x tAt 2121 2 cossin 22 Att 121122 ( )( )( )sinsinx tx tx tAtAt 21 21 2 令：， ( )2 cos 2 A tAt 2021-7-15 理論力學(xué)17 (2) 1與與 2之比為無理數(shù)之比為無理數(shù) “拍拍”: 頻率為頻率為的變幅振動(dòng)，振幅在的變幅振動(dòng)，振幅在02A之間之間 緩慢周期變化。

14、包絡(luò)線為緩慢周期變化。包絡(luò)線為A(t)，拍頻為，拍頻為 。 2A 12 4 21 2 t x(t) o 2021-7-15 理論力學(xué)18 x(t) st l0 k A B x o mg F m 物塊質(zhì)量物塊質(zhì)量 k 彈簧剛度彈簧剛度 l0 彈簧自然長(zhǎng)度彈簧自然長(zhǎng)度 st彈簧靜變形彈簧靜變形 靜止時(shí)靜止時(shí) 0,0 xst Fmgk 運(yùn)動(dòng)時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí) 0,() xst Fmgkxmx 13.2.1 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 1.1.單自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)模型單自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)模型 13-2 單自由度系統(tǒng)振動(dòng)單自由度系統(tǒng)振動(dòng) 2021-7-15 理論力學(xué)19 靜止時(shí)靜止時(shí) 0,0 xst

15、 Fmgk 運(yùn)動(dòng)時(shí)運(yùn)動(dòng)時(shí) 0,() xst Fmgkxmx 0mxkx 2 0 n xx 13.2.1 單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)自由振動(dòng) 1.1.單自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)模型單自由度彈簧質(zhì)量系統(tǒng)模型 固有圓頻率式中 m k n 無阻尼自由振動(dòng)微分方程無阻尼自由振動(dòng)微分方程 2021-7-15 理論力學(xué)20 2.2.固有頻率固有頻率 sin 2 2 0 0 n n 1 n0 0 x Ax x(t)A(t) x tg x 0 2 xx n 振動(dòng)方程： cossin 0 0nn n x xxtt 0 102 n x CxC 00 t0,xxxx初始條件： cossin 1n2n12 xCtCt,

16、CC 通解：、積分常數(shù) 無阻尼自由振動(dòng)無阻尼自由振動(dòng) 周期周期 2 2 n m T k 固有頻率固有頻率 11 22 n n k f Tm 2 nn f 2021-7-15 理論力學(xué)21 3.3.振幅與相位振幅與相位 初始條件：初始條件：tx()x x()x 時(shí)， 初始位移： 初始速度： cossin nn n x x(t )x(t)(t),t 時(shí)刻后自由振動(dòng)解時(shí)刻后自由振動(dòng)解： 對(duì)于對(duì)于t=0初始條件：初始條件： 00 0(0)(0)=txxxx， 0 0 (t)cossin0 nn n x xxtt,t 2 2-1 00 0 0 tg n n xx Ax x ， 2021-7-15 理論力

17、學(xué)22 4.彈簧串并聯(lián)彈簧串并聯(lián) 1.1.并聯(lián)彈簧并聯(lián)彈簧 變形相等變形相等 21 kkK e 等效彈簧剛度等效彈簧剛度 st l0 mg F1 F2 k1 k2 st l0 mg F Ke st ststst kk kkFFkF )( 21 2121 2021-7-15 理論力學(xué)23 2.2.串聯(lián)彈簧串聯(lián)彈簧 受力相等受力相等 21 21 kk kk Ke 等效彈簧剛度等效彈簧剛度 ststst lllll 21210 l0 st mg F Ke 1st l1 l2 2st 21 111 kkK e 21 k mg k mg K mg e 21 111 kkKe k1 k2 mg F 202

18、1-7-15 理論力學(xué)24 固有頻率計(jì)算固有頻率計(jì)算 靜變形法靜變形法 st kmg st n g m k 2021-7-15 理論力學(xué)25 13.2.213.2.2計(jì)算固有頻率的能量法計(jì)算固有頻率的能量法: :原理與方法原理與方法 對(duì)不計(jì)阻尼的系統(tǒng)，因?yàn)闆]有能量損失，所以可以用能量守對(duì)不計(jì)阻尼的系統(tǒng)，因?yàn)闆]有能量損失，所以可以用能量守 恒原理建立自由振動(dòng)微分方程，或直接求出系統(tǒng)固有頻率。恒原理建立自由振動(dòng)微分方程，或直接求出系統(tǒng)固有頻率。 方法方法 設(shè)系統(tǒng)任一瞬時(shí)的動(dòng)能及勢(shì)能分別為設(shè)系統(tǒng)任一瞬時(shí)的動(dòng)能及勢(shì)能分別為T及及U，由機(jī)械能守恒，由機(jī)械能守恒 有有 () d TU0 dt 將系統(tǒng)能量的

19、具體表達(dá)式代入，便可導(dǎo)出自由振動(dòng)微分方程，將系統(tǒng)能量的具體表達(dá)式代入，便可導(dǎo)出自由振動(dòng)微分方程， 并求出系統(tǒng)固有頻率。并求出系統(tǒng)固有頻率。 原理原理 2021-7-15 理論力學(xué)26 例例1 1 彈簧質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)彈簧質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng) 2 1 2 Tmx 2 1 2 x 0 Ukxdxkx 動(dòng)能動(dòng)能 勢(shì)能勢(shì)能 22 11 ()()0 22 ()0 dd TUmxkx dtdt mxkx x 0kxx m 由于速度不可能恒為零由于速度不可能恒為零 k 2021-7-15 理論力學(xué)27 1 2 2 maxmax Tmx 1 2 2 maxmax Ukx 在靜平衡位置，在靜平衡位置， 系統(tǒng)勢(shì)能為零，動(dòng)能最大系統(tǒng)勢(shì)

20、能為零，動(dòng)能最大 在最大位移處，在最大位移處， 系統(tǒng)動(dòng)能為零，勢(shì)能最大系統(tǒng)動(dòng)能為零，勢(shì)能最大 maxmax TU maxnmax xx n k m 固有圓頻率 能量守恒能量守恒 考慮兩個(gè)特殊位置上系統(tǒng)能量：考慮兩個(gè)特殊位置上系統(tǒng)能量： 由于系統(tǒng)的固有振動(dòng)是以固有頻率為振動(dòng)頻率由于系統(tǒng)的固有振動(dòng)是以固有頻率為振動(dòng)頻率 的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，所以最大速度與最大位移有關(guān)系：的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，所以最大速度與最大位移有關(guān)系： 2021-7-15 理論力學(xué)28 例例2 位移計(jì)位移計(jì) k2 B W k1 b c O 質(zhì)量塊重質(zhì)量塊重W,搖臂搖臂AB繞支點(diǎn)繞支點(diǎn)O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 為為I,兩彈簧剛度為兩彈簧剛度為k1,k

21、2,求系統(tǒng)固有頻率。求系統(tǒng)固有頻率。 解解 2 11 () 22 2 m maxm Wx TxI gb 2 11 () 22 2 max1m2m c Uk xkx b 最大動(dòng)能最大動(dòng)能 最大勢(shì)能最大勢(shì)能1 () 2 2 2 12m 2 c kk x b 1 () 2 22 mn 2 WI x gb 設(shè)質(zhì)量塊最大速度和最大位設(shè)質(zhì)量塊最大速度和最大位 移為移為 mm xx ， 2 / / m m xb kcxb 搖臂最大角速度 彈簧 最大伸長(zhǎng)量 2021-7-15 理論力學(xué)29 例例2 位移計(jì)位移計(jì) k2 B W k1 b c O maxmax UT 2 2 22 1 / )/( bIgW kbc

22、k n 能量守恒能量守恒 1 () 2 2 2 max12m 2 c Ukk x b 1 () 2 22 mn 2 WI Tx gb max 2021-7-15 理論力學(xué)30 例3 圓柱體微振動(dòng)圓柱體微振動(dòng) 重重W半徑半徑r的圓柱體在半徑為的圓柱體在半徑為R圓柱面內(nèi)作無圓柱面內(nèi)作無 滑動(dòng)滾動(dòng)。求圓柱體在平衡位置附近作微滑動(dòng)滾動(dòng)。求圓柱體在平衡位置附近作微 振動(dòng)的微分方程和固有頻率。振動(dòng)的微分方程和固有頻率。 解解 設(shè)角坐標(biāo)設(shè)角坐標(biāo) ，系統(tǒng)勢(shì)能為，系統(tǒng)勢(shì)能為 2/)( )cos1)( 2 rRW rRWU A為瞬心，為瞬心，質(zhì)心線速度為質(zhì)心線速度為 設(shè)圓柱體轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為設(shè)圓柱體轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為 rr

23、RrrRvc/)()( 系統(tǒng)動(dòng)能系統(tǒng)動(dòng)能 22 222 2 )( 4 3 )( 2 1 ( 2 1 2 1 rR g W r rR r g W r g W IT A )( 3 2 0 )( 3 2 0)()( 2 3 2 rR g rR g rRWrR g W n 2021-7-15 理論力學(xué)31 13.2.3 單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的有阻尼自由振動(dòng) 一、阻尼的概念一、阻尼的概念： 阻尼阻尼：振動(dòng)過程中，系統(tǒng)所受的阻力。：振動(dòng)過程中，系統(tǒng)所受的阻力。 粘性阻尼粘性阻尼：在很多情況下，振體速度不大時(shí)，由于：在很多情況下，振體速度不大時(shí)，由于 介質(zhì)粘性引起的阻尼認(rèn)為阻力與速度的一

24、次方成正比，介質(zhì)粘性引起的阻尼認(rèn)為阻力與速度的一次方成正比， 這種阻尼稱為粘性阻尼。這種阻尼稱為粘性阻尼。 vcR 投影式：投影式： xcRx c 粘性阻尼系數(shù)，簡(jiǎn)稱阻尼系數(shù)。粘性阻尼系數(shù)，簡(jiǎn)稱阻尼系數(shù)。 2021-7-15 理論力學(xué)32 二、有阻尼自由振動(dòng)微分方程及其解二、有阻尼自由振動(dòng)微分方程及其解： 質(zhì)量質(zhì)量彈簧系統(tǒng)存在粘性阻尼：彈簧系統(tǒng)存在粘性阻尼：xckxxm 02 2 , 22 n xxnx m c n m k n 則令 有阻尼自由振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。有阻尼自由振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。 2021-7-15 理論力學(xué)33 其通解分三種情況討論：其通解分三種情況討論： 1、欠阻尼情

25、形、欠阻尼情形 mkcn n 2 )( )sin( tAex d nt 22 n nd 有阻尼自由振動(dòng)的圓頻率有阻尼自由振動(dòng)的圓頻率 則時(shí)設(shè) , , , 0 00 xxxxt 00 22 0 1 22 2 00 2 0 tg ; )( nxx nx n nxx xA n n 2021-7-15 理論力學(xué)34 衰減振動(dòng)的特點(diǎn)：衰減振動(dòng)的特點(diǎn)： (1) 振動(dòng)周期變大，振動(dòng)周期變大， 頻率減小頻率減小。 mk cn n T n n d d 2 1 2 22 22 22 阻尼比阻尼比 有阻尼自由振動(dòng)：有阻尼自由振動(dòng)： 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 可以認(rèn)為可以認(rèn)為 n n 1 TTd nd 2 2 2 1 1 1

26、nd d d ff T T 2021-7-15 理論力學(xué)35 (2) 振幅按幾何級(jí)數(shù)衰減振幅按幾何級(jí)數(shù)衰減 對(duì)數(shù)減縮率對(duì)數(shù)減縮率 2 1 2 lnln 2 1 d nT i i nTe A A d d di i nT Ttn nt i i e Ae eA A A )( 1 相鄰兩次振幅之比相鄰兩次振幅之比 2021-7-15 理論力學(xué)36 2、臨界阻尼情形、臨界阻尼情形 臨界阻尼系數(shù)臨界阻尼系數(shù) ) 1 , (nn mkcc2 )( 000 tnxxxex nt ) , , 0( 00 xxxxt 時(shí) 可見，物體的運(yùn)動(dòng)隨時(shí)間的增長(zhǎng)而無限可見，物體的運(yùn)動(dòng)隨時(shí)間的增長(zhǎng)而無限 地趨向平衡位置，不再具

27、備振動(dòng)的特性。地趨向平衡位置，不再具備振動(dòng)的特性。 2021-7-15 理論力學(xué)37 )( 2222 21 tn tn nt nn eCeCex 代入初始條件代入初始條件) , , 0( 00 xxxxt 時(shí) 22 00 22 2 22 0 22 0 1 2 )( ; 2 )( n n n n n xxnn C n xnnx C ) 1 , (nn)( c cc 3、過阻尼（大阻尼）情形、過阻尼（大阻尼）情形 所示規(guī)律已不是周期性的了，隨時(shí)間的所示規(guī)律已不是周期性的了，隨時(shí)間的 增長(zhǎng)，增長(zhǎng)，x 0，不具備振動(dòng)特性。，不具備振動(dòng)特性。 2021-7-15 理論力學(xué)38 例例3 質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，質(zhì)量

28、彈簧系統(tǒng)，W=150N， st=1cm , A1=0.8cm, A21=0.16cm。 求阻尼系數(shù)求阻尼系數(shù)c 。 20 21 20 3 2 2 1 21 1 )( d nT e A A A A A A A A 解：解： 20 )( 16. 0 8 . 0 dnT e 2 1 220 205ln n n dnT 由于由于 很小，很小， 405ln )s/cmN(122. 0 9801 150 2 40 5ln 2 40 5ln 2 2 st W g W mkc 2021-7-15 理論力學(xué)39 13.2.4 單自由度系統(tǒng)的無阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的無阻尼強(qiáng)迫振動(dòng) 一、強(qiáng)迫振動(dòng)的概念一、強(qiáng)迫振

29、動(dòng)的概念 強(qiáng)迫振動(dòng)：在外加激振力作用下的振動(dòng)。強(qiáng)迫振動(dòng)：在外加激振力作用下的振動(dòng)。 簡(jiǎn)諧激振力：簡(jiǎn)諧激振力： H力幅；力幅； 激振力的圓頻率激振力的圓頻率 ； 激振力的初相位。激振力的初相位。 )sin(tHS )sin(tHkxxm 則令 , 2 m H h m k n )sin( 2 thxx n 無阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，無阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式， 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。 二、無阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程及其解二、無阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程及其解 2021-7-15 理論力學(xué)40 21 xxx )sin( )sin( 2 1 tbx tAx n

30、 為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為對(duì)應(yīng)齊次方程的通解 為特解為特解 )sin( , 22 2 22 t h x h b nn )sin()sin( 22 t h tAx n n 全解為：全解為： 穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng) 3、強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅大小與運(yùn)動(dòng)初始條件無關(guān)，而與振動(dòng)系統(tǒng)、強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅大小與運(yùn)動(dòng)初始條件無關(guān)，而與振動(dòng)系統(tǒng) 的固有頻率、激振力的頻率及激振力的力幅有關(guān)。的固有頻率、激振力的頻率及激振力的力幅有關(guān)。 三、穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)的主要特性三、穩(wěn)態(tài)強(qiáng)迫振動(dòng)的主要特性： 1、在簡(jiǎn)諧激振力下，單自由度系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)亦為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。、在簡(jiǎn)諧激振力下，單自由度系統(tǒng)強(qiáng)迫振動(dòng)亦為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。 2、強(qiáng)迫振動(dòng)的頻率等于簡(jiǎn)諧

31、激振力的頻率，與振動(dòng)系統(tǒng)的、強(qiáng)迫振動(dòng)的頻率等于簡(jiǎn)諧激振力的頻率，與振動(dòng)系統(tǒng)的 質(zhì)量及剛度系數(shù)無關(guān)。質(zhì)量及剛度系數(shù)無關(guān)。 2021-7-15 理論力學(xué)41 (1) =0時(shí) k Hh b n 2 0 (2) 時(shí)，振幅時(shí)，振幅b隨隨 增大而增大；當(dāng)增大而增大；當(dāng) 時(shí)，時(shí)， n b n (3) 時(shí)，振動(dòng)相位與激振力相位反相，相差時(shí)，振動(dòng)相位與激振力相位反相，相差 。 rad n 22 n h b b 隨隨 增大而減?。辉龃蠖鴾p?。?0 ; , 2 0 bbb n 時(shí)時(shí) 振幅比或稱動(dòng)力系數(shù)振幅比或稱動(dòng)力系數(shù) 頻率比頻率比 曲線曲線 幅頻響應(yīng)曲線幅頻響應(yīng)曲線 （幅頻特性曲線）（幅頻特性曲線）1 2021-

32、7-15 理論力學(xué)42 4、共振現(xiàn)象、共振現(xiàn)象 , 時(shí) n b ，這種現(xiàn)象稱為共振。，這種現(xiàn)象稱為共振。 此時(shí)，此時(shí)， )cos( 2 tBtx n )cos( 2 2 , 2 2 tt b x t h b h B n n nn 2021-7-15 理論力學(xué)43 13.2.5 單自由度系統(tǒng)的有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)單自由度系統(tǒng)的有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng) 一、有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程及其解一、有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程及其解 tHQxcRkxF xxx sin , , tHxckxxmsin 將上式兩端除以將上式兩端除以m ，并令，并令 m H h m c n m k n ; 2 ; 2 thxxnx n sin2 2

33、有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，二階常系數(shù)非齊次微有阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，二階常系數(shù)非齊次微 分方程。分方程。 21 xxx 2021-7-15 理論力學(xué)44 x1是齊次方程的通解是齊次方程的通解)02( 2 xxnx n 小阻尼：小阻尼： )sin( 22 1 tAex n nt （A、 積分常數(shù)，取決于初始條件）積分常數(shù)，取決于初始條件） x2 是特解：是特解：)sin( 2 tbx代入標(biāo)準(zhǔn)形式方程并整理代入標(biāo)準(zhǔn)形式方程并整理 22 22222 2 tg 4)( n n n n h b 強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅 強(qiáng)迫振動(dòng)相位滯后激振力相位角強(qiáng)迫振動(dòng)相位滯后激振力相位角 振動(dòng)微分方程的全解為振動(dòng)微分方程的全解為 )sin()sin( 22 tbtAex n nt 衰減振動(dòng)衰減振動(dòng) 強(qiáng)迫振動(dòng)強(qiáng)迫振動(dòng) 2021-7-15 理論力學(xué)45 振動(dòng)開始時(shí)，二者同時(shí)存在的過程振動(dòng)開始時(shí)，二者同時(shí)存在的過程瞬態(tài)過程。瞬態(tài)過程。 僅剩下強(qiáng)迫振動(dòng)部分的過程僅剩下強(qiáng)迫振動(dòng)部分的過程穩(wěn)態(tài)過程。需著重討論部分。穩(wěn)態(tài)過程。需著重討論部分。 nn n b b ; , 0 令 頻率比頻率比 振幅比振幅比 阻尼