三十三講排列組合與二項式定理

1、三十三講排列組合與二項式定理 第三十三講 排列、組合與二項式定理 一、引言： 本講內(nèi)容主要包括分類計數(shù)原理、分步 計數(shù)原理、排列與組合、二項式定理三部分. 考查內(nèi)容：（1）兩個原理；（2）排列、組 合的概念，排列數(shù)和組合數(shù)公式，排列和組 合的應用；（3）二項式定理，二項展開式的 通項公式，二項式系數(shù)及二項式系數(shù)和. 三十三講排列組合與二項式定理 本講考綱要求為： 1理解分類加法計數(shù)原理和分步乘法 計數(shù)原理；會用分類加法計數(shù)原理或分步 乘法計數(shù)原理分析和解決一些簡單的實際 問題. 2理解排列、組合的概念.能利用計數(shù) 原理推導排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.能解決 簡單的實際問題. 三十三講排列組合與二項

2、式定理 3能用計數(shù)原理證明二項式定理.會用二 項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題. 本講命題走向：單獨的考題會以選擇題、填 空題的形式出現(xiàn)，屬于中低難度的題目，排 列組合有時與概率結合出現(xiàn)在解答題中,難 度較小，屬于高考題中的中低檔題目. 三十三講排列組合與二項式定理 二、考點梳理 （一）兩個基本原理 1.分類計數(shù)原理 完成一件事，有n類辦法，在第1類辦法中有 種不同的方法，在第2類辦法中有 種不同 的方法，在第n類辦法中有 種不同的 方法，那么完成這件事共有 1 m 2 m n m 12n Nmmm 種不同的方法 三十三講排列組合與二項式定理 2分步計數(shù)原理 完成一件事，需要分成n個步驟

3、，做第1步有 種不同的方法，做第2步有 種不同的方 法，做第n步有 種不同的方法，那么完 成這件事共有 1 m 2 m n m n mmmN 21 種不同的方法 三十三講排列組合與二項式定理 3分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理的共同點與 區(qū)別 分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理都是涉及 完成一件事的不同方法的種數(shù)的問題，它們 的區(qū)別在于：分類計數(shù)原理與“分類”有關， 各種方法相互獨立，用其中任何一種方法都 可以完成這件事；分步計數(shù)原理與“分步” 有關，各個步驟相互依存，只有各個步驟都 完成了，這件事才算完成 三十三講排列組合與二項式定理 （二）排列與組合 1排列的概念：從n個不同元素中，任取m （ ）個元素

4、（這里的被取元素各不相 同）按照一定的順序排成一列，叫做從n個不 同元素中取出m個元素的一個排列. mn 2排列數(shù)的定義：從n個不同元素中，任取 m（ ）個元素的所有排列的個數(shù)叫做 從n個元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號 表示. mn A m n 三十三講排列組合與二項式定理 3排列數(shù)公式： （ ）. A(1)(2)(1) m n n nnnm ! ()! n nm ,m nNmn 4階乘： 表示正整數(shù)1到n的連乘積，叫 做n的階乘規(guī)定 記住下列幾個階乘數(shù)：1！=1，2！=2，3！ =6，4！=24，5！=120，6！=720. !n 0! 1 5.組合的概念：一般地，從n個不同元素中 取出

5、m 個元素并成一組，叫做從n個 不同元素中取出m個元素的一個組合. mn 三十三講排列組合與二項式定理 6.組合數(shù)的概念：從n個不同元素中取出m 個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n 個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)用符 號 表示 mn C m n 7.組合數(shù)公式： . A(1)(2)(1) C A! m m n n m m n nnnm m ! !()! n m nm ),(nmNmn 且 三十三講排列組合與二項式定理 8.組合數(shù)的性質: 規(guī)定： ； + . 1CC mn m nn 0 C1 n 2 1 C m n C m n 1 C m n 9排列、組合應用題的解題途徑： 以元素為主，即先滿足

6、特殊元素的要求，再 考慮其他元素 以位置為主，即先滿足特殊位置的要求，再 考慮其他位置 先不考慮附加條件，計算出排列或組合數(shù)， 再減去不合要求的排列組合數(shù) 排列、組合應用題的解題思路：排組分清，加 乘明確；有序排列，無序組合；分類為加，分步 為乘 三十三講排列組合與二項式定理 （三）二項式定理 1二項式展開公式： (a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+ +Cnkan-kbk+ +Cnnbn； 2通項公式：二項式展開式中第r+1項的通項 公式是：Tr+1=Cnran-rbr； 3二項式的應用： （1）求某些多項式系數(shù)的和； （2）證明一些簡單的組合恒等式； （3）證明整除性：求數(shù)的末位；數(shù)

7、的整 除性及求系數(shù)；簡單多項式的整除問題. 三十三講排列組合與二項式定理 三、典型例題選講 題型1：計數(shù)原理 例1 完成下列選擇題與填空題: （1）有三個不同的信箱，今有四封不同的 信欲投其中，則不同的投法有 種. A81 B64 C24D4 三十三講排列組合與二項式定理 解：（1）完成一件事是“分步”進行還是 “分類”進行，是選用基本原理的關鍵.將“投 四封信”這件事分四步完成，每投一封信作為一 步，每步都有投入三個不同信箱的三種方法，因 此：N=3333=34=81，故答案選A. 三十三講排列組合與二項式定理 （2）四名學生爭奪三項冠軍，獲得冠軍的 可能的種數(shù)是（ ） A81 B64 C2

8、4 D4 解:因學生可同時奪得n項冠軍，故學生可重復 排列，將4名學生看作4個“店”，3項冠軍看作 “客”，每個“客”都可住進4家“店”中的任 意一家，即每個“客”有4種住宿法.由分步計 數(shù)原理得：N=444=64. 故答案選B. 三十三講排列組合與二項式定理 （3）（2008重慶)某人有4種 顏色的燈泡（每種顏色的燈泡 足夠多），要在如圖所示的6 個點A、B、C、 、 、 上各 裝一個燈泡，要求同一條線段 兩端的燈泡不同色，則每種顏 色的燈泡都至少用一個的安裝 方法共有 種（用數(shù)字 作答）. 1 A 1 B 1 C 三十三講排列組合與二項式定理 （3）解： 處4種， 處3種， 處2種，則底面

9、 共 ，若 處顏色相同，則 處3 種， 處1種，共有 種；若 處顏色 不同，則A處3種，B處2種，C處1種，共有 種，由分類計數(shù)原理得上底面共9 種，由分步計數(shù)原理得共有 種. 1 A 1 B 1 C 4 3 224 1 ,A BB C3 13 1 ,A B 3 2 16 24 9216 三十三講排列組合與二項式定理 . ABCD， ， ， D B C A (4)(2008全國I理 )如圖，一環(huán)形花壇分成 A,B,C,D四塊，現(xiàn)有4種不同的花供選種，要 求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的 花，則不同的種法總數(shù)為（ ） A96B84C60D48 . 三十三講排列組合與二項式定理 歸納小結：

10、分步計數(shù)原理與分類計數(shù)原理是 排列組合中解決問題的重要手段，也是基礎 方法，分類計數(shù)原理與分類討論有很多相通 之處，當遇到比較復雜的問題時，用分類的 方法可以有效的將之化簡,達到求解的目的. 三十三講排列組合與二項式定理 題型2：排列問題 例2 分別求出符合下列要求的不同排法的種 數(shù): （1）6名學生排3排，前排1人，中排2人，后 排3人； （2）6名學生排成一排，甲不在排頭也不在 排尾； （3）從6名運動員中選出4人參加4100米接 力賽，甲不跑第一棒，乙不跑第四棒； （4）6人排成一排，甲、乙必須相鄰； （5）6人排成一排，甲、乙不相鄰； （6）6人排成一排，限定甲要排在乙的左邊， 乙要排

11、在丙的左邊（甲、乙、丙可以不相 鄰）. 三十三講排列組合與二項式定理 解：（1）分排坐法與直排坐法一一對應，故 排法種數(shù)為. 6 6 A720 （2）甲不能排頭尾，讓受特殊限制的甲先選 位置，有 種選法，然后其他5人選，有 種選 法，故排法種數(shù)為 . 1 4 A 5 5 A 15 45 A A480 （3）有兩棒受限制，以第一棒的人選來分類： 乙跑第一棒，其余棒次則不受限制，排法數(shù) 為 ；乙不跑第一棒，則跑第一棒的人有 種選法，第四棒除了乙和第一棒選定的人外， 也有 種選法，其余兩棒次不受限制，故有 種排法， 3 5 A 1 4 A 1 4 A 112 444 A A A 三十三講排列組合與二

12、項式定理 由分類計數(shù)原理，共有 種 排法. 3112 5444 AA A A252 （4）將甲乙“捆綁”成“一個元素”與其他4 人一起作全排列共有 種排法. 25 25 A A240 （5）甲乙不相鄰，第一步除甲乙外的其余4人 先排好；第二步甲、乙選擇已排好的4人的左、 右及之間的空擋插位，共有 （或用6人的排 列數(shù)減去問題（4）后排列數(shù)為 -240=480). 42 45 A A 6 6 A 三十三講排列組合與二項式定理 （6）三人的順序定，實質是從6個位置中選 出三個位置，然后按規(guī)定的順序放置這三人， 其余3人在3個位置上全排列，故有排 法 種. 33 63 C A120 歸納小結：排隊問

13、題是一類典型的排列問題， 常見的附加條件是定位與限位、相鄰與不相 鄰. 對于帶限制條件的排列問題，通常從以 下三種途徑考慮： 三十三講排列組合與二項式定理 （1）元素分析法：先考慮特殊元素要求，再 考慮其他元素； （2）位置分析法：先考慮特殊位置的要求， 再考慮其他位置； （3）整體排除法：先算出不帶限制條件的排 列數(shù)，再減去不滿足限制條件的排列數(shù). 三十三講排列組合與二項式定理 例3 （1）（2007北京理）記者要為5名志愿 者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排， 2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有 （） 1440種960種 720種480種 解：（1）依題意有 種方法， 選B.

14、521 524 A A A960 三十三講排列組合與二項式定理 （2）（2008遼寧理）一生產(chǎn)過程有4道工序， 每道工序需要安排一人照看現(xiàn)從甲、乙、 丙等6名工人中安排4人分別照看一道工序， 第一道工序只能從甲、乙兩工人中安排1人， 第四道工序只能從甲、丙兩工人中安排1人， 則不同的安排方案共有（ ） A24種 B36種 C48種 D72種 三十三講排列組合與二項式定理 （2）解:若第一道工序由甲來完成，則第四道 工序必由丙來完成，故完成方案共有 種； 若第一道工序由乙來完成，則第四道工序必由 甲、丙二人之一來完成，故完成方案共有 種.不同的安排方案共有 種，選B. 2 4 A12 1 2 A

15、 2 4 A24 212 424 AAA36 三十三講排列組合與二項式定理 （3）（2009四川理）2位男生和3位女生共5 位同學站成一排，若男生甲不站兩端，3位 女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法 的種數(shù)是（ ） A. 60 B. 48 C. 42 D. 36 三十三講排列組合與二項式定理 （3）解法一：從3名女生中任取2人“捆” 在一起記作A，（A共有 種不同排 法），剩下一名女生記作B，兩名男生分別 記作甲、乙,則男生甲必須在A、B之間（若 甲在A、B兩端.則為使A、B不相鄰，只有把 男生乙排在A、B之間，此時就不能滿足男生 甲不在兩端的要求）,此時共有6212種 排法（A左B右和A

16、右B左）.最后再在排好的 三個元素中選出四個位置插入乙，所以，共 有12448種不同排法. 22 32 C A6 三十三講排列組合與二項式定理 解法二：同解法一，從3名女生中任取2人 “捆”在一起記作A，（A共有 種 不同排法），剩下一名女生記作B，兩名男 生分別記作甲、乙,為使男生甲不在兩端可分 三類情況： 第一類：女生A、B在兩端，男生甲、乙在中 間，共有 種排法； 第二類：“捆綁”A和男生乙在兩端，則中間 女生B和男生甲只有一種排法，此時共有 12種排法; 22 32 C A6 22 22 6A A24 2 2 6A 三十三講排列組合與二項式定理 第三類：女生B和男生乙在兩端，同樣中間

17、“捆綁”A和男生甲也只有一種排法. 此時共有 12種排法. 三類之和為24121248種. 歸納小結：合理的應用排列的公式處理實 際問題，首先應該進入排列問題的情景， 想清楚我處理時應該如何去做. 2 2 6A 三十三講排列組合與二項式定理 題型三：組合問題 例4 (1)(2009全國理）甲組有5名男同學， 3名女同學；乙組有6名男同學、2名女同學. 若從甲、乙兩組中各選出2名同學，則選出 的4人中恰有1名女同學的不同選法共有( ) A.150種 B.180種 C.300種 D.345種 三十三講排列組合與二項式定理 解：(1) 分兩類: 甲組中選出一名女生 有 種選法; 乙組中選出一名女生有

18、 種選法.故共有345種選法.選D. 112 536 CCC225 211 562 CCC120 三十三講排列組合與二項式定理 (2)（2009湖北文）從5名志愿者中選派4人在 星期五、星期六、星期日參加公益活動，每人 一天，要求星期五有一人參加，星期六有兩人 參加，星期日有一人參加，則不同的選派方法 共有( ) A.120種 B.96種 C.60種 D.48種 種，周五一人有 種，周六兩人則有種，周日則有種， 種,故選C. 解:5人中選4人則有 故共有 3241 6241 CCC204 16C60 4 5 C 1 4 C 2 3 C 1 1 C 4121 5431 CCC C60 三十三講排

19、列組合與二項式定理 (3)（2009湖南卷文）某地政府召集5家企 業(yè)的負責人開會，其中甲企業(yè)有2人到會， 其余4家企業(yè)各有1人到會，會上有3人發(fā)言， 則這3人來自3家不同企業(yè)的可能情況的種數(shù) 為( ) A14 B16 C20 D48 故選B. 解:由間接法得 , 324 624 CCC204 16 三十三講排列組合與二項式定理 歸納小結:組合問題結合分類計數(shù)原理和 分步計數(shù)原理進行考查是文科?？嫉幕?礎題.在解題時要注意分類思想的使用. 三十三講排列組合與二項式定理 題型4：排列、組合的綜合問題 例5 (1)（2009陜西文）從1，2，3，4，5， 6，7這七個數(shù)字中任取兩個奇數(shù)和兩個偶數(shù)，

20、組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)，其中奇數(shù)的個 數(shù)為( ) A.432 B.288 C. 216 D.108 三十三講排列組合與二項式定理 解(1):首先個位數(shù)字必須為奇數(shù)，從1，3，5， 7四個中選擇一個有 種，再從剩余3個奇數(shù) 中選擇一個有 種，從2，4，6三個偶數(shù)中 選擇兩個有 種，進行十位，百位，千位三個 位置的全排有 種.則共有 故選C. 個. 1 4 C 1 3 C 2 3 C 3 3 A 1123 4333 C C C A 216 三十三講排列組合與二項式定理 (2)（2008湖北理）將5名志愿者分配到3個 不同的奧運場館參加接待工作，每個場館至 少分配一名志愿者的方案種數(shù)為（ ） 54

21、0 B. 300 C. 180 D. 150 解:(2)將分成滿足題意的份有， 與，兩種， 所以共有 種方案，故正 確 22 333 53 533 2 2 C C C AA150 A 三十三講排列組合與二項式定理 (3)（2009廣東卷理）2010年廣州亞運會組 委會要從小張、小趙、小李、小羅、小王五 名志愿者中選派四人分別從事翻譯、導游、 禮儀、司機四項不同工作，若其中小張和小 趙只能從事前兩項工作，其余三人均能從事 這四項工作，則不同的選派方案共有 ( ) A. 36種 B. 12種 C. 18種 D. 48種 解:分兩類：若小張或小趙入選，則有選法 ；若小張、小趙都入選，則有選法 ，共有

22、選法36種，選A. 113 223 C C A24 22 23 A A12 三十三講排列組合與二項式定理 歸納小結：排列組合的交叉使用可以 處理一些復雜問題，諸如分組問題等.在 解題時要仔細分析題目中的限制條件,分 類時要做到不重不漏. 三十三講排列組合與二項式定理 例6 從一組共7名學生中選男生2人，女生2 人，參加三種不同的活動，要求每人參加一 種且每種活動都有人參加的選法有648種， 問該組學生中男、女生各有多少人？ 三十三講排列組合與二項式定理 解: 設男生x人，女生7-x人，則有 ， ， 且 或 男生3人，女生4人或男生4人，女生3人 2223 743 CCCA648 xx 72)6

23、)(7)(1(xxxxNx 52 x 3x4x 三十三講排列組合與二項式定理 歸納小結：本題是排列與組合的綜合題涉 及到分堆，再全排列的問題方法是選人 分堆排列，也可以直接用分步法解在解 未知數(shù)x時，應注意到x是正整數(shù)且 范圍限制，可以使用逐個驗證的辦法驗證出 來 52 x 三十三講排列組合與二項式定理 題型5：二項式定理 例7 (1)（2009浙江理）在二項式 的 展開式中，含 的項的系數(shù)是( ) . 25 1 ()x x 4 x A B C D 101055 解:(1)對于 ， 令 ，則 的項的系數(shù) 是 1034,2rr 4 x . 2 5103 +155 1 T= C ()C rrrrr

24、r r xx x (1) 22 5 C ( 1)10 三十三講排列組合與二項式定理 (2)（2009北京文）若 為有理數(shù)），則 ( ) 4 (12)2( ,aba b ab A33B 29 C23 D19 解:(2) 1 4 2128 2417 12 2 由已知，得 ， .故選B. 17 12 22ab 17 1229ab , 40011223344 44444 (12)C ( 2)C ( 2)C ( 2)C ( 2)C ( 2) 三十三講排列組合與二項式定理 3 1 2 n x x (3)(2007安徽理)若 的展開式中含有常數(shù)項,則最小的正整數(shù)n 等于_. 解:(3) 7 30, 2 nr

25、 令 則有67 ,nr 由展開式中含有常數(shù)項,所以n最小值為7. 333 2 +1 7 3 2 1 T= C (2)C 2C. r rrrn-rrnr rnn nr n rr n xxx x x (2 n 三十三講排列組合與二項式定理 （4）（2008廣東卷理）已知 （k是 正整數(shù)）的展開式中， 的系數(shù)小于120， 則k= 26 (1)kx 8 x 解: 按二項式定理展開的通項為 ，我們知道 的系 數(shù)為 ，即 ，也即 , 而k是正整數(shù)，故k只能取1. 26 (1)kx 22 166 TC ()C rrrrr r kxk x 8 x 444 6 C15kk 4 15120k 4 8k 三十三講排

26、列組合與二項式定理 歸納小結：在求系數(shù)過程中,盡量先化簡， 降低運算級別,盡量化成加減運算，在運算 過程可以適當注意賦值法的運用，例如求 常數(shù)項，可令x=0.在二項式的展開式中， 要注意項的系數(shù)和二項式系數(shù)的區(qū)別. 三十三講排列組合與二項式定理 例8 （1）（2008浙江理）在 的展開式中，含 的項的系數(shù)是（ ） )5)(4)(3)(2)(1(xxxxx 4 x A.-15 B.85 C.-120 D.274 解：本題可通過選括號（即5個括號中4 個提供x，其余1個提供常數(shù)）的思路來完 成.含 的項的系數(shù)為: 4 x ( 1)( 2)( 3)( 4)( 5)15. 三十三講排列組合與二項式定理

27、 （2）（2007全國文） 的 展開式中常數(shù)項為 （用數(shù)字作 答） 8 2 1 (12) 1x x 4 x 2 8 1 12 C57 (2)解:. 三十三講排列組合與二項式定理 （3）（2008四川理） 展開式 中 的系數(shù)為_. 34 121xx 2 x 解法一: 項的系數(shù)是 34122122 3344 (12 ) (1)(124)(1)xxCxCxC xC x 2112 4343 24624126CC CC 2 x 解法二:也可用“選括號”的方法來解: 展開式中含x2的項為: 221111222 4343 ()(2 )()(2 )6CxCxCxCxx . 三十三講排列組合與二項式定理 歸納小

28、結：本題主要考查二項式定理展開 式具體項系數(shù)問題.要注意“選括號” 方法 的使用.此類題是中檔略偏難的常規(guī)題學生 易在準確性和快捷性上有缺陷 三十三講排列組合與二項式定理 例9 若 ， 求(1) ； (2) ； (3) 01 6 6 7 7 7 ) 13(axaxaxax 721 aaa 7531 aaaa 6420 aaaa 解：(1)令 ，則 ， 令 ，則 0 x1 0 a 1x 12827 0167 aaaa 129 721 aaa (2)令 ，則 1x 7 01234567 )4(aaaaaaaa. 三十三講排列組合與二項式定理 由 得： 2 82564128 2 1 7 7531 ）（aaaa (3)由 得： 2 6420 aaaa 2 1 01234567 01234567 ）（ ）（ aaaaaaaa aaaaaaaa 8128)4(128 2 1 7 . . 三十三講排列組合與二項式定理 歸納小結：注意“賦值法”在證明或求值 中的應用賦