系列導(dǎo)體平行板靜電平衡問題的討論

1、第xx卷 第x期 大學(xué)物理 Vol.xx No.x2013年 月 COLLEGE PHYSICS 2013系列導(dǎo)體平行板靜電平衡問題的討論黃存可，趙鳳吹，王祥高，郭進(jìn)收稿日期：2013-02-28基金項(xiàng)目：廣西高校精品課程大學(xué)物理建設(shè)項(xiàng)目（桂教高教2010100號(hào)）；廣西高等教育教學(xué)改革工程項(xiàng)目(2012JGB107)。作者簡(jiǎn)介：黃存可(1975-)，男，廣西南寧人，博士，從事大學(xué)物理教學(xué)和功能材料研究。(廣西大學(xué)物理科學(xué)與工程技術(shù)學(xué)院，廣西南寧，530004)摘要：本文基于物理意義的挖掘，并運(yùn)用等效原理和疊加原理，對(duì)系列平行導(dǎo)體板的靜電平衡問題進(jìn)行較為系統(tǒng)的研究.作者認(rèn)為該類型問題可以按邊界

2、條件的不同進(jìn)行區(qū)域劃分，每個(gè)區(qū)域都可以歸納為幾種基本類型中的一種，每種基本類型的求解過程都非常規(guī)范且簡(jiǎn)單.另外，還可以用整體法把多個(gè)導(dǎo)體板的問題轉(zhuǎn)化為2個(gè)板的簡(jiǎn)單情況.關(guān)鍵詞：邊界條件；物理意義；等效原理；疊加原理；整體法靜電平衡問題是靜電場(chǎng)中的重要問題，平行導(dǎo)體板系列和球形導(dǎo)體系列是靜電平衡問題中出現(xiàn)頻率最高的兩種典型問題.下面作者結(jié)合自身教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勏盗袑?dǎo)體板的靜電平衡問題.導(dǎo)體板接地后起靜電屏蔽作用，其一側(cè)的帶電導(dǎo)體板無法影響另外一側(cè)導(dǎo)體板的電荷分布，即接地板可以視為一種邊界.另外，無窮遠(yuǎn)也是一種邊界.于是可將系列導(dǎo)體板問題按邊界性質(zhì)分為3大類：1）兩邊都是無限遠(yuǎn)邊界；2）兩邊分別是接

3、地和無限遠(yuǎn)邊界；3）兩邊都是接地邊界.下面分別進(jìn)行分類討論.1 兩邊都是無限遠(yuǎn)邊界情況我們從一個(gè)最簡(jiǎn)單的常見例題1說起：已知：導(dǎo)體板A帶電量QA，B板帶QB，面積都為S（圖1），不考慮邊緣效應(yīng).求：A、B板上各面的電荷密度. 圖1 兩個(gè)非接地導(dǎo)體板圖2 兩相鄰非接地板間的電場(chǎng)分布及高斯面解：靜電平衡的基本方程有兩種，一是靜電平衡方程，二是電荷守恒方程.設(shè)4個(gè)面的電荷密度和所激發(fā)的電場(chǎng)如圖1所示.導(dǎo)體板A處于靜電平衡時(shí)，其內(nèi)部的任意點(diǎn)P的電場(chǎng)為零.取電場(chǎng)向右為正，則有：(1)類似的，對(duì)導(dǎo)體板B，有：(2)由A、B板電荷守恒，分別有：(3)(4)解方程 (1)-(4)得：(5)(5)式中，計(jì)算某面

4、的電荷量時(shí)，該面的電荷取正.(6)知道面電荷量情況（或面電荷密度）后，電場(chǎng)分布、電勢(shì)差等其他電學(xué)量都可以陸續(xù)求出.我們知道，每個(gè)導(dǎo)體板有2個(gè)面，對(duì)n個(gè)板則有2n個(gè)變量.每個(gè)板可列1個(gè)靜電平衡和1個(gè)電荷守恒方程，共可列2n個(gè)方程.雖可通過這2n階的方程組解答出所有的面電荷密度，但可想象，求高于6階方程組的解已不容易.但如能對(duì)解答的數(shù)學(xué)形式賦予物理意義，無疑為問題的拓展帶來幫助.從(5)(6)式所示解答的數(shù)學(xué)形式似乎包含這么一個(gè)規(guī)律：相鄰板間的電量相反，最外2個(gè)面的電量相等.如果這是一個(gè)規(guī)律，則可以減少一半的未知量，使得求解方程的數(shù)量大大減少.圖3 用等效法求最外側(cè)2個(gè)面分布電量的圖示取高斯面如圖

5、(2)1.由于電場(chǎng)方向垂直板面，因此高斯面?zhèn)让娴碾娡繛榱悖挥忠虬鍍?nèi)電場(chǎng)為零，故高斯面底面的電通量也為零.因此高斯面內(nèi)的電荷代數(shù)和為零這就是解答(5)的物理解釋.再討論最外側(cè)2個(gè)面電量相等的問題.由于沒有邊緣效應(yīng)，對(duì)應(yīng)的電場(chǎng)只分布在兩板之間.A和B外側(cè)的電荷不受該電場(chǎng)作用，因而在它們的電荷分布與AB間電場(chǎng)無關(guān).又因2和3面的總電量為零，因此，在討論A和B外側(cè)電荷分布時(shí)，可以把A板和B板間的部分去掉.即在僅討論該外部電荷這個(gè)問題時(shí)，可等效為一個(gè)實(shí)心的、總電量為QA+QB的厚導(dǎo)體板(圖3).顯然，兩最外側(cè)的電荷要對(duì)稱分布這可以作為解答(6)的物理解釋.如果是多個(gè)導(dǎo)體板，則在討論最外側(cè)的兩個(gè)面對(duì)電量

6、分布時(shí)，也可以做類似等效處理，其結(jié)果也是：最外側(cè)2個(gè)面電量相等，電性相同.經(jīng)過以上物理意義的探索，(5)(6)式兩個(gè)數(shù)學(xué)解答可推廣為有用的推論.并由此直接得到n個(gè)定解方程（n-1個(gè)相鄰板間表面電量關(guān)系，1個(gè)最外表面間電量關(guān)系方程），這使得方程組的階數(shù)減半.然而，n個(gè)導(dǎo)體板對(duì)應(yīng)的n階方程的求解還是復(fù)雜的，故還需進(jìn)一步探討.我們知道，分布在各平板的面電荷量受2種情況影響：1)平板自身的帶電情況；2)其他平板的帶電情況.電場(chǎng)滿足疊加定理，而電場(chǎng)與面電荷密度成正比，因此導(dǎo)體板的分布面電荷也滿足疊加定理.即某個(gè)面的分布電荷量是這些影響因素分別單獨(dú)存在時(shí)的線性疊加.顯然，單個(gè)板帶電的情況是可簡(jiǎn)單求解的，線

7、性疊加的規(guī)律也是簡(jiǎn)單的.因此，我們可以退為進(jìn)，用疊加原理求解.設(shè)有多個(gè)左右水平排列的n個(gè)非接地平行板導(dǎo)體，任意第i個(gè)板帶電為Qi.對(duì)所有導(dǎo)體板，僅自身帶電時(shí)，其電荷對(duì)稱分布到自身的兩個(gè)表面，故每個(gè)面的電量都是Qi/2.假設(shè)只有第i板帶電而其他為中性，則分布在第i導(dǎo)體板每個(gè)面的電荷都會(huì)向外垂直激發(fā)電場(chǎng)，這使其他中性導(dǎo)體板產(chǎn)生靜電感應(yīng).由于第i導(dǎo)體板的施感，其他中性導(dǎo)體板中靠近第i導(dǎo)體板一側(cè)分布的感應(yīng)電荷量為-Qi/2，而遠(yuǎn)離一側(cè)的面感應(yīng)電荷量為Qi /2.總體上說，對(duì)某個(gè)面而言，除了自身電荷外，還有其他n-1個(gè)導(dǎo)體板施感而導(dǎo)致該面感應(yīng)的分布電荷.其中：與其同側(cè)的任一導(dǎo)體板j使該面帶的感應(yīng)電荷量為

8、-Qi/2；而異側(cè)的任一板k導(dǎo)致該面帶的感應(yīng)電荷量為Qk /2.對(duì)第j塊板的左側(cè)而言，其近端左側(cè)有j-1個(gè)板；其遠(yuǎn)端右側(cè)有n-j個(gè)板.第j板左側(cè)面（序號(hào)為2j-1，或用下標(biāo)jL表示）的總電荷量，為各板單獨(dú)帶電情況的線性疊加，即：或：(7)對(duì)第j板右側(cè)面（序號(hào)為2j，或用下標(biāo)jR表示），靠近其的有右側(cè)n-j個(gè)板，遠(yuǎn)離的有其左側(cè)的j-1個(gè)板.類似的可以求出總分布電荷量為：或：(8)其中的符號(hào)規(guī)律是：自身貢獻(xiàn)取正；近端(或同側(cè))板貢獻(xiàn)取負(fù)；遠(yuǎn)端（或異側(cè)）板貢獻(xiàn)取正.到這里，我們看到，在了解物理意義的情況下，其實(shí)可以直接寫出n個(gè)導(dǎo)體板的2n階方程組的解答.用數(shù)學(xué)語(yǔ)言說，如果理解解答物理意義后就可以直接

9、把表示2n階方程組的2n階矩陣對(duì)角化.此時(shí)我們只需簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算就可得到解答，而不需要復(fù)雜的矩陣對(duì)角化運(yùn)算.我們可以看到，對(duì)物理問題的計(jì)算機(jī)解答而言，很多情況下物理意義明晰的算法，往往比只注重?cái)?shù)學(xué)計(jì)算方法優(yōu)化的算法（如矩陣對(duì)角化優(yōu)化算法）還更高效.這里，我們完全可以基于此寫出高效的程序語(yǔ)言（如mathlab）來求解系列平行板導(dǎo)體的問題.如任意第j板電量為零，由(7)(8)式可知，其他板的電荷分布不受其影響.由此我們可以得到一個(gè)有用推論：中性導(dǎo)體平板不影響其他平行導(dǎo)體板的面電量分布情況.以上方法只能對(duì)板電量固定的情況適用.對(duì)接地板而言，其電量不是確定的，因而不能直接使用(7)(8)式求解.下面探

10、討存在接地板情況的簡(jiǎn)便解法.2 一端接地另外一端是無限遠(yuǎn)的情況又可以分為兩種情況：一是接地板在外側(cè)；二是接地板不在最外側(cè).2.1 接地板在最外側(cè)先以最簡(jiǎn)單的2個(gè)板情況為例：圖4. 接地導(dǎo)體板在最外側(cè)的情況圖4中B為接地板，其外側(cè)是無限遠(yuǎn).由于與無限遠(yuǎn)等勢(shì)，B接地板和無限遠(yuǎn)間無電勢(shì)差，故它們間無電場(chǎng)線因此接地板B靠無限遠(yuǎn)的面電荷為零.容易知道，A板外側(cè)的電量也為零.反之，如果A板左側(cè)帶電，由于左側(cè)電場(chǎng)線的存在會(huì)使A板相對(duì)無限遠(yuǎn)的電勢(shì)為無限大，而A板對(duì)右側(cè)接地板B的電勢(shì)則為有限大兩者矛盾！故Q1=Q4=0，Q2=QA，Q3 = -QA.我們可從物理意義進(jìn)行解釋：接地或無限遠(yuǎn)都是零電勢(shì)，而指向接地板

11、時(shí)的電勢(shì)梯度更大，此時(shí)系統(tǒng)的電場(chǎng)能也更小，因此A板所有電場(chǎng)線都向其指接地板B，最終使得接地板B帶電為A板總電量的相反值.當(dāng)有多塊導(dǎo)體平板時(shí)，可以用疊加原理求解：依次計(jì)算僅某非接地板帶電而其他非接地板為中性的情況，然后進(jìn)行疊加.由于中性薄板不影響其他板的電荷分布，易知每次都是接地板外側(cè)電量為零，而內(nèi)側(cè)電量等于某帶電非接地板電量的相反值.因此，當(dāng)存在多個(gè)帶電接地板情況下，接地板內(nèi)側(cè)的電量為：.另外，當(dāng)系統(tǒng)到達(dá)平衡后，把接地線去掉，系統(tǒng)的電學(xué)狀態(tài)不會(huì)發(fā)生變化.因此，可把序號(hào)為n的邊界接地導(dǎo)體板，可等效為帶電量為的非接地板.此時(shí)可轉(zhuǎn)化為各板電荷固定的情況可以用前面的兩端是無限遠(yuǎn)邊界的解法求解.這樣處理

12、的一個(gè)好處是，如用計(jì)算機(jī)編程求解的話，可以調(diào)用統(tǒng)一的子程序.2.2 接地板不在最外側(cè)由于靜電屏蔽，非外側(cè)接地導(dǎo)體板將體系在接地板處劃分為兩個(gè)獨(dú)立的部分（圖5），兩個(gè)獨(dú)立部分都是2.1節(jié)所示情況，可以分別用2.1節(jié)所述情況求解.但要注意：不能將接地板j等效為一個(gè)電量為其左側(cè)j-1個(gè)板，和右側(cè)n-j個(gè)板上電量代數(shù)和的負(fù)值，因?yàn)檫@樣處理相當(dāng)于接地板的兩側(cè)互有影響，這與靜電屏蔽的實(shí)質(zhì)不符合.圖5 接地板不在最外側(cè)情況(a)，可等價(jià)為2個(gè)接地板在最外側(cè)的情況(b).如果寫計(jì)算機(jī)程序求解，可以分別求2個(gè)互相屏蔽掉導(dǎo)體板系列對(duì)應(yīng)的矩陣，還可把求解好的2個(gè)子矩陣重新組合為一個(gè)大的分塊矩陣.通過這一節(jié)，還可以得

13、到一個(gè)推論：只要有接地板存在，最外側(cè)兩個(gè)面的電量都為零（不管接地板有多少個(gè)，也不管接地板是否在最外側(cè)）.3 兩邊都接地情況圖6中，最左的第1板和最右的第n板接地.假設(shè)第1和第n板中只有1個(gè)板（為不失一般性，稱之為第i板），其帶電為Qi，其左側(cè)電量為QiL，右側(cè)為QiR.圖6. 兩邊都是接地邊界的情況第i板分別相對(duì)第1板和第n板的電勢(shì)相等：(9)即：(10)可解得2第i板左側(cè)的電量為： (11)右側(cè)電量為：(12)接地的第1板右側(cè)和第n板左側(cè)電量，則分別取為第2板左側(cè)，和第n-1板右側(cè)電量的相反值即可.如果再在兩接地板間插入無厚度一個(gè)中性導(dǎo)體薄板j（圖6虛線部分）.由于中性板j不改變?cè)趇板相對(duì)

14、兩接地板的距離，也不改變?cè)瓉淼碾妶?chǎng)分布，因此中性導(dǎo)體薄板j不影響其插入前的面電荷分布情況.因此，依然可以用疊加原理對(duì)兩邊都是接地邊界的情況進(jìn)行求解.當(dāng)兩個(gè)接地板中有多個(gè)帶電非接地薄板時(shí)，某非接地板某側(cè)的電量，等于分別只有1個(gè)帶電非接地板情況下，所求面上分布電量的線性疊加：(13)(14)如果是有厚度的非接地板，則把所有非接地板的厚度扣除即可.此時(shí)，第i板到其右側(cè)接地的第n板距離為：第i板右側(cè)到第n板左側(cè)的距離，減去它們間所有板的總厚度.其他的以此類推.需要說明，與其他兩種情況不同，在兩邊有接地導(dǎo)體板情況下，有厚度的中性導(dǎo)體板，會(huì)改變其他面的電荷分布情況；但用等效法處理后（折算為薄板改變距離的定

15、義），解答的數(shù)學(xué)形式不變.有了以上典型情況的討論后，更復(fù)雜的情況都可以先按照接地和無限遠(yuǎn)的邊界條件進(jìn)行區(qū)域劃分，每個(gè)區(qū)域總屬于3個(gè)大類（, 地，地地）中的一種，然后對(duì)每個(gè)區(qū)域分別處理.如果用統(tǒng)一的矩陣表示，被接地導(dǎo)體劃分為多個(gè)基本區(qū)域的情況，就對(duì)應(yīng)于多個(gè)分塊矩陣.4 系列平行板導(dǎo)體問題的整體法求解雖然以上方法是較規(guī)范的求解方法，可直接寫出所有通解.但也可以用整體法直接求解某個(gè)面的面電荷量.這里整體法也是一種等效方法，其思路是將部分連續(xù)的板視為一個(gè)整體.我們以圖7情況為例進(jìn)行說明.圖7中，當(dāng)只需討論第i板中右側(cè)面的分布電荷量QiR時(shí)，可將第i板與其左側(cè)的所有板視為一個(gè)整體，第i板右側(cè)的所有板視為

16、一個(gè)整體.左側(cè)整體的總電量為：；右側(cè)整體的總電量為：.此時(shí)相當(dāng)于2個(gè)板的情況，很容易套用(5)式解得：(15)通過整體法，可以把多個(gè)導(dǎo)體板的復(fù)雜情況，轉(zhuǎn)化為只有2個(gè)板的簡(jiǎn)單情況.這里特別指出：用整體法時(shí)，不要跨過接地邊界.圖7 應(yīng)用整體法的示意圖5 結(jié)束語(yǔ)教學(xué)實(shí)踐證明，學(xué)生可通過簡(jiǎn)單練習(xí)就掌握以上方法；掌握以上方法后，學(xué)生可以游刃有余的處理系列平行板導(dǎo)體的靜電平衡問題；而且基于以上討論也易用計(jì)算機(jī)語(yǔ)言寫出規(guī)范而高效的計(jì)算程序.對(duì)于物理的學(xué)習(xí)，很多學(xué)生是“一看就懂，一做就錯(cuò)”.我認(rèn)為，很多學(xué)生只是做一些零散的習(xí)題，只注重得到數(shù)學(xué)的形式解答而不注重解答的物理意義挖掘，也不注重對(duì)典型的習(xí)題進(jìn)行拓展而

17、形成典型的物理類型題知識(shí).畢竟，有序的結(jié)構(gòu)化知識(shí)，才是容易記憶和使用的.另外，要注意物理基本原理在解題中的合理運(yùn)用.本文中，靜電屏蔽原理，等效原理，疊加原理對(duì)平行板靜電平衡類型題的拓展和解法規(guī)范起到了非常重要的作用.參考文獻(xiàn)1 郭進(jìn)，劉奕新，馮祿燕，等，M大學(xué)物理（下冊(cè)），科學(xué)出版社，2009.2 馬文蔚，M物理學(xué)(中冊(cè))，第2版，高等教育出版社，2002.Discussions on electrostatic equilibrium problem of series parallel conductor platesHUANG Cun-ke, ZHAO Feng-chui, WANG X

18、iang-gao, GUO Jin(College of Physics Science and Technology, Guangxi University, Nanning, Guangxi, 530004)Abstract: Principle of equivalence and superposition principle were adopted at discussions on electrostatic equilibrium problem of series parallel conductor plates. At the same time, physical meanings about the mathematic results were also studied. We pointed out that plates can be divided into some classic and basic partitions according to boundary c