線性代數(shù)課件第四章向量組線性相關(guān)性第節(jié)

1、線性代數(shù)課件第四章向量組線性相 關(guān)性第節(jié) 線性代數(shù)課件第四章向量組線性相 關(guān)性第節(jié) 第四章第四章 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性 線性代數(shù)課件第四章向量組線性相 關(guān)性第節(jié) 線性代數(shù)課件第四章向量組線性相 關(guān)性第節(jié) ，滿滿足足 個個向向量量中中能能選選出出，如如果果在在設(shè)設(shè)有有向向量量組組 r rAA , 21 定義定義 線線性性無無關(guān)關(guān)；）向向量量組組（ r A ,:1 210 關(guān)關(guān)，個個向向量量的的話話）都都線線性性相相 中中有有個個向向量量（如如果果中中任任意意）向向量量組組（ 1 12 r ArA . 的的秩秩 稱稱為為向向量量組組數(shù)數(shù)最最大大無無關(guān)關(guān)組組所所含含向向量量個個r;

2、0 ） （簡簡稱稱的的一一個個向向量量組組 是是那那末末稱稱向向量量組組 A A 最大線性無關(guān)向量組最大線性無關(guān)向量組最大最大 無關(guān)組無關(guān)組 0. 它它的的秩秩為為 有有最最大大無無關(guān)關(guān)組組，規(guī)規(guī)定定只只含含零零向向量量的的向向量量組組沒沒 一、最大線性無關(guān)向量組 線性代數(shù)課件第四章向量組線性相 關(guān)性第節(jié) . 它它的的行行向向量量組組的的秩秩 量量組組的的秩秩，也也等等于于矩矩陣陣的的秩秩等等于于它它的的列列向向 證證 . 0 ,)(),( 21 r m D rrARaaaA階子式階子式并設(shè)并設(shè)，設(shè)設(shè) 定理定理 關(guān)關(guān)； 列列線線性性無無知知所所在在的的由由定定理理根根據(jù)據(jù)rDr022 . 4

3、.1 1 個個列列向向量量都都線線性性相相關(guān)關(guān) 中中任任意意階階子子式式均均為為零零，知知中中所所有有又又由由 r ArA 關(guān)組，關(guān)組，的列向量的一個最大無的列向量的一個最大無 列是列是所在的所在的因此因此ArDr . r等于等于 所以列向量組的秩所以列向量組的秩 ).(ARA的行向量組的秩也等于的行向量組的秩也等于類似可證類似可證 二、矩陣與向量組秩的關(guān)系 線性代數(shù)課件第四章向量組線性相 關(guān)性第節(jié) 的的秩秩也也記記作作向向量量組組 m aaa, 21 . 最大無關(guān)組最大無關(guān)組行即是行向量組的一個行即是行向量組的一個所在的所在的 最大無關(guān)組，最大無關(guān)組，列即是列向量組的一個列即是列向量組的一個

4、所在的所在的 ，則，則的一個最高階非零子式的一個最高階非零子式是矩陣是矩陣若若 r Dr DAD r rr ;1）最大無關(guān)組不唯一）最大無關(guān)組不唯一（ ),( 21m aaaR 結(jié)論結(jié)論 說明說明 .2關(guān)關(guān)組組是是等等價價的的）向向量量組組與與它它的的最最大大無無（ 線性代數(shù)課件第四章向量組線性相 關(guān)性第節(jié) 是線性無關(guān)的，是線性無關(guān)的， 向量組向量組維單位坐標(biāo)向量構(gòu)成的維單位坐標(biāo)向量構(gòu)成的因?yàn)橐驗(yàn)?n eeeE n ,: 21 解解 . 的秩的秩一個最大無關(guān)組及一個最大無關(guān)組及 的的，求，求作作維向量構(gòu)成的向量組記維向量構(gòu)成的向量組記全體全體 n nn R RRn例1例1 個個向向量量都都線線

5、性性相相關(guān)關(guān)，中中的的任任意意 知知的的結(jié)結(jié)論論定定理理又又根根據(jù)據(jù) 1 )3( 32 . 4 n R n . nRR E nn 的秩等于的秩等于的一個最大無關(guān)組，且的一個最大無關(guān)組，且是是 因此向量組因此向量組 線性代數(shù)課件第四章向量組線性相 關(guān)性第節(jié) 97963 42264 41211 21112 A 設(shè)設(shè)矩矩陣陣 例例2 2 .用用最最大大無無關(guān)關(guān)組組線線性性表表示示屬屬最最大大無無關(guān)關(guān)組組的的列列向向量量 無無關(guān)關(guān)組組，并并把把不不的的列列向向量量組組的的一一個個最最大大求求矩矩陣陣A 線性代數(shù)課件第四章向量組線性相 關(guān)性第節(jié) 行行階階梯梯形形矩矩陣陣施施行行初初等等行行變變換換變變?yōu)?/p>

6、為對對 A解解 ，知知3)( AR A ， 00000 31000 01110 41211 初等行變換初等行變換 .3 個向量個向量組含組含故列向量組的最大無關(guān)故列向量組的最大無關(guān) 三列，三列，、元在元在而三個非零行的非零首而三個非零行的非零首421 ., 421 無無關(guān)關(guān)組組為為列列向向量量組組的的一一個個最最大大故故aaa 線性代數(shù)課件第四章向量組線性相 關(guān)性第節(jié) 線性無關(guān)線性無關(guān)，故，故知知 421421 ,3),(aaaaaaR . , 42153 成成行行最最簡簡形形矩矩陣陣 再再變變線線性性表表示示，必必須須將將用用要要把把Aaaaaa ), 421 aaa（ 事實(shí)上事實(shí)上 763

7、 264 111 112 000 100 110 111 初等行變換初等行變換 線性代數(shù)課件第四章向量組線性相 關(guān)性第節(jié) 00000 31000 30110 40101 初等行變換初等行變換A 4215 213 334 , aaaa aaa 即得即得 線性代數(shù)課件第四章向量組線性相 關(guān)性第節(jié) . 的秩的秩的秩不大于向量組的秩不大于向量組量組量組 線性表示，則向線性表示，則向能由向量組能由向量組設(shè)向量組設(shè)向量組 AB AB . , : ,: 10 10 sr aaAA bbBB s r 要要證證的的一一個個最最大大無無關(guān)關(guān)組組為為向向量量組組 ，的的一一個個最最大大無無關(guān)關(guān)組組為為設(shè)設(shè)向向量量組

8、組 證證 定理定理 . 0 0 組組線線性性表表示示組組能能由由表表示示， 組組線線性性組組能能由由組組線線性性表表示示，組組能能由由因因 AA ABBB . 00 組組線線性性表表示示組組能能由由故故AB 使得使得即存在系數(shù)矩陣即存在系數(shù)矩陣),( ijsr kK 三、向量組秩的重要結(jié)論 線性代數(shù)課件第四章向量組線性相 關(guān)性第節(jié) srs r sr kk kk aabb 1 111 11 ),(),( ），有有非非零零解解（因因 簡簡記記為為，則則方方程程組組如如果果 rsKR Kx x x Ksr r sr )( )0( 0 1 有有非非零零解解， 從從而而方方程程組組 0),( 1 Kxa

9、a s 有非零解，有非零解，即即0),( xbb r . 0 srsr B 不能成立，所以不能成立，所以線性無關(guān)矛盾，因此線性無關(guān)矛盾，因此 組組這與這與 線性代數(shù)課件第四章向量組線性相 關(guān)性第節(jié) . rsBA和和的的秩秩依依次次為為與與向向量量組組設(shè)設(shè)向向量量組組證證 . 等價的向量組的秩相等等價的向量組的秩相等 推論推論1 1 ,同時成立同時成立與與故故srrs 示，示， 表表兩個向量組能相互線性兩個向量組能相互線性因兩個向量組等價，即因兩個向量組等價，即 . rs 所以所以 ).()(),()( BRCRARCR BAC nssmnm ，則則設(shè)設(shè) 推論推論2 2 用其列向量表示為用其列向

10、量表示為和和設(shè)矩陣設(shè)矩陣AC 證證 ).,(),( 11sn aaAccC ，而而)( ij bB 線性代數(shù)課件第四章向量組線性相 關(guān)性第節(jié) sns n sn bb bb aacc 1 111 11 ),(),( 由由 ).()(ARCR 因因此此 ),()(, TTTTT BRCRABC 由由上上段段證證明明知知因因 的的列列向向量量組組線線性性表表示示，的的列列向向量量組組能能由由知知矩矩陣陣AC ).()(BRCR 即即 思考思考 ？有有什什么么異異同同與與推推論論定定理理 22 線性代數(shù)課件第四章向量組線性相 關(guān)性第節(jié) , rrB個向量，則它的秩為個向量，則它的秩為含含設(shè)向量組設(shè)向量組

11、 證證 . 3 的的一一個個最最大大無無關(guān)關(guān)組組是是向向量量組組則則向向量量組組 線線性性表表示示，能能由由向向量量組組線線性性無無關(guān)關(guān)，且且向向量量組組組組 的的部部分分組組，若若向向量量是是向向量量組組設(shè)設(shè)向向量量組組推推論論 AB BAB AB . 1 條條件件 所所規(guī)規(guī)定定的的最最大大無無關(guān)關(guān)組組的的滿滿足足定定義義所所以以向向量量組組B ，組的秩組的秩組線性表示，故組線性表示，故組能由組能由因因rABA 個個向向量量線線性性相相關(guān)關(guān)，組組中中任任意意從從而而1 rA 線性代數(shù)課件第四章向量組線性相 關(guān)性第節(jié) . , 等等價價與與向向量量組組秩秩相相等等，證證明明向向量量組組 且且它它

12、們們的的線線性性表表示示能能由由向向量量組組設(shè)設(shè)向向量量組組 BA AB例例3 3 .線性表示線性表示能由向量組能由向量組只要證明向量組只要證明向量組BA ,:,: 1010rr bbBaaA BAr 和和的最大無關(guān)組依次為的最大無關(guān)組依次為 組組組和組和，并設(shè)，并設(shè)設(shè)兩個向量組的秩都為設(shè)兩個向量組的秩都為 使使階階方方陣陣表表示示，即即有有 組組線線性性組組能能由由組組線線性性表表示示，故故組組能能由由因因 r Kr ABAB 00 證一證一 rrr Kaabb),(),( 11 線性代數(shù)課件第四章向量組線性相 關(guān)性第節(jié) rbbRKR rr ),()( 22 1 ，有有推推論論根根據(jù)據(jù)定定理

13、理 .),( 10 rbbRB r 組線性無關(guān)，故組線性無關(guān)，故因因 .)()(rKRrKR rr ，因因此此但但 ,),(),( 1 11 rrr r Kbbaa K 可可逆逆，并并有有于于是是矩矩陣陣 . 00 組組線線性性表表示示組組能能由由即即BA . 組組線線性性表表示示組組能能由由從從而而BA 線性代數(shù)課件第四章向量組線性相 關(guān)性第節(jié) , , 0 個向量個向量 含含組的最大無關(guān)組組的最大無關(guān)組故故組的秩為組的秩為又因又因rBBrB .),( ,),( 組線性表示組線性表示 組總能由組總能由故故組的部分組組的部分組組是組是而而 BA ABAA 證二證二 . rBA 的秩都為的秩都為和

14、和設(shè)向量組設(shè)向量組 .),( , 組線性表示組線性表示能由能由成的向量組成的向量組 組合并而組合并而組和組和故故組線性表示組線性表示組能由組能由因因 ABA BAAB .),( ,),( rBA ABA 組組的的秩秩也也為為 因因此此組組等等價價組組與與所所以以 .),( ,),( 0 0 組組等等價價組組與與而而 從從組組的的最最大大無無關(guān)關(guān)組組組組也也是是因因此此 BBA BAB 線性代數(shù)課件第四章向量組線性相 關(guān)性第節(jié) .),( ; . , 0 0 0000 的最大無關(guān)組的最大無關(guān)組都是向量組都是向量組 與與證法二實(shí)質(zhì)上是證明證法二實(shí)質(zhì)上是證明性表示的系數(shù)矩陣可逆性表示的系數(shù)矩陣可逆 線

15、線用用證法一證明證法一證明等價等價與與們的最大無關(guān)組們的最大無關(guān)組 轉(zhuǎn)換為證明它轉(zhuǎn)換為證明它等價等價與與本例把證明兩向量組本例把證明兩向量組 BAB A ABBA BA . ,),(),( 0 組組等等價價與與 組組推推知知等等價價與與組組等等價價，組組與與由由 B ABBABAA 注意注意 線性代數(shù)課件第四章向量組線性相 關(guān)性第節(jié) , 59 35 46 45 ),( , 13 11 20 32 ),( 2121 bbaa 已知已知例4例4 .),(),( 2121 等價等價與與證明向量組證明向量組bbaa 線性代數(shù)課件第四章向量組線性相 關(guān)性第節(jié) .),(),( ,),(),( ,2 212

16、12121 YbbaaXaabb YX 使使階方陣階方陣要證存在要證存在證明證明 .X先求先求 5913 3511 4620 4532 ),( 2121 bbaa 最最簡簡形形矩矩陣陣：施施行行初初等等行行變變換換變變?yōu)闉樾行嘘囮?對對增增廣廣矩矩的的方方法法類類似似于于線線性性方方程程組組求求解解 ),( , 2121 bbaa 線性代數(shù)課件第四章向量組線性相 關(guān)性第節(jié) 5913 4532 4620 3511 5913 3511 4620 4532 ),( 2121 bbaa 31 rr 線性代數(shù)課件第四章向量組線性相 關(guān)性第節(jié) 5913 4532 4620 3511 31 rr 4620

17、101550 4620 3511 13 2rr 14 3rr 線性代數(shù)課件第四章向量組線性相 關(guān)性第節(jié) )2( 2 r 4620 101550 2310 3511 13 31 2rr rr 14 3rr 4620 101550 4620 3511 線性代數(shù)課件第四章向量組線性相 關(guān)性第節(jié) 0000 0000 2310 3511 )2( 2 r 4620 101550 2310 3511 23 5rr 24 2rr 線性代數(shù)課件第四章向量組線性相 關(guān)性第節(jié) 0000 0000 2310 3511 23 5rr 24 2rr . 0000 0000 2310 1201 21 rr 1 1 r 線性代數(shù)課件第四章向量組線性相 關(guān)性第節(jié) X ., ., 01 2121 1 等價等價與與此向量組此向量組 因因即為所求即為所求取取可逆可逆知知因因 bbaa XYXX 0000 0000 2310 1201 ),( 2121 初初等等行行變變換換 bbaa 即即得得 23 12 線性代數(shù)課件第四章向量組線性相 關(guān)性第節(jié) 最大線性無關(guān)向量組的概念：最大線性無關(guān)向量組的概念： 最大性、線性無關(guān)性最大性、線性無關(guān)性 矩陣的秩與向量組的秩的關(guān)