2019年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理數(shù)

1、絕密啟用前2019 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學本試卷共5 頁?？荚嚱Y束后，將本試卷和答題卡一并交回。注意事項：1答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2選擇題必須使用2B 鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5 毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12 小題，每小題5 分，共60

2、分 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1設集合A= x|x 2 5x+60 ， B= x|x 1b ，則Aln( a b)0a0D a b7設 ， 為兩個平面，則 的充要條件是A 內有無數(shù)條直線與 平行B 內有兩條相交直線與 平行C， 平行于同一條直線D ， 垂直于同一平面228 若拋物線2xyp=y =2px(p0) 的焦點是橢圓1 的一個焦點，則3 ppA 2B 3C4D 89 下列函數(shù)中，以為周期且在區(qū)間 (，)單調遞增的是242A f(x)= cos2x B f(x)= sin2xCf(x)=cos xD f(x)=sin x10 已知 (0 ， )， 2sin2 =

3、cos2 +1 ，則 sin =2A 1B 555C3D 2535第2頁共10頁11設F 為雙曲線Cx2y22 1(a 0, b 0) 的右焦點， O 為坐標原點，以 OF 為直徑的圓與圓 x 2y 2a 2： 2abPQOF ，則C交于，兩點若 PQ的離心率為A 2B C2D 3512 設函數(shù)f ( x) 的定義域為R ，滿足 f (x 1) 2 f (x)，且當 x(0,1 時， f (x) x(x 1) 若對任意x (,m ，都有 f (x)8，則 m 的取值范圍是997A ,B ,4358C,D ,23二、填空題：本題共4 小題，每小題5 分，共20 分。13 我國高鐵發(fā)展迅速，技術先

4、進經(jīng)統(tǒng)計，在經(jīng)停某站的高鐵列車中，有10個車次的正點率為0.97 ，有20 個車次的正點率為0.98 ，有 10個車次的正點率為0.99 ，則經(jīng)停該站高鐵列車所有車次的平均正點率的估計值為 _ 14f ( x)axf (ln 2)8a_時， f ( x)e.已知是奇函數(shù)，且當 x 0若，則15 ABC 的內角 A, B,C 的對邊分別為 a, b, c .若 b6, a 2c, B，則 ABC 的面積為 _ 316 中國有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形狀多為長方體、正方體或圓柱體，但南北朝時期的官員獨孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖 1）半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊

5、形圍成的多面體半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美圖2 是一個棱數(shù)為48 的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，且此正方體的棱長為1則該半正多面體共有_ 個面，其棱長為 _ （本題第一空2 分，第二空3 分）三、解答題：共70 分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17 21 題為必考題，每個試題考第3頁共10頁生都必須作答第 22 、23為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60 分。17 （ 12 分）如圖，長方體ABCD A1B1 C1D1 的底面 ABCD 是正方形，點E 在棱 AA1 上， BE EC1（ 1）證明： BE 平面EB 1 C 1；（ 2）若 AE=

6、A 1E，求二面角B EC C1 的正弦值18 （ 12 分）11 分制乒乓球比賽，每贏一球得1 分，當某局打成10:10 平后，每球交換發(fā)球權，先多得2 分的一方獲勝，該局比賽結束.甲、乙兩位同學進行單打比賽，假設甲發(fā)球時甲得分的概率為0.5 ，乙發(fā)球時甲得分的概率為0.4 ，各球的結果相互獨立.在某局雙方10:10 平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X 個球該局比賽結束 .（ 1）求 P（X=2 ）；（ 2）求事件 “X=4 且甲獲勝 ”的概率 .19 （ 12 分）已知數(shù)列 a nn1=11bn4 ， 4b n 1 3b n an 4 . 和 b 滿足 a， b =0 ， 4a n 1 3an（

7、 1）證明： an +bn 是等比數(shù)列， a nbn 是等差數(shù)列；（ 2）求 an 和 b n 的通項公式 .20 （ 12 分）已知函數(shù) f xln xx1.x1（ 1）討論 f(x) 的單調性，并證明f(x) 有且僅有兩個零點；（ 2）設 x0 是 f(x) 的一個零點，證明曲線y=lnx 在點 A(x 0 ， ln x 0)處的切線也是曲線yex 的切線 .21 （ 12 分）第4頁共10頁已知點 A(- 2,0) ， B(2,0) ，動點 M(x,y) 滿足直線 AM 與 BM 的斜率之積為 -1.記 M 的軌跡為曲線 C.2（ 1）求 C 的方程，并說明C 是什么曲線；（ 2）過坐標

8、原點的直線交C 于 P， Q 兩點，點P 在第一象限，PE x 軸，垂足為E ，連結 QE 并延長交C于點 G.（ i）證明： PQG 是直角三角形；（ ii ）求 PQG 面積的最大值 .（二）選考題：共10 分 。 請考生在第22、 23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計分。22 選修 4 4 ：坐標系與參數(shù)方程（ 10分）在極坐標系中， O 為極點，點 M (0 ,0 )(0 0)在曲線 C:4sin 上，直線 l 過點 A(4,0)且與 OM垂直，垂足為P.（ 1）當 0= 時，求0 及 l 的極坐標方程；3（ 2）當 M 在 C 上運動且 P 在線段 OM 上時，求P 點

9、軌跡的極坐標方程.23 選修 4 5：不等式選講（ 10 分）已知 f ( x)| xa | x| x2 | ( xa).（ 1 ）當 a1 時，求不等式f (x)0 的解集；（ 2 ）若 x(,1) 時， f ( x)0 ，求 a 的取值范圍.第5頁共10頁2019 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學參考答案1A2C3C4D5A6C7B8D9A10B11A12B13 0.9814 3156 316 26；2 117解：（ 1）由已知得，B1C1平面 ABB 1 A1 ， BE平面 ABB 1 A1 ，故B1C1BE 又 BE EC 1 ，所以 BE 平面 EB1C1 （ 2 ）由（ 1）

10、知BEB 1 90 由題設知 Rt ABE Rt A1B1E ，所以 AEB 45 ，故 AE AB ，AA12AB 以 D 為坐標原點，DA 的方向為 x 軸正方向，| DA | 為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz，則 C（ 0， 1， 0）， B（ 1， 1， 0），（，），（，）， CB(1,0,0) ， CE(1, 1,1) ，C101 2E 101CC1 (0,0,2) 設平面 EBC 的法向量為n=（ x， y， x），則CBn0,x0,即CEn0,xy z 0,第6頁共10頁所以可取 n = (0,1, 1) .設平面 ECC 1 的法向量為m =（ x， y， z）

11、，則CC 1m0,2z0,即CEm0,x yz 0.所以可取 m =（ 1， 1， 0）于是 cos n , mn m1 | n | m |2所以，二面角 BEC C1 的正弦值為3218 解：（ 1 ） X=2 就是 10 10 平后，兩人又打了2 個球該局比賽結束，則這2 個球均由甲得分，或者均由乙得分因此 P（ X=2 ）=0.5 0.4+（ 10.5）（ 10.4） =0.5 （ 2） X=4 且甲獲勝，就是10 10 平后，兩人又打了4 個球該局比賽結束，且這4 個球的得分情況為：前兩球是甲、乙各得1 分，后兩球均為甲得分因此所求概率為0.5 （ 1 0.4 ） + （ 1 0.5

12、） 0.4 0.5 0.4=0.1 119 解：（1）由題設得4(a n 1bn 1 )2( anbn ) ，即 an 1bn 1(anbn ) 21又因為 a 1+b1=l ，所以anbn是首項為 1 ，公比為的等比數(shù)列2由題設得 4( a n 1 b n 1 )4( anbn ) 8，即 an 1ban b n 2 n 1又因為 a 1b1=l ，所以 ab是首項為1，公差為 2的等差數(shù)列nn21）知， abn1abn2n 1（ ）由（n2n 1 ， n所以 a n1(an bn )1n1(an bn )，22n21( a n bn ) (a nbn )11bnn22n220 解：（ 1

13、） f（ x）的定義域為（0， 1）（ 1， +）第7頁共10頁12因為 f ( x)0 ，所以 f (x) 在（ 0，1），（ 1， +）單調遞增x ( x1)2e12 )222 e1e30 ，所以 f （ x ）在（ 1， +）有唯一零點x1，因為 f（ e） = 10 ， f (ee1e21e211即 f（ x1）=0又 01 1， f ()ln x 1 x11f ( x1 ) 0 ，故 f（ x）在（ 0，1）有唯一零點 1 x1x1x11x1綜上， f（ x）有且僅有兩個零點（ 2）因為 1e ln x0 ，故點 B（ lnx0， 1）在曲線 y=e x 上x0x011x01x01l

14、n x 0x0x011由題設知 f ( x0 )的斜率 kx00 ，即 ln x 0，故直線 ABx01x01ln x 0 x 0x0x01x0曲線 y=e x 在點 B(1ln x 0 , ) 處切線的斜率是1 ，曲線 yln x 在點 A( x 0,ln x 0 ) 處切線的斜率也是1 ，x0x0x0所以曲線 yln x 在點 A(x 0 ,ln x 0 )處的切線也是曲線y=e x 的切線21 解：（ 1 ）由題設得yy1 ，化簡得 x2y21(| x | 2) ，所以C 為中心在坐標原點，焦x2 x2242點在 x 軸上的橢圓，不含左右頂點（ 2 ）（ i）設直線PQ 的斜率為k ，則

15、其方程為ykx(k0) ykx2由22xy得 x12k2 142記 u2，則 P(u, uk), Q ( u, uk ), E(u,0) 12k 2kk于是直線 QG 的斜率為，方程為y( xu) 22ky(xu),由2得x2y2142第8頁共10頁(2k 2 ) x22uk 2 xk 2u28 0 22)3設 G (x G , y G ) ，則 u 和 xG 是方程的解，故xG u(3k，由此得 y G22uk2k2 kuk3uk從而直線 PG 的斜率為2 k 21 u(3k 22) uk2k 2所以 PQPG ，即 PQG是直角三角形（ ii）由（ i）得2 ，|PG|2ukk21k 2，

16、所以 PQG 的面積|PQ|2u 1k21S|PQ1PG |8k(1k2 )8( kk)2(12k 2 )(2 k 2 )12( 1k) 21k設 t=k+，則由 k0 得 t2，當且僅當k=1 時取等號k因為 S8t 在 2 ， +）單調遞減，所以當t=2 ，即 k=1 時， S 取得最大值，最大值為16 1 2t2169因此， PQG 面積的最大值為922解：（ 1）因為 M0 , 0在C上，當 0時，04sin2 3 33由已知得 | OP | | OA | cos2 3設 Q (, ) 為 l 上除 P 的任意一點在Rt OPQ 中，cos|OP |2 ，3經(jīng)檢驗，點P(2,) 在曲線cos2 上33所以， l 的極坐標方程為 cos2 3（ 2）設 P( , ) ，在 RtOAP 中， | OP | |OA | cos4cos, 即 4cos因為 P 在線段 OM