【教案】3.1.2兩角和與差的正弦、余弦和正切公式（1）教案

1、3.1.2 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式（1）【教材分析】1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式是在研究了兩角差的余弦公式的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究具有“兩角和差”關(guān)系的正弦、余弦、正切公式的。在這些公式的推導(dǎo)中，教科書都把對照、比較有關(guān)的三角函數(shù)式，認(rèn)清其區(qū)別，尋找其聯(lián)系和聯(lián)系的途徑作為思維的起點(diǎn)，如比較cos(-)與cos(+)，它們都是角的余弦只是角形式不同，但不同角的形式從運(yùn)算或換元的角度看都有內(nèi)在聯(lián)系，即+=-(-)的關(guān)系，從而由公式C(-)推得公式C(+)，又如比較sin(-)與cos(-)，它們包含的角相同但函數(shù)名稱不同，這就要求進(jìn)行函數(shù)名的互化，利用誘導(dǎo)公式（5）（6）即可推得公式S

2、(-)、S(+)等。2通過對“兩角和與差的正弦、余弦、正切公式”的推導(dǎo)，揭示了兩角和、差的三角函數(shù)與這兩角的三角函數(shù)的運(yùn)算規(guī)律，還使學(xué)生加深了數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)、證明方法的理解。因此本節(jié)內(nèi)容也是培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算能力和邏輯思維能力的重要內(nèi)容，對培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新能力，發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力都有著十分重要的意義。3本節(jié)的幾個公式是相互聯(lián)系的，其推導(dǎo)過程也充分說明了它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生深刻領(lǐng)會它們的這種聯(lián)系，從而加深對公式的理解和記憶。本節(jié)幾個例子主要目的是為了訓(xùn)練學(xué)生思維的有序性，逐步培養(yǎng)他們良好的思維習(xí)慣，教學(xué)中應(yīng)當(dāng)有意識地對學(xué)生的思維習(xí)慣進(jìn)行引導(dǎo)，例如在面對問題時，要注意先認(rèn)真分析條件，

3、明確要求，再思考應(yīng)該聯(lián)系什么公式，使用公式時要具備什么條件等。另外，還要重視思維過程的表述，不能只看最后結(jié)果而不顧過程表述的正確性、簡捷性等，這些都是培養(yǎng)學(xué)生三角恒等變換能力所不能忽視的?！緦W(xué)情分析】高一（6）（7）班學(xué)生各48人，為平行班學(xué)生。大部分學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)相對薄弱，三角函數(shù)知識掌握不夠扎實(shí)，為了適應(yīng)大部分學(xué)生，教學(xué)進(jìn)程不宜過快。教師應(yīng)采取先復(fù)習(xí)再導(dǎo)入新課的方法，讓學(xué)生平穩(wěn)過度，并且通過大量的練習(xí)加深對知識點(diǎn)的理解?！窘虒W(xué)目標(biāo)】知識與技能：（1）理解以兩角差的余弦公式為基礎(chǔ)，推導(dǎo)兩角和與差正弦、余弦和正切公式的方法，體會三角恒等變換特點(diǎn)的過程，理解推導(dǎo)過程，掌握其應(yīng)用。（2）能夠利用兩角

4、和與差的正弦、余弦和正切公式進(jìn)行簡單的求值、化簡和證明。（3）培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力及邏輯推理能力，從而提高解決問題的能力。過程與方法：（1）利用在換元的思想指導(dǎo)下及利用誘導(dǎo)公式五（或六），推導(dǎo)出公式、和；（2）通過兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的運(yùn)用，會進(jìn)行簡單的求值、化簡等；（3）通過具體實(shí)例，直觀理解輔助角公式，并能靈活應(yīng)用輔助角公式。情感態(tài)度與價值觀：能運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)解決問題，認(rèn)識事物之間的相互聯(lián)系與相互轉(zhuǎn)化。通過探究兩角和與差的三角公式，培養(yǎng)邏輯推理的思維能力，樹立創(chuàng)新意識和應(yīng)用意識，提高數(shù)學(xué)素質(zhì)【重點(diǎn)難點(diǎn)】教學(xué)重點(diǎn)：兩角和與差的正弦、余弦、正切公式及其推導(dǎo).教學(xué)難點(diǎn)：靈活運(yùn)用所學(xué)公式

5、進(jìn)行求值、化簡，及輔助角公式的理解與應(yīng)用?！窘虒W(xué)策略與手段】引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)式教學(xué)法，分析、探索、掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式的過程。以練習(xí)來檢驗(yàn)知識的應(yīng)用情況，找出未掌握的內(nèi)容及其存在的差距。【教學(xué)準(zhǔn)備】教材、多媒體課件【教學(xué)過程】（一） 復(fù)習(xí)回顧（2min）1、誘導(dǎo)公式2、同角三角關(guān)系3、兩角差的余弦公式（二）探索新知（15-20min）1、兩角和余弦公式的推導(dǎo)（1）已知cos(-)=coscos+sinsin在公式中，角，是任意角，請學(xué)生思考角-中換成角-是否可以？得到 cos(+)=cos-(-)=coscos(-)+sinsin(-)=coscos-sinsin.得到兩角和余弦公式：

6、cos(+)=coscos-sinsin ，記作.（2）比較cos(-)與cos(+)公式，分析公式特點(diǎn)：l口訣：余余正正，符號相異（3）練習(xí)：求值 2、兩角和與差的正弦公式的推導(dǎo)（1）思考：在公式、的基礎(chǔ)上能否推導(dǎo)sin(+)=? 教師引導(dǎo)學(xué)生觀察思考，怎樣才能得到兩角和與差的正弦公式呢？我們利用什么公式來實(shí)現(xiàn)正、余弦的互化呢？學(xué)生可能有的想到利用誘導(dǎo)公式來化余弦為正弦嘗試探究“兩角和的正弦公式”的推導(dǎo)，讓學(xué)生動手完成兩角和差正弦公式.sin(+)=cos-(+)=cos(-)+（-）=cos(-)cos+sin(-)sin=sincos+cossin.（2）思考：能在之前的思維基礎(chǔ)上推導(dǎo)

7、sin(-)=？ sin(-)=sin+(-)=sincos(-)+cossin(-)=sincos-cossin.得到兩角和與差的正弦公式，分別簡記為、.sin(+)=sincos+cossin,sin(-)=sincos-cossin.（3）比較sin(-)與sin(+)公式，分析公式特點(diǎn):l口訣：正余余正，符號相同（4）練習(xí)：求值 3、兩角和與差的正切公式的推導(dǎo)教師引導(dǎo)學(xué)生思考，在我們推出了公式C(-)、C(+)、S(+)、S(-)后，自然想到兩角和與差的正切公式，怎么樣來推導(dǎo)出tan(-)=?,tan(+)=?呢？學(xué)生很容易想到利用同角三角函數(shù)關(guān)系式，化弦為切得到。當(dāng)cos(+)0時，

8、tan(+)=如果coscos0,即cos0且cos0時，分子、分母同除以coscos得tan(+)=，據(jù)角、的任意性，在上面的式子中，用-代之，則有tan(-)=由此推得兩角和、差的正切公式，簡記為T(-)、T(+).tan(+)=tan(-)= 當(dāng)tan，tan或tan（）的值不存在時，不能使用T（）處理某些有關(guān)問題，但可改用誘導(dǎo)公式或其他方法，例如：化簡tan(-)，因?yàn)閠an的值不存在，所以改用誘導(dǎo)公式。（三）例題與練習(xí)（20min）例1 利用和差角公式計(jì)算下列各式的值.（1）sin72cos18+cos72sin18（2）cos74sin14-sin74cos14（3）解：（1）原式

9、=sin(72+18)=sin90=1（2）原式=-sin(74-14)=-sin60=（3）原式=tan(45+15)=tan60=分析：本例體現(xiàn)了對公式的全面理解，要求學(xué)生能夠從正、反兩個角度使用公式，與正用相比，反用表現(xiàn)的是一種逆向思維，它不僅要求有一定的反向思維意識，對思維的靈活性要求也高，而且對公式要有更全面深刻的理解。變式1 求下列各式的值（1）sin34sin 26-cos34cos26（2）sin20cos110+cos160sin70例2 已知sin=，(,2)，cos=，(,)，求sin(-)，cos(+)解：由sin=，(,2)，得cos=-=，又由cos=，(,)，得s

10、in=，sin(-)=sincos-cossin=()-(cos(+)=coscos-sinsin=()()-()=變式2：書P131 練習(xí)2例3 已知 ，求分析：變式3：書P132 練習(xí)7（四）小結(jié)1、公式推導(dǎo)2、和差角公式余弦：余余正正，符號異正弦：正余余正，符號同（五）作業(yè)設(shè)計(jì)1、作業(yè)本（書P137 A組 7、8、9、13奇數(shù)題）2、優(yōu)化設(shè)計(jì)（六）板書設(shè)計(jì)3.1.2 兩角和與差的正弦、余弦、正切公式一、余弦（余余正正，符號異）cos(-)=coscos+sinsin cos(+)=coscos-sinsin 二、正弦（正余余正，符號同）sin(+)=sincos+cossin sin(-)=sincos-cossin三、正切tan(+)=tan(-)= 【教學(xué)評價與反思】1、本節(jié)課是典型的公式教學(xué)模式，是在兩角差的余弦公式的基礎(chǔ)上進(jìn)行的，因此設(shè)計(jì)流程是“提出問題轉(zhuǎn)化推導(dǎo)分析記憶應(yīng)用訓(xùn)練”。它充分展示了公式教學(xué)中以學(xué)生為主體，進(jìn)行主動探索數(shù)學(xué)知識發(fā)生、發(fā)展的過程.同時充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，引導(dǎo)學(xué)生利用舊知識推導(dǎo)證明新知識，并學(xué)會記憶公式的方法，靈活運(yùn)用公式解決實(shí)際問題，從而使學(xué)生領(lǐng)會了數(shù)學(xué)中重要的數(shù)學(xué)思想轉(zhuǎn)化思想，并培養(yǎng)他們主動利用轉(zhuǎn)化思想指導(dǎo)探索解決數(shù)學(xué)問題的能力。2、縱觀本教學(xué)設(shè)計(jì)，知識點(diǎn)集中，容量較大，重點(diǎn)是公式的推導(dǎo)證明、記憶以及簡單的應(yīng)用等，通過本