向量難題附加解析

1、2016年02月12日高中數(shù)學(xué)組卷一選擇題（共4小題）1. （2015*天津校級(jí)一模）在AABC中，E, F分別為AB, AC的中點(diǎn)，P為EF上的任一點(diǎn)，實(shí)數(shù)x, y滿足頁(yè)+匚西+尼匚5，設(shè)AABC. PBC, A PCA. PAB的而積分別為S, Si， S2, S3，記一占二入,二入2，=3*則入2入3取到最大值時(shí)，2x+y的值為（）A. - 1 B1 C一魚(yú)D.魚(yú)2 22. （2015*哈爾濱校級(jí)三模）已知O為正三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足（1+九）OC=0*若ZkOAB的而積與 OAC的面積比值為3,則入的值為（）A丄 B1 C2 D3，則23. （2014安慶三模）如圖所示，設(shè)P為AA

2、BC所在平而內(nèi)的一點(diǎn)，并且 ABP與厶ABC的而積之比等于（）RD.4. （2013*重慶）在平面上，畫(huà)丄肓耳，Iob7I=IoBI=1* AP=Ab7+AB-若IOP|V寺 則I玉I的取值范囤是（）二.填空題（共6小題）5. （2011天津）已知直角梯形 ABCD 中，ADII BC, Z ADC=90, AD=2, BC=1 P 是腰 DC 上的動(dòng)點(diǎn)，則|PA+3PB |的最小值為6. （2012*湖南）如圖，在平行四邊形ABCD中，AP丄BD,垂足為P,且AP二3,則APAC=7. （2014余杭區(qū)校級(jí)模擬）如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，動(dòng)點(diǎn)P在以AB為直徑的圓弧APB上，則PC-T

3、O的取值范圍是ABAC=-2 則 I AD I 的最8. （2014韶關(guān)模擬）已知AD是A ABC的中線，若Z A=120%小值是 9（2010武昌區(qū)模擬）AABC的面積為1, =a5 AC二b，P為AABC內(nèi)一點(diǎn)，且BP=ib -a則厶BCP的而積為36AD二5, CP=3PD APBP=2,10. （2014*江蘇）如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB二&則亦工6的值是2016年02月12日MISAYA的高中數(shù)學(xué)組卷畚考答案與試題解析一.選擇題（共4小題）1.（2015*天津校級(jí)一模）在AABC中，E, F分別為AB, AC的中點(diǎn)，P為EF上的任一點(diǎn)， 實(shí)數(shù)x, y滿足頁(yè)+匚西+尼二6

4、設(shè)AABC, PBC, A PCA, A PAB的而積分別為S, Si，S2, S3，記一占二入,一孑二入2，T=3*則入2入3取到最大值時(shí)，2x+y的值為（）A. - 1 B. 1 C. 一總 D.總2 2【考點(diǎn)】平面向疑的基本世理及其意義；三角形的面積公式.【專題】計(jì)算題：壓軸題；不等式的解法及應(yīng)用：平面向量及應(yīng)用.【分析】根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)，可得P到BC的距離等于 ABC的BC邊上髙的一半，從而得到S1=1S=S2+S3.由此結(jié)合基本不等式求最值，得到當(dāng)入2入3取最大值時(shí)點(diǎn)P在EF的中點(diǎn).再由向量的加法的四邊形法則，算出2PA+PB+PC=0.結(jié)合已知條件的等式，可求 出x、y的值，

5、從而算出2x+y的值.【解答】解：由題意，可得 EF是 ABC的中位線,/. P到BC的距離等于 ABC的BC邊上高的一半，可得Si=is=S2+S32S2+S32So S 3 I 0 丿 I由此可得入2入3二亠二勺=丄S2S216當(dāng)且僅當(dāng)S2=S3時(shí)，即P為EF的中點(diǎn)時(shí)，等號(hào)成立. PE+PF=O由向量的加法的四邊形法則可得，PA+re=2PE. PA+PC=2PF 兩式相加,得2PA+PB+PC二0由已知 WpA+PB+yPc.根據(jù)平而向疑基本泄理，得x=y=l.從而得到2x+y=綜上所述，可得當(dāng)入2入3取到最大值時(shí)，2x+y的值為衛(wèi)2故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題給出三角形中的向量等式，在已知而積

6、比入2.入3的積達(dá)到最大值的情況下求 參數(shù)X、y的值，著重考查了運(yùn)用基本不等式求最值、平面向量的加法法則和平而向量基本 龍理等知識(shí)，屬于中檔題.2. （2015哈爾濱校級(jí)三模）已知0為正三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足（1+九）龍二6若aoab的而積與 OAC的而積比值為3,則入的值為（）A丄 B1 C2 D32【考點(diǎn)】向量在幾何中的應(yīng)用；平面向量的基本立理及其意義.【專題】計(jì)算題；壓軸題.【分析】如圖D, E分別是對(duì)應(yīng)邊的中點(diǎn)，對(duì)所給的向量等式進(jìn)行變形，根據(jù)變化后的條件得到玉二-丸麗；由于正三角形ABC,結(jié)合題目中的面積關(guān)系得到五電免，.由3可得0分DE所成的比，從而得出入的值.【解答】解:0A+

7、XQB+ （1+X） oc=0變?yōu)?OA+OC + （OB+OC）二6如圖，D, E分別是對(duì)應(yīng)邊的中點(diǎn)，由T行四邊形法則知玉+H二2玉，X（OB+OC）=2 0D故菖二-丸麗I在正三角形ABC中， SAAOC 巧SAAOBX_2 X Saabc飛且三角形AOC與三角形ADC同底邊AC,故0點(diǎn)到底邊AC的距離等于D到底邊AC的距離的三分之一， 故運(yùn)=4缸，=0E= - 0D32由得已故選A【點(diǎn)評(píng)】三角形面積性質(zhì)：同（等）底同（等）髙的三角形而積相等：同（等）底三角形而 積這比等于高之比；同（等）高三角形而積之比等于底之比.4. （2013*重慶）在平面上，云所丄麗p IoKI=IOBI=1* A

8、P=AB+AiB-若IOP|vg， 則|玉|的取值范圍是（）【考點(diǎn)】向量在幾何中的應(yīng)用：平而向量的基本立理及其意義.【專題】壓軸題；平面向呈:及應(yīng)用.【分析】建立坐標(biāo)系，將向量條件用等式與不等式表示，利用向量模的計(jì)算公式，即可得到 結(jié)論.【解答】解：根據(jù)條件知A, Bi，P, B2構(gòu)成一個(gè)矩形AB1PB2,以ABi, AB2所在直線為坐 標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)|ABi|=a, |AB2|=b,點(diǎn)O的坐標(biāo)為（x, y）,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a, b）,由 |obl |=|ob2|= 得x - a ) 2 + y2=l()2=l-y2(y-b)I OPI - (x - a ) 2+ (y _ b )-

9、 x2+y2|.(x - a) 2+y2=l /. y2=l - (x - a) 21, y2l 同理x2.x2+y22由矢口 I麗勺/+/, a L|0A| P 是腰 DC 上 的動(dòng)點(diǎn)，則|PA+3PB I的最小值為5【考點(diǎn)】向量的模.【專題】平面向雖:及應(yīng)用.【分析】根據(jù)題意，利用解析法求解，以直線DA, DC分別為x, y軸建立平而直角坐標(biāo)系, 則 A (2, 0), B (1, a), C (0, a), D (0, 0),設(shè) P (0, b) (0b a), C (0, a), D (0, 0)設(shè) P (0, b) (0b由向量的數(shù)量積的立義可知，AP AC=|AP| ACIcosZ

10、 PAO=3x6=18故答案為：18【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了向量的數(shù)量積的龍義的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于發(fā)現(xiàn)規(guī)律:ACxcosZ OAP=2xAOcosZ OAP二2AP 7. （2014*余杭區(qū)校級(jí)模擬）如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，動(dòng)點(diǎn)P在以AB為直徑的圓弧APB上，則PCPD的取值范圍是.0, 16【考點(diǎn)】平面向屋:數(shù)量積的運(yùn)算.【專題】計(jì)算題：綜合題；壓軸題.【分析】以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立如圖坐標(biāo)系，可得C (2, 4), D(-2,4), P(2cosa, 2sina),得到PC、PD坐標(biāo)，用向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式化簡(jiǎn)，得PC-PD=16-16sina,再結(jié)合a曰0

11、, r,不難得到瓦瓦的取值范圍.【解答】解：以AB中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立如圖坐標(biāo)系則圓弧 APB 方程為 x2+y2=4, (y0), C (2, 4), D ( 2, 4)因此設(shè) P (2cosa, 2sina), aV0, nPC= (2 - 2cosa, 4 - 2sina), PD= ( - 2 - 2cosa 4 - 2sina)由此可得PC PD=(2-2cosa) ( - 2 - 2cosa) + (4 - 2sina) (4 - 2sina)=4cos2a - 4+16 - 16sina+4si門(mén)%=16 - 16sina化簡(jiǎn)得瓦-PD=16 - 16sinaa

12、0t n, sinaV(0, 1.當(dāng)心或兀時(shí),疋莎最大值為迢當(dāng)今,喬而取最小值為。.由此可得PCPD的取值范國(guó)是0, 16【點(diǎn)評(píng)】本題給出正方形內(nèi)半圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求向量數(shù)量積的取值范圍，著重考查了平面向 量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)和圓的參數(shù)方程等知識(shí)，屬于中檔題.8. (2014韶關(guān)模擬)已知AD是A ABC的中線，若Z A=120%耳疋二-2，貝0 I AD |的最小值是1【考點(diǎn)】向量在幾何中的應(yīng)用.【專題】壓軸題；平面向屋:及應(yīng)用.【分析】利用向量的數(shù)量積公式，及三角形中線向量的表示，利用基本不等式，即可求I兀I 的最小值.【解答】解:?=| AB| ACIcosAi Z A=120%（7分） I

13、 ABIIACI 二4-(8 分). |AD |-i(貳疋)， |血|2=1 (|AB|2+|AC|2+2 ABAC) J(|AB|2+|AC|2-4)（20 分）二 | AD |min=l - - - - - - - - - - - - - - - - -（12 分）故答案為：1.【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量的數(shù)量積，基本不等式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.9. （2010*武昌區(qū)模擬）AABC的面積為1,菖二；，丘二7，P為AABC內(nèi)一點(diǎn)，且 麗4壬-寵，貝仏BCP的而積為_(kāi)丄362（【考點(diǎn)】向量在幾何中的應(yīng)用.【專題】計(jì)算題：壓軸題.【分析】在AABC中，作出向量麗=1*-宅，由向量的幾何意

14、義，三角形的面積公式,36且AABC的而積為2,可以求岀ABCP的而積.【解答】解：如圖，在AABC中，作出短占-宅，36平移DE=BP其中西二丄？6 ABC 的面積為:S-i|AB HfAC|sinA=-|a|w|b |sinA=l,而AADE, CEP,平行四邊形BDEP的而積和為：|Arf-|AE|si+|EP 1-lECl sinCEP+ IDB H | AE |sinA=專自環(huán) |sinA+寺 卜 |b|sinxV |a|- |知“nA冷 I：卜帀“nA弓, 所以 BCP的而積為：1 -丄丄.本題也可以通過(guò)左移點(diǎn)P：丄：虧個(gè)單位，下移丄？sinA個(gè)單位，到點(diǎn)A.知zkBCP邊bc633上的髙h2是厶ABC邊BC上的髙hi的丄 即厶BCP的而積是厶ABC的丄2 2故答案為：I【點(diǎn)評(píng)】本題通過(guò)作圖得出向量的關(guān)系，從而求出三角形的面積.10. （2014*江蘇）如圖,在平行四邊形ABCD中，已知AB二& AD=5, CP二3PD，APBP=2,則亦工5的值是22【考點(diǎn)】向量在幾何中的應(yīng)用；平而向雖:數(shù)量積的運(yùn)算. 【專題】平而