相似三角形的性質(zhì)提高題及答案

1、相似三角形的性質(zhì)提高題及答案相似三角形的性質(zhì)知識(shí)精要相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比稱為這兩個(gè)三角形的相似比，形似比用字母k表示。如ABCABC，則,注意：相似比具有方向性，若寫作ABCABC，則相似比為。根據(jù)合比容易得到“相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比”，記ABC和ABC的周長(zhǎng)分別為和，則.類型一 相似比與周長(zhǎng)比在有關(guān)相似三角形的計(jì)算問(wèn)題中，通過(guò)對(duì)應(yīng)邊的比例式建立方程式常用的方法。例題精解例1 如圖，已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為6，過(guò)重心G作DE/BC,分別交AB,AC于點(diǎn)D,E.點(diǎn)P在BC上，若BDP與CEP相似，求BP的長(zhǎng)。點(diǎn)評(píng)：這是一類常見(jiàn)的有關(guān)三角形相似的分類討論的問(wèn)題。圖中只能確定一組相等的角（

2、B=C）為對(duì)應(yīng)角，但“這個(gè)角的兩組夾邊對(duì)應(yīng)成比例”的比例式排列順序還不能完全確定，因此要分為兩種情況進(jìn)行討論?！九e一反三】1、 如圖，ABC中，CD是角平分線，E在AC上，CD2=CBCE.（1） 求證：ADEACD；（2） 如果AD=6，AE=4，DE=5，求BC的長(zhǎng)。點(diǎn)評(píng)：先根據(jù)判定定理2得到BCDDCE，再根據(jù)判定定理1得到ADEACD，這種類似于“二次全等”的“二次相似”是證明相似三角形常用的方法。2、 如圖，ABC中,DE/BE,分別交AB于D，交AC于E。已知AB=7，BC=8，AC=5，且ADE與四邊形BCED的周長(zhǎng)相等，求DE的長(zhǎng)。點(diǎn)評(píng)：無(wú)論是以相似比k作為未知量，還是以DE=

3、x作為未知量，目的都是為了把其他的量用k或x來(lái)表示，根據(jù)題設(shè)的等量關(guān)系列方程。這一解題思路可稱為“方程思想”，這是用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題的基本思想。3、 如圖，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E,F分別在邊AB,AC上，沿EF將AEF翻折，使點(diǎn)A恰好落在BC上的點(diǎn)D.已知AE:AF=5:4，求BD的長(zhǎng)。點(diǎn)評(píng)：本題的難點(diǎn)是將比值轉(zhuǎn)化為BED和CDF的相似比和周長(zhǎng)比。類型二 相似比與對(duì)應(yīng)線段之比 如圖ABCABC，相似比為k，若AH,AM,AE和AH,AM,AE分別是ABC和ABC的高、中線和角平分線，則。廣義地說(shuō)，所謂“對(duì)應(yīng)線段”應(yīng)當(dāng)包括兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)位置上的所有對(duì)應(yīng)線段，如上圖2中BE和BE，

4、ME和ME等；而相似三角形對(duì)對(duì)應(yīng)位置上的所有三角形也都是相似三角形，如圖2中的ABEABE,AMEAME等。例2 如圖，ABC中，D在BC上，DAC=B,角平分線CE交AD于F.已知BD=1，DC=3.求CF:EF的值。點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形中對(duì)應(yīng)角平分線的相似比問(wèn)題。【舉一反三】1、 如圖，BAE=90，AB=AC=CD=DE,F是BC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BE,BD,DF.（1） 找出圖中的相似三角形并說(shuō)明理由；（2） 求DF:DB的值。點(diǎn)評(píng)：第（2）小題也可以將看作是CFDCDB的對(duì)應(yīng)邊之比。2、 如圖，RtABC中，CD是斜邊AB上的高，DEAC,DFBC，垂足分別為E,F。求證：DE2:D

5、F2=AD:DB.點(diǎn)評(píng)：解題思路從相似三角形的面積比入手。一方面，相似三角形的面積比等于相似比的平方；另一方面，登高的三角形面積之比等于相應(yīng)的邊長(zhǎng)之比，從而建立起與線段平方比有關(guān)的比例式。3、 一塊直角三角形木板的兩條直角邊AB長(zhǎng)為1.5米，BC長(zhǎng)為2米，工人師傅要把它加工成一個(gè)面積最大的的正方形桌面，請(qǐng)甲乙兩位同學(xué)進(jìn)行設(shè)計(jì)加工方案，甲設(shè)計(jì)方案如圖1-4-9，乙設(shè)計(jì)方案如圖1-4-10.你認(rèn)為哪位同學(xué)設(shè)計(jì)的方案中正方形面積較大？試說(shuō)明理由。（加工損耗忽略不計(jì)，計(jì)算結(jié)果中可保留分?jǐn)?shù)） 點(diǎn)評(píng)：利用“相似三角形的對(duì)應(yīng)高之比等于相似比”，是解三角形的內(nèi)接矩形問(wèn)題的常用方法。類型三 相似比與面積比相似三

6、角形的面積之比等于相似比的平方。例如，如圖1-4-12，ABC中，D,E和F,G分別是AB和AC的三等分點(diǎn)，則ADF,AEG,ABC的周長(zhǎng)比是1:2:3，面積比是1:4:9，而DF,EG將ABC分成的三部分面積之比1:3:5.另外，兩個(gè)有公共高的三角形的面積之比等于對(duì)應(yīng)的底邊之比。例如，如圖1-4-13，ABC中，C=90，CD是高，則ADCCDB,另外，CD是它們的公共高，故,這樣我們就很容易得到一個(gè)比例式：.這種證明方法稱為“面積法”例3 如圖，ABC中，過(guò)重心G作DE/BC分別交AB,AC于點(diǎn)D,E,作DF/AC交BC于點(diǎn)F.求證：。點(diǎn)評(píng)：這個(gè)結(jié)果說(shuō)明，三角形ADE與四邊形DECF面積相

7、等，這種等積變換很難通過(guò)畫平行線的方法驗(yàn)證，只有利用相似三角形的性質(zhì)通過(guò)計(jì)算來(lái)驗(yàn)證?！九e一反三】1、 如圖，ABC中，點(diǎn)D在BC上，DAC=B.求證：AB2:AD2=BC:DC.2、 如圖，梯形ABCD中，AD/BC,AC交BD于O.（1） 若,求;（2） 若（m,n為正數(shù)），試用m,n表示梯形ABCD的面積S.點(diǎn)評(píng)：在梯形中，兩條對(duì)角線將梯形分為4個(gè)小三角形，其中分別以兩底為邊的兩個(gè)小三角形是相似關(guān)系，它們不可能全等（因?yàn)閮傻资菍?duì)應(yīng)邊，不可能相等）；另兩個(gè)以腰為邊的小三角形是等積關(guān)系（面積相等），它們可能全等（當(dāng)?shù)妊菪螘r(shí)），但不可能是非全等的相似關(guān)系。3、 如圖，平行四邊形ABCD中，AE

8、BC于E,AFCD于F，聯(lián)結(jié)EF,AC.（1） 求證：ABCEAF.（2） 若AB=3BE,AD=9，平行四邊形ABCD的面積為，求EF的長(zhǎng)。內(nèi)容提煉1、 相似三角形的性質(zhì)包括三個(gè)方面：（1） 由定義確定的性質(zhì)-相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，對(duì)應(yīng)邊的比值稱為相似比，用k表示；注意相似比的“方向性”，必須是排在前面的三角形邊長(zhǎng)除以排在后面的三角形邊長(zhǎng)。若ABCDEF,則當(dāng)k1時(shí)，說(shuō)明由ABC到DEF是縮小的；當(dāng)k1時(shí)，說(shuō)明由ABC到DEF是放大的；當(dāng)k=1時(shí)，ABCDEF,因此，全等是相似的特殊情況。（2） 性質(zhì)1：相似三角形對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比，“對(duì)應(yīng)線段”包括對(duì)應(yīng)角的角平分線，對(duì)應(yīng)

9、邊上的中線和對(duì)應(yīng)邊上的高。實(shí)際上“對(duì)應(yīng)線段”還可以推廣到兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)位置上的任何一種對(duì)應(yīng)線段，例如：兩個(gè)相似三角形外接圓半徑的比、內(nèi)切圓半徑的比都等于相似比。（3） 性質(zhì)2：相似三角形面積的比等于相似比的平方，實(shí)際上還可以推廣到兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)位置上的任何圖形的面積比都等于相似比的平方，例如：兩個(gè)相似三角形外接圓面積的比、內(nèi)切圓面積的比都等于相似比的平方。2、 學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容時(shí)要克服一些常見(jiàn)的錯(cuò)誤。例如：（1） 在利用相似三角形的性質(zhì)時(shí)，在書寫過(guò)程中忘記交代“相似”這一條件，或是沒(méi)有注意對(duì)應(yīng)關(guān)系。（2） 誤認(rèn)為通過(guò)“兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)比等于某一對(duì)應(yīng)邊的比”或“兩個(gè)三角形的面積的比等于對(duì)應(yīng)

10、邊的平方比”就可以判斷這兩個(gè)三角形相似。（3） 在運(yùn)用性質(zhì)2時(shí)忘記加平方，認(rèn)為面積比等于相似比。鞏固提高（必做題，要求步驟完整，邏輯清晰）1、 如圖，DF/EG/BC,AD:DE:EB=1:2:3，如果為ADF面積，為梯形DEGF面積，為梯形EBCG面積，那么為 （ ）（A）1:4:9; (B)1:9:36; (C)1:8:27; (D)1:7:192、 已知一個(gè)三角形的三邊之比為3:4:5，與此三角形相似的另一個(gè)三角形最短邊的邊長(zhǎng)為6cm，則另一個(gè)三角形的周長(zhǎng)為（ ）（A）12cm; (B)24cm; (C)36cm; (D)48cm3、 若一個(gè)三角形的一條邊長(zhǎng)為6cm，平行于這條邊的直線將

11、該三角形分成面積相等的兩部分，則該直線被這個(gè)三角形兩邊所截得的線段長(zhǎng)為（ ）（A）3cm; (B)cm; (C)cm; (D)cm4、 若兩個(gè)相似三角形面積之比為3:4，則它們的周長(zhǎng)之比為 5、 如果兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)中線之比為2:3，其中較大的一個(gè)三角形的面積是36cm2,那么另一個(gè)三角形的面積是 cm2. 6、 如圖，AB/DC,AC交BD于O，過(guò)O作直線分別交AB,DC于M,N。若2OM=3ON,則AOB與COD的周長(zhǎng)之比為 7、 如圖，AB/DC,AC交BD于O，過(guò)O作直線分別交AB=3，AC=2，若將ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到ABC，則ABB與ACC的面積之比為 8、 梯形ABCD中，AD/

12、BC,且AD:BC=3:4，BA與CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P，若梯形ABCD的高是3cm，則點(diǎn)P到BC的距離為 cm.9、 如圖，ABC中，D在AC上，若AD=2DC,AB2=ACAD，則BD:BC的值等于 10、 如圖，ABC中，AB=6，AC=9，DE/BC分別交AB,AC于D,E，且DE=8，四邊形DBCE的周長(zhǎng)是25，求BC的長(zhǎng)。11、 如圖，將ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)后得ABC，當(dāng)ABBC時(shí)AC/BC,且點(diǎn)C恰好在BC上。求ABB與ACC的面積之比。12、 如圖，ABC中，C=2B，D在BC上，AC2=BCDC,且BAD=90，點(diǎn)E是BD的中點(diǎn)。試判斷AEC的形狀并說(shuō)明理由。探究題（1） 如圖，四邊形ABCD中，對(duì)角線AC,BD相交于E，