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1、分式及其基本性質(zhì)山東 高懷全 分式是在整式運(yùn)算、多項(xiàng)式因式分解、一次方程的解法的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的分式的運(yùn)算與整式的運(yùn)算相比,運(yùn)算步驟明顯增多,符號(hào)更加復(fù)雜,解法更是靈活多樣;因而同學(xué)們?cè)诰唧w運(yùn)算時(shí)更容易出現(xiàn)這樣或那樣的錯(cuò)誤,為了使同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)就能引起注意,現(xiàn)將有關(guān)分式概念與性質(zhì)中常的錯(cuò)誤歸類剖析如下:一、概念不清例1在下列的有理式中,屬于分式的是( )A B C D3a2b病因:顯然A式和D式中分母不含有字母,所以是整式;對(duì)于C式雖然是象分式的形式,但通過化簡結(jié)果為3m,顯然3m是整式,所以也是整式,即C式是整式;而B式可化為分式的形式,即,且分母B中含有字母,故應(yīng)選 B診斷:病根只有一個(gè),即沒
2、有能正確理解分式的概念一般地,用A、B表示兩個(gè)整式,AB就可以表示成的形式,A既可含字母,也可以不含字母,但分式的分母B中必須含有字母,即式子中,B中必須含有字母,這就是區(qū)別整式與分式的關(guān)鍵因此判斷A、D是整式是不錯(cuò)的,問題是對(duì)于B中分母雖然含字母,但是一個(gè)常數(shù),所以化成形式后,仍然是一個(gè)整式,只有C式中的是一個(gè)分式,雖然可以化成3m的整式形式,但在化簡的過程中正是運(yùn)用了分式的基本性質(zhì)化簡的,另外與3m中的字母的取值也不同正解:顯然A式和D式中分母不含有字母,所以是整式;而B式中雖然分母中含有字母,但是一個(gè)常數(shù),所以仍然是一個(gè)整式,只有C式,雖然可以化成3m的整式形式,但在化簡的過程中正是運(yùn)用
3、了分式的基本性質(zhì)化簡的,且字母的取值也發(fā)生了變化,因此是一個(gè)分式,故應(yīng)選C二、對(duì)分式有意義、無意義、值為0認(rèn)識(shí)模糊例2當(dāng)x為何值時(shí),分式的值為0錯(cuò)解:當(dāng),即時(shí),分式的值是0。診斷:由于當(dāng)x=1時(shí),分母x-1=0,此時(shí)原分式無意義,所以應(yīng)該舍去x=1解決此類問題是忽略了分母不為0這一條件所致。正解:要使分式的值為0,必須,解得 ,既x=-1時(shí),分式的值為0三、混淆“且”與“或”的運(yùn)用例3、x為什么值時(shí),下列分式有意義。(1);(2)病因:(1)由分母x2-40,解得x2或x-2。所以當(dāng)x2或x-2時(shí),分式有意義;診斷:“且”與“或”在數(shù)學(xué)上是表示不同意義的,“且”與“和”相同,表示相連的關(guān)系,而
4、“或”表示選擇關(guān)系,兩者不能混淆正解:分母不等于零時(shí)有意義。(1) 由分母x2-40,解得x2且x-2。所以當(dāng)x2且x-2時(shí),分式有意義;(2) 因?yàn)榉帜竫2+1不論x為什么值 ,它都大于零,所以x為全體實(shí)數(shù)時(shí),分式有意義四、運(yùn)用分式的基本性質(zhì)有問題例4不改變分式的值,把分式的分子、分母中的各項(xiàng)系數(shù)都化為整數(shù)錯(cuò)解:診斷:分式的基本性質(zhì)告訴我們:分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個(gè)不等于零的整式,分式的值不變而本題的分子、分母所乘的不是同一個(gè)數(shù),而是兩個(gè)不同的數(shù),雖然把各項(xiàng)系數(shù)化成了整數(shù),但分式的值改變了正解:五、符號(hào)頻繁出錯(cuò)例5不改變分式的值,使分子、分母的第一項(xiàng)系數(shù)是正號(hào)錯(cuò)解:因?yàn)橥瑫r(shí)改變分子、分母的a項(xiàng)的負(fù)號(hào),分式的值不變,所以診斷:根據(jù)分式的基本性質(zhì)可知,同時(shí)改變分式的分子、分母的符號(hào),分式的值不變;而錯(cuò)解只改變了第一項(xiàng)符號(hào),顯然改變了分式的值正解:六、通分時(shí)通常去掉分母例6通分 :錯(cuò)解:x3 3(x+1) 診斷:本題開始是出現(xiàn)符號(hào)的
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