八年級數(shù)學(xué) 第二十二章第1節(jié)二次根式 華東師大版 知識精講

1、八年級數(shù)學(xué) 第二十二章第1節(jié)二次根式 華東師大版【本講教育信息】一. 教學(xué)內(nèi)容：22.1 二次根式二. 重點、難點： 1. 重點： 二次根式的概念和二次根式的基本性質(zhì) 2. 難點： 二次根式的意義及性質(zhì)的運用三. 知識梳理： 1. 二次根式的定義一般地，形如（0）的式子叫做二次根式對定義的理解：二次根式都含有二次根號“”；在二次根式中，被開方數(shù)必須滿足0當(dāng)0時，式子無意義，也就無法稱為二次根式了；在二次根式中，可以是數(shù)也可以是一個代數(shù)式；二次根式（0）即：非負數(shù)的算術(shù)平方根總之，判斷一個式子是否是二次根式，只要它具備兩個特征：一是帶2次根號；二是被開方數(shù)為非負數(shù) 2. 二次根式的性質(zhì)0 （0）

2、即一個非負數(shù)的算術(shù)平方根是一個非負數(shù)（0）即一個非負數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于它本身即一個數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于它的絕對值對二次根式基本性質(zhì)的理解：對于性質(zhì)，常常結(jié)合非負數(shù)性質(zhì)，即“幾個非負數(shù)的和為零，則這幾個非負數(shù)都為零”來解答相關(guān)題目對于性質(zhì)，它既可以正向應(yīng)用，也可以逆向應(yīng)用，正向用是化簡二次根式，逆向用是對多項式在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解對于性質(zhì)，即：，它主要用于題目的化簡和計算，特別要注意求字母取值范圍時零不可丟注意性質(zhì)和中，字母的取值范圍，一個是非負數(shù)，一個是任意數(shù)【典型例題】例1. 判斷下列各式中，哪些是二次根式：；（x0）；分析：判斷根式是否是二次根式，應(yīng)從兩個方面考慮：一是被開方數(shù)是

3、非負的，二是根指數(shù)必須是2解：（）20，是二次根式x0，5x0， 當(dāng)x=0時，是二次根式當(dāng)x0時，不是二次根式a21（a21），a210，a210，不是二次根式4a24a3（2a1）22，不論a為何值時，4a24a3總是正數(shù)是二次根式是三次根式，不是二次根式例2. x為何值時，下列各式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義；分析：這是一組根據(jù)二次根式的基本概念求字母的取值范圍的問題，首先要搞清每個式子的含義，根據(jù)其成立的條件去解解：只有被開方數(shù)5x40時，二次根式才有意義，由5x40得x對于來說，只有被開方數(shù)x0，二次根式才有意義對于來說，只有被開方數(shù)x0，即x0，二次根式才有意義只有當(dāng)x0時，二次根式才有意義由

4、二次根式的定義得x10，x1，當(dāng)x1時，有意義又根據(jù)分式有意義的條件可知，x210，x1故當(dāng)x1時，分式有意義當(dāng)x1且x1時，式子有意義由二次根式和分式的定義可知，x應(yīng)滿足x1當(dāng)x1時，式子才有意義說明：當(dāng)式中有多個二次根式時，必須使每個二次根式都有意義，如果含分式，應(yīng)使分母不為零也就是取它們的公共部分例3. 計算（5）2；分析：利用二次根式的基本性質(zhì)進行化簡時，要特別注意被開方數(shù)為非負數(shù)，化簡形如時，要注意先轉(zhuǎn)化成絕對值，再根據(jù)絕對值的意義進行化簡解：（5）2（5）2（）22510；21；13；說明：對于題，不要忘記5也要平方要注意公式形式，如第題不要看成是（）2的形式，解答此題要根據(jù)算術(shù)平

5、方根的定義例4. 把下列多項式在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式4a211；x49x214；a44a2b24b4分析：在實數(shù)范圍內(nèi)，因式分解的公式仍然成立，有些在有理數(shù)范圍內(nèi)不能分解的多項式，在實數(shù)范圍內(nèi)還可以繼續(xù)分解（如第小題）此外，因式分解的結(jié)果要分解徹底，并且不能含有多重括號（如第小題）解：4a211（2a）2（）2（2a）（2a）；x49x214（x22）（x27）（x）（x）（x）（x）；a44a2b24b4（a22b2）2（ab）（ab）2（ab）2（ab）2例5. 若x、y為實數(shù)，且y2007，求x2004y的值分析：可根據(jù)二次根式的意義求出x的值，從而可求出y的值解：y2007，得x1把x1

6、代入原式得y2007x2004y1200420072008說明：本題還可以從另一個角度考慮，若使和這兩個二次根式同時有意義，則必須有0例6. 若，則的取值范圍是_分析：由可知，又3，故30解：30，3點撥：解決該類問題的依據(jù)是，如果那么a0例7. 已知，求的值分析：因為，即兩個非負數(shù)的和等于零，則這兩個數(shù)都等于零，從而得到，再由零的算術(shù)平方根等于零，求得、的值解：，而， 且，解得則點撥：解此題的關(guān)鍵是：利用二次根式的非負性；根據(jù)幾個非負數(shù)的和等于零，則這幾個數(shù)都等于零，將問題轉(zhuǎn)化為解方程組的問題例8. 已知實數(shù)、在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如下圖所示：試化簡：_ 分析：化簡的關(guān)鍵是由數(shù)軸判斷的符號數(shù)軸

7、上的點所表示的實數(shù)，右邊的總是大于左邊的所以0解：由圖知，則例9. 已知、是ABC的三邊長，化簡： 分析：三角形的三邊存在著如下關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊，故0，0解：0 點撥：此題也可由觀察得知：與互為相反數(shù)，則（）2與（）2相等，故也相等，所以0例10. 若x2，則 分析：因為，由若x2知，x20，故2問題得解解此題的關(guān)鍵是能夠?qū)⒒山猓海?）22例11. 已知2，2，求6的值分析：將被開方數(shù)化為完全平方的形式通常是化簡二次根式的一般方法由已知條件，可得2（2）104，2（-2）104此題先后運用乘法公式、加減運算將被開方數(shù)化成完全平方的形式解：66642例12. 已知x滿足2006x，

8、那么x2006的值為（ ） A、2005 B、2006 C、2007 D、2008分析：由可確定2007，從而確定20062006解：由2006得2006，2006，20072006， 20062007故選C 點撥：利用二次根式的被開方數(shù)為非負數(shù)，是解代數(shù)式求值問題常用的方法之一應(yīng)將此題與20060相區(qū)別【模擬試題】（答題時間：40分鐘）一. 填空題當(dāng)a_時，式子有意義若是二次根式，則a_計算：（）2_，（）2_當(dāng)a_時，是二次根式若式子有意義，則x的取值范圍是_當(dāng)x_時，二次根式有意義當(dāng)x_時，沒有意義若是二次根式，試化簡|5a|_若|y3|0，則xy_在實數(shù)范圍內(nèi)分解a44_二.選 擇題下

9、列各式中，一定是二次根式的有（）A. 3個B. 4個 C. 5個 D. 6個是二次根式，則（）A. a是正數(shù)B. a是負數(shù) C. a是非負數(shù)D. a是非正數(shù)當(dāng)x2時，下列各式在實數(shù)范圍內(nèi)無意義的是（）A. B. C. D. 當(dāng)x為任意實數(shù)時，下列各式總有意義的是（）A. B. C. D. 式子有意義時，x的最大取值是（）A. 5B. 4C. 2D. 不存在是二次根式，應(yīng)滿足的條件是（）A. x9的實數(shù)B. x9的實數(shù) C. x9的實數(shù) D. x0且x9的實數(shù)若是二次根式，則a，b應(yīng)滿足（）A. a，b均為非負數(shù)B. a，b同號C. a0；b0D. 0若式子有意義，則x為（）A. 9的實數(shù)B. 0的實數(shù)C. 9的正實數(shù)D. 9的非負實數(shù)當(dāng)x2時，下列式子無意義的是（）A. B. C. D. 在實數(shù)范圍內(nèi)，分解因式錯誤的是（）A. y44（y22）（y）（y） B. 2x21（x1）（x1）C. 16m425（4m25）（4m25） D. x27（x ）（x）三. 解答題1. 計算：（7）2；（）2；（）2；（）2；（）2；2（）2（）22. 在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式x25；16x49；x22x5；m410m2n225n4；x2（）x ；a43a2103. 先閱讀第題的解法，再解答其它各題已知y2007，求的值；解：由得x2008，y2007，若x、y為實