131柱體、錐體、臺體的表面積和體積

1、1.3.1 柱體、錐體、 臺體的表面積和體積 在初中已經(jīng)學過了正方體和長方體的表面積，你在初中已經(jīng)學過了正方體和長方體的表面積，你 知道正方體和長方體的展開圖與其表面積的關(guān)系嗎？知道正方體和長方體的展開圖與其表面積的關(guān)系嗎？ 幾何體表面積幾何體表面積展開圖展開圖平面圖形面積平面圖形面積 空間問題空間問題 平面問題平面問題 正方體、長方體是由多個平面圍成的幾何體，它正方體、長方體是由多個平面圍成的幾何體，它 們的表面積就是各個面的面積的和們的表面積就是各個面的面積的和 因此，我們可以把它們展成平面圖形，利用平面因此，我們可以把它們展成平面圖形，利用平面 圖形求面積的方法，求立體圖形的表面積圖形求

2、面積的方法，求立體圖形的表面積 棱柱、棱錐、棱臺都是由多個平面圖形圍成的幾何棱柱、棱錐、棱臺都是由多個平面圖形圍成的幾何 體，它們的展開圖是什么？如何計算它們的表面積？體，它們的展開圖是什么？如何計算它們的表面積？ 棱柱的側(cè)面展開圖是什么？如何計算它的表棱柱的側(cè)面展開圖是什么？如何計算它的表 面積？面積？ h 正棱柱的側(cè)面展開圖正棱柱的側(cè)面展開圖 棱錐的側(cè)面展開圖是什么？如何計算它的表棱錐的側(cè)面展開圖是什么？如何計算它的表 面積？面積？ / h / h 正棱錐的側(cè)面展開圖正棱錐的側(cè)面展開圖 棱錐的側(cè)面展開圖是什么？如何計算它的表棱錐的側(cè)面展開圖是什么？如何計算它的表 面積？面積？ 側(cè)面展開 正

3、棱錐的側(cè)面展開圖正棱錐的側(cè)面展開圖 棱臺的側(cè)面展開圖是什么？如何計算它的表棱臺的側(cè)面展開圖是什么？如何計算它的表 面積？面積？ 側(cè)面展開 h h 正棱臺的側(cè)面展開圖正棱臺的側(cè)面展開圖 棱柱、棱錐、棱臺都是由多個平面圖形圍成的幾何棱柱、棱錐、棱臺都是由多個平面圖形圍成的幾何 體，它們的側(cè)面展開圖還是平面圖形，計算它們的體，它們的側(cè)面展開圖還是平面圖形，計算它們的表面表面 積就是計算它的各個側(cè)面面積和底面面積之和積就是計算它的各個側(cè)面面積和底面面積之和 h 例例1 已知棱長為已知棱長為a，各面均為等邊三角形的四面，各面均為等邊三角形的四面 體體S-ABC，求它的表面積，求它的表面積 D B C A

4、 S 分析：四面體的展開圖是由四個全等的正三角形分析：四面體的展開圖是由四個全等的正三角形 組成組成 因為因為BC=a，aSBSD 2 3 60sin 所以：所以： 2 4 3 2 3 2 1 2 1 aaaSDBCS ABC 因此，四面體因此，四面體S-ABC 的表面積的表面積 交交BC于點于點D 解：先求解：先求 的面積，過點的面積，過點S作作 ，ABCBCSD O O r )(222 2 lrrrlrS 圓柱表面積 l r2 圓柱的側(cè)面展開圖是矩形圓柱的側(cè)面展開圖是矩形 圓錐的側(cè)面展開圖是扇形圓錐的側(cè)面展開圖是扇形 )( 2 lrrrlrS 圓錐表面積 r2 l O r 參照圓柱和圓錐的

5、側(cè)面展開圖，試想象圓臺的側(cè)參照圓柱和圓錐的側(cè)面展開圖，試想象圓臺的側(cè) 面展開圖是什么面展開圖是什么 )( 22 rllrrrS 圓臺表面積 r2 l O r O r 2 r 圓臺的側(cè)面展開圖是扇環(huán)圓臺的側(cè)面展開圖是扇環(huán) 、 r2 r2 、 r r l 、 、 、 、 即 rr lr AO EB AB SA EB AB AO SA ）（ 、 、 、 扇 rr lr rSArS SAC 、 o o S A B CD E )()( )( SBD 、 、 扇 rr rl rl rr lr r lSArSBrS )(S-S SACSBD 、 扇扇扇環(huán) rrlS )(SSS 22 rllrrrS 、 側(cè)面

6、下底上底表面 l O r O r l O r l O O r )(2lrrS 柱 )(lrrS 錐 )( 22 rllrrrS 臺 圓柱、圓錐、圓臺三者的表面積公式之間有什么圓柱、圓錐、圓臺三者的表面積公式之間有什么 關(guān)系？關(guān)系？ rr 上底擴大上底擴大 r0 上底縮小上底縮小 例例2 2 如圖，一個圓臺形花盆盆口直徑如圖，一個圓臺形花盆盆口直徑20 cm20 cm，盆，盆 底直徑為底直徑為15cm15cm，底部滲水圓孔直徑為，底部滲水圓孔直徑為1.5 cm1.5 cm，盆壁長，盆壁長 15cm15cm那么花盆的表面積約是多少平方厘米（那么花盆的表面積約是多少平方厘米（ 取取 3.143.14

7、，結(jié)果精確到，結(jié)果精確到1 1 ）？）？ 2 cm cm15 cm20 cm15 解：由圓臺的表面積公式得解：由圓臺的表面積公式得 花盆的表面積：花盆的表面積： 22 2 5 . 1 15 2 20 15 2 15 2 15 S )(1000 2 cm 答：花盆的表面積約是答：花盆的表面積約是1000 1000 2 cm 以前學過特殊的棱柱以前學過特殊的棱柱正方體、長方體以及圓柱正方體、長方體以及圓柱 的體積公式的體積公式, ,它們的體積公式可以統(tǒng)一為：它們的體積公式可以統(tǒng)一為： ShV （S為底面面積，為底面面積，h為高）為高） 一般棱柱體積也是：一般棱柱體積也是： ShV 其中其中S為底面

8、面積，為底面面積，h為棱柱的高為棱柱的高 圓錐的體積公式：圓錐的體積公式： ShV 3 1 （其中（其中S為底面面積，為底面面積，h為高）為高） 圓錐體積等于同底等高的圓柱的體積的圓錐體積等于同底等高的圓柱的體積的 3 1 探究棱錐與同底等高的棱柱體積之間的關(guān)系探究棱錐與同底等高的棱柱體積之間的關(guān)系 三棱錐與同底等高的三棱柱的關(guān)系三棱錐與同底等高的三棱柱的關(guān)系 ShV 3 1 （其中（其中S為底面面積，為底面面積，h為高）為高） 由此可知，棱柱與圓柱的體積公式類似，都是底由此可知，棱柱與圓柱的體積公式類似，都是底 面面積乘高；棱錐與圓錐的體積公式類似，都是等于面面積乘高；棱錐與圓錐的體積公式類

9、似，都是等于 底面面積乘高的底面面積乘高的 3 1 經(jīng)過探究得知，棱錐也是同底等高的棱柱體積經(jīng)過探究得知，棱錐也是同底等高的棱柱體積 的的 即棱錐的體積：即棱錐的體積： 3 1 由于圓臺由于圓臺( (棱臺棱臺) )是由圓錐是由圓錐( (棱棱 錐錐) )截成的，因此可以利用兩個錐截成的，因此可以利用兩個錐 體的體積差得到圓臺體的體積差得到圓臺( (棱臺棱臺) )的的 體積公式體積公式( (過程略過程略) ) 根據(jù)臺體的特征，如何求臺體的體積？根據(jù)臺體的特征，如何求臺體的體積？ A B A B C D C D P S S h DCBAPABCDP VVV hSSSS)( 3 1 棱臺（圓臺）的體積

10、公式棱臺（圓臺）的體積公式 hSSSSV)( 3 1 其中其中 ， 分別為上、下底面面積，分別為上、下底面面積，h為圓臺為圓臺 （棱臺）的高（棱臺）的高 S S 柱體、錐體、臺體的體積公式之間有什么關(guān)系？柱體、錐體、臺體的體積公式之間有什么關(guān)系？ hSSSSV)( 3 1 S為底面面積，為底面面積， h為柱體高為柱體高 ShV 0S S分別為上、下分別為上、下底面底面 面積，面積，h 為臺體高為臺體高 ShV 3 1 SS S為底面面積，為底面面積， h為錐體高為錐體高 上底擴大上底擴大上底縮小上底縮小 例例3 有一堆規(guī)格相同的鐵制（鐵的密度是有一堆規(guī)格相同的鐵制（鐵的密度是 ）六角螺帽共重）

11、六角螺帽共重5.8kg，已知底面是正六邊，已知底面是正六邊 形，邊長為形，邊長為12mm，內(nèi)孔直徑為，內(nèi)孔直徑為10mm，高為，高為10mm， 問這堆螺帽大約有多少個（問這堆螺帽大約有多少個（ 取取3.14）？）？ 3 /8 . 7cmg 解：六角螺帽的體積是六棱解：六角螺帽的體積是六棱 柱的體積與圓柱體積之差，即柱的體積與圓柱體積之差，即: : 10) 2 10 (14. 310612 4 3 22 V )(2956 3 mm )(956. 2 3 cm 所以螺帽的個數(shù)為所以螺帽的個數(shù)為 252)956. 28 . 7(10008 . 5（個）（個） 答：這堆螺帽大約有答：這堆螺帽大約有25

12、2252個個 柱體、錐體、臺體的表面積柱體、錐體、臺體的表面積 各面面積之和各面面積之和 rr 0 r 展開圖展開圖 )( 22 rllrrrS 圓臺圓臺 圓柱圓柱 )(2lrrS )(lrrS 圓錐圓錐 柱體、錐體、臺體的體積柱體、錐體、臺體的體積 ShV 3 1 錐體錐體 hSSSSV)( 3 1 臺體臺體 柱體柱體ShV SS 0S 怎樣求球的體積怎樣求球的體積? 3 3 4 RV 定理定理:半徑是半徑是R的球的體積的球的體積 球面：半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面球面：半圓以它的直徑為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)所成的曲面。 球球( (即球體即球體):):球面所圍成的幾何體。球面所圍成的幾何體。 它包括它包括球面球面和和球面所包圍的空間球面所包圍的空間。 半徑是半徑是R R的球的體積：的球的體積： 3 3 4 RV 定理定理 半徑是半徑是 的球的表面積：的球的表面積： R 2 4SR 球的表面積是大圓 面積的4倍 R 例例1.1.如圖如圖, ,圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑圓柱的底面直徑與高都等于球的直徑, ,求證求證: : (1) (1)球的表面積等于圓柱全面積的三分之二球的表面積等于圓柱全面積的三分之二. . (2) (2)球的表面積等于圓柱的側(cè)面