空間向量與立體幾何

1、空間向量與立體幾何一、選擇題1(2013南昌模擬)在空間中，已知(2,4,0)，(1,3,0)，則ABC的大小為()A45B90C120D135【解析】由(2，4,0)，(1,3,0)得cos，又0，180，ABC135.【答案】D2(2013山東高考)已知三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，體積為，底面積是邊長為的正三角形若P為底面A1B1C1的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為()A. B. C. D.【解析】畫出三棱柱ABCA1B1C1，作出PA與平面ABC所成的角，解三角形求角如圖所示，P為正三角形A1B1C1的中心，設(shè)O為ABC的中心，由題意知：PO平面ABC，連接OA，則

2、PAO即為PA與平面ABC所成的角在正三角形ABC中，ABBCAC，則S()2，VABCA1B1C1SPO，PO.又AO1，tanPAO，PAO.【答案】B3在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD平面ABCD，ABPDa.點E為側(cè)棱PC的中點，又作DFPB交PB于點F.則PB與平面EFD所成角為()A30 B45C60 D90【解析】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，D為坐標(biāo)原點則P(0,0，a)，B(a，a,0)，(a，a，a)，又，00，所以PBDE.由已知DFPB，又DFDED，所以PB平面EFD，所以PB與平面EFD所成角為90.【答案】D4在正方體ABCDA1B1C

3、1D1中，點E為BB1的中點，則平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為()A. B. C. D.【解析】以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系，如圖設(shè)棱長為1，則A1(0,0,1)，E，D(0,1,0)，所以(0,1，1)，設(shè)平面A1ED的一個法向量為n1(1，y，z)，則所以所以n1(1,2,2)設(shè)平面ABCD的一個法向量為n2(0,0,1)，所以|cosn1，n2|.即平面A1ED與平面ABCD所成的銳二面角的余弦值為.故選B.【答案】B5P是二面角AB棱上的一點，分別在，平面上引射線PM，PN，如果BPMBPN45，MPN60，那么二面角AB的大小為()A60 B70 C80 D90【

4、解析】不妨設(shè)PMa，PNb，作MEAB于點E，NFAB于點F，如圖因為EPMFPN45，所以PEa，PFb，所以()()abcos 60abcos 45abcos 45ab0.所以，所以二面角AB的大小為90.【答案】D二、填空題6已知a(2，1,1)，b(1,4，2)，c(11,5，)若向量a，b，c共面，則_.【解析】由向量a，b，c共面可得cxayb(x，yR)，故有解得【答案】17(2013湛江模擬)已知空間不共面四點O、A、B、C，0，且|，則OM與平面ABC所成角的正切值是_【解析】由題意可知，OA、OB、OC兩兩垂直，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)OAOBOC1，則A(1,0,0)

5、，B(0,1,0)，C(0，0,1)，M(，0)，故(1,1,0)，(1,0,1)，(，0)設(shè)平面ABC的法向量為n(x，y，z)，則由，得，令x1，得平面ABC的一個法向量為n(1,1,1)故cos，所以O(shè)M與平面ABC所成角的正弦值為，正切值為.【答案】8如圖4311，正方體ABCDA1B1C1D1，則下列四個命題：圖4311P在直線BC1上運動時，三棱錐AD1PC的體積不變；P在直線BC1上運動時，直線AP與平面ACD1所成角的大小不變；P在直線BC1上運動時，二面角PAD1C的大小不變；M是平面A1B1C1D1上到點D和C1距離相等的點，則M點的軌跡是過D1點的直線其中真命題的編號是_

6、(寫出所有真命題的編號)【解析】因為BC1AD1，所以BC1平面ACD1，BC1上任意一點到平面ACD1的距離為定值，所以VAD1PCVPACD1為定值， 正確；P到面ACD1的距離不變，但AP的長在變化，所以AP與面ACD1所成角的大小是變量，錯誤；面PAD1即面ABC1D1，所以面ABC1D1與面ACD1所成二面角的大小不變，正確；M點的軌跡為A1D1，正確【答案】三、解答題9(2013江門模擬)如圖4312，直角梯形ABCD中，ABCD，ABBC，AB1，BC2，CD1，過A作AECD，垂足為E.F、G分別是CE、AD的中點現(xiàn)將ADE沿AE折起，使二面角DAEC的平面角為135.圖431

7、2(1)求證：平面DCE平面ABCE；(2)求直線FG與平面DCE所成角的正弦值【解】(1)證明：DEAE，CEAE，DECEE，DE，CE平面CDE，AE平面CDE，AE平面ABCE，平面DCE平面ABCE.(2)以E為原點，EA、EC所在直線分別為x，y軸，建立空間直角坐標(biāo)系DEAE，CEAE，DEC是二面角DAEC的平面角，即DEC135，AB1，BC2，折起前CD1，折起前后CE1，DE不變，A(2,0,0)，B(2,1,0)，C(0,1,0)，E(0,0,0)，D(0，1,1)F、G分別是CE、AD的中點，F(xiàn)，G，(2,0,0)，由(1)知是平面DCE的法向量，設(shè)直線FG與平面DCE

8、所成角為，則sin ，故直線FG與平面DCE所成角的正弦值為.10(2013四川高考)如圖4313，在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱AA1底面ABC，ABAC2AA1，BAC120，D，D1分別是線段BC，B1C1的中點，P是線段AD的中點圖4313(1)在平面ABC內(nèi)，試作出過點P與平面A1BC平行的直線l，說明理由，并證明直線l平面ADD1A1；(2)設(shè)(1)中的直線l交AB于點M，交AC于點N，求二面角AA1MN的余弦值【解】(1)如圖(1)，在平面ABC內(nèi)，過點P作直線lBC，因為l在平面A1BC外，BC在平面A1BC內(nèi)，由直線與平面平行的判定定理可知，l平面A1BC.因為ABAC，

9、D是BC的中點，所以BCAD，則直線lAD.因為AA1平面ABC，所以AA1l.又因為AD，AA1在平面ADD1A1內(nèi)，且AD與AA1相交，所以直線l平面ADD1A1.(1)(2)設(shè)A1A1，則ABAC2.如圖，過點A1作A1E平行于C1B1，以點A1為坐標(biāo)原點，分別以，的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz(點O與點A1重合 )，則A1(0,0,0)，A(0,0,1)(2)因為P為AD的中點，所以M，N分別為AB，AC的中點，故M，N，所以，(0,0,1)，(，0,0)設(shè)平面AA1M的一個法向量為n1(x1，y1，z1)，則即故有從而取x11，則y1，所以n1(1，0)設(shè)

10、平面A1MN的一個法向量為n2(x2，y2，z2)，則即故有從而取y22，則z21，所以n2(0,2，1)設(shè)二面角AA1MN的平面角為，又為銳角，則cos .故二面角AA1MN的余弦值為.11(2013濟南模擬)已知四邊形ABCD是菱形，BAD60，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF平面ABCD，G、H分別是CE、CF的中點圖4314(1)求證：平面AEF平面BDGH.(2)若平面BDGH與平面ABCD所成的角為60，求直線CF與平面BDGH所成的角的正弦值【解】(1)G、H分別是CE、CF的中點，所以EFGH.連接AC與BD交與O，因為四邊形ABCD是菱形，所以O(shè)是AC的中點，連接OG，OG是三角形ACE的中位線，OGAE.又EFAEE，GHOGG，則平面AEF平面BDGH.(2)BFBD，平面BDEF平面ABCD，所以BF平面ABCD.取EF的中點N，連接ON，則ONBF，ON平面ABCD，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所