蘇科版八下第九章《中心對稱圖形——平行四邊形》尖子生提優(yōu)訓(xùn)練（一）（有答案）

1、八下第九章中心對稱圖形平行四邊形尖子生提優(yōu)訓(xùn)練（一） 班級：_姓名：_ 得分：_一、選擇題1. 在邊長為5的正方形ABCD中，以A為一個頂點，另外兩個頂點在正方形ABCD的邊上，且含邊長為3的所有大小不同的等腰三角形的個數(shù)為()A. 3B. 4C. 5D. 62. 如圖，正方形ABCD的邊長為定值，E是邊CD上的動點(不與點C，D重合)，AE交對角線BD于點F，F(xiàn)GAE交BC于點G，GHBD于點H.現(xiàn)給出下列命題：AF=FG；FH的長度為定值.則() A. 是真命題，是真命題B. 是真命題，是假命題C. 是假命題，是真命題D. 是假命題，是假命題3. 如圖，E，F(xiàn)，M分別是正方形ABCD三邊的

2、中點，CE與DF交于N，連接AM，AN，MN.對于下列四個結(jié)論：AM/CE；CEDF；AN=BC；AND=CMN.其中正確的是A. B. C. D. 4. 如圖，已知菱形OABC的兩個頂點O(0,0)，B(2,2)，若將菱形繞點O以每秒45的速度逆時針旋轉(zhuǎn)，則第2018秒時，菱形兩對角線交點D的縱坐標(biāo)為() A. 2B. 2C. 1D. 15. 如圖所示，點P是正方形ABCD的邊BC延長線上任意一點，PQBC于點P，且PC=PQ.若AB=2，則BDQ的面積為A. 22B. 2C. 2D. 326. 如果要證明平行四邊形ABCD為正方形，那么我們需要在四邊形ABCD是平行四邊形的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步證

3、明()A. AB=AD且ACBDB. AB=AD且AC=BDC. A=B且AC=BDD. AC和BD互相垂直平分7. 如圖，已知AOBC的頂點O(0,0)，A(1,3)，點B在x軸的正半軸上，按以下步驟作圖：以點O為圓心、適當(dāng)長度為半徑作弧，分別交OA、OB于點D，E；分別以點D，E為圓心、大于12DE的長為半徑作弧，兩弧在AOB內(nèi)交于點F；作射線OF，交邊AC于點G.則點G的坐標(biāo)為()A. (10,3)B. (101,3)C. (410,3)D. (103,3)8. 如圖，將兩張長為9，寬為3的矩形紙條交叉，使重疊部分是一個菱形，容易知道當(dāng)兩張紙條垂直時，菱形的面積有最小值9，那么菱形面積的

4、最大值是() A. 27B. 13.5C. 20D. 15二、填空題9. 如圖，菱形ABCD的面積為120cm2，正方形AECF的面積為50cm2，則菱形的邊長為_cm 10. 如圖，將正方形ABCD繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到正方形ABCD，旋轉(zhuǎn)角為(0180)，連接BD、CD，若BD=CD，則=_11. 如圖，在長方形ABCD中，按以下步驟作圖：分別以點A和C為圓心，以大于12AC的長為半徑作弧，兩弧相交于點M和N；作直線MN交CD于點E.若DE=3，CE=5，則AD的長為_12. 在正方形ABCD中，E在BC上，BE=2，CE=1，P是BD上的動點，則PE+PC的最小值是_13. 如圖，AB

5、C，C=90，AC=BC=a，在ABC中截出一個正方形A1B1C1D1，使點A1，D1分別在AC，BC邊上，邊B1C1在AB邊上；在BC1D1再截出第二個正方形A2B2C2D2，使點A2，D2分別在BC1，D1C1邊上，邊B2C2在BD1邊上；，依此方法作下去，則第n個正方形的邊長為_14. 如圖，將兩張長為8，寬為2的矩形紙條交叉，使重疊部分是一個菱形，容易知道當(dāng)兩張紙條垂直時，菱形的周長有最小值8，那么菱形周長的最大值是_15. 動手操作：在矩形紙片ABCD中，AB=3，AD=5.如圖所示，折疊紙片，使點A落在BC邊上的點A處，折痕為PQ.當(dāng)點A在BC邊上移動時，折痕的端點P、Q也隨之移動

6、若限定點P、Q分別在AB、AD邊上移動，則點A在BC邊上可移動的最大距離為16. 如圖，已知：矩形ABCD中，AC，BD相交于點O，AE平分BAD，若EAO=15，則BOE的度數(shù)為_17. 如圖，在一張長為8cm，寬為6cm的矩形紙片上，現(xiàn)要剪下一個腰長為5cm的等腰三角形要求：等腰三角形的一個頂點與矩形的一個頂點重合，其余的兩個頂點在矩形的邊上則剪下的等腰三角形的面積為_cm2。三、解答題18. 如圖1，在ABC中，AB=BC=5，AC=6.延長BC到D，使得CD=BC，以AC、CD為鄰邊作平行四邊形ACDE，連接BE交AC于點O(1)求證：四邊形ABCE為菱形；(2)如圖2，點P是線段BC

7、上一動點(不與點B、C重合)，設(shè)BP=x.連接PO并延長，延長線交線段AE于點Q.四邊形PQED的面積是否隨點P的運(yùn)動而發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，求出四邊形PQED的面積； 當(dāng)x為何值時，POC為等腰三角形？19. 如圖，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，點P從點D出發(fā)向點A運(yùn)動，運(yùn)動到點A即停止；同時點Q從點B出發(fā)向點C運(yùn)動，運(yùn)動到點C即停止點P、Q的速度的速度都是1cm/s，連結(jié)PQ，AQ，CP，設(shè)點P、Q運(yùn)動的時間為t(s)(1)當(dāng)t為何值時，四邊形ABQP是矩形？(2)當(dāng)t為何值時，四邊形AQCP是菱形？(3)分別求出(2)中菱形AQCP的周長和面積20. 在邊

8、長為8的菱形ABCD中，動點M從點A出發(fā)，沿著折線ABC的路線向終點C運(yùn)動，連接DM交AC于點N，連接BN.記點M運(yùn)動所經(jīng)過的路程為x。(1)如圖1，若ABC=60，當(dāng)點M在AB邊上運(yùn)動時 求證：ABNADN；若BCM的面積為S(S0)，求S與x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出自變量x的取值范圍；若Q是AD中點，P為AC上一動點，求PQ+PD的最小值。(2)如圖2，若ABC=90，在整個運(yùn)動過程中，求使得AND為等腰三角形時x的值21. 如圖，在邊長為1的正方形ABCD中，E是邊CD的中點，點P是邊AD上一點(與點A、D不重合)，射線PE與BC的延長線交于點Q (1)求證：；(2)過點E作EF/BC交

9、PB于點F，連接AF，當(dāng)PB=PQ時，求證：AF/PE；請判斷四邊形AFEP是否為菱形，并說明理由22. 如圖1，在ABCD和GBEF中，頂點B是它們的公共頂點，ABC=GBE=60，AB=BE=4，BC=BG=23+2【特例感悟】(1)當(dāng)頂點F與頂點D重合時(如圖1)，AD與BG相交于點M，BC與ED相交于點N，求證：四邊形BMDN是菱形；【探索論證】(2)如圖2，當(dāng)GBC=30時，四邊形GCFD是什么特殊四邊形？試證明你的結(jié)論；【拓展應(yīng)用】(3)試探究：當(dāng)GBC等于多少度時，以點C，G，D，F(xiàn)為頂點的四邊形是矩形？請給予證明答案和解析1. C 解：滿足條件的所有圖形如圖所示：因為和大小一樣

10、，和大小一樣，所以大小不同的等腰三角形的個數(shù)5個 2. A (1)證明：連接CF，在正方形ABCD中，AB=BC，ABF=CBF=45，在ABF和CBF中，AB=BCABF=CBF=45BF=BF，ABFCBF(SAS)，AF=CF，BAF=BCF，F(xiàn)GAE，在四邊形ABGF中，BAF+BGF=3609090=180，又BGF+CGF=180，BAF=CGF，CGF=BCF CF=FG，AF=FG；(2)連接AC交BD于O四邊形ABCD是正方形，HGBD，AOF=FHG=90，OAF+AFO=90，GFH+AFO=90，OAF=GFH，F(xiàn)A=FG，AOFFHG，F(xiàn)H=OA=定值，故正確 3.

11、A 四邊形ABCD是正方形，AB=BC=CD=AD，ADC=DCB=ABC=DAB=90，AB=BC=CD=AD，在DCF和ECB中，DC=CBDCB=CBECF=BE，DCFCBE，CDF=ECB，CDF+DCN=ECB+DCN=90，CEDF，故正確MC=AE，MC/AE，四邊形AECM為平行四邊形，AM/CE，故正確若AND=NMC，則AND=NMC=2MND，MND=30，NMC=60，這個顯然不可能，故錯誤如圖，DFEC，DFAM，MC=MD，DM=MN，DG=NG，AM是線段AN的垂直平分線，AD=AN，AN=BC.故正確綜上所述正確 4. C 解：菱形OABC的頂點O(0,0)，

12、B(2,2)，得D點坐標(biāo)為(1,1).每秒旋轉(zhuǎn)45，則第60秒時，得452018360=252.25周，OD旋轉(zhuǎn)了252周外加0.25周，即由當(dāng)前位置再逆時針旋轉(zhuǎn)90度，菱形的對角線交點D的坐標(biāo)為(1,1)， 5. B 解：由圖可知，SBCD+S梯形CDQPSBPQ=SBDQ，設(shè)PC=PQ=a，SBDQ=1222+12a(a+2)12a(a+2)=2， 6. B 解：A、根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，或者對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，所以不能判斷平行四邊形ABCD是正方形；B、根據(jù)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，對角線相等的平行四邊形為矩形，所以能判斷四邊形ABCD是正方形；C、

13、一組鄰角相等的平行四邊形是矩形，對角線相等的平行四邊形也是矩形，即只能證明四邊形ABCD是矩形，不能判斷四邊形ABCD是正方形；D、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，所以不能判斷四邊形ABCD是正方形 7. B 解：AOBC的頂點O(0,0)，A(1,3)，AH=1，HO=3，RtAOH中，AO=10，由題可得，OF平分AOB，AOG=EOG，又AG/OE，AGO=EOG，AGO=AOG，AG=AO=10，HG=101，G(101,3)， 8. D 解：如圖，此時菱形ABCD的面積最大設(shè)AB=x，EB=9x，AE=3，則由勾股定理得到：32+(9x)2=x2

14、，解得x=5，S最大=53=15； 9. 13【解析】【分析】本題主要考查正方形、菱形的知識，解答本題的關(guān)鍵是知道正方形、菱形面積的計算方法，先求出AC=250=10cm，BD=212010=24cm，然后再求菱形的邊長【解答】解：因為正方形AECF的面積為50cm2，所以AC=250=10cm，因為菱形ABCD的面積為120cm2，所以BD=212010=24cm，所以菱形的邊長=(102)2+(242)2=13cm 10. 60 解：作DHBC于H，交AD于G，如圖，正方形ABCD繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到正方形ABCD，旋轉(zhuǎn)角為，AD=AD，DAD=，BD=CD，BH=CH，四邊形ABCD

15、為正方形，AG=DG，在RtADG中，AG=12AD=12AD，ADG=30，DAG=60，即=60 11. 4 解：由作法得MN垂直平分AC，連接AE，則EA=EC=5，在RtADE中，AD=AE2DE2=5232=4 12. 13 解：如圖，連接AE，交BD于P，此時PA+PC=PE+PC的值最小，四邊形ABCD是正方形，A、C關(guān)于BD對稱，PC=PA，PE+PC=PE+PA=AE，BE=2，CE=1，AB=BC=2+1=3，AE=AB2+BE2=32+22=13，PE+PC的最小值是13， 13. (23)na 解：設(shè)正方形A1B1C1D1的邊長為x，CA1D1和AA1B1都是等腰直角三

16、角形，A1C=22x，AA1=2x，22x+2x=a，解得x=23a，即第1個正方形的邊長為23a，設(shè)正方形A2B2C2D2的邊長為y，C2D1D2和C1A2D2都是等腰直角三角形，C1D2=22y，D1D2=2y，22y+2y=23a，解得y=(23)2a，即第2個正方形的邊長為(23)2a，同理可得第3個正方形的邊長為(23)3a，第n個正方形的邊長為(23)na. 14. 17 解：當(dāng)兩張紙條如圖所示放置時，菱形周長最大，設(shè)這時菱形的邊長為x，在RtABC中，由勾股定理：x2=(8x)2+22，解得：x=174，4x=17，即菱形的最大周長為17 15. 2 解：當(dāng)折痕PQ的Q點與點D重

17、合時，A點到點B距離最近，如圖，由對折可得AD=AD=5，矩形ABCD，BD=AD=5，CD=AB=3，C=90，在RtACD中，由勾股定理得AC=AD2CD2=5232=4，AB=BDAC=54=1，當(dāng)折痕PQ的P點與點B重合時，A點到點B距離最遠(yuǎn)，如圖2，由對折可得AB=AB=3，點A在BC邊上可移動的最大距離=31=2 16. 75 解：在矩形ABCD中，AE平分BAD，BAE=EAD=45，又知EAO=15，OAB=60，OA=OB，BOA為等邊三角形，BA=BO，BAE=45，ABC=90，BAE為等腰直角三角形，BA=BEBE=BO，EBO=30，BOE=BEO，此時BOE=75

18、17. 252或56或10 解：分三種情況計算：(1)當(dāng)AE=AF=5厘米時，SAEF=12AEAF=1255=252厘米2；(2)當(dāng)AE=EF=5厘米時，如圖BF=EF3BE3=5212=26厘米，SAEF=12AEBF=12526=56厘米2；(3)當(dāng)AE=EF=5厘米時，如圖DF=EF2DE2=5232=4厘米，SAEF=12AEDF=1254=10厘米2； 18. 解：(1)四邊形ABCE是菱形，證明如下：平行四邊形ACDE中，AE/CD，且AE=CD，AE/BC，且AE=BC，四邊形ABCE是平行四邊形，又AB=BC，四邊形ABCE是菱形(2)四邊形PQED的面積不發(fā)生變化，理由如下

19、：由菱形的對稱性知，PBOQEO，SPBO=SQEO，ECD是由ABC平移得到得，ED/AC，ED=AC=6，又BEAC，BEED，S四邊形PQED=SQEO+S四邊形POED=SPBO+S四邊形POED=SBED=12BEED=1286=24當(dāng)CO=CP時，x=2，當(dāng)OP=OC時x=710，當(dāng)PO=PC時，x=2.5 19. 解：(1)當(dāng)四邊形ABQP是矩形時，BQ=AP，即：t=8t，解得t=4答：當(dāng)t=4時，四邊形ABQP是矩形；(2)設(shè)t秒后，四邊形AQCP是菱形當(dāng)AQ=CQ，即42+t2=8t時，四邊形AQCP為菱形解得：t=3答：當(dāng)t=3時，四邊形AQCP是菱形；(3)當(dāng)t=3時，

20、CQ=5，則周長為：4CQ=20cm，面積為：4821234=20(cm2). 20. 解：(1)如圖：四邊形ABCD是菱形，AB=AD，1=2，又AN=AN，ABNADN；如圖：作CEAB，垂足為E，ABC=60，AB=BC=8，ABC是等邊三角形，CEAB，CE=8242=43，AM=x，BM=8x，S=12BMCE=12438x=23x+163，08x8，0x8；連接BQ，作BFAD，垂足為F，BQ交AC于P，連接DP，B，D關(guān)于AC對稱，DP=BP，DP+PQ=PQ+BP=BQ，則BQ的長度即為PD+PQ的最小值，BC/AD，ABC=BAF=60，BFAD，F(xiàn)=90，ABF=30，AF

21、=12AB=4,BF=AB2AF2=43，Q是AD的中點，AQ=4，QF=8，BQ=BF2+QF2=47; (2)ABC=90，菱形ABCD是正方形，CAD=45；如圖：下面分三種情形：()若ND=NA，則ADN=NAD=45，此時，點M恰好與點B重合，得x=6；()若DN=DA，則DNA=DAN=45，此時，點M恰好與點C重合，得x=12；()若AN=AD=6，則1=2，AD/BC，1=4，又2=3，3=4，CM=CN，AC=62 CM=CN=ACAN=626，則x=12CM=12626=1862綜上所述：當(dāng)x=6或12或1862時，AND是等腰三角形 21. 解：(1)證明：四邊形ABCD

22、是正方形，D=ECQ=90E是CD的中點，DE=CE，(2)證明：PB=PQ，PBQ=Q，AD/BC，APB=PBQ=Q=EPD，PE=QEEF/BQ，PFE=PBQ=Q=PEF，PE=PF，PE=12PQ=12PBPF=BF在RtPAB中，AF=PF=BF，APF=PAF，PAF=EPD，AF/PE四邊形AFEP不是菱形理由：EF/BQ/AD，AF/PE，四邊形AFEP是平行四邊形設(shè)AP=x，則PD=1x，若四邊形AFEP是菱形，則PE=PA=x，CD=1，E是CD中點，DE=12在RtPDE中，由PD2+DE2=PE2得1x2+122=x2，解得x=58PD=158=38由題可得：PE=EF=PF，PEF是等邊三角形PEF=60，PED=30在RtPDE中，PD=12PE=51638四邊形AFEP不能是菱形 22. 解：(1)證明：BG/DE，DM/BC，四邊形BMDN是平行四邊形，在ABM和DGM中，A=G,AMB=GMD,AB=DG, ABMGDM，BM=DM，四邊形BMDN是