04第四章幾個(gè)初等函數(shù)的性質(zhì)【講義】

1、第四章 幾個(gè)初等函數(shù)的性質(zhì)一、基礎(chǔ)知識(shí)1指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)：形如y=ax(a0, a1)的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其定義域?yàn)镽，值域?yàn)椋?，+），當(dāng)0a1時(shí)，y=ax為增函數(shù)，它的圖象恒過定點(diǎn)（0，1）。2分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：。3對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)：形如y=logax(a0, a1)的函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其定義域?yàn)椋?，+），值域?yàn)镽，圖象過定點(diǎn)（1，0）。當(dāng)0a1時(shí)，y=logax為增函數(shù)。4對(duì)數(shù)的性質(zhì)（M0, N0）；1）ax=Mx=logaM(a0, a1)；2）loga(MN)= loga M+ loga N；3）loga（）= loga M- loga N；4）loga Mn=n loga M；，5）l

2、oga =loga M；6）aloga M=M; 7) loga b=(a,b,c0, a, c1).5. 函數(shù)y=x+（a0）的單調(diào)遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間為和。（請讀者自己用定義證明）6連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：若ab, f(x)在a, b上連續(xù)，且f(a)f(b)0.【證明】 設(shè)f(x)=(b+c)x+bc+1 (x(-1, 1)，則f(x)是關(guān)于x的一次函數(shù)。所以要證原不等式成立，只需證f(-1)0且f(1)0（因?yàn)?1a0，f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)0，所以f(a)0，即ab+bc+ca+10.例2 （柯西不等式）若a1, a2,an是不全為0的實(shí)數(shù)，b1, b2,bn

3、R，則（）（）()2，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)存在R，使ai=, i=1, 2, , n時(shí)成立。【證明】 令f(x)= （）x2-2()x+=,因?yàn)?，且對(duì)任意xR, f(x)0，所以=4()-4（）()0.展開得（）()()2。等號(hào)成立等價(jià)于f(x)=0有實(shí)根，即存在，使ai=, i=1, 2, , n。例3 設(shè)x, yR+, x+y=c, c為常數(shù)且c(0, 2，求u=的最小值?！窘狻縰=xy+xy+2=xy+2.令xy=t，則0t=xy,設(shè)f(t)=t+,0t因?yàn)?c2，所以01.又abc，且a, b, c為70的正約數(shù)，所以只有a=2, b=5, c=7.所以a+b=c.例6 已知x1, ac1,

4、 a1, c1. 且logax+logcx=2logbx，求證c2=(ac)logab.【證明】 由題設(shè)logax+logcx=2logbx，化為以a為底的對(duì)數(shù)，得，因?yàn)閍c0, ac1，所以logab=logacc2，所以c2=(ac)logab.注：指數(shù)與對(duì)數(shù)式互化，取對(duì)數(shù)，換元，換底公式往往是解題的橋梁。3指數(shù)與對(duì)數(shù)方程的解法。解此類方程的主要思想是通過指對(duì)數(shù)的運(yùn)算和換元等進(jìn)行化簡求解。值得注意的是函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用和未知數(shù)范圍的討論。例7 解方程：3x+4 x +5 x =6 x.【解】 方程可化為=1。設(shè)f(x)= , 則f(x)在(-,+)上是減函數(shù)，因?yàn)閒(3)=1，所以方程只有一

5、個(gè)解x=3.例8 例9 已知a0, a1，試求使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的k的取值范圍?！窘狻坑蓪?duì)數(shù)性質(zhì)知，原方程的解x應(yīng)滿足.若、同時(shí)成立，則必成立，故只需解. 由可得2kx=a(1+k2)， 當(dāng)k=0時(shí)，無解；當(dāng)k0時(shí)，的解是x=，代入得k.若k1，所以k0，則k21，所以0k1.綜上，當(dāng)k(-,-1) (0, 1)時(shí)，原方程有解。三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題1命題p: “(log23)x-(log53)x(log23)-y-(log53)-y”是命題q:“x+y0”的_條件。2如果x1是方程x+lgx=27的根，x2是方程x+10x=27的根，則x1+x2=_.3已知f(

6、x)是定義在R上的增函數(shù)，點(diǎn)A（-1，1），B（1，3）在它的圖象上，y=f-1(x)是它的反函數(shù)，則不等式|f-1(log2x)|1的解集為_。4若log2a0，則a 取值范圍是_。5命題p: 函數(shù)y=log2在2，+）上是增函數(shù)；命題q: 函數(shù)y=log2(ax2-4x+1)的值域?yàn)镽，則p是q的_條件。6若0b0且a1，比較大小：|loga(1-b)|_|loga(1+b).7已知f(x)=2+log3x, x1, 3，則函數(shù)y=f(x)2+f(x2)的值域?yàn)開。8若x=，則與x最接近的整數(shù)是_。9函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是_。10函數(shù)f(x)=的值域?yàn)開。11設(shè)f(x)=lg1+2x+3 x

7、 +(n-1) x +n xa，其中n為給定正整數(shù), n2, aR.若f(x)在x(-,1時(shí)有意義，求a的取值范圍。12當(dāng)a為何值時(shí)，方程=2有一解，二解，無解？四、高考水平訓(xùn)練題1函數(shù)f(x)=+lg(x2-1)的定義域是_.2已知不等式x2-logmx0在x時(shí)恒成立，則m的取值范圍是_.3若xx|log2x=2-x，則x2, x, 1從大到小排列是_.4. 若f(x)=ln，則使f(a)+f(b)=_.5. 命題p: 函數(shù)y=log2在2，+）上是增函數(shù)；命題q：函數(shù)y=log2(ax2-4x+1)的值域?yàn)镽，則p是q的_條件.6若0b0且a1，比較大?。簗loga(1-b)| _|log

8、a(1+b)|.7已知f(x)=2+log3x, x1, 3，則函數(shù)y=f(x)2+f(x2)的值域?yàn)開.8若x=，則與x最接近的整數(shù)是_.9函數(shù)y=的單調(diào)遞增區(qū)間是_.10函數(shù)f(x)=的值域?yàn)開.11設(shè)f(x)=lg1+2x+3 x +(n-1) x +n xa，其中n為給定正整數(shù)，n2,aR。若f(x) 在x(-,1時(shí)有意義，求a的取值范圍。12當(dāng)a為何值時(shí)，方程=2有一解，二解，無解？四、高考水平訓(xùn)練題1函數(shù)f(x)=+lg(x2-1)的定義域是_.2已知不等式x2-logmx10, y10, xy=1000，則(lgx)(lgy)的取值范圍是_.7若方程lg(kx)=2lg(x+1)

9、只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_.8函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)镽，若關(guān)于x的方程f2(x)+bf(x)+c=0有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則b, c應(yīng)滿足的充要條件是_.（1）b0；（2）b0且c0；（3）b0且c=0；（4）b0且c=0。9已知f(x)=x, F(x)=f(x+t)-f(x-t)(t0)，則F(x)是_函數(shù)（填奇偶性）.10已知f(x)=lg，若=1，=2，其中|a|1, |b|1，則f(a)+f(b)=_.11設(shè)aR，試討論關(guān)于x的方程lg(x-1)+lg(3-x)=lg(a-x)的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)。12設(shè)f(x)=|lgx|，實(shí)數(shù)a, b滿足0ab, f(a)=f(b)=2f，求

10、證：（1）a4+2a2-4a+1=0, b4-4b3+2b2+1=0；（2）3b0且a1, f(x)=loga(x+)(x1)，（1）求f(x)的反函數(shù)f-1(x)；（2）若f-1(n) x1 x2 x30，都有l(wèi)og1993+ log1993+ log1993 klog1993恒成立，則k的最大值為_.3實(shí)數(shù)x, y滿足4x2-5xy+4y2=5，設(shè)S=x2+y2，則的值為_.4已知0b1, 000的解集為_.9已知a1, b1，且lg(a+b)=lga+lgb，求lg(a-1)+lg(b-1).10（1）試畫出由方程所確定的函數(shù)y=f(x)圖象。（2）若函數(shù)y=ax+與y=f(x)的圖象恰

11、有一個(gè)公共點(diǎn)，求a的取值范圍。11對(duì)于任意nN+(n1)，試證明：+=log2n+log3n+lognn。六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題1設(shè)x, y, zR+且x+y+z=1，求u=的最小值。2當(dāng)a為何值時(shí)，不等式loglog5(x2+ax+6)+loga30有且只有一個(gè)解（a1且a1）。3f(x)是定義在（1，+）上且在（1，+）中取值的函數(shù)，滿足條件；對(duì)于任何x, y1及u, v0, f(xuyv)f(x)f(y)都成立，試確定所有這樣的函數(shù)f(x).4. 求所有函數(shù)f：RR，使得xf(x)-yf(x)=(x-y)f(x+y)成立。5設(shè)m14是一個(gè)整數(shù)，函數(shù)f：NN定義如下：f(n)=,求出所有的m,使得f(1995)=1995.6求定義在有理數(shù)集上且滿足下列條件的所有函數(shù)f:f(x+y)=f(x)+f(y)+f(x)f(y)