量子力學期末考試題解答題

1、1. 你認為Bohr的量子理論有哪些成功之處？有哪些不成功的地方？試舉一例說明。(簡述波爾的原子理論，為什么說玻爾的原子理論是半經(jīng)典半量子的？)答：Bohr理論中核心的思想有兩條：一是原子具有能量不連續(xù)的定態(tài)的概念；二是兩個定態(tài)之間的量子躍遷的概念及頻率條件。首先，Bohr的量子理論雖然能成功的說明氫原子光譜的規(guī)律性，但對于復雜原子光譜，甚至對于氦原子光譜，Bohr理論就遇到了極大的困難（這里有些困難是人們尚未認識到電子的自旋問題），對于光譜學中的譜線的相對強度這個問題，在Bohr理論中雖然借助于對應原理得到了一些有價值的結(jié)果，但不能提供系統(tǒng)解決它的辦法；其次，Bohr理論只能處理簡單的周期運

2、動，而不能處理非束縛態(tài)問題，例如：散射；再其次，從理論體系上來看，Bohr理論提出的原子能量不連續(xù)概念和角動量量子化條件等，與經(jīng)典力學不相容的，多少帶有人為的性質(zhì)，并未從根本上解決不連續(xù)性的本質(zhì)。2. 什么是光電效應？光電效應有什么規(guī)律？愛因斯坦是如何解釋光電效應的？答：當一定頻率的光照射到金屬上時，有大量電子從金屬表面逸出的現(xiàn)象稱為光電效應；光電效應的規(guī)律：a.對于一定的金屬材料做成的電極，有一個確定的臨界頻率，當照射光頻率時，無論光的強度有多大，不會觀測到光電子從電極上逸出；b.每個光電子的能量只與照射光的頻率有關，而與光強無關；c.當入射光頻率時，不管光多微弱，只要光一照，幾乎立刻觀測到

3、光電子。愛因斯坦認為：(1)電磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那樣散布在空間中，所以電子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以對應弛豫時間應很短，是瞬間完成的。(2)所有同頻率光子具有相同能量，光強則對應于光子的數(shù)目，光強越大，光子數(shù)目越多，所以遏止電壓與光強無關，飽和電流與光強成正比。(3)光子能量與其頻率成正比，頻率越高，對應光子能量越大，所以光電效應也容易發(fā)生，光子能量小于逸出功時，則無法激發(fā)光電子。3簡述量子力學中的態(tài)疊加原理，它反映了什么？答：對于一般情況，如果和是體系的可能狀態(tài)，那么它們的線性疊加：（是復數(shù)）也是這個體系的一個可能狀態(tài)。這就是量子力學中的態(tài)疊加原理。態(tài)疊加原理的

4、含義表示當粒子處于態(tài)和的線性疊加態(tài)時，粒子是既處于態(tài)，又處于態(tài)。它反映了微觀粒子的波粒二象性矛盾的統(tǒng)一。量子力學中這種態(tài)的疊加導致在疊加態(tài)下觀測結(jié)果的不確定性。4. 什么是定態(tài)？定態(tài)有什么性質(zhì)？答：體系處于某個波函數(shù)所描寫的狀態(tài)時，能量具有確定值。這種狀態(tài)稱為定態(tài)。定態(tài)的性質(zhì)：（1）粒子在空間中的概率密度及概率流密度不隨時間變化；（2）任何力學量（不顯含時間）的平均值不隨時間變化；（3）任何力學量（不顯含時間）取各種可能測量值的概率分布也不隨時間變化。5. 簡述力學量與力學量算符的關系？答：算符是指作用在一個波函數(shù)上得出另一個函數(shù)的運算符號。量子力學中采用算符來表示微觀粒子的力學量。如果量子力

5、學中的力學量F在經(jīng)典力學中有相應的力學量，則表示這個力學量的算符由經(jīng)典表示式中將換為算符而得出的，即：。量子力學中的一個基本假定：如果算符表示力學量F，那么當體系處于的本征態(tài)時，力學量F有確定值，這個值就是在中的本征值。6.經(jīng)典波和量子力學中的幾率波有什么本質(zhì)區(qū)別？答：1）經(jīng)典波描述某物理量在空間分布的周期性變化，而幾率波描述微觀粒子某力學量的幾率分布；（2）經(jīng)典波的波幅增大一倍，相應波動能量為原來的四倍，變成另一狀態(tài)，而微觀粒子在空間出現(xiàn)的幾率只決定于波函數(shù)在空間各點的相對強度，幾率波的波幅增大一倍不影響粒子在空間出現(xiàn)的幾率，即將波函數(shù)乘上一個常數(shù)，所描述的粒子狀態(tài)并不改變；7. 能量的本征

6、態(tài)的疊加一定還是能量本征態(tài)。答：不一定，如果，對應的能量本征值相等，則還是能量的本征態(tài)，否則，如果，對應的能量本征值不相等，則不是能量的本征態(tài)8.什么是表象？不同表象之間的變換是一種什么變換？在不同表象中不變的量有哪些？答：量子力學中態(tài)和力學量的具體表示方式稱為表象。不同表象之間的變換是一種幺正變換。在不同表象中不變的量有：算符的本征值，矩陣的跡即矩陣對角元素的和。9. 簡述量子力學的五個基本假設。答：（1）微觀體系的狀態(tài)被一個波函數(shù)完全描述，從這個波函數(shù)可以得出體系的所有性質(zhì)。波函數(shù)一般應滿足連續(xù)性、有限性和單值性三個條件；（2）力學量用厄密算符表示。如果在經(jīng)典力學中有相應的力學量，則在量子

7、力學中表示這個力學量的算符，由經(jīng)典表示中的將動量換為算符得出。表示力學量的算符具有組成完全系的本征函數(shù)。（3）將體系的狀態(tài)波函數(shù)用算符的本征函數(shù)展開：，則在態(tài)中測量力學量F得到結(jié)果為的幾率為，得到結(jié)果在范圍內(nèi)的幾率是；（4）體系的狀態(tài)波函數(shù)滿足薛定諤方程：，是體系的哈密頓算符。（5）在全同粒子組成的體系中，兩全同粒子相互調(diào)換不改變體系的狀態(tài)（全同性原理）。10.波函數(shù)歸一化的含義是什么？歸一化隨時間變化嗎？答：粒子既不產(chǎn)生也不湮滅。根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，在任何時刻，粒子一定在空間出現(xiàn)，所以在整個空間中發(fā)現(xiàn)粒子是必然事件，概率論中認為必然事件的概率等于1。因而粒子在整個空間中出現(xiàn)的概率即對整個空

8、間的積分應該等于1.即式中積分表示對整個空間積分。這個條件我們稱為歸一化條件。滿足歸一化條件的波函數(shù)稱為歸一化波函數(shù)。波函數(shù)一旦歸一化，歸一化常數(shù)將不隨時間變化。11.量子化是不是量子力學特有的效應？經(jīng)典物理中是否有量子化現(xiàn)象？答： 所謂量子化，就是指某個力學量可取數(shù)值具有離散譜。一般來說，這不是量子力學的特有效應。經(jīng)典物理中，例如聲音中的泛音，無線電中的諧波都是頻率具有離散譜。經(jīng)典波在束縛態(tài)形成駐波時，頻率也是量子化的，但經(jīng)典波的頻率量子化并不對應能量量子化。有時量子化用了專指能量量子化，在這種意義上它就是量子力學特有的效應。12.什么是算符的本征值和本征函數(shù)？它們有什么物理意義？答：含有算

9、符的方程稱為的本質(zhì)方程，為的一個本質(zhì)值。而則為的屬于本征值的本征函數(shù)。 如果算符多代表一個力學量，上述概念的物理意義如下：當體系處于的本征態(tài)時，測量F的數(shù)值時確定的，恒等于。當體系處于任意態(tài)時，單次測量F的值必等于它的本征值之一。13.算符運算與一般代數(shù)運算有什么異同之處？答：（1）相同點:都滿足加法運算中的加法交換律和加法結(jié)合律。（2）不同點：a.算符乘積一般不滿足代數(shù)乘法運算的交換律，即；b.算符乘積定義，運算次序由后至前，不能隨意變換。14.什么是束縛態(tài)和定態(tài)？束縛態(tài)是否必為定態(tài)？定態(tài)是否必為束縛態(tài)？答：定態(tài)是概率密度和概率流密度不隨時間變化的狀態(tài)。若勢場恒定，則體系可以處于定態(tài)。當粒子

10、被外力（勢場）束縛于特定的空間區(qū)域內(nèi)，及在無窮處波函數(shù)等于零的態(tài)叫做束縛態(tài)。束縛態(tài)是離散的。例如一維諧振子就屬于束縛定態(tài)，具有量子化能級。但束縛態(tài)不一定是定態(tài)。例如限制在一維箱子中的粒子，最一般的可能態(tài)是以一系列分立的定態(tài)疊加而成的波包。這種疊加是沒有確定值的非定態(tài)。雖然一般情況下定態(tài)多屬束縛態(tài)，當定態(tài)也可能有非束縛態(tài)。15.（1）在量子力學中，能不能同時用粒子坐標和動量的確定值來描寫粒子的量子狀態(tài)？（2）將描寫的體系量子狀態(tài)波函數(shù)乘上一個常數(shù)后，所描寫的體系量子狀態(tài)是否改變？（3）歸一化波函數(shù)是否可以含有任意相因子（是實常數(shù)）？（4）已知F為一個算符，當F滿足如下的兩式時，a. ,b. ,問

11、何為厄米算符，何為幺正算符？（5）證明厄米算符的本征值為實數(shù)。量子力學中表示力學量的算符是不是都是厄米算符？答：（1）不能；因為在量子力學中，粒子具有波粒二象性，粒子的坐標和動量不可能同時具有確定值。（2）不改變；根據(jù)Born對波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，描寫體系量子狀態(tài)的波函數(shù)是概率波，由于粒子必定要在空間中的某一點出現(xiàn)，所以粒子在空間各點出現(xiàn)的概率總和等于1，因而粒子在空間各點出現(xiàn)概率只決定于波函數(shù)在空間各點的相對強度。（3）可以；因為，如果對整個空間積分等于1，則對整個空間積分也等于1.即用任意相因子（是實常數(shù)）去乘以波函數(shù)，既不影響體系的量子狀態(tài)，也不影響波函數(shù)的歸一化。（4）滿足關系式a的為厄

12、密算符，滿足關系式b的為幺正算符；（5）證明：以表示F的本征值，表示所屬的本征函數(shù)，則因為F是厄密算符，于是有，由此可得，即為實數(shù)。16.薛定諤方程應該滿足哪些條件？答：（1）它必須是波函數(shù)應滿足的含有對時間微商的微分方程；（2）方程是線性的，即如果和都是方程的姐，那么和的線性疊加也是方程的解，這是因為根據(jù)態(tài)疊加原理，如果和是體系的可能狀態(tài)，那么它們的線性疊加：（是復數(shù)）也是這個體系的一個可能狀態(tài)；（3）這個方程的系數(shù)不應該包含狀態(tài)的參量，如動量、能量等，因為方程的系數(shù)如含有狀態(tài)的參量，則方程只能被粒子的部分狀態(tài)所滿足，而不能被各種的狀態(tài)所滿足。17. 量子力學中的力學量用什么算符表示？為什么

13、？力學量算符在自身表象中的矩陣是什么形式？答：量子力學中表示力學量的算符都是厄密算符。因為所有力學量的數(shù)值都是實數(shù)，既然表示力學量的算符的本征值是這個力學量的可能值，因而表示力學量的算符，它的本征值必須是實數(shù)。力學量算符在自身表象中的矩陣是一個對角矩陣。18.簡述力學量算符的性質(zhì)？答：（1）實數(shù)性：厄密算符的本征值和平均值皆為實數(shù)；（2）正交性：屬于不同本征值的本征態(tài)彼此正交。即；（3）完備性：力學量算符的本征態(tài)的全體構(gòu)成一完備集，即。19.在什么情況下兩個算符相互對易？答：如果兩個算符和有一組共同本征函數(shù)，而且組成完全系，則算符和對易。20.請寫出測不準關系?答：設算符和的對易關系為：，則測

14、不準關系式為：，如果不為零，則和的均方偏差不會同時為零，它們的乘積要大于一正數(shù)。21.量子力學中的守恒量是如何定義的？守恒量有什么性質(zhì)？量子力學中的守恒量和經(jīng)典力學的守恒量定義有什么不同，并舉例說明？答：量子力學中不顯含時間，且其算符與體系的哈密頓算符對易的力學量稱為守恒量；量子體系的守恒量，無論在什么態(tài)下，平均值和概率分布都不隨時間改變；量子力學中的守恒量與經(jīng)典力學中的守恒量概念不相同，實質(zhì)上是不確定度關系的反映。a.量子體系的守恒量并不一定取確定值，及體系的狀態(tài)并不一定就是某個守恒量的本征態(tài)。如對于自由粒子，動量是守恒量，但自由粒子的狀態(tài)并不一定是動量的本征態(tài)（平面波），在一般情況下是一個

15、波包；b.量子體系的各守恒量并不一定都可以同時取確定值。例如中心力場中的粒子，的三個分量都守恒，但由于不對易，一般說來它們并不能同時取確定值（角動量的態(tài)除外）。22.定態(tài)微擾理論的適用范圍和適用條件是什么？答：適用范圍：求分立能級及所屬波函數(shù)的修正；適用條件是：。23.什么是自發(fā)躍遷？什么是受激躍遷？答：在不受外界影響的情況下，體系由高能級躍遷到低能級，這種躍遷稱為自發(fā)躍遷；體系在外界（如輻射場）作用下，由低能級躍遷到高能級，這種躍遷稱為受激躍遷。24.什么是嚴格禁戒躍遷？角量子數(shù)和磁量子數(shù)的選擇定則是什么？答：如果在任何級近似中躍遷幾率均為零，這這種躍遷稱為嚴格禁戒躍遷。角量子數(shù)和磁量子數(shù)的

16、選擇定則是：。25. 誰提出了電子自旋的假設？表明電子有自旋的實驗事實有哪些？自旋有什么特征？答：烏倫貝克和高斯密特提出了電子自旋的假設。他們主要根據(jù)的兩個實驗事實是：堿金屬光譜的雙線結(jié)構(gòu)和反常的Zeeman效應。他們假設的主要內(nèi)容為：a.每個電子具有自旋角動量，它在空間任何方向上的投影只能是兩個數(shù)值：；b.每個電子具有自旋磁矩，它和它的自旋角動量的關系式是：，式中是電子的電荷，是電子的質(zhì)量。表明電子有自旋的實驗事實：斯特恩-蓋拉赫實驗。其現(xiàn)象：K射出的處于S態(tài)的氫原子束通過狹縫BB和不均勻磁場，最后射到照相片PP上，實驗結(jié)果是照片上出現(xiàn)兩條分立線。解釋：氫原子具有磁矩，設沿Z方向：；如在空間

17、可取任何方向， 應連續(xù)變化，照片上應是一連續(xù)帶，但實驗結(jié)果只有兩條, 說明 是空間量子化的，只有兩個取向 ，對S 態(tài) , ,沒軌道角動量，所以原子所具有的磁矩是電子固有磁矩，即自旋磁矩。自旋的特點：（1）電子具有自旋角動量這一特點純粹是量子特性，它不可能用經(jīng)典力學來解釋。它是電子的本身的內(nèi)稟屬性，標志了電子還有一個新自由度。（2）電子自旋與其它力學量的根本區(qū)別為，一般力學量可表示為坐標和動量的函數(shù)，自旋角動量與電子坐標和動量無關，不能表示為 ，它是電子內(nèi)部狀態(tài)的表征，是一個新的自由度。（3）電子自旋值是 ， 而不是的整數(shù)倍。（4）， 而 兩者在差一倍。自旋角動量也具有其它角動量的共性，即滿足同

18、樣的對易關系：。 它是個內(nèi)稟的物理量，不能用坐標、動量、時間等變量表示； 它完全是一種量子效應，沒有經(jīng)典對應量。也就是說，當時，自旋效應消失。 它是角動量，滿足角動量最一般的對應關系。而且電子自旋在空間任何方向上的投影只取兩個值。26. 什么是斯塔克效應？答：當原子置于外電場中，它發(fā)射的光譜線將發(fā)生分裂，這稱為Stark效應。27. 什么是光譜的精細結(jié)構(gòu)？產(chǎn)生精細結(jié)構(gòu)的原因是什么？考慮精細結(jié)構(gòu)后能級的簡并度是多少？答：由于電子自旋與軌道角動量耦合，是原來簡并的能級分裂成幾條差別很小的能級，稱為光譜的精細結(jié)構(gòu)；當n和l給定后，j 可以取，即具有相同的量子數(shù)n，l的能級有兩個，它們的差別很小，這就

19、是產(chǎn)生精細結(jié)構(gòu)的原因?？紤]精細結(jié)構(gòu)后能級的簡并度為28. 什么是塞曼效應？什么是反常的塞曼效應？對簡單塞曼效應，沒有外磁場時的一條譜線在外磁場中分裂為幾條？答：把原子（光源）置于強磁場中，原子發(fā)出的每條光譜線都分裂為三條，我們把這稱為正常的塞曼效應。而反常的塞曼效應是指在弱磁場中原子光譜線的復雜分裂（分裂成偶條數(shù)）。對簡單塞曼效應，沒有外磁場時的一條譜線在外磁場中分裂為三條。29什么是全同性原理和泡利不相容原理？答：全同性原理：由全同粒子所組成的體系中，兩全同粒子相互代換不引起物理狀態(tài)的改變。描寫全同粒子體系狀態(tài)的波函數(shù)只能是對稱的或反對稱的，它們的對稱性不隨時間改變。泡利不相容原理：不能有兩

20、個或兩個以上的費米子處于同一狀態(tài)。30.寫出泡利矩陣的形式及其對易關系。請用泡利矩陣定義電子的自旋算符，并驗證它們滿足角動量對易關系。 答：泡利矩陣：；對易關系為：；自旋算符；對易關系為。驗證過程如下：即：31.請寫出兩個電子體系的波函數(shù)。答：按空間態(tài)和自旋態(tài)組合可有四種反對稱態(tài)：；其中；。32.請簡述微擾論的基本思想。答：將復雜的體系的哈密頓量 分成 與 兩部分。 是可求出精確解的，而 可看成 的微擾。只需將精確解加上由微擾引起的各級修正量，逐級迭代，逐級逼近，就可得到接近問題真實的近似解。確定 時，先確定 ，再用 確定 。33. 什么是玻色子和費米子？答：由電子，質(zhì)子，中子這些自旋為 的粒

21、子以及自旋為 的奇數(shù)倍的粒子組成的全同粒子體系的波函數(shù)是反對稱的，這類粒子服從費米(Fermi)狄拉克 (Dirac) 統(tǒng)計，稱為費米子，由光子（自旋為1）以及其它自旋為零，或 整數(shù)倍的粒子所組成的全同粒子體系的波函數(shù)是對稱的，這類粒子服從玻色(Bose)愛因斯坦統(tǒng)計，稱為玻色子。34.什么是隧道效應？請舉例說明隧道效應的應用。答：粒子在其能量小于勢壘高度時，仍然會有部分粒子穿過勢壘的現(xiàn)象叫隧道效應，又叫隧穿效應。隧道效應的應用：1.掃描隧道顯微鏡（STM）是電子隧道效應的重要應用之一。掃描隧道顯微鏡可以顯示表面原子臺階和原子排布的表面三維圖案。在表面物理、材料科學和生命科學等諸多領域中，掃描

22、隧道顯微鏡都能提供十分有價值的信息。2.隧道二極管是一種利用隧道效應的半導體器件，也是隧道效應的重要應用之一。由于隧道效應而使其伏安特性曲線出現(xiàn)負陽區(qū)，因而隧道二級管具有高頻、低噪聲的特點。隧道二級管是低頻放大器、低頻噪聲振蕩器和超高速開關電路中的重要器件。35. 厄米算符具有哪些性質(zhì)？厄米算符的平均值、本征值、本征函數(shù)具有哪些性質(zhì)？答：厄米算符具有下列性質(zhì)：a.兩厄米算符之和仍為厄米算符；b.當且僅當兩厄米算符 和 對易時，它們之積才為厄米算符。因為。只有在時，才有，即仍為厄米算符；c.無論厄米算符、是否對易，算符及 必為厄米算符，因為 ；d.任何算符總可分解為。令 、，則和均為厄米算符。厄米算符的平均值、本征值、本征函數(shù)具有下列性質(zhì)：厄米算符的平均值是實數(shù)；在任何狀態(tài)下平均值均為實數(shù)的算符必為厄米算符；厄米算符的本征值為實數(shù)。厄米算符在本征態(tài)中的平均值就是本征值。厄米算符屬于不同本征值的本征函數(shù)正交；厄米算符的簡并的本征函數(shù)可以經(jīng)過重新組合后使它正交歸一化；厄米算符的本征函數(shù)系具有完備性；厄米算符的本征函數(shù)系具有封閉型。36. 簡單討論一下相對論情形和非相對論情形下的德布洛意關系式。答：對于非相對論情形：,;相對