離散數(shù)學(xué)第四章PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1 離散數(shù)學(xué)第四章離散數(shù)學(xué)第四章 2 代數(shù)結(jié)構(gòu)是以研究數(shù)字、文字和更一般元素的運(yùn)算代數(shù)結(jié)構(gòu)是以研究數(shù)字、文字和更一般元素的運(yùn)算 的規(guī)律和由這些運(yùn)算適合的公理而定義的各種數(shù)學(xué)的規(guī)律和由這些運(yùn)算適合的公理而定義的各種數(shù)學(xué) 結(jié)構(gòu)的性質(zhì)為中心問(wèn)題。它對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)如撲拓學(xué)、結(jié)構(gòu)的性質(zhì)為中心問(wèn)題。它對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)如撲拓學(xué)、 泛函分析等以及一些其他科學(xué)領(lǐng)域，如計(jì)算機(jī)科學(xué)泛函分析等以及一些其他科學(xué)領(lǐng)域，如計(jì)算機(jī)科學(xué) 、編碼理論等，都有重要影響和廣泛地應(yīng)用。、編碼理論等，都有重要影響和廣泛地應(yīng)用。 第1頁(yè)/共32頁(yè) 3 第2頁(yè)/共32頁(yè) 4 第3頁(yè)/共32頁(yè) 5 例例1 (1) 自然數(shù)集合自然數(shù)集合N上的加法和

2、乘法是上的加法和乘法是N上的二元運(yùn)算，但減法和除法不是上的二元運(yùn)算，但減法和除法不是 (2) 整數(shù)集合整數(shù)集合Z上的加法、減法和乘法都是上的加法、減法和乘法都是Z上的二元運(yùn)算，而除法不是上的二元運(yùn)算，而除法不是 (3) 非零實(shí)數(shù)集非零實(shí)數(shù)集R*上的乘法和除法都是上的乘法和除法都是R*上的二元運(yùn)算，而加法和減法不是上的二元運(yùn)算，而加法和減法不是 第4頁(yè)/共32頁(yè) 6 n 上的二元運(yùn)算. n(5) S為任意集合，則、 為P(S)上二元運(yùn)算. n(6) SS為S上的所有函數(shù)的集合， 則合成運(yùn)算為SS上二元運(yùn)算. njiRa aaa aaa aaa RM ij nnnn n n n ,.,2 , 1,

3、)( 21 22221 11211 第5頁(yè)/共32頁(yè) 7 第6頁(yè)/共32頁(yè) 8 2表示二元或一元運(yùn)算的方法表示二元或一元運(yùn)算的方法: 解析公式和運(yùn)算表公式表示解析公式和運(yùn)算表公式表示 例例 設(shè)設(shè)R為實(shí)數(shù)集合，如下定義為實(shí)數(shù)集合，如下定義R上的二元運(yùn)算上的二元運(yùn)算 ： x, yR, x y = x. 那么那么 3 4 = 3， 0.5 ( 3) = 0.5 第7頁(yè)/共32頁(yè) 9 運(yùn)算表：表示有窮集上的一元和二元運(yùn)算運(yùn)算表：表示有窮集上的一元和二元運(yùn)算 運(yùn)算表運(yùn)算表 二元運(yùn)算的運(yùn)算表二元運(yùn)算的運(yùn)算表 一元運(yùn)算的運(yùn)算表一元運(yùn)算的運(yùn)算表 第8頁(yè)/共32頁(yè) 10 例例3 設(shè)設(shè) S=P(a,b)，S上的上

4、的 和和 運(yùn)算運(yùn)算的運(yùn)算表如下的運(yùn)算表如下: 運(yùn)算表的實(shí)例運(yùn)算表的實(shí)例 第9頁(yè)/共32頁(yè) 11 . 第10頁(yè)/共32頁(yè) 12 定義定義4.4 設(shè)設(shè) 和和 為為S上兩個(gè)不同的二元運(yùn)算上兩個(gè)不同的二元運(yùn)算, (1) 若對(duì)任意若對(duì)任意x,y,zS有有 (x y) z=(x z) (y z)，z (x y)=(z x) (z y), 則稱則稱 運(yùn)算對(duì)運(yùn)算對(duì) 運(yùn)算滿足運(yùn)算滿足分配律分配律. (2) 若若 和和 都可交換都可交換,且對(duì)任意且對(duì)任意x,yS有有 x (x y)=x，x (x y)=x, 則稱則稱 和和 運(yùn)算滿足運(yùn)算滿足吸收律吸收律. 第11頁(yè)/共32頁(yè) 13 集合集合運(yùn)算運(yùn)算交換律交換律結(jié)合

5、律結(jié)合律冪等律冪等律 Z,Q,R普通加法普通加法+ 普通乘法普通乘法 有有 有有 有有 有有 無(wú)無(wú) 無(wú)無(wú) Mn(R)矩陣加法矩陣加法+ 矩陣乘法矩陣乘法 有有 無(wú)無(wú) 有有 有有 無(wú)無(wú) 無(wú)無(wú) P(B)并并 交交 相對(duì)補(bǔ)相對(duì)補(bǔ) 對(duì)稱差對(duì)稱差 有有 有有 無(wú)無(wú) 有有 有有 有有 無(wú)無(wú) 有有 有有 有有 無(wú)無(wú) 無(wú)無(wú) AA函數(shù)復(fù)合函數(shù)復(fù)合 無(wú)無(wú)有有無(wú)無(wú) 第12頁(yè)/共32頁(yè) 14 集合集合 運(yùn)算運(yùn)算分配律分配律吸收律吸收律 Z,Q,R普通加法普通加法+與乘法與乘法 對(duì)對(duì)+可分配可分配 +對(duì)對(duì) 不分配不分配 無(wú)無(wú) Mn(R)矩陣加法矩陣加法+與乘法與乘法 對(duì)對(duì)+可分配可分配 +對(duì)對(duì) 不分配不分配 無(wú)無(wú) P(

6、B)并并 與交與交 對(duì)對(duì) 可分配可分配 對(duì)對(duì) 可分配可分配 有有 交交 與對(duì)稱差與對(duì)稱差 對(duì)對(duì) 可分配可分配無(wú)無(wú) 第13頁(yè)/共32頁(yè) 15 第14頁(yè)/共32頁(yè) 16 第15頁(yè)/共32頁(yè) 17 第16頁(yè)/共32頁(yè) 18 集合集合運(yùn)算運(yùn)算單位元單位元零元零元逆元逆元 Z,Q,R普通加法普通加法+ 普通乘法普通乘法 0 1 無(wú)無(wú) 0 x逆元逆元 x x逆元逆元x 1 (x 1 給定集合給定集合) Mn(R)矩陣加法矩陣加法+ 矩陣乘法矩陣乘法 n階全階全0矩陣矩陣 n階單位矩陣階單位矩陣 無(wú)無(wú) n階全階全0矩陣矩陣 X逆元逆元 X X的逆元的逆元X 1 （X可逆）可逆） P(B)并并 交交 對(duì)稱差對(duì)

7、稱差 B B 無(wú)無(wú) 的逆元為的逆元為 B的逆元為的逆元為B X的逆元為的逆元為X 第17頁(yè)/共32頁(yè) 19 第18頁(yè)/共32頁(yè) 20 第19頁(yè)/共32頁(yè) 21 第20頁(yè)/共32頁(yè) 22 第21頁(yè)/共32頁(yè) 23 第22頁(yè)/共32頁(yè) 24 第23頁(yè)/共32頁(yè) 25 V1V2V3 + 可交換、可結(jié)合可交換、可結(jié)合 可交換、可結(jié)合可交換、可結(jié)合 + 滿足消去律滿足消去律 滿足消去律滿足消去律 對(duì)對(duì) + 可分配可分配 + 對(duì)對(duì) 不可分配不可分配 + 與與 沒(méi)有吸收律沒(méi)有吸收律 + 可交換、可結(jié)合可交換、可結(jié)合 可交換、可結(jié)合可交換、可結(jié)合 + 滿足消去律滿足消去律 不滿足消去律不滿足消去律 對(duì)對(duì) +

8、可分配可分配 + 對(duì)對(duì) 不可分配不可分配 + 與與 沒(méi)有吸收律沒(méi)有吸收律 可交換、可結(jié)合可交換、可結(jié)合 可交換、可結(jié)合可交換、可結(jié)合 不滿足消去律不滿足消去律 不滿足消去律不滿足消去律 對(duì)對(duì)可分配可分配 對(duì)對(duì)可分配可分配 與與滿足吸收律滿足吸收律 運(yùn)算性質(zhì)比較運(yùn)算性質(zhì)比較 第24頁(yè)/共32頁(yè) 26 第25頁(yè)/共32頁(yè) 27 第26頁(yè)/共32頁(yè) 28 (1) 運(yùn)算可交換，可結(jié)合運(yùn)算可交換，可結(jié)合. 任取任取 x, y Q, x y = x+y+2xy = y+x+2yx = y x, 任取任取 x, y, z Q, (x y) z = (x+y+2xy)+z+2(x+y+2xy)z = x+y+

9、z+2xy+2xz+2yz+4xyz x (y z) = x+(y+z+2yz)+2x(y+z+2yz = x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz 解答解答 第27頁(yè)/共32頁(yè) 29 (2) 設(shè)設(shè) 運(yùn)算的單位元和零元分別為運(yùn)算的單位元和零元分別為 e 和和 ，則，則對(duì)于任意對(duì)于任意 x 有有 x e = x 成立，即成立，即 x+e+2xe = x e = 0 由于由于 運(yùn)算可交換，所以運(yùn)算可交換，所以 0 是幺元是幺元. 對(duì)于任意對(duì)于任意 x 有有x = 成立，即成立，即 x+ +2x = x+2x = 0 = 1/2 給定給定 x，設(shè)，設(shè) x 的逆元為的逆元為 y, 則有則有 x y = 0 成立，即成立，即 x+y+2xy = 0 (x 1/2 ) 因此當(dāng)因此當(dāng)x 1/2時(shí)時(shí)， 是是x的逆元的逆元. x x y 21 x x 21 解答解答 第28頁(yè)/共32頁(yè) 30 2下面是三個(gè)運(yùn)算表下面是三個(gè)運(yùn)算表 (1) 說(shuō)明那些運(yùn)算是可交換的、可結(jié)合