離散付里葉變換PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1 離散付里葉變換離散付里葉變換 第1頁/共92頁 1.1 DFT的引入 1.2 傅立葉變換的幾種形式 第2頁/共92頁 E序列分類 EDFT引入 EDFT的重要作用 第3頁/共92頁 無限長序列：n=-或n=0或n=- 0 有限長序列：0nN-1。 1.1 DFT的引入 E序列分類 第4頁/共92頁 1.1 DFT的引入 EDFT的引入 DFT是反映了“有限長”這一特點(diǎn)的一種有 用工具。 由于存在著計(jì)算機(jī)DFT的有效快速算法 FFT，使DFT在各種數(shù)字信號處理的算法中起 著核心的作用。 第5頁/共92頁 1.1 DFT的引入 EDFT的重要作用 DFT是重要的變換 DFT是現(xiàn)代信號處理

2、的橋梁：DFT要解決 兩個(gè)問題：一是離散與量化，二是快速運(yùn)算 。 第6頁/共92頁 0 0 1 ()( ) jkt X kx t edt T G傅立葉級數(shù)(FS) 周期矩形信號波形 傅立葉級數(shù)復(fù)數(shù)譜 0 0 ( )() jkt k x tX ke 時(shí)域：連續(xù)、周期 頻域：非周期、離散 第7頁/共92頁 A傅立葉變換(FT) ()( ) j t X jx t edt 1 ( )() 2 j t x tX jedt 時(shí)域：連續(xù)、非周期 頻域：非周期、連續(xù) 1.2 傅立葉變換的幾種形式 第8頁/共92頁 1 ( )() 2 jj n x nX eed ()( ) jj n k X ex n e 時(shí)域

3、：離散、非周期 頻域：周期、連續(xù) 第9頁/共92頁 時(shí)域：離散、周期 頻域：周期、離散 0 0 0 2 0 1 2 3 )1( )1( 0 N N N N 0 k )( )( 0 kx ex Tjk T f T s s 1 2 0 N s F Tp 2 2 0 x(nT)=x(n) F Tp 1 t 0T 2T 1 2 N NTTp n NT 第10頁/共92頁 時(shí)域頻域 周期 連續(xù) 周期 離散離散 連續(xù) 非周期 非周期 1.2 傅立葉變換的幾種形式 時(shí) 域 和 頻 域 的 對 應(yīng) 關(guān) 系 第11頁/共92頁 第12頁/共92頁 2.1 DFS的推導(dǎo) 推導(dǎo)DFS正變換 推導(dǎo)DFS反變換 DFS

4、的習(xí)慣表示法 的周期性與用Z變換的求法 ( )X k 第13頁/共92頁 2.1.1 推導(dǎo)DFS正變換 ( )x n 0 n DTFT () j X e w 2p2p- () j X e w 2p2p- 頻域 采樣 第14頁/共92頁 2.1.1 推導(dǎo)DFS正變換 1 0 () ( ) N jjn n X eDTFT x nx n e 設(shè)在一個(gè)周期內(nèi)采樣N個(gè)點(diǎn)，則 ，代入上式 2 k N 2 1 2 0 ( )() N jnk j N k n N X kX ex n e 有限長序列x(n)可看作周期序列 在一個(gè)周期N內(nèi)的 值，所以有 ( )x n 2 1 0 ( ) N jnk N n X k

5、x n eDFS x n 第15頁/共92頁 注意： 對于周期信號： F因信號周期重現(xiàn)，所以通常只關(guān)心周期區(qū)間的寬 度，而對區(qū)間的起點(diǎn)則可以根據(jù)需要來定； F周期序列的信息可以用它在一個(gè)周期中的N個(gè)值來 代表； 2.1.1 推導(dǎo)DFS正變換 第16頁/共92頁 2.1.2 推導(dǎo)DFS反變換 ( )( ) IDFS X kx n 2 1 0 1 ( )( ) N jnk N n x nIDFS X kX k e N 第17頁/共92頁 2.1.3 DFS的習(xí)慣表示 2 j N N We 旋轉(zhuǎn)因子 正變換 2 11 00 ( ) NN jnk nk N N nn X kDFS x nx n ex

6、n W 反變換 2 11 00 11 ( )( )( ) NN jnk nk N N nn x nIDFS X kX k eX k W NN 第18頁/共92頁 2.1.4 的周期性與用Z變換的求法 ( )X k ()( )X kmNX k F以N為周期的周期序列 F是Z變換在單位圓上的抽樣，抽樣點(diǎn)在N等 分點(diǎn)上 ZjIm ZRe 1 2 3 4 5 6 7 (N-1) N 2 k=0 第19頁/共92頁 )( )( )( )( 2121 kXbkXanxbnxaDFS 序列移位 調(diào)制性 周期卷積（時(shí)域卷積定理） )( )( )( 2 kXekXWmnxDFS mk N j mk N )( )

7、( )( 2 nxenxWlkXIDFS nl N j nl N )( )( lkXnxWDFS nl N 頻域相乘對應(yīng)于時(shí)域卷積（指周期卷積）。 第20頁/共92頁 )( )( )( 21 kXkXkY 1 1212 0 1 2121 0 ( ) ( ) ( )()( )*( ) ( )()( )*( ) N m N m y nIDFS Y k x m x nmx nx n x m x nmx nx n 時(shí)域： 時(shí)域卷積 頻域 ： 相 乘 時(shí)域卷積 2.2 DFS的性質(zhì) 第21頁/共92頁 12 ( )( )( )y nx nx n 1 1212 0 1 2121 0 ( ) ( ) 11

8、( )()( )*( ) 11 ( )()( )*( ) N l N m Y kDFS y n X l XklX kXk NN Xl X klXkX k NN 時(shí)域： 頻域： 相 乘 周期卷積 2.2 DFS的性質(zhì) 第22頁/共92頁 2.2 DFS的性質(zhì) 周期卷積 12 ( )( )*( )y nx nx n F進(jìn)行卷積的兩個(gè)序列和結(jié)果序列均為周期序列，且 周期均為N； F計(jì)算步驟：反褶、移位、相乘、相加 注意：計(jì)算在主值區(qū)間內(nèi)進(jìn)行 0 1nN ( )x n 設(shè)有限長序列x(n)， ，將其延拓為周期序列01nN 區(qū)間稱為主值區(qū)間; 在 主值區(qū)間內(nèi)的序列稱為主值序列0 1nN 第23頁/共92

9、頁 5 12 0 (0)( )(0) 1 0 1 0 1 0 1 1 0 20 1 1 m yx m xm 5 12 0 (1)( )(1) 1 1 1 0 1 0 1 00 1 0 1 1 m yx m xm N6 第24頁/共92頁 5 12 0 (2)( )(2)1 2 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 3 m yx m xm (4)4y (5)3y 5 12 0 (3)( )(3)1 1 1 2 1 1 1 00 00 04 m yx m xm 第25頁/共92頁 第26頁/共92頁 3.1 DFT的定義 預(yù)備知識 F余數(shù)運(yùn)算表達(dá)式 11 ,01nnmNnN 1 N nn 如果

10、則有n被N除，商為m，余數(shù)為 1 n 725 279225 9,25 9 1 nNn Nn 54 5594 9,4 9 Nn Nn 例如 第27頁/共92頁 3.1 DFT的定義 預(yù)備知識 F有限長序列x(n)和周期序列 的關(guān)系 ( )x n ( )() N m x nx nmNxn 01 0 x nnN x n else ( )( )( ) N x nx n Rn 或 第28頁/共92頁 如： N-1 n x(n) 0 . n )( nx 0N-1 定義從n=0 到（N-1）的第一個(gè)周期為主值序列或區(qū)間。 第29頁/共92頁 F有限長序列X(k)和周期序列 的關(guān)系 ( )X k 預(yù)備知識 (

11、 ) N X kXk ( )( )( ) N X kX k Rk 3.1 DFT的定義 第30頁/共92頁 3.1 DFT的定義 正變換 反變換 1 0 1 0 2 )()()()( N n nk N N n nk N j WnxenxnxDFTkX 1 0 1 0 2 )()( 1 )()( N k nk N N k nk N j WkXekX N kXIDFTnx 第31頁/共92頁 第32頁/共92頁 0 1nN ( )x n 設(shè)有限長序列x(n)， ，將其延拓為周期序列01nN 區(qū)間稱為主值區(qū)間; 在 主值區(qū)間內(nèi)的序列稱為主值序列0 1nN 3.2 DFT涉及的基本概念 第33頁/共9

12、2頁 )()()(nRmnxnx NNm 其中(.)N表示N點(diǎn)周期延拓. ()( ) mk N DFT x nmWX k 3.2 DFT涉及的基本概念 第34頁/共92頁 移 位 3.2 DFT涉及的基本概念 第35頁/共92頁 n )(nx 0N-1 移 位 3.2 DFT涉及的基本概念 原始序列 第36頁/共92頁 n N nxnx)()( 0 周期延拓 n Nnxnx2)2( 0 左移2 第37頁/共92頁 n )()2(nRnx NN 0 取主值 N-1 移 位 3.2 DFT涉及的基本概念 第38頁/共92頁 第39頁/共92頁 3.2 DFT涉及的基本概念 第40頁/共92頁 m

13、m mnxmx mnxmxnxnxny )()( )()()(*)()( 12 2121 注意:結(jié)果序列長度為N1+N2-1 卷 積 第41頁/共92頁 的非零區(qū)間為 的非零區(qū)間為 兩不等式相加得 ，也就是 不為零的區(qū)間 )( 1 mx10 1 Nm )( 2 mx 10 2 Nmn 20 21 NNn( ) l y n )( 1 nx 1 012 n )( 2 nx 1 012 n 3 G線性卷積 12 ( )( )*( ) l y nx nx n 計(jì)算 卷 積 例如： 第42頁/共92頁 m )( 2 mx -1-2-3 111)0( l y m )1 ( 2 mx 21111) 1 (

14、l y m )2( 2 mx 3111111)2( l y )( 1 mx 1 012 m G線性卷積 第43頁/共92頁 m )3( 2 mx 3111111)3( l y n )(nyl 21 0 1)5(, 2)4( ll yy同樣 3 1 4 5 2 3 3 2 1 )( 1 mx 1 012 m G線性卷積 第44頁/共92頁 11 1 1 ( )01 ( ) 01 x nnN x n NnN 22 2 2 ( )01 ( ) 01 xnnN xn NnN 1 11 1221 00 ( )( ) ( )()( ) () NN NN mm y nx n N x m xnmx m xnm

15、 卷 積 2( ) x n 第45頁/共92頁 反褶循環(huán)移位相乘相加 第46頁/共92頁 A循環(huán)卷積 )( 1 nx 1 012 n )( 2 nx 1 012 n 3 計(jì)算 N7 卷 積 第47頁/共92頁 時(shí)域循環(huán)卷積過程 1、補(bǔ)零 第48頁/共92頁 2、周期延拓 時(shí)域循環(huán)卷積過程 先翻摺再延拓， 與先延拓再翻摺 結(jié)果相同 第49頁/共92頁 3、反褶 時(shí)域循環(huán)卷積過程 第50頁/共92頁 4、移位 第51頁/共92頁 6 1277 0 6 1277 0 6 1277 0 12 (0)( )(0) ( ) 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 (1)( )(1) (

16、 ) 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 12 (2)( )(2) ( ) 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 3 (3)( )( m m m yx m xmR m yx m xmR m yx m xmR m yx m x 6 77 0 (3) ( ) 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 03 (4)2 (5) 1 (6)0 m mR m y y y 5、相乘，相加 第52頁/共92頁 最終結(jié)果 第53頁/共92頁 卷 積 圓周卷積圓周卷積線性卷積線性卷積 是針對是針對FFT引出的引出的 一種一種表示方法表示方法 信號通過線性系統(tǒng)時(shí)，信號輸信

17、號通過線性系統(tǒng)時(shí)，信號輸 出等于出等于輸入與系統(tǒng)單位沖激響輸入與系統(tǒng)單位沖激響 應(yīng)的卷積應(yīng)的卷積 兩序列長度必須兩序列長度必須相等相等， 不等時(shí)按要求不等時(shí)按要求補(bǔ)足零值點(diǎn)補(bǔ)足零值點(diǎn)。 兩序列長度可以兩序列長度可以不等不等。 如如x1(n)為為 N1點(diǎn)，點(diǎn)，x2(n)為為 N2點(diǎn)點(diǎn) 卷積結(jié)果長度與兩信號長度卷積結(jié)果長度與兩信號長度 相等皆為相等皆為N 卷積結(jié)果長度為卷積結(jié)果長度為N=N1+N2-1 3.2 DFT涉及的基本概念 第54頁/共92頁 I用循環(huán)卷積計(jì)算線性卷積 卷 積 循環(huán)卷積是線性卷積的周期延拓序列的主值序列！ ( )( )( )()( ) LlL r y ny n R ny n

18、rlR n 1 0 21 )()( L m LL mnxmxny r l r L m r L m L m L rlny mrLnxmx mrLnxmxmnxmxny )( )()( )()()()( 1 0 21 2 1 0 1 1 0 21 第55頁/共92頁 I用循環(huán)卷積計(jì)算線性卷積 卷 積 1( ) x n 212 ( )( )( )x nx nx n 12 1LNN 3.2 DFT涉及的基本概念 第56頁/共92頁 3.2 DFT涉及的基本概念 第57頁/共92頁 對 稱 3.2 DFT涉及的基本概念 第58頁/共92頁 1、x(n)與-x(-n)互稱為奇對稱 2、滿足xo(n)=-x

19、o(-n)的序列xo(n)稱為奇對稱序列 3、x(n) 與 x(-n) 互稱為偶對稱 3.2 DFT涉及的基本概念 G序列的對稱性 對 稱 第59頁/共92頁 0 xe(n) n 0 x(n) n0 y(n)=x(-n) n x(n)與y(n) 互為偶對 稱 為偶對稱序列 0 x(n) n 0 x(-n) n 互為奇對稱 0 xo(n) n 為奇對稱序列 第60頁/共92頁 1、長度為N的有限長序列x(n)與y(n)=-x(-n)NRN(n)互為圓 周奇對稱。 2、長度為N的有限長序列x(n)若滿足x(n)=-x(-n)NRN(n) 則x(n)是圓周奇對稱序列。 圓周奇對稱 x(n) y(n)

20、=-x(-n)NRN(n) x(n)與y(n)互為圓周奇對稱 圓周奇對稱序列 x(n) 第61頁/共92頁 3、長度為N的有限長序列 x(n)與y(n)=x(-n)NRN(n) 互為 圓周偶對稱。 圓周偶對稱(序列) 周期延拓 G序列的對稱性 對 稱 第62頁/共92頁 在n=N處補(bǔ)上與n=0處相同的序列值： (1)如果此新的序列對n=N/2是偶對稱，則原序列 一定為圓周偶對稱序列。 (2)如果此新的序列對n=N/2是奇對稱，則原序列 一定為圓周奇對稱序列。 (b)圓周奇對稱(序列)和圓周偶對稱(序列) G序列的對稱性 對 稱 第63頁/共92頁 3、序列x(n)與y(n)若滿足y(n)=-x

21、*(-n)則互為共軛反對稱 4、共軛反對稱序列：若一序列x(n)滿足xo(n)=-x*o(-n) , 稱此序列為共軛反對稱序列. 對于實(shí)序列來說，即為 xo(n)=-xo(-n)奇對稱序列。 G序列的對稱性 對 稱 第64頁/共92頁 G序列的對稱性 對 稱 第65頁/共92頁 虛部 實(shí)部 實(shí)部圓周偶對稱,虛部圓周奇對稱 第66頁/共92頁 G序列的對稱性 對 稱 (d)圓周共軛對稱(序列)和圓周共軛反對稱(序列) 第67頁/共92頁 實(shí)部圓周奇對稱,虛部圓周偶對稱 實(shí) 部 虛 部 第68頁/共92頁 對 稱 第69頁/共92頁 1 ( ) ( )() 2 1 ( ) ( )() 2 o e

22、xnx nxn xnx nxn ( )( )( ) oe x nx nx n ( )( ) ( )( ) o e xnx n x nx n 為的奇對稱分量, 為的偶對稱分量。 奇對稱 序列 偶對稱 序列 1. 任一序列x(n)（實(shí)或純虛序列），總可以表示成： 2. 一個(gè)序列x(n)，若： 稱： 第70頁/共92頁 1 ( ) ( )() ( ) 2 1 ( ) ( )() ( ) 2 epNNN opNN xnx nxNnRn xnx nxNnRn 其中：xop(n)稱為 x(n)的圓周奇對稱分量; xep(n)稱 為 x(n) 的 圓周偶對稱分量。 ( )( )( ) opep x nxnx

23、n 圓周奇 對稱序 列 圓周偶對 稱序列 并且： 第71頁/共92頁 )()( 2 1 )( )()( 2 1 )( * * nxnxnx nxnxnx e o 看出xo(n) 和xe(n)分別滿足奇對稱和偶對稱的條件， 且二者之和為 x(n)。 ( )( )( ) oe x nx nx n 第72頁/共92頁 )()()( 2 1 )( )()()( 2 1 )( * * nRnNxnxnx nRnNxnxnx NNop NNNep 看出滿足圓周奇對稱和圓周偶對稱的條件，且二者之和 為 x(n)。 其中：xop(n)稱為 x(n)的圓周共軛反對稱分量；xep(n)稱 為x(n)的圓周共軛對稱

24、分量。 2、x(n)是長度為N的有限長序列，可表示為： ( )( )( ) opep x nxnxn 第73頁/共92頁 )()( 11 nxDFTkX 假設(shè)條件 設(shè)x1(n)和x2(n)都是兩個(gè)長度為N的有 限長序列,它們的離散傅立葉變換分別為 )()( 22 nxDFTkX 第74頁/共92頁 )()()()( 2121 kbXkaXnbxnaxDFT 3.3 DFT的性質(zhì) 第75頁/共92頁 G時(shí) 移 A頻 移 )()()( ln nxWkRlkXIDFT NNN ( )( ),()?x nX kx nm? D FS ()( ) m k N x nmWX k - += 11 () 00

25、( ) NN n nk N nl N n k N l n x n Wx nWklWX - = + 輊 = 輊 犏犏 臌臌 + 邋 3.3 DFT的性質(zhì) 第76頁/共92頁 時(shí)域卷積 序列x(n)與y(n)的卷積滿足下面的關(guān)系 D FT ( )( )( )( )x ny nX kY k=? ( )( ),( )( )x nX ky nY k壙 NN D FT ( )( )D FT ( ) D FT ( )x ny nx ny n=? 時(shí)域卷積頻域乘積 頻域乘積時(shí)域卷積 3.3 DFT的性質(zhì) 頻域卷積 1 D FT ( ) ( )( )( )x n y nX kY k N = 第77頁/共92頁

26、3.3 DFT的性質(zhì) 第78頁/共92頁 )()(Im)(Re)(kXnxjnxDFTnxDFT (4) 對稱性質(zhì) 3.3 DFT的性質(zhì) 關(guān)系1: )()()( )()()( * * kNXkRkNX kRkXnxDFT NN NN * ( )( )()DFT x nX kXNk 時(shí)域x(n)取共軛，對應(yīng)于頻域X(k)取圓周共軛對稱。 若x(n)本身是實(shí)序列，對應(yīng)于頻域X(k)就是圓周共軛 對稱序列；反之亦然。 第79頁/共92頁 原序列 序列共軛頻域圓周共軛 第80頁/共92頁 原序列為實(shí)序列，其頻域?yàn)閳A周共軛對稱序列 第81頁/共92頁 共軛與圓周共軛對稱在時(shí)頻域的對應(yīng)關(guān)系 (4) 對稱性質(zhì) 3.3 DFT的性質(zhì) 關(guān)系2: )()(kNXnNxDFT )()()()(kRkNXnRnNxDFT NNNN 時(shí)域x(n)取圓周偶對稱，對應(yīng)于頻域X(k)也取 圓周偶對稱。 若x(n)本身是圓周偶對稱序列，對應(yīng)頻域X(k) 也是圓周偶對稱序列；反之亦然。 第82頁/共9