二項(xiàng)式定理課件

1、二項(xiàng)式定理課件 篇一：二項(xiàng)式定理 二項(xiàng)式定理 n0n1n?1 (a?b)?Ca?Cab?nn1、 rn?rr ?Cnab? nn ?Cnb(n?N?)， 2基本概念： 二項(xiàng)式綻開(kāi)式：右邊的多項(xiàng)式叫做(a?b)n的二項(xiàng)綻開(kāi)式。 r (r?0,1,2,?,n). 二項(xiàng)式系數(shù):綻開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)Cn 項(xiàng)數(shù)：共(r?1)項(xiàng)，是關(guān)于a與b的齊次多項(xiàng)式 rn?rr 通項(xiàng)：綻開(kāi)式中的第r?1項(xiàng)Cnab叫做二項(xiàng)式綻開(kāi)式的通項(xiàng)。用Tr?1?Cna rn?rr b表示。 3留意關(guān)鍵點(diǎn)： 項(xiàng)數(shù)：綻開(kāi)式中總共有(n?1)項(xiàng)。 挨次：留意正確選擇a,b,其挨次不能更改。(a?b)n與(b?a)n是不同的。 指數(shù)：a的指

2、數(shù)從n逐項(xiàng)減到0，是降冪排列。b的指數(shù)從0逐項(xiàng)減到n，是升冪排列。各項(xiàng)的次數(shù)和 等于n. 012rn 系數(shù)：留意正確區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)，二項(xiàng)式系數(shù)依次是Cn,Cn,Cn,?,Cn,?,Cn.項(xiàng)的系數(shù)是a 與b的系數(shù)（包括二項(xiàng)式系數(shù)）。 4常用的結(jié)論： 0122令a?1,b?x, (1?x)n?Cn?Cnx?Cnx?0122令a?1,b?x, (1?x)n?Cn?Cnx?Cnx? rr ?Cnx?rr?Cnx? nn ?Cnx(n?N?) nn?(?1)nCnx(n?N?) 5性質(zhì)： 0nkk?1 二項(xiàng)式系數(shù)的對(duì)稱性：與首末兩端“對(duì)距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即Cn，Cn ?Cn?Cn01

3、2二項(xiàng)式系數(shù)和：令a?b?1,則二項(xiàng)式系數(shù)的和為Cn?Cn?Cn?12 變形式Cn?Cn? r ?Cn? n ?Cn?2n?1。 r ?Cn? n ?Cn?2n， 奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和=偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和： 0123 在二項(xiàng)式定理中，令a?1,b?1，則Cn?Cn?Cn?Cn?0242r13從而得到：Cn?Cn?Cn?Cn?Cn?Cn? n ?(?1)nCn?(1?1)n?0， 2r?1 ?Cn? 1n ?2?2n?1 2 奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和： 0n01n?12n?22 (a?x)n?Cnax?Cnax?Cnax?00n122n?2(x?a)n?Cnax?Cnaxn?1?Cnax

4、? n0n ?Cnax?a0?a1x1?a2x2?nn0?Cnax?anxn? ?anxn ?a2x2?a1x1?a0 令x?1, 則a0?a1?a2?a3令x?1,則a0?a1?a2?a3?得,a0?a2?a4?得,a1?a3?a5 ?an?(a?1)n?an?(a?1)n? (a?1)n?(a?1)n ?an?(奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和) 2 (a?1)n?(a?1)n ?an?(偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和) 2 n2n 二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)：假如二項(xiàng)式的冪指數(shù)n是偶數(shù)時(shí)，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)C取得最大值。假如二項(xiàng)式的冪指數(shù)n是奇數(shù)時(shí)，則中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)C 大值。 系數(shù)的最大項(xiàng)：求(a?bx)n綻開(kāi)式中最大

5、的項(xiàng)，一般采納待定系數(shù)法。設(shè)綻開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)分別 n?12n ,C n?12n 同時(shí)取得最 為A1,A2,?,An?1，設(shè)第r?1項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有? ?Ar?1?Ar ，從而解出r來(lái)。 A?A?r?1r?2 專題一 題型一：二項(xiàng)式定理的逆用； 123 例：Cn?Cn?6?Cn?62? n ?Cn?6n?1? n ?Cn?6n與已知的有一些差距， 0123 解：(1?6)n?Cn?Cn?6?Cn?62?Cn?63? 123 ?Cn?Cn?6?Cn?62? n ?Cn?6n?1? ? 1012 (Cn?Cn?6?Cn?62?6 112n(Cn?6?Cn?62?Cn?6n) 6 11n ?Cn?6n

6、?1)?(1?6)n?1?(7n?1) 66 123 練：Cn?3Cn?9Cn?n ?3n?1Cn? n ，則?3n?1Cn nn012233 ?Cn3?Cn?Cn3?C n3?Cn3? nn ?Cn3?1?(1?3)n?1 123 解：設(shè)Sn?Cn?3Cn?9Cn? 12233 3Sn?Cn3?C n3?Cn3? (1?3)n?14n?1 ?Sn? 33 題型二：利用通項(xiàng)公式求xn的系數(shù)； 例：在二項(xiàng)式n 的綻開(kāi)式中倒數(shù)第3項(xiàng)的系數(shù)為45，求含有x3的項(xiàng)的系數(shù)？ 解：由條件知Cn r10 n?2 2 ?45，即Cn?45，?n2?n?90?0，解得n?9(舍去)或n?10，由 2 3r 10

7、?r2 ?r43 Tr?1?C(x) ? 1 410?r (x)?Cx r10 ? ，由題意? 10?r2 ?r?3,解得r?6， 43 63 則含有x3的項(xiàng)是第7項(xiàng)T6?1?C10x?210x3,系數(shù)為210。 19 )綻開(kāi)式中x9的系數(shù)？ 2x 111r (x2)9?r(?)r?C9rx18?2r(?)rx?r?C9r(?)rx18?3r，令18?3r?9,則r?3 解：Tr?1?C9 2x22132139 故x的系數(shù)為C9(?)?。 22 練：求(x2? 題型三：利用通項(xiàng)公式求常數(shù)項(xiàng)； 例：求二項(xiàng)式(x2? 10的綻開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)？ 解：Tr?1?C(x) r10 210?r r5451

8、r20?5818 ()? ?C()x2，令20?r?0，得r?8，所以T9?C10 222562r r 10 16 )的綻開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)？ 2x 1rr6?rrrr6?r1r6?2r 解：Tr?1?C6(2x)(?1)()?(?1)C62()x，令6?2r?0，得r?3，所以 2x2 練：求二項(xiàng)式(2x? 3 T4?(?1)3C6?20 1n )的二項(xiàng)綻開(kāi)式中第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則n?_. x42n?41442n?12 解：T5?Cn(x)()?Cnx，令2n?12?0，得n?6. x 2 練：若(x? 題型四：利用通項(xiàng)公式，再商量而確定有理數(shù)項(xiàng)； 例：求二項(xiàng)式9綻開(kāi)式中的有理項(xiàng)？ 解：Tr?1?

9、C(x) r9 1 29?r (?x)?(?1)Cx 13r r r9 27?r6 ，令 27?r ?Z,(0?r?9)得r?3或r?9， 6 27?r34 ?4，T4?(?1)3C9x?84x4， 627?r93 ?3，T10?(?1)3C9當(dāng)r?9時(shí)，x?x3。 6 所以當(dāng)r?3時(shí)， 題型五：奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和=偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和； 例：若n綻開(kāi)式中偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)和為?256，求n. 解：設(shè)n綻開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)依次設(shè)為a0,a1,?an, 令x?1,則有a0?a1?an?0,，令x?1,則有a0?a1?a2?a3?(?1)nan?2n, 將-得：2(a1?a3?a5?)?2n,?a1?a3?

10、a5?2n?1, 有題意得，?2n?1?256?28，?n?9。 練：若解： n 的綻開(kāi)式中，全部的奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為1024，求它的中間項(xiàng)。 2r?1 ?Cn?2n?1，?2n?1?1024，解得n?11 0242r13 Cn?Cn?Cn?Cn?Cn?Cn? 61 ?65?4 所以中間兩個(gè)項(xiàng)分別為n?6,n? 7，T5?1?C?462?x，T6?1?462?x15 5n 題型六：最大系數(shù)，最大項(xiàng)； n 例：已知(?2x)，若綻開(kāi)式中第5項(xiàng)，第6項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，求綻開(kāi)式中二項(xiàng)式系 12 數(shù)最大項(xiàng)的系數(shù)是多少？ 解： 465Cn?Cn?2Cn,?n2?21n?98?0,解出n?7

11、或n?14，當(dāng)n?7時(shí)，綻開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大 354134 ,，T5的系數(shù)?C7()2?70,當(dāng)n?14時(shí)，綻開(kāi)式中227177 二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是T8，?T8的系數(shù)?C14()2?3432。 2 343 的項(xiàng)是T4和T5?T4的系數(shù)?C7()2? 12 練：在(a?b)2n的綻開(kāi)式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是多少？ 解：二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)2n，則中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即T2n 2?1 ?Tn?1，也就是第n?1項(xiàng)。 練：在(? x2n 的綻開(kāi)式中，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式最大，則綻開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是多少？ n1 ?1?5，即n?8,所以綻開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為第七項(xiàng)等于C86()2?7 22 解：只有

12、第5項(xiàng)的二項(xiàng)式最大，則 7 例：寫(xiě)出在(a?b)的綻開(kāi)式中，系數(shù)最大的項(xiàng)？系數(shù)最小的項(xiàng)？ 解：由于二項(xiàng)式的冪指數(shù)7是奇數(shù)，所以中間兩項(xiàng)(第4,5項(xiàng))的二項(xiàng)式系數(shù)相等，且同時(shí)取得最大值，從 343434 而有T4?C7ab的系數(shù)最小，T5?C7ab系數(shù)最大。 n 例：若綻開(kāi)式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于79，求(?2x)的綻開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)？ 12 012 解：由Cn?Cn?Cn?79,解出n?12,假設(shè)Tr?1項(xiàng)最大， 11 (?2x)12?()12(1?4x)12 22 rrr?1r?1?Ar?1?Ar?C124?C124 ?rr，化簡(jiǎn)得到9.4?r?10.4，又0?r?12，?r?10，綻開(kāi)

13、式r?1r?1 A?A?r?1r?2?C124?C124 中系數(shù)最大的項(xiàng)為T(mén)11,有T11?()C124x 1 2 12101010 ?16896x10 練：在(1?2x)10的綻開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是多少？ 解：假設(shè)Tr?1項(xiàng)最大，Tr?1?C10?2x rrr?1r?1?Ar?1?Ar?2(11?r)?r?C102?C102 ?rr解得，化簡(jiǎn)得到6.3?k?7.3，又?r?1r?1 ?r?1?2(10?r)?Ar?1?Ar?2?C102?C102, rrr 777 0?r?10，?r?7，綻開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為T(mén)8?C102x?15360x7. 題型七：含有三項(xiàng)變兩項(xiàng)； 例：求當(dāng)(x2?3x

14、?2)5的綻開(kāi)式中x的一次項(xiàng)的系數(shù)？ r 解法：(x2?3x?2)5?(x2?2)?3x5，Tr?1?C5(x2?2)5?r(3x)r，當(dāng)且僅當(dāng)r?1時(shí)，Tr?1的綻開(kāi)式 1144 中才有x的一次項(xiàng)，此時(shí)Tr?1?T2?C5(x2?2)43x，所以x得一次項(xiàng)為C5C423x 144它的系數(shù)為C5C423?240。 05145051455 解法：(x2?3x?2)5?(x?1)5(x?2)5?(C5x?C5x?C5)(C5x?C5x2?C52) 故綻開(kāi)式中含x的項(xiàng)為C5xC52?C5x2?240x，故綻開(kāi)式中x的系數(shù)為240. 練：求式子(x? 45544 1 ?2)3的常數(shù)項(xiàng)？ x 解：(x?

15、 16 ?2)3?，設(shè)第r?1項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，則x6?r r Tr?1?C6(?1)rx ( 1r6?2rr3 ，得6?2r?0,r?3, ?T3?1?(?1)3C6)?(?1)6C6x?20. x 題型八：兩個(gè)二項(xiàng)式相乘； 例：求(1?2x)(1?x)綻開(kāi)式中x的系數(shù). 解： mm (1?2x)3的綻開(kāi)式的通項(xiàng)是C3?(2x)m?C3?2m?xm, nnnn(1?x)4的綻開(kāi)式的通項(xiàng)是Cn,2,3,n?0,1,2,3,4, 4?(?x)?C4?1?x,其中m?0,1 3 4 2 令m?n?2,則m?0且n?2,m?1且n?1,m?2且n?0,因此(1?2x)3(1?x)4 021120的綻開(kāi)式中

16、x2的系數(shù)等于C3?20?C4?(?1)2?C3?21?C4?(?1)1?C3?22?C4?(?1)0?6. 篇二：二項(xiàng)式定理教學(xué)設(shè)計(jì) 二項(xiàng)式定理教學(xué)設(shè)計(jì) 一、教材分析： 1、【教材的地位及作用】“二項(xiàng)式定理”是全日制一般高，結(jié)合新課標(biāo)的理念，制訂如下的教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)重，難點(diǎn)）。 教學(xué)目標(biāo)： 1、學(xué)問(wèn)目標(biāo)：通過(guò)對(duì)二項(xiàng)式定理的學(xué)習(xí)，使同學(xué)理解二項(xiàng)式定理，會(huì)利用二項(xiàng)式定理求二項(xiàng)綻開(kāi)式。并理解和把握二項(xiàng)綻開(kāi)式的規(guī)律，利用它能對(duì)二項(xiàng)式綻開(kāi)，進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算。還會(huì)區(qū)分“系數(shù)”、“二項(xiàng)式系數(shù)”等概念，敏捷正用和逆用綻開(kāi)式。級(jí)中學(xué)教科書(shū)數(shù)學(xué)其次冊(cè)（下A）的第十章第四節(jié)，它既是支配在排列組合內(nèi)容后的自成體系的學(xué)

17、問(wèn)塊，也是學(xué)校學(xué)習(xí)的多項(xiàng)式乘法。它所討論的是一種特別的多項(xiàng)式二項(xiàng)式冪的綻開(kāi)式。它與后面學(xué)習(xí)的概率的二項(xiàng)分布有著內(nèi)在的聯(lián)系，利用二項(xiàng)式定理還可以進(jìn)一步深化對(duì)組合數(shù)的認(rèn)識(shí)。因此，二項(xiàng)式定理起著承上啟下的作用，是本章教學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)。本小節(jié)約需3個(gè)課時(shí)，本節(jié)課是第一課時(shí)。 【同學(xué)狀況分析】授課的對(duì)象是高中二班級(jí)中等程度班級(jí)的同學(xué)。他們具有一般的歸納推理力量，同學(xué)思維也較活躍，但創(chuàng)新思維力量較弱。在學(xué)習(xí)過(guò)程中，大部分同學(xué)只重視定理、公式的結(jié)論，而不重視其形成過(guò)程，因而對(duì)定理、公式不能做到敏捷運(yùn)用，更做不到牢_住。（依據(jù)以上分析 2、力量目標(biāo)：在學(xué) 3、情感目標(biāo)：通過(guò)“二項(xiàng)式定理”的學(xué)習(xí)，培育同學(xué)解決數(shù)學(xué)

18、問(wèn)題的愛(ài)好和信念，讓同學(xué)感受數(shù)學(xué)內(nèi)在的和諧，對(duì)稱美及數(shù)學(xué)符號(hào)應(yīng)用的簡(jiǎn)潔美，進(jìn)一步結(jié)合“楊輝三角”，對(duì)同學(xué)進(jìn)行愛(ài)國(guó)主義訓(xùn)練，激勵(lì)同學(xué)的民族驕傲感和為國(guó)富民強(qiáng)而勤奮學(xué)習(xí)的熱忱，培育同學(xué)勇于探究，勇于創(chuàng)新的精神。 一、教學(xué)重點(diǎn)，難點(diǎn)，關(guān)鍵： 重點(diǎn)： （1）使同學(xué)參加并深刻體會(huì)二項(xiàng)式定理的形成過(guò)程，理解和把握二項(xiàng)綻開(kāi)式的規(guī)律。 （2）利用二項(xiàng)綻開(kāi)式的規(guī)律對(duì)二項(xiàng)式綻開(kāi)，進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算。 （3）區(qū)分“系數(shù)”、“二項(xiàng)式系數(shù)”等概念，敏捷正用和逆用綻開(kāi)式。 難點(diǎn)： （1）二項(xiàng)綻開(kāi)式的規(guī)律的理解和把握。 （2）“二項(xiàng)式系數(shù)”和“系數(shù)”的區(qū)分。 突破難點(diǎn)的關(guān)鍵：（1）利用組合數(shù)及性質(zhì)分析“楊輝三角”中各數(shù)的關(guān)系；

19、 （2）利用組合的學(xué)問(wèn)歸納二項(xiàng)式系數(shù)；（3）充分利用二項(xiàng)綻開(kāi)式的規(guī)律。 二、教法、學(xué)法分析數(shù)學(xué)是一門(mén)培育人的思維進(jìn)展的重要學(xué)科。因此，在教學(xué)中讓同學(xué)自己發(fā)覺(jué)規(guī)律、總結(jié)規(guī)律是最好的途徑。正所謂“學(xué)問(wèn)之道，問(wèn)而得，不如求而得之，深固之?！北竟?jié)課的教法貫穿啟發(fā)式教學(xué)原則以啟發(fā)同學(xué)主動(dòng)學(xué)習(xí)，主動(dòng)探求為主，創(chuàng)設(shè)一個(gè)以同學(xué)為主體，師生互動(dòng)，共同探究的教與學(xué)的情境，采納引導(dǎo)發(fā)覺(jué)法，由同學(xué)熟識(shí)的多項(xiàng)式乘法入手，進(jìn)行分析，也可利用組合的有關(guān)學(xué)問(wèn)加以分析，歸納，通過(guò)對(duì)二項(xiàng)式規(guī)律的探究過(guò)程，培育同學(xué)由特別到一般，經(jīng)過(guò)觀看分析，猜想，歸納（證明）來(lái)解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)思想方法，培育了同學(xué)觀看，聯(lián)想，歸納力量。不僅重視學(xué)問(wèn)的

20、結(jié)果，而且注重了學(xué)問(wèn)的發(fā)生，發(fā)覺(jué)和解決的過(guò)程，貫徹了新課程標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)理念，培育了本節(jié)課內(nèi)容最佳的“學(xué)問(wèn)生長(zhǎng)點(diǎn)”，這對(duì)于同學(xué)建立完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是有主動(dòng)意義的。 三、教學(xué)手段 制作多媒體課件，以增加課堂容量及學(xué)問(wèn)的直觀性，從而提高同學(xué)學(xué)習(xí)的愛(ài)好，使同學(xué)進(jìn)一步加深對(duì)定理，概念的理解。 四、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì) 【復(fù)習(xí)引入：】 復(fù)習(xí)回顧： 提問(wèn)學(xué)校學(xué)過(guò)的完全平方公式是什么？ 你能寫(xiě)出（a+b）3，（a+b）4的綻開(kāi)式嗎？ 設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)復(fù)習(xí)舊學(xué)問(wèn)，自然引入，在這里設(shè)計(jì)了層層遞進(jìn)多項(xiàng)式綻開(kāi)的問(wèn)題，目的是為了讓同學(xué)了解學(xué)問(wèn)發(fā)生，進(jìn)展的過(guò)程，激發(fā)同學(xué)在認(rèn)知的沖突，讓同學(xué)明白二項(xiàng)式綻開(kāi)實(shí)質(zhì)上是多項(xiàng)式的乘法。 思路一：

21、提問(wèn)：（1）以（a+b）2a2+2ab+b2為例，綻開(kāi)式中各項(xiàng)字母的形式是什么？綻開(kāi)式項(xiàng)的系數(shù)又是什么？有幾項(xiàng)？ （2）綻開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)與綻開(kāi)式中各項(xiàng)的次數(shù)有沒(méi)有關(guān)系？ （3）你能猜想（a+b）3、（a+b）4?（a+b）n綻開(kāi)式的形式嗎？觀看下面等式： （a+b）a+b （a+b）2a2+2ab+b2 （a+b）3a3+3a2b+3ab3+b4 （a+b）4a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 【設(shè)計(jì)意圖：】由特別的二項(xiàng)式來(lái)分析猜想一般的二項(xiàng)式綻開(kāi)式，培育同學(xué)由特別到一般的思維方式，培育同學(xué)大膽探究的精神和創(chuàng)新精神。 （1）綻開(kāi)式中各項(xiàng)是冪的形式，可按a（或b）的降冪排成： （2）綻

22、開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的規(guī)律：將上式中綻開(kāi)式的系數(shù)列成表如下： 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 ? 發(fā)覺(jué)： 發(fā)覺(jué)每行兩端都是1，后一行其它各數(shù)是上一行肩上二數(shù)之和。再?gòu)囊粋€(gè)數(shù)等于另二數(shù)之和聯(lián)想到結(jié)合數(shù)及其性質(zhì)：于是各項(xiàng)系數(shù)可寫(xiě)成表中形式：由此猜想 綻開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)： 【設(shè)計(jì)意圖：】同學(xué)對(duì)各項(xiàng)是什么形式不難猜到，但對(duì)二項(xiàng)式系數(shù)不易想到，通過(guò)“楊輝三角”中的數(shù)字規(guī)律，聯(lián)想到組合數(shù)及性質(zhì)，進(jìn)而可用組合數(shù)來(lái)表示表中的數(shù)，從而猜想各項(xiàng)系數(shù)為，讓同學(xué)的思維從特別到一般，由迷茫到大悟，使同學(xué)深深體會(huì)到數(shù)學(xué)內(nèi)在的和諧，對(duì)稱美。在此，適時(shí)對(duì)同學(xué)進(jìn)行愛(ài)國(guó)主義訓(xùn)練，激發(fā)同學(xué)的民族驕傲感和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱

23、忱，思路二：觀看下式： （a+b）4（a+b）（a+b）（a+b）（a+b） 由多項(xiàng)式乘法知，其綻開(kāi)式的每一項(xiàng)是由4個(gè)括號(hào)各取一項(xiàng)相乘而得，故每一項(xiàng)都是形式，即各項(xiàng)系數(shù)是由相同的項(xiàng)合并而成的，有幾項(xiàng)其系數(shù)就是幾，故含a4的項(xiàng)只能由每個(gè)括號(hào)取a不取b（或說(shuō)取0個(gè)b）而得，即C40a4，系數(shù)為：C40含a3b的項(xiàng)只能由3個(gè)括號(hào)取a，余下的1個(gè)括號(hào)取b而得，即C41a3b，系數(shù)為：C41；含a2b2的項(xiàng)只能由2個(gè)括號(hào)取a，余下的2個(gè)括號(hào)取b而得，即C42a2b2，系數(shù)C42為；含的ab3的項(xiàng)只能由1個(gè)括號(hào)取a，余下的3個(gè)括號(hào)取b而得，即C43a3b，系數(shù)為C43，含b4的項(xiàng)只能由4個(gè)括號(hào)都取b而得，

24、即C44b4，系數(shù)為C44；從而可得： （a+b）4a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 提問(wèn)：的綻開(kāi)式怎么寫(xiě)呢？引導(dǎo)同學(xué)回答：可以對(duì)b分類：不取b，得取1個(gè)b，取得2個(gè)b，得?取k個(gè)b，得?取n1個(gè)b，得取n個(gè)b，得將這n+1個(gè)式子相加，可得二項(xiàng)式定理 （a+b）nCn0anb0+ Cn1an-1b1+ Cn2an-2b2+?+ Cnkan-kbk+?+ Cnna0bn（nk,n,kN+） 【設(shè)計(jì)意圖：】本環(huán)節(jié)以問(wèn)題為中心，由淺入深地引導(dǎo)同學(xué)大膽猜想。利用組合學(xué)問(wèn)，充分揭示二項(xiàng)綻開(kāi)式的內(nèi)涵和外延。關(guān)心同學(xué)建構(gòu)和完善自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，既顯得合情合理，又科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)。進(jìn)一步強(qiáng)化同學(xué)的規(guī)律思維力量

25、和歸納力量。 完善結(jié)論：把上述探究得到的結(jié)果叫做二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式，共有 in+1項(xiàng)，其中各項(xiàng)系數(shù)Cn（i=1,2,3?,n）叫做二項(xiàng)式系數(shù)，其通項(xiàng)公式為：Tk+1=C- nkn-kkab（k=1,2,3?n）。說(shuō)明： （1）猜證法是數(shù)學(xué)中常用方法，本定理是由不完全歸納法得出，需加以證明。其證明因目前學(xué)問(wèn)所限，留待以后完成，目前，只要求同學(xué)熟記并會(huì)應(yīng)用。 （2）二項(xiàng)式定理是個(gè)恒等式，定理中字母a,b可表示數(shù)或式，其中式中a與b是用“+”連接的。 （3）綻開(kāi)式共有n+1項(xiàng)，各項(xiàng)次數(shù)為n，它是按字母a降冪，b升冪排列。 （4）通項(xiàng)公式表示的是第k+1項(xiàng)，不是第k項(xiàng)，且a,b位置不能對(duì)換。 （

26、5）二項(xiàng)式系數(shù)為Cnk，留意與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)分。 例如：（1x）3的其次項(xiàng)是C31x，其二項(xiàng)式系數(shù)為： C31，其次項(xiàng)的系數(shù)為：C31。 【設(shè)計(jì)意圖：】對(duì)定理的特點(diǎn)加以說(shuō)明，可使同學(xué)能嫻熟把握定理的特點(diǎn)，以便今后在應(yīng)用定理解決問(wèn)題時(shí)能得心應(yīng)手。 應(yīng)用解析： 1?1?例：（1）綻開(kāi)?1?,?2x? xx?6?5（同學(xué)練習(xí)：）綻開(kāi)（a+b）,a+b） （2）求綻開(kāi)式的第3項(xiàng)（3），求綻開(kāi)式的第3項(xiàng) 【設(shè)計(jì)意圖：】例（1）是對(duì)二項(xiàng)式定理的簡(jiǎn)潔應(yīng)用，目的在于對(duì)定理字母a,b所表示的數(shù)或式的領(lǐng)悟及運(yùn)用定理的力量；例（2），（3）二題著重于同學(xué)對(duì)通項(xiàng)公式的把握，體會(huì)二項(xiàng)式定理的綻開(kāi)式中a與b位置不能對(duì)換，并

27、留意到例 （3）的結(jié)論正是例（2）綻開(kāi)式中的倒數(shù)第3項(xiàng)。應(yīng)用解析：例（4）（a+2b+3c）7ab，的綻開(kāi)式中，a2b3c2項(xiàng)的系數(shù)是多少。 【設(shè)計(jì)意圖：】 本題可先將其中的二項(xiàng)看成一個(gè)整體，再用二項(xiàng)式定理綻開(kāi)，進(jìn)而求出其系數(shù)，這種解法體現(xiàn)了化歸的意識(shí)，但本題如能依據(jù)二項(xiàng)式定理的形成過(guò)程中項(xiàng)的系數(shù)的探究，可得如下解法：從7個(gè)括號(hào)的2個(gè)時(shí)取“a”得，再?gòu)挠嘞碌?個(gè)括號(hào)中的3個(gè)取“2b”得，最終剩下的2個(gè)括號(hào)里取“3c”得：由分步計(jì)數(shù)原理得：通過(guò)本題的學(xué)習(xí)，有利于同學(xué)對(duì)學(xué)問(wèn)的串聯(lián)，累積，加工，使同學(xué)的思維有一個(gè)升華過(guò)程，從而達(dá)到舉一反三的效果，加深同學(xué)對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解。小結(jié)思路一：由特別的二項(xiàng)式來(lái)

28、分析猜想一般的綻開(kāi)式 思路二：依據(jù)多項(xiàng)式乘法，結(jié)合組合學(xué)問(wèn)，通過(guò)猜想歸納得到二項(xiàng)式定理： （a+b）nCn0anb0+ Cn1an-1b1+ Cn2an-2b2+?+ Cnkan-kbk+?+ Cnna0bn（nk,n,kN+） 及通項(xiàng)公式：Tk+1=Cnkan-kbk（k=1,2,3?n） 留意事項(xiàng)（1），留意觀看，分析，猜想，歸納（證明）的數(shù)學(xué)方法。 （b），二項(xiàng)式定理是個(gè)恒等式，定理中字母a,b可表示數(shù)或式，其中。 （c），綻開(kāi)式共有n+1項(xiàng)，各項(xiàng)次數(shù)為n，它是按字母a降冪，b升冪排列。 （d），通項(xiàng)公式表示的是第k+1項(xiàng)，不是第k項(xiàng)，且a,b位置不能對(duì)換。 （e），二項(xiàng)式系數(shù)為Cni（

29、i=1,2,3?n），留意與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)分。 布置作業(yè) 課本作業(yè)：P109 1,(1),2(2),3(2),2，思索題：求的綻開(kāi)式中的系數(shù)，討論性題：的綻開(kāi)式中x的系數(shù)為19，求x2的系數(shù)的最小值及此時(shí)x2綻開(kāi)式中的系數(shù)。 【設(shè)計(jì)意圖：】（1），本節(jié)課從學(xué)問(wèn)上學(xué)習(xí)了二項(xiàng)式定理及通項(xiàng)公式，從方法上通過(guò)二項(xiàng)式定理的形成過(guò)程，學(xué)會(huì)了觀看，分析，猜想，歸納（證明）的數(shù)學(xué)方法，通過(guò)小結(jié)，使同學(xué)對(duì)本節(jié)課的學(xué)問(wèn)脈絡(luò)更加清楚。 （2），通過(guò)作業(yè)鞏固所學(xué)學(xué)問(wèn)，發(fā)覺(jué)和彌補(bǔ)教學(xué)中的疏漏與不足，強(qiáng)化基本技能訓(xùn)練，培育同學(xué)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和品質(zhì)。 五、課后反思 本節(jié)課是二項(xiàng)式定理的第一節(jié)課，在教學(xué)中留意以下幾點(diǎn)： 1，本

30、節(jié)課以“二項(xiàng)式定理”的形成過(guò)程為主線，讓同學(xué)思維由特別到一般，演繹，歸納，得出定理。培育同學(xué)猜想，歸納，整節(jié)課以同學(xué)為主體，師生互動(dòng)，體現(xiàn)了新課標(biāo)的教學(xué)理念。 2，在例題，作業(yè)的配備上，我認(rèn)為高中學(xué)習(xí)的特點(diǎn)是跨度大，思維力量要求高。因此，在題目的設(shè)置上，加大了思維的含量，如例4，讓同學(xué)體會(huì)到二項(xiàng)式定理形成過(guò)程中的思維方式，培育了同學(xué)的學(xué)問(wèn)遷移力量，因此，我認(rèn)為習(xí)題的搭配應(yīng)力求讓同學(xué)處理每一個(gè)問(wèn)題都必需有所思索，使同學(xué)體會(huì)到：數(shù)學(xué)不能生搬硬套，應(yīng)當(dāng)用數(shù)學(xué)的思想方法去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)。 3，以同學(xué)為主體，讓同學(xué)自己去探究，發(fā)覺(jué)，再制造，最能調(diào)動(dòng)同學(xué)的主動(dòng)性，最有利于培育數(shù)學(xué)力量，格外是制造性力量

31、，從數(shù)學(xué)訓(xùn)練對(duì)人的進(jìn)展的意義看，有效理解，主動(dòng)探究的認(rèn)識(shí)過(guò)程必需伴隨著同學(xué)心理意志，情感，品質(zhì)的成長(zhǎng)與完善，數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目標(biāo)并非唯一地指向數(shù)學(xué)具體學(xué)問(wèn)本身，其潛在的也是最重要的恰是指向同學(xué)的人性品質(zhì)，生命成長(zhǎng)。 篇三：二項(xiàng)式定理(教學(xué)設(shè)計(jì)) 二項(xiàng)式定理（教學(xué)設(shè)計(jì)） 杜軍平 橫山中學(xué) 一、教學(xué)目標(biāo) 1.學(xué)問(wèn)目標(biāo)：理解二項(xiàng)式定理及其推導(dǎo)方法，把握二項(xiàng)綻開(kāi)式的基本特征；能應(yīng)用二項(xiàng)式定理求二項(xiàng)綻開(kāi)式，能運(yùn)用綻開(kāi)式中的通項(xiàng)公式求綻開(kāi)式中的特定項(xiàng) 2.過(guò)程與方法：通過(guò)二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)過(guò)程理解從特別到一般的思維方法，培育同學(xué)的觀看歸納力量、抽象思維力量和規(guī)律思維力量 3.情感目標(biāo)：通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，進(jìn)一步培育

32、提高同學(xué)的歸納推理力量，樹(shù)立由特別到一般的歸納以及探究意識(shí) 二、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn) 1.教學(xué)重點(diǎn)：用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理分析(a?b)2的綻開(kāi)式，歸納得出二項(xiàng)式定理；把握二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式；能應(yīng)用它們解決簡(jiǎn)潔問(wèn)題 2.教學(xué)難點(diǎn)：二項(xiàng)式定理及通項(xiàng)公式的把握及運(yùn)用. 三、課前預(yù)備 多媒體課件. 四、教學(xué)方法與手段 1.教學(xué)方法：開(kāi)放式探究、啟發(fā)式引導(dǎo)、互動(dòng)式商量、反饋式評(píng)價(jià). 2.學(xué)習(xí)方法：實(shí)例感受、觀看發(fā)覺(jué)、合作溝通、歸納總結(jié). 五、教學(xué)流程圖 六、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì) （一）創(chuàng)設(shè)情境，引入新課 問(wèn)題引入：1990是馬年，從1991年開(kāi)頭： 1.第13年誕生的孩子的屬相是什么？ 2.第132021年誕生的孩子的屬相是

33、什么？ 【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)同學(xué)所熟知的問(wèn)題情境引入本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，提高同學(xué)的學(xué)習(xí)愛(ài)好和學(xué)習(xí)熱忱，達(dá)到有效教學(xué)的目的 要解決這個(gè)問(wèn)題,就要用到今日我們學(xué)習(xí)的學(xué)問(wèn)板書(shū)課題. 1.3.1二項(xiàng)式定理（一） （二）講授新課 （a?b)n的綻開(kāi)式 1.探究討論 （a?b)2?a2?2ab?b2，分析（a?b)2綻開(kāi)過(guò)程：從項(xiàng)數(shù)、指數(shù)、系數(shù) 三個(gè)方面加以分析，并讓同學(xué)板演(a?b)3與（a?b)4的綻開(kāi)式，再讓同學(xué)猜想并證明（a?b)n的綻開(kāi)式. 【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)同學(xué)將（a?b)2的綻開(kāi)式與兩個(gè)計(jì)數(shù)原理聯(lián)系起來(lái)，分析綻開(kāi)式項(xiàng)的形式及各項(xiàng)前的系數(shù)，用組合數(shù)表示（a?b)2綻開(kāi)式的系數(shù)讓同學(xué)在探究過(guò)程中觀看、發(fā)覺(jué)、類比、猜想得出結(jié)論，這是數(shù)學(xué)教學(xué)提倡培育的，是一種制造性的思維活動(dòng)，也讓同學(xué)體驗(yàn)數(shù)學(xué)討論的樂(lè)趣，在注重思維結(jié)果的同時(shí)，更注重思維過(guò)程. 2歸納提高 0n1n-1歸納得出：a+Cnab+Cnkan?kbk +Cnnbn(nN*) （a?b)n?Cn 并給出簡(jiǎn)潔證明 指出：上述這個(gè)公式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，左邊（a?b)n 這個(gè)式子叫二項(xiàng)式，右邊多項(xiàng)式叫做（a?b)n的二項(xiàng)綻開(kāi)式 引導(dǎo)同學(xué)歸納二項(xiàng)綻開(kāi)式的特征： （1）項(xiàng)數(shù)特征：綻開(kāi)式共有n+1項(xiàng) （2）次數(shù)特征：各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n 字母a按降冪排列，從第一項(xiàng)開(kāi)頭，次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到0；字