131函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)

1、1.求過(guò)曲線求過(guò)曲線y=x3-2x上的點(diǎn)上的點(diǎn)(1,-1)的切線方程的切線方程 方程方程 相切的直線相切的直線且與曲線且與曲線求過(guò)點(diǎn)求過(guò)點(diǎn)1 1 )1 , 1(. 2 2 x y 求過(guò)某點(diǎn)的曲線的切線方程時(shí)，除了要判斷該點(diǎn)是否求過(guò)某點(diǎn)的曲線的切線方程時(shí)，除了要判斷該點(diǎn)是否 在曲線上，還要分在曲線上，還要分“該點(diǎn)是切點(diǎn)該點(diǎn)是切點(diǎn)”和和“該點(diǎn)不是切點(diǎn)該點(diǎn)不是切點(diǎn)”兩種兩種 情況進(jìn)行討論，解法復(fù)制。若設(shè)情況進(jìn)行討論，解法復(fù)制。若設(shè)M(x0,y0)為曲線為曲線y=f(x)上上 一點(diǎn)，則以一點(diǎn)，則以M為切點(diǎn)的曲線的切線方程可設(shè)為為切點(diǎn)的曲線的切線方程可設(shè)為 y-y0=f(x)(x-x0)，利用此切線方程

2、可以簡(jiǎn)化解題，避免，利用此切線方程可以簡(jiǎn)化解題，避免 疏漏。疏漏。 1.3.1 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù) 仁大中學(xué)高二數(shù)學(xué)備課組仁大中學(xué)高二數(shù)學(xué)備課組 （4）.對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù): . 1 )(ln)1( x x . ln 1 )(log)2( ax x a （5）.指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù): .)()1( xx ee ).1, 0(ln)()2( aaaaa xx xxcos)(sin1）（ （3）.三角函數(shù)三角函數(shù) ： xxsin)(cos2）（ （1）.常函數(shù)：常函數(shù)：(C)/ 0, (c為常數(shù)為常數(shù))； （2）.冪函數(shù)冪函數(shù) ： (xn)/ nxn 1 一、復(fù)

3、習(xí)回顧：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式一、復(fù)習(xí)回顧：基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 函數(shù)函數(shù) y = f (x) 在給定區(qū)間在給定區(qū)間 G 上，當(dāng)上，當(dāng) x 1、x 2 G 且且 x 1 x 2 時(shí)時(shí) y xoab y xo ab 1）都有）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )， 則則 f ( x ) 在在G 上是增函數(shù)上是增函數(shù)； 2）都有）都有 f ( x 1 ) f ( x 2 )， 則則 f ( x ) 在在G 上是減函數(shù)上是減函數(shù)； 若若 f(x) 在在G上是增函數(shù)或減函數(shù)，上是增函數(shù)或減函數(shù)， 則則 f(x) 在在G上具有嚴(yán)格的單調(diào)性。上具有嚴(yán)格的單調(diào)性。 G 稱為稱為單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間 G

4、 = ( a , b ) 二、復(fù)習(xí)引入二、復(fù)習(xí)引入: o y x y ox 1 o y x 1 x y 1 12 2 xxy x y3 在（ ，0）和（0, ） 上分別是減函數(shù)。但在定 義域上不是減函數(shù)。 在（ ，1）上是減 函數(shù)，在（1, ）上 是增函數(shù)。 在( ,)上是 增函數(shù) 概念回顧概念回顧 畫(huà)出下列函數(shù)的圖像，并根據(jù)圖像指出每個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間畫(huà)出下列函數(shù)的圖像，并根據(jù)圖像指出每個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 (1)函數(shù)的單調(diào)性也叫函數(shù)的增減性；函數(shù)的單調(diào)性也叫函數(shù)的增減性； (2)函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的，它是個(gè)局部概函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)某個(gè)區(qū)間而言的，它是個(gè)局部概 念。這個(gè)區(qū)間是定義域的子集。

5、念。這個(gè)區(qū)間是定義域的子集。 (3)單調(diào)區(qū)間：針對(duì)自變量單調(diào)區(qū)間：針對(duì)自變量x而言的。而言的。 若函數(shù)在此區(qū)間上是增函數(shù)，則為單調(diào)遞增若函數(shù)在此區(qū)間上是增函數(shù)，則為單調(diào)遞增區(qū)區(qū)間；間； 若函數(shù)在此區(qū)間上是減函數(shù)，則為單調(diào)遞減區(qū)間。若函數(shù)在此區(qū)間上是減函數(shù)，則為單調(diào)遞減區(qū)間。 以前以前,我們用定義來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性我們用定義來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性.在假設(shè)在假設(shè)x1x2的的 前提下前提下,比較比較f(x1)f(x2)與的大小與的大小,在函數(shù)在函數(shù)y=f(x)比較復(fù)雜比較復(fù)雜 的情況下的情況下,比較比較f(x1)與與f(x2)的大小并不很容易的大小并不很容易.如果利用如果利用 導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性就比

6、較簡(jiǎn)單導(dǎo)數(shù)來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性就比較簡(jiǎn)單. 觀觀 察察: 下圖下圖(1)表示高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的高度表示高臺(tái)跳水運(yùn)動(dòng)員的高度 h 隨時(shí)間隨時(shí)間 t 變化的變化的 函數(shù)函數(shù) 的圖象的圖象, 圖圖(2)表示高臺(tái)跳水運(yùn)表示高臺(tái)跳水運(yùn) 動(dòng)員的速度動(dòng)員的速度 v 隨時(shí)間隨時(shí)間 t 變化的函數(shù)變化的函數(shù) 的圖象的圖象. 運(yùn)動(dòng)員從起跳到最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)員從起跳到最高點(diǎn), 以及從最高點(diǎn)到入水這兩段時(shí)以及從最高點(diǎn)到入水這兩段時(shí) 間的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么區(qū)別間的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么區(qū)別? 105 . 69 . 4)( 2 ttth 5 . 69 . 4)(ttv a a b b t t v h O O 運(yùn)動(dòng)員從起跳到運(yùn)動(dòng)員從起跳到 最高

7、點(diǎn)最高點(diǎn), ,離水面的高度離水面的高度h 隨時(shí)間隨時(shí)間t 的增加而增加的增加而增加, , 即即h(th(t) )是增函數(shù)是增函數(shù). .相應(yīng)相應(yīng) 地地, , . 0)()(thtv 從最高點(diǎn)到入水從最高點(diǎn)到入水, ,運(yùn)動(dòng)員運(yùn)動(dòng)員離水面的高度離水面的高度h隨時(shí)間隨時(shí)間t t的的 增加而減少增加而減少, ,即即h(th(t) )是減函數(shù)是減函數(shù). .相應(yīng)地相應(yīng)地, ,. 0)()(thtv (1)(1)(2)(2) x y O x y O x y O x y O y = x y = x2 y = x3 x y 1 觀察下面一些函數(shù)的圖象觀察下面一些函數(shù)的圖象, 探討函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函探討函數(shù)的單調(diào)

8、性與其導(dǎo)函 數(shù)正負(fù)的關(guān)系數(shù)正負(fù)的關(guān)系. 在某個(gè)區(qū)間在某個(gè)區(qū)間( (a, ,b) )內(nèi)內(nèi), ,如果如果 , ,那么函數(shù)那么函數(shù) 在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增; ; 如果如果 , ,那那 么函數(shù)么函數(shù) 在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減. . 0)( x f )(xfy 0)( x f )(xfy 如果恒有如果恒有 ，則，則 是常數(shù)。是常數(shù)。)(xf 0)( xf 題題1 已知導(dǎo)函數(shù)已知導(dǎo)函數(shù) 的下列信息的下列信息: 當(dāng)當(dāng)1 x 4 , 或或 x 1時(shí)時(shí), 當(dāng)當(dāng) x = 4 , 或或 x = 1時(shí)時(shí), )(x f ; 0)( x f ; 0)( x f . 0)( x f 試畫(huà)出

9、函數(shù)試畫(huà)出函數(shù) 的圖象的大致形狀的圖象的大致形狀.)(xf 解解: 當(dāng)當(dāng)1 x 4 , 或或 x 0(或或f(x)0,即在（0， 1上恒成立f xa-x x 3 1 max 而 ( )在（0， 1上單調(diào)遞增， ( )(1)=-1 g x x g xg 1a - 2 1 20 1 0 1 已 知 函 數(shù) （ ），( 若 （ ） 在 (上 是 增 函 數(shù) ， 求的 取 值 范 圍 fxaxx,fx x x,a. 增例增例2： 3 2 2當(dāng)a1時(shí)， ( )f x x 1 對(duì)x （0， 1）也有 ( ) 0 時(shí)，（ ）在(0, 1)上是增函數(shù) f x a-f x 所以a的范圍是-1，+ ） 在某個(gè)區(qū)間

10、上，在某個(gè)區(qū)間上， ，f（x）在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增）在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增 （遞減）；但由（遞減）；但由f（x）在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增（遞減）而）在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增（遞減）而 僅僅得到僅僅得到 是不夠的。還有可能導(dǎo)數(shù)等于是不夠的。還有可能導(dǎo)數(shù)等于0 也能使也能使f（x）在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)，）在這個(gè)區(qū)間上單調(diào)， 所以對(duì)于能否取到等號(hào)的問(wèn)題需要單獨(dú)驗(yàn)證所以對(duì)于能否取到等號(hào)的問(wèn)題需要單獨(dú)驗(yàn)證 ( )0(或0(或0)f x 2 1 20 1 0 1 已知函數(shù)（ ），(若（ ）在 (上是增函數(shù)，求 的取值范圍 f xaxx, ,f x x x,a. 增例增例2： 3 2 2當(dāng)a1時(shí)， ( )f x x 1 對(duì)x （0， 1）也有 ( ) 0 時(shí)，（ ）在(0, 1)上是增函數(shù) f x a-f x 所以a的范圍是-1，+ ） 本題用到一個(gè)重要的轉(zhuǎn)化：本題用到一個(gè)重要的轉(zhuǎn)化： max min mf( )恒成立( ) ( )恒成立( ) xmf x mf xmf x 3 20已知函數(shù) ( )=，(0, 1, 若 ( )在（0， 1上是增函數(shù)，求 的取值范圍 練 。 習(xí)2 f xax - xxa f xa 3 ) 2 , 例例3：方程根的問(wèn)題：方程根的問(wèn)題 求證：方程求證：方程 只有一個(gè)根。只有一個(gè)根。 1