專題二：平行四邊形常用輔助線地作法76630

1、專題講義平行四邊形+幾何輔助線的作法、知識(shí)點(diǎn)1 四邊形的內(nèi)角和與外角和定理：(1)四邊形的內(nèi)角和等于360 ;(2)四邊形的外角和等于3602 .多邊形的內(nèi)角和與外角和定理：(1) n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)180(2)任意多邊形的外角和等于3603 .平行四邊形的性質(zhì):性質(zhì)四邊形ABCD是平行四邊形 判定(1) 兩組對(duì)邊分別平行;(2) 兩組對(duì)邊分別相等;(3) 兩組對(duì)角分別相等;(4) 對(duì)角線互相平分；(5) 鄰角互補(bǔ).4、平行四邊形判定方法的選擇已知條件選擇的力定方法i邊I 一組對(duì)邊相尊L雄方迭一里對(duì)邊平行定文(方法1),方袪一辭對(duì)弟相等1方法5時(shí)角線方法(45、和平行四邊形有關(guān)的輔助

2、線作法(1)利用一組對(duì)邊平行且相等構(gòu)造平行四邊形例1、如圖，已知點(diǎn)O是平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn)，四邊形OCDE是平行 四邊形.求證：OE與AD互相平分.說(shuō)明：當(dāng)已知條件中涉及到平行，且要求 證的結(jié)論中和平行四邊形的性質(zhì)有關(guān)， 可 試通過(guò)添加輔助線構(gòu)造平行四邊形:(2)利用兩組對(duì)邊平行構(gòu)造平行四邊形例2、如圖，在 ABC中，E、F為AB上兩點(diǎn)，AE=BF，ED/AC ，F(xiàn)G/AC 交BC分別說(shuō)明：當(dāng)圖形中涉及到一組對(duì)邊平 行時(shí)，可通過(guò)作平行線構(gòu)造另一組 對(duì)邊平行，得到平行四邊形解決問(wèn)E(3 )利用對(duì)角線互相平分構(gòu)造平行四邊形例3、如圖，已知AD是ABC的中線，BE交AC于E,交AD于

3、F,且AE=EF.求證BF=AC.說(shuō)明：本題通過(guò)利用對(duì)角線互相平分構(gòu)造平行 四邊形，實(shí)際上是采用了平移法構(gòu)造平行四邊 形.當(dāng)已知中點(diǎn)或中線應(yīng)思考這種方法DC(4) 連結(jié)對(duì)角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)全等三角形。例4、如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E,F在對(duì)角線AC上，且AE CF ,請(qǐng)你以F為一 個(gè)端點(diǎn)，和圖中已標(biāo)明字母的某一點(diǎn)連成一條新線段， 猜想并證明它和圖中已有的某一條線段 相等(只需證明一條線段即可)(5) 平移對(duì)角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為梯形。例5、如右圖2，在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)0 ,如果AC 12，圖2BD10，ABm，那么m的取值范圍是()A、1 m1

4、1B、2 m 22C、10 m12D、 5 m 6(6) 過(guò)一邊兩端點(diǎn)作對(duì)邊的垂線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形問(wèn)題。 例6、已知：如圖，四邊形 ABCD為平行四邊形求證：AC2 BD2 AB2 BC2 CD2 DA2(7) 延長(zhǎng)一邊中點(diǎn)與頂點(diǎn)連線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形。例7、已知：如右上圖4，在正方形ABCD中，E, F分別是CD于P點(diǎn)，求證：AP AB二、課堂練習(xí)：1、如圖，E是平行四邊形ABCD的邊AB的中點(diǎn)，AC與DE相交于點(diǎn)F，若平行四邊形ABCD的面積為S，則圖中面積為-S的三角形有()2A . 1個(gè) B . 2個(gè)C. 3個(gè)D . 4個(gè)2、順次連接一個(gè)任意四邊形四邊的中點(diǎn)

5、，得到一個(gè) 四邊形.則AB+CD的長(zhǎng)=3、如圖，AD，BC 垂直相交于點(diǎn) O, AB /CD，BC=8，AD=64、已知等邊三角形 ABC的邊長(zhǎng)為a， P是ABC內(nèi)一點(diǎn)，PD /AB，PE/BC, PF /AC,點(diǎn) D、E、F 分別在 BC、AC、AB 上，猜想：PD + PE+PF=并證明你的猜想.5、平行四邊形 ABCD中，E,G,F,H分別是四條邊上的點(diǎn)，且 AE CF , BC DH ,試說(shuō)明：EF與GH相互平分.6、如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD交于O, E、F分別為OB、OD的中點(diǎn),過(guò)O任作一直線分別交AB、CD于G、H .試說(shuō)明：GF /EH .K7、如圖，已知AB

6、AC ,試說(shuō)明：CD 2CE8、如圖，E是梯形ABCD腰DC的中點(diǎn).試說(shuō)明:S ABE1sDE梯形ABCD9、已知六邊形 ABCDEF 的 6 個(gè)內(nèi)角均為 120 ,CD = 2cm , BC = 8cm , AB = 8cm ,AF=5cm，試求此六邊形的周長(zhǎng).D_10、已知 ABC是等腰三角形，AB=AC , D是BC邊上的任一點(diǎn)，且DE ABDF AC,CH AB，垂足分別為 E、F、H，求證：DE DF CH11、已知：在Rt ABC中，AB BC ；在Rt ADE中，AD DE ；連結(jié)EC，取EC的中點(diǎn)M，連結(jié)DM和BM .(1 )若點(diǎn)D在邊AC上，點(diǎn)E在邊AB上且與點(diǎn)B不重合，如圖

7、，求證：BM DM 且 BM DM ;(2 )如果將圖8-中的ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)小于45 的角，如圖，那么(1)中的結(jié)論是否仍成立？如果不成立，請(qǐng)舉出反例；如果成立，請(qǐng)給予證明.圖四邊形ABCD為平行四邊形A0OC, DOOBAE FCA0AE OCFC 即 OE OF四邊形EBFD為平行四邊形BFDE 證明：連結(jié)DB,DF,設(shè)DB, AC交于點(diǎn)OBE,則有四邊形CDBE為平行CE, DCDB答案:例4、連結(jié)BFBFDE圖-例5、解：將線段DB沿DC方向平移，使得四邊形,在 ACE 中，AC12,CE BD10, AE 2AB 2m12 10 2m1210，即 2 2m22解得1 m 11

8、故選A例6、證明:過(guò)A, D分別作AEBC于點(diǎn)E ,DFBC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)FAC2AE2 CE2AB2 2BE (BCBE)22 2AB BC 2BE BC22222 2 2 2BD DF BF (CD CF ) (BC CF) CD BC 2BC CF貝 U AC2 BD2 AB2 BC2 CD2 DA2 2BC CF 2BC BE四邊形ABCD為平行四邊形/-AB /CD且AB CD , AD BC ABC DCFv AEB DFC 90 ABE DCF/BE CF AC2 BD2 AB2 BC2 CD2 DA2例7、證明：延長(zhǎng)CF交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Kv四邊形ABCD為正方形 AB /CD

9、且 AB CD ,CD 1 K又v DAD, BAD BCD DDAK 90, DF AF AK CD AB1 1CE 嚴(yán)DF 2adv BCD D 90v 1390 2AP AB二、課堂練習(xí)1、C2、平行 BCE也 CDF3 900 CPB3、104、 a900 CDF 也 KAF/CE DF 1 2900,貝U KPB 9005、分析：觀察圖形，EF與HG為四邊形HEGF的對(duì)角線,四邊形，根據(jù)若能說(shuō)明四邊形 HEGF是平行平行四邊形的對(duì)角線互相平分這一性質(zhì)即可得到邊形具有對(duì)邊平行的性質(zhì)可得 GF /EH .6、分析：觀察圖形，GF與EH為四邊形GEHF的對(duì)邊，若能說(shuō)明四邊形EHFG是平行四

10、邊形，平行四7、分析：延長(zhǎng)CE至F,使EF= CE,連結(jié)AF、BF,得四邊形AFBC是平行四邊形，利用平行四邊形的性質(zhì)證明 DBC也BC即可1 亠、S平行四邊形ABNM，接下來(lái)說(shuō)明2 :8、分析：過(guò)點(diǎn)E作MN /AB，交BC于N，交AD的延長(zhǎng)線于M，則四邊形ABNM 是 平行四邊形,ABE與四邊形ABNM 等底等高，所以Szabe =S梯形ABCD =S平行四邊形ABNM 即可。KBA. EF交點(diǎn)記作G：EEL交點(diǎn)記作H.9、 I I 宀同理._4=_7=_8=60 推貯出AFGA與ACDH都是正 三角形，F(xiàn)-M 亠合J LT 廠誓m ,艮M是EO的牛點(diǎn)才譏 磚豈EG功関丄,又Bil-MC ,

11、：丄爾是品皿 的外箱，-ZMEC+Z3!j3CB=2 ZHCE,同理ZDME= ZMDC+ ZMCD= ZMCD:漬謝翰越瞼J諾喊報(bào)咬空）垃勺4十=鏗“:瞧越I擁氏備J砌如臥 蔓按DM到Ji-,使MN=CH達(dá)結(jié)單），BN. XT EM=M . ZEME=ZC ITO , DM=WI二EMD 寧iCMHJ. ZDEM-ZNCMrZBdi+ ZECN（Jf-LEO , if A AFC 41 + / ZrJAJ+.CUPAQ*r ZACH + N CAD 十上 CPD-9 F珈卅ZCBH= ZWCM-Z. ZAUEf45T - ZEAJj+.SLHf 2ECN=9lr丈窓凝爵曲?滬4，上禍口 “族

12、緒廠論螂BN1 k aj i.J J -*-_ * ituJ ?公哄卞也砂 W牌訪幺腳尹小r又T E忙母L平行四邊形中常用輔助線的添法平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對(duì)邊、對(duì)角和對(duì)角線都具有某些相同性質(zhì)，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構(gòu)成三 角形的全等、相似，把平行四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化成常見的三角形、正方形等問(wèn)題處理，其常 用方法有下列幾種，舉例簡(jiǎn)解如下：（1）連對(duì)角線或平移對(duì)角線：（2 ）過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)邊的垂線構(gòu)造直角三角形（3）連接對(duì)角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)，或過(guò)對(duì)角線交點(diǎn)作一邊的平行線，構(gòu)造線段平行或 中位線（4）連接頂點(diǎn)與對(duì)邊上一點(diǎn)的線段或延長(zhǎng)這條線段，構(gòu)造

13、三角形相似或等積三角形。（5 ）過(guò)頂點(diǎn)作對(duì)角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等第一類：連結(jié)對(duì)角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)全等三角形。例1如左下圖1，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E,F在對(duì)角線AC上，且AE CF，請(qǐng)你 以F為一個(gè)端點(diǎn)，和圖中已標(biāo)明字母的某一點(diǎn)連成一條新線段， 猜想并證明它和圖中已 有的某一條線段相等（只需證明一條線段即可）連結(jié)BFBF DE證明：連結(jié)DB,DF，設(shè)DB,AC交于點(diǎn)0四邊形ABCD為平行四邊形AO OC, DO 0BAE FC AO AE OC FC 即 OE OF四邊形EBFD為平行四邊形BF DE圖1圖2第二類：平移對(duì)角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為梯形。例2如右圖2，

14、在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC和BD相交于點(diǎn)0 ,如果AC 12， BD 10，AB m，那么m的取值范圍是()A1 m 11B2 m 22C10 m 12D5 m 6解：將線段DB沿DC方向平移，使得DB CE,DC BE,則有四邊形CDBE為平行四 邊形，在 ACE 中，AC 12,CE BD 10, AE 2AB 2m12 10 2m 12 10，即 2 2m 22 解得 1 m 11故選 A第三類：過(guò)一邊兩端點(diǎn)作對(duì)邊的垂線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形問(wèn)題。例3已知：如左下圖3，四邊形ABCD為平行四邊形求證：AC2 BD2 AB2 BC2 CD2 DA2證明：過(guò)A,D分別作

15、AE BC于點(diǎn)E，DF BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F2 2 2 2 2 2 2 2 AC AE CE AB BE (BC BE) AB BC 2BE BC2 2 2 2 2 2 2 2BD DF BF (CD CF ) (BC CF) CD BC 2BC CF貝 U AC2 BD2 AB2 BC2 CD2 DA2 2BC CF 2BC BE四邊形ABCD為平行四邊形.AB /CD且AB CD , AD BC ABC DCFv AEB DFC 90 ABE DCF/-BE CF2 2 2 2 2 2 AC BD AB BC CD DAFFA第四類：延長(zhǎng)一邊中點(diǎn)與頂點(diǎn)連線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形。例4 :

16、已知：如右上圖4，在正方形ABCD中，E,F分別是CD、DA的中點(diǎn)，BE與CF交于P點(diǎn)，求證：AP AB證明：延長(zhǎng)CF交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)K四邊形ABCD為正方形AB / CD 且 ABCD ,CDAD, BADBCDD 9001K又DDAK 900, DFAF CDF 也KAFAK CDAB11CE -CD,DF -22ADCE DFBCD0D 90 BCE也 CDF 1 213900 23900 CPB90,貝 U KPB900AP AB第五類：延長(zhǎng)一邊上一點(diǎn)與一頂點(diǎn)連線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為平行線型相似三角形。例5如左下圖5，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E為邊CD上任一點(diǎn)，請(qǐng)你在該圖基礎(chǔ)上，適當(dāng)添加輔助線找出兩對(duì)相似三角形。解：延長(zhǎng)AE與BC的延長(zhǎng)線相交于F，則有 AED s FEC, FAB s FEC , AED s FABEFD第六類：把對(duì)角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)連結(jié)，構(gòu)造三角形中位線1例6已知：如