最短路徑問題教學(xué)資料

1、 1.兩點(diǎn)之間，線段最短；兩點(diǎn)之間，線段最短； 2.連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段 中，垂線段最短中，垂線段最短. 自主探究自主探究 探究一：最短路徑問題的概念探究一：最短路徑問題的概念 問題問題1 如圖，牧馬人從如圖，牧馬人從A地出發(fā)，到一條筆地出發(fā)，到一條筆 直的河邊直的河邊 l 飲馬，然后到飲馬，然后到B地，牧馬人去河邊的什地，牧馬人去河邊的什 么地方飲馬，可使所走的路徑最短？么地方飲馬，可使所走的路徑最短？ 探究二：河邊飲馬問題探究二：河邊飲馬問題 自主探究自主探究 思考？思考？ 如果點(diǎn)如果點(diǎn)A和點(diǎn)和點(diǎn)B分別位于直線的兩側(cè)，分別位于直線的兩側(cè)，

2、 如何在直線如何在直線l上找到一點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)上找到一點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A和點(diǎn)和點(diǎn)B 的距離的和最短？的距離的和最短？ C C B C B 點(diǎn)點(diǎn)C即為所求即為所求 思考？思考？ 如果點(diǎn)如果點(diǎn)A和點(diǎn)和點(diǎn)B分別位于直線的同分別位于直線的同 側(cè)，如何在直線側(cè)，如何在直線l上找到一點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)上找到一點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)到點(diǎn)A 和點(diǎn)和點(diǎn)B的距離的和最短？的距離的和最短？ 你能證明嗎？你能證明嗎？ 問題問題2 如圖，如圖，A和和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河 上造一座橋上造一座橋MN，橋造在何處可使從，橋造在何處可使從A到到B的路徑的路徑AMNB最最 短？（假定河的兩岸是

3、平行的直線，橋要與河垂直）短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直） 探究三：造橋選址問題探究三：造橋選址問題 自主探究自主探究 思考：思考： （1）根據(jù)問題）根據(jù)問題1的探討的探討,你對(duì)這道題有什么思路你對(duì)這道題有什么思路 和想法？和想法？ （2）這個(gè)問題有什么不同？）這個(gè)問題有什么不同？ （3）要保證路徑）要保證路徑AMNB最短，應(yīng)該怎樣選址？最短，應(yīng)該怎樣選址？ 就是求當(dāng)點(diǎn)就是求當(dāng)點(diǎn)N在直線在直線b的什么位置的什么位置 時(shí)，時(shí)，AM+MN+NB最小最小 自主探究自主探究 當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)N在直線在直線b的什么位置時(shí)，的什么位置時(shí)， AM+MN+NB最??？最小？ 由于河岸寬度是固定的，因此當(dāng)由

4、于河岸寬度是固定的，因此當(dāng)AM+NB最小時(shí)，最小時(shí)， AM+MN+NB最小最小. 就是求當(dāng)點(diǎn)就是求當(dāng)點(diǎn)N在直線在直線b的什么位置的什么位置 時(shí)，時(shí)，AM+NB最小最小 自主探究自主探究 A 如圖，將如圖，將AM沿與河岸垂直的方向平移，點(diǎn)沿與河岸垂直的方向平移，點(diǎn)M移動(dòng)到點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn)N，點(diǎn)，點(diǎn)A移移 動(dòng)到點(diǎn)動(dòng)到點(diǎn)A，則，則AA=MN, AM+NB= AN +NB. 當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)N在直線在直線b的什么位置時(shí)，的什么位置時(shí)， AM+NB最??？最??？ 就是求當(dāng)點(diǎn)就是求當(dāng)點(diǎn)N在直線在直線b的什么位置的什么位置 時(shí)，時(shí)，AN+NB最小最小 線段線段AB與直線與直線b的交點(diǎn)的交點(diǎn)N的位置即為所求，即在點(diǎn)的位置即為

5、所求，即在點(diǎn)N處造橋處造橋MN,所所 得路徑得路徑AMNB是最短的是最短的. 自主探究自主探究 A 為了證明點(diǎn)為了證明點(diǎn)N的位置就是所求，的位置就是所求， 不妨在直線不妨在直線b上另外任意取一點(diǎn)上另外任意取一點(diǎn)N， 過點(diǎn)過點(diǎn)N作作NMa，垂足為，垂足為M， 連接連接AM, AN, NB, 證明證明AM+MN+NB AM +NM +NB即可即可. 你能完成這個(gè)證明嗎？你能完成這個(gè)證明嗎？ N M 自主探究自主探究 根據(jù)問題根據(jù)問題1和問題和問題2，你有什么啟示？，你有什么啟示？ 在解決在解決最短路徑最短路徑問題時(shí)，我們通常利用問題時(shí)，我們通常利用軸對(duì)軸對(duì) 稱、平移稱、平移等變換把等變換把已知問題

6、已知問題轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為容易解決的問容易解決的問 題題，從而，從而作出最短路徑的選擇作出最短路徑的選擇. 自主探究自主探究 已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為2 cm、寬為、寬為1 cm、高為、高為5 cm，一只螞，一只螞 蟻如果沿長(zhǎng)方體的表面從蟻如果沿長(zhǎng)方體的表面從A點(diǎn)爬到點(diǎn)爬到B點(diǎn)，那么沿哪條路點(diǎn)，那么沿哪條路 最近，最短的路程是多少？最近，最短的路程是多少？ 知識(shí)拓展知識(shí)拓展 將長(zhǎng)方體沿棱展開，有三種情況：將長(zhǎng)方體沿棱展開，有三種情況： 第一種：過第一種：過AC，路程為，路程為 cm2 10 第二種：過第二種：過CC，路程為，路程為 cm34 第三種：過第三種：過BC，路程為，路程為 cm5 2 所以過所以過CC的路徑最短（如圖），最短路程為的路徑最短（如圖），最短路程為 cm 34 你學(xué)會(huì)了嗎你學(xué)會(huì)了嗎? 對(duì)自己說，你有什么收獲？對(duì)自己說，你有什么收獲？ 對(duì)同學(xué)說，你有什么提示？對(duì)同學(xué)說，你有什么提示？ 對(duì)老師說，你有什么疑惑？對(duì)老師說，你有什么疑惑？ 無論你覺得自己