小波理論在圖像去噪中的應(yīng)用 課程報(bào)告

1、 小波理論與應(yīng)用課程報(bào)告 題 目 小波理論在圖像去噪中的應(yīng)用2013年1月16日摘 要小波分析理論是一種新興的信號(hào)處理理論，它在時(shí)間上和頻率上都有很好的局部性，這使得小波分析非常適合于時(shí)-頻分析，借助時(shí)-頻局部分析特性，小波分析理論可以成為信號(hào)去噪中的一種重要工具。本文首先介紹了小波變換的發(fā)展?fàn)顩r以及其基本理論知識(shí)，包括連續(xù)小波變換和離散小波變換；接著對(duì)基于小波變換的圖像去噪進(jìn)行了概述，同時(shí)針對(duì)小波去噪的理論和方法著重進(jìn)行了介紹，包括小波去噪的原理、方法、基本去噪模型和閾值去噪處理等方面的內(nèi)容。最后，分別對(duì)兩種小波閾值去噪進(jìn)行了相應(yīng)的說(shuō)明，包括硬閥值去噪、軟閥值去噪，表明了小波變換進(jìn)行去噪的優(yōu)

2、越性，具有很強(qiáng)的研究意義。關(guān)鍵詞：小波分析 小波變換 閾值去噪 圖像去噪 1引言1.1 研究的背景和意義21世紀(jì)，人類(lèi)已經(jīng)進(jìn)入了信息化時(shí)代，計(jì)算機(jī)在處理各種信息中發(fā)揮著重要作用。據(jù)統(tǒng)計(jì)，人類(lèi)從自然界獲取的信息中，視覺(jué)信息占75%85%。俗話說(shuō)“百聞不如一見(jiàn)”，有些場(chǎng)景或事物，不管花費(fèi)多少筆墨都難以表達(dá)清楚，然而，若用一幅圖像描述，可以做到一目了然?？梢?jiàn)，在當(dāng)代高度信息化的社會(huì)中，圖形和圖像在信息傳播中所起的作用越來(lái)越大，在圖像處理領(lǐng)域，數(shù)字圖像處理得到了飛速發(fā)展。圖像是信息社會(huì)人們獲取信息的重要來(lái)源之一。在通過(guò)圖像傳感器將現(xiàn)實(shí)世界中的有用圖像信號(hào)進(jìn)行采集、量化、編碼、傳輸、恢復(fù)的過(guò)程中，存在大

3、量影響圖像質(zhì)量的因素。因此圖像在進(jìn)行使用之前，一般都要經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的預(yù)處理如去噪、量化、壓縮編碼等。噪聲的污染直接影響著對(duì)圖像邊緣檢測(cè)、特征提取、圖像分割、模式識(shí)別等處理，使人們不得不從各種角度進(jìn)行探索以提高圖像的質(zhì)量。所以采用適當(dāng)?shù)姆椒ūM量消除噪聲是圖像處理中一個(gè)非常重要的預(yù)處理步驟。然而在很多情況下，圖像信息會(huì)受到各種各樣的噪聲影響，嚴(yán)重時(shí)甚至?xí)绊懙綀D像中的有用信息，因此，對(duì)圖像的噪聲進(jìn)行處理就顯得非常重要。1.2 研究的現(xiàn)狀在數(shù)學(xué)上，函數(shù)逼近問(wèn)題是小波去噪的本質(zhì)問(wèn)題，換句話說(shuō)，也就是根據(jù)提出的衡量準(zhǔn)則，如何在有小波母函數(shù)伸縮和平移所展成的函數(shù)空間中，尋找對(duì)原圖像的最佳逼近，用來(lái)完成原圖像和

4、噪聲的區(qū)分。這個(gè)問(wèn)題可以表述為： （1-1） （1-2） （1-3） （1-4） （1-5）由此可見(jiàn)，尋找實(shí)際圖像空間到小波函數(shù)空間的最佳映射是小波去噪方法，它可以得到原圖像的最佳恢復(fù)。從信號(hào)的角度看，小波去噪是一個(gè)信號(hào)濾波的問(wèn)題，并且它相對(duì)傳統(tǒng)的低通濾波器好多了。其等效框圖如圖1所示。圖1 小波去噪的等效框圖 通過(guò)對(duì)邊緣進(jìn)行一些處理，可以緩解低通濾波產(chǎn)生的邊緣模糊。雖然這種方法同小波去噪相比，有點(diǎn)相似，但是因?yàn)樾〔ㄗ儞Q的多分辨率分析特性，小波變換能夠很好地保留邊緣，小波變化后，在相鄰尺度層間具有很強(qiáng)的相關(guān)性，便于特征提取和保護(hù)，因?yàn)閷?duì)應(yīng)圖像特征(邊緣等) 處的系數(shù)幅值變大。和早期的方法相比，

5、小波噪聲便于系統(tǒng)的理論分析，因?yàn)槠鋵?duì)邊緣等特征的提取和保護(hù)是有很強(qiáng)的數(shù)學(xué)理論背景的。隨著國(guó)內(nèi)外學(xué)者的不斷研究，小波去噪技術(shù)得到很快地發(fā)展和完善。在信號(hào)處理領(lǐng)域中，1992年，小波模極大值方法被S.Mallat和Zhong兩個(gè)人提出了，具體來(lái)說(shuō)，在多尺度分析中，讓有用信號(hào)與噪聲小波變換的模極大值呈現(xiàn)不同的奇異性，用計(jì)算機(jī)自動(dòng)實(shí)現(xiàn)由粗到精的跟蹤并消除各尺度下屬于噪聲的模極大值，接著利用屬于有用信號(hào)的模極大值重構(gòu)小波，模極大值方法可使信噪比提高4-7dB。因?yàn)橥饨绲暮芏喔蓴_因素，所以跟蹤這種噪聲是有難度的，往往需要一些經(jīng)驗(yàn)性的判據(jù)，在實(shí)際應(yīng)用中。過(guò)零點(diǎn)重建小波變換和模極大值重建小波變換是奇異點(diǎn)重建信

6、號(hào)的兩種，它的缺點(diǎn)是結(jié)果不太精確，因?yàn)槭怯眠^(guò)零點(diǎn)或極大值來(lái)重建信號(hào)，只是一種逼近。近年來(lái)，小波變換的理論得到了較快的發(fā)展，而且它具備良好的時(shí)頻特性，所以在實(shí)際應(yīng)用中受到了人們的親睞。其中圖像的小波閾值去噪方法在眾多圖像去噪方法中表現(xiàn)得尤為突出。而且，小波變換本身是一種線形變換，而國(guó)內(nèi)外的研究大多集中在如何選取一個(gè)合適的全局閾值，通過(guò)處理低于該閾值的小波系數(shù)同時(shí)保持其余小波系數(shù)值不變的方法來(lái)降噪，因而大多數(shù)方法對(duì)于類(lèi)似于高斯噪聲的效果較好，但對(duì)于混有脈沖噪聲的混合噪聲的情形處理效果并不理想。線形運(yùn)算往往還會(huì)造成邊緣模糊，小波分析技術(shù)正因其獨(dú)特的時(shí)頻局部化特性在圖像信號(hào)和噪聲信號(hào)的區(qū)分以及有效去除

7、噪聲并保留有用信息等方面較之傳統(tǒng)的去噪具有明顯的優(yōu)勢(shì)，且在去噪的同時(shí)實(shí)現(xiàn)了圖像一定程度的壓縮和邊緣特征的提取。所以小波去噪具有無(wú)可比擬的優(yōu)越性。1.3 本文主要工作本文首先介紹了小波變換的發(fā)展?fàn)顩r以及其基本理論知識(shí)，包括連續(xù)小波變換和離散小波變換；接著對(duì)基于小波變換的圖像去噪進(jìn)行了概述，同時(shí)針對(duì)小波去噪的理論和方法著重進(jìn)行了介紹，包括小波去噪的原理、方法、基本去噪模型和閾值去噪處理等方面的內(nèi)容。通過(guò)上述一系列的說(shuō)明，表明利用小波變換進(jìn)行去噪的優(yōu)越性。2小波變換的介紹2.1 小波變換的發(fā)展概況1992年，Donoho和Johnostne提出了小波閾值收縮方法(Wavelet Shrinkage)

8、，同時(shí)還給出了小波收縮閾值，并從漸近意義上證明了它是小波收縮最佳閾值的上限。人們通過(guò)對(duì)閾值的選擇進(jìn)行研究，提出了多種不同的閾值確定方法。后來(lái)，人們針對(duì)閾值函數(shù)的選取也進(jìn)行了一些研究，并給出了不同的閾值；但是當(dāng)這些方法用到非高斯、有色噪聲場(chǎng)合中，效果卻不甚理想，其最主要的原因是這些方法都基于獨(dú)立同分布噪聲的假設(shè)。對(duì)此，人們提出了具有尺度適應(yīng)性的閾值選取法，用來(lái)解決正態(tài)分布有色噪聲的小波去噪問(wèn)題，而另外一些學(xué)者則研究了在比白噪聲更嚴(yán)重的噪聲情況下的小波去噪問(wèn)題，并給出了顯式的閾值公式。目前，基于閾值收縮的小波去噪方法的研究仍然非?；钴S，近來(lái)仍不斷有新的方法出現(xiàn)，而且也可以看出，人們的研究方向已經(jīng)轉(zhuǎn)

9、為如何最大限度地獲得信號(hào)的先驗(yàn)信息并用這些信息來(lái)確定更合適的閾值或閾值向量，以達(dá)到更高的去噪效率。2.2 連續(xù)小波變換設(shè)，其傅里葉變換為，當(dāng)滿足允許條件(完全重構(gòu)條件)： （2-1）時(shí)，我們稱為母小波(Mother Wavelet)或者基本小波。它說(shuō)明了基本小波具有較好的衰減性, 在其頻域內(nèi)。其中，當(dāng)時(shí)，有，即，同時(shí)有。通常情況下，任何在頻率增加時(shí)以足夠快的速度消減為零(空間局域化特征)且均值為零(即)的帶通濾波器的沖激響應(yīng)(傳遞函數(shù))，都是一個(gè)基本小波中的一部分。將母函數(shù)經(jīng)過(guò)伸縮和平移后得到： （2-2）我們把它稱之為一個(gè)小波序列。其中a為伸縮因子，b為平移因子。一般情況下，基本小波是以原點(diǎn)

10、為中心的，因此基本小波以為中心進(jìn)行伸縮就得到了?；拘〔ū簧炜s為(時(shí)變寬，而時(shí)變窄)可構(gòu)成一組基函數(shù)。在大尺度a上，當(dāng)時(shí)可以搜索信號(hào)細(xì)節(jié)，當(dāng)時(shí)則可以知道信號(hào)的粗糙程度。對(duì)于任意的函數(shù)的連續(xù)小波變換為： （2-3）當(dāng)此小波為正交小波時(shí)，其重構(gòu)公式為： （2-4）在小波變換過(guò)程中必須保持能量成比例，即 （2-5）由于基小波生成的小波在小波變換中對(duì)被分析的信號(hào)起著觀測(cè)窗的作用，所以還應(yīng)該滿足一般函數(shù)的約束條件： （2-6）故是一個(gè)連續(xù)函數(shù)，這意味著，為了滿足重構(gòu)條件，在原點(diǎn)必須等于零，即 （2-7）此即說(shuō)明具有波動(dòng)性。為了使信號(hào)重構(gòu)的實(shí)現(xiàn)上是穩(wěn)定的，除了滿足重構(gòu)條件外，還要求的傅立葉變換滿足如下穩(wěn)定

11、性條件： （2-8）式中，。連續(xù)小波變換具有以下重要性質(zhì)：（1）線性性：一個(gè)多分量信號(hào)的小波變換等于各個(gè)分量的小波變換之和。（2）平移不變性：若的小波變換為，則的小波變換為。（3）伸縮共變性：若的小波變化為，則的小波變換為，（4）自相似性：對(duì)應(yīng)于不同尺度參數(shù)a和不同平移參數(shù)b的連續(xù)小波變換之間是自相似性的。（5）冗余性：連續(xù)小波變換中存在信息表述的冗余度redundancy，小波變換的冗余性也是自相似性的直接反映，它主要表現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：由連續(xù)小波變換恢復(fù)原信號(hào)的重構(gòu)分式不是唯一的。也就是說(shuō)，信號(hào)的小波變換與小波重構(gòu)不存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，而傅立葉變換與傅立葉反變換是一一對(duì)應(yīng)的。小波變換的核函數(shù)

12、即小波函數(shù)存在許多可能的選擇(例如，它們可能是非正交小波，正交小波，雙正交小波，甚至允許是彼此線性相關(guān)的)。小波并不是只有一種，也不是隨意選擇的，其選擇是有條件的。它的選擇應(yīng)滿足定義域是緊支撐的(Compact Support)，同時(shí)還要滿足平均值為零。用內(nèi)積可以表示連續(xù)小波變換式，當(dāng)尺度a增加時(shí)，表明是用伸展了的波形來(lái)觀察整個(gè)；反之，當(dāng)尺度a減小時(shí)，就是用壓縮的波形來(lái)衡量局部。小波變換就能達(dá)到這個(gè)目的，它既是望遠(yuǎn)鏡，又是顯微鏡，是一架變焦鏡頭。2.3 離散小波變換 2.3.1 離散小波的定義離散小波變換(Discrete Wavelet Transform) 在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)計(jì)算機(jī)處理方面更

13、加適用。離散小波的定義表示為()： （2-9）則相應(yīng)的小波變換可由下式定義： （2-10）2.3.2 尺度函數(shù)小波變換的必經(jīng)之路是由尺度函數(shù)構(gòu)造小波。尺度函數(shù)的構(gòu)造必須滿足以下條件：（1）尺度函數(shù)對(duì)所有的小波是正交的。 （2），它是一個(gè)平均函數(shù)。與小波函數(shù)相比較，其傅里葉變換具有帶通特性以及低通特性。（3）尺度函數(shù)和小波密切相連，這就是構(gòu)造小波正交基的途徑。（4），意思是說(shuō)尺度函數(shù)是范數(shù)為1的規(guī)范化函數(shù)。（5）尺度函數(shù)對(duì)于伸縮收縮來(lái)說(shuō)不是正交的，對(duì)于平移是正交的。（6）有些尺度上的尺度函數(shù)可以通過(guò)線性組合得到。2.3.3 緊支集概念緊支集是小波變換中經(jīng)常用到的數(shù)學(xué)概念，它是衡量小波性能的重要指

14、標(biāo)。函數(shù)的支集或支撐區(qū)supp是指其最大開(kāi)集的補(bǔ)集。函數(shù)的支集就是函數(shù)定義域的閉子集，也就是說(shuō)這樣一個(gè)最小的閉子集或區(qū)間，使得在之外函數(shù)為零。如果說(shuō)函數(shù)是緊支集就是指的支撐區(qū)supp是緊支集，即supp，是有界閉區(qū)間。一個(gè)序列是緊支撐的，就是說(shuō)有有限多的元素在域中為零，稱它為有限支撐。與緊支集概念相聯(lián)系的是函數(shù)的平滑性和速降性。2.3.4 正交小波變換正交小波是從多尺度分析概念直接推廣過(guò)來(lái)的，具有一定的特殊性，即在信號(hào)域和小波函數(shù)域其標(biāo)準(zhǔn)化正交基都是小波函數(shù)本身，而且其存在性也并未加以證明，那么更一般來(lái)講，對(duì)于滿足一定條件的標(biāo)準(zhǔn)化正交基，任何信號(hào)在這個(gè)正交基上展開(kāi)的系數(shù)也也可以線性的疊加成原信

15、號(hào)。正交小波是雙正交小波的一個(gè)特例，雙正交小波是正交小波去除某些程度正交上的推廣。一維小波變換里說(shuō)的都是正交小波變換，它是對(duì)連續(xù)信號(hào)在小波基上進(jìn)行分解。與普通的濾波器的區(qū)別在于：基于小波的濾波器是可重構(gòu)的，所以通過(guò)相同的濾波器可以把信號(hào)重構(gòu)。小波變換由于具有變焦特性，因此能將各種頻率交織在一起的信號(hào)分解成為各個(gè)不同頻率段的信息，特別對(duì)于局部化的空間并有顯著的高頻成分的尖銳邊緣的信號(hào)，小波變換可以有更緊湊的表示，因此被廣泛地應(yīng)用于數(shù)字圖像去噪當(dāng)中。3數(shù)字圖像小波去噪的實(shí)現(xiàn)方法3.1小波去噪概述小波閾值去噪的基本思路是：（1）先對(duì)含噪信號(hào)做小波變換，得到一組小波系數(shù)； （2）通過(guò)對(duì)進(jìn)行閾值處理，得

16、到估計(jì)系數(shù)，使得與兩者的差值盡可能??；（3）利用進(jìn)行小波重構(gòu)，得到估計(jì)信號(hào)即為去噪后的信號(hào)。3.2 小波去噪原理3.2.1 去噪原則信號(hào)去噪的原則主要有兩點(diǎn)，一是要求去噪后的信號(hào)和原信號(hào)的方差估計(jì)應(yīng)該是最壞情況下的方差最小(Minmax Estimator)；二是在大部分情況下，去噪后的信號(hào)應(yīng)該至少和原信號(hào)具有同等的光滑性。一般用正則性來(lái)刻劃函數(shù)的光滑程度。正則性越高，函數(shù)的光滑性越好。此外，因?yàn)閳D像信號(hào)都是二維的，在對(duì)數(shù)字圖像去噪處理時(shí)要對(duì)小波進(jìn)行二維離散小波變換。二維離散小波變換往往可以由一維信號(hào)的離散小波變換推導(dǎo)得到，兩個(gè)一維小波變換可以構(gòu)成二維雙正交小波變換。即首先進(jìn)行方向變換，然后進(jìn)

17、行方向變換，便可以完成二維正交變換；而逆變換反之就可實(shí)現(xiàn)。假設(shè)為一維尺度函數(shù)，為相應(yīng)的小波函數(shù)，則可以得到二維小波變換的基礎(chǔ)函數(shù)： （3-1）其中，、分別是沿著和兩個(gè)方向上的一維小波函數(shù)。A是近似系數(shù)，H是水平細(xì)節(jié)系數(shù)，V是豎直細(xì)節(jié)系數(shù)，D是對(duì)數(shù)細(xì)節(jié)系數(shù)。對(duì)于圖像而言，我們往往可以把它看成二維矩陣，一般我們假設(shè)圖像矩陣的大小為，且有 (n為非負(fù)整數(shù))。任何平方可積的二維函數(shù)都能夠分解成為最低分辨率尺度上的平滑函數(shù)和更高尺度上的細(xì)節(jié)函數(shù)。具體的說(shuō)，在經(jīng)過(guò)每次小波變換后，圖像便可分為四個(gè)大小為原始尺寸的四分之一的子塊頻帶區(qū)域，它們分別是：低低(LL)、低高(LH)、高低(HL)和高高(HH)。如圖

18、2所示，它分別包含了相應(yīng)頻帶上的小波系數(shù)，相當(dāng)于在水平方向和豎直方向上進(jìn)行隔點(diǎn)采樣，進(jìn)行下一層小波變換時(shí)，數(shù)據(jù)就集中在LL頻帶。這里的LL稱為近似分量，HH、LH和HL稱為細(xì)節(jié)分量。小波變換通過(guò)對(duì)變換后的系數(shù)進(jìn)行分析和適當(dāng)?shù)娜∩嵩僦貥?gòu)圖像，為圖像去噪提供了較好的圖像表示形式，終究完成了圖像的去噪處理。LL1HL1LH1HH1圖2 一次離散小波變換后的頻率分布 3.2.2 基本去噪模型如果一個(gè)信號(hào)被噪聲污染后為，那么基本的噪聲模型為： （3-2）其中為噪聲，為噪聲強(qiáng)度。在最簡(jiǎn)單的情況下可以假設(shè)為高斯白噪聲，且=1。小波變換的目的就是要抑制以恢復(fù)，即盡量將去掉，并且盡量減少的損失。與在經(jīng)典去噪技術(shù)

19、相比，小波分析在這方面有其優(yōu)越性。尤其是的分解系數(shù)比較稀松（即非零項(xiàng)很少）的情況下，這種方法的效率很高。3.3閾值函數(shù)的選擇 由于小波變換的小波基都是緊支集，因此小波變換具有一種“集中”的能力，可以使信號(hào)的能量在小波變換域集中于少數(shù)系數(shù)上，那么相對(duì)來(lái)說(shuō)，對(duì)這些系數(shù)的取值必然大于在小波系數(shù)域內(nèi)能量分散于大量小波系數(shù)的噪聲的小波系數(shù)值，這個(gè)意味著對(duì)小波系數(shù)進(jìn)行閥值處理可以在小波變換域中去除低于固定幅度的噪聲。設(shè)是原始小波系數(shù)，表示閾值化后的小波系數(shù)，T是閾值， （3-3）代表示性函數(shù)，常用的閾值函數(shù)有： (1)硬閾值函數(shù)(見(jiàn)圖3) （3-4） (2)軟閾值函數(shù)(見(jiàn)圖3) （3-5） 軟閾值函數(shù) 硬

20、閾值函數(shù)在圖3中，橫坐標(biāo)表示信號(hào)或圖像的原始小波系數(shù)，縱坐標(biāo)表示閾值化后的小波系數(shù)。在閾值去噪中，閾值函數(shù)體現(xiàn)了對(duì)超過(guò)和低于閾值的小波系數(shù)模的不同處理策略以及不同估計(jì)方法。圖3 硬閾值函數(shù)與軟閾值函數(shù)其中硬閥值的處理步驟如下：1）先把信號(hào)做小波變換，得到小波系數(shù)；2）計(jì)算出閥值，把小波系數(shù)的絕對(duì)值與閥值進(jìn)行比較，小于或等于閥值的點(diǎn)設(shè)為零，大于閥值的點(diǎn)保持不變；3）再把處理過(guò)的小波系數(shù)進(jìn)行小波變換來(lái)重構(gòu)圖像。軟閥值的處理步驟如下：1）含噪圖像進(jìn)行小波分解，選擇合適的小波，確定小波的分解層次，并對(duì)圖像進(jìn)行二進(jìn)離散小波分解。2）對(duì)圖像分解后的各級(jí)系數(shù)進(jìn)行適當(dāng)處理：對(duì)第1到第M層的小波系數(shù)，選擇一個(gè)軟

21、閾值，對(duì)每一級(jí)的小波系數(shù)進(jìn)行閾值量化處理。3）圖像的重構(gòu)：對(duì)量化處理后的各級(jí)小波系數(shù)進(jìn)行圖像的小波重構(gòu)。通過(guò)前面介紹的理論，利用MATLAB對(duì)兩種閥值去噪編寫(xiě)程序，對(duì)某一圖像進(jìn)行分析，結(jié)果圖如下：圖4 原圖像圖5 帶噪聲圖像圖6 軟閥值圖像圖7 硬閥值圖像可見(jiàn)，利用MATLAB對(duì)閥值去噪進(jìn)行程序編寫(xiě)，能夠較好的實(shí)現(xiàn)圖像去噪這一工作，相信通過(guò)小波這一數(shù)學(xué)工具，會(huì)使圖像去噪這一領(lǐng)域得到更好的發(fā)展。4總結(jié)本文簡(jiǎn)述了小波變換的發(fā)展歷史和小波變換的基本理論知識(shí)，對(duì)以小波為工具在數(shù)字圖像處理方面進(jìn)行了有益的探索。然后，針對(duì)小波去噪的理論和方法著重進(jìn)行了介紹，包括小波去噪的原理、方法和閾值去噪處理等方面的內(nèi)容。最后，對(duì)小波閾值去噪進(jìn)行了介紹，包括硬閥值去噪、軟閥值去噪，通過(guò)利用小波這一數(shù)學(xué)工具，相信能做到比傳統(tǒng)算法更好的去噪效果。 致 謝在這里，首先要感謝冉啟文老師這段時(shí)間辛勤的講解，不論天氣多么寒冷，每次上課，冉老師總是按時(shí)到達(dá)教室，為大家進(jìn)行一個(gè)上午的教學(xué)，聽(tīng)冉老師的課與聽(tīng)以往老師的教學(xué)有很大不同，冉老師并不是一味的照本宣科，老師在講課之前做好了充分準(zhǔn)備，上課期間完全脫稿，用他多年以來(lái)的經(jīng)驗(yàn)為我們講課，淺顯易懂，內(nèi)容變得不是那么晦澀。冉老師在課堂上細(xì)致的講解和豐富的板書(shū)內(nèi)容幫助我對(duì)小波這一理論有了認(rèn)識(shí)，并且有了較為深入的理解。其次感謝身邊