數(shù)學(xué)必修一講義(1)21頁(yè)

1、第一講 集合集合的有關(guān)概念某些指定的對(duì)象集在一起就成為一個(gè)集合，這些研究對(duì)象叫做元素。集合中元素的特性：注意：這三條性質(zhì)對(duì)于研究集合有著很重要的意義， 經(jīng)常會(huì)滲透到集合的各種題目中，同學(xué)們應(yīng)當(dāng)重視。元素與集合的關(guān)系：如果是集合的元素，就說(shuō)屬于，記作：如果不是集合的元素，就說(shuō)不屬于，記作：（注意：屬于或不屬于（）一定是用在表示元素與集合間的關(guān)系上）集合的分類：集合的種類通常分為：有限集（集合含有有限個(gè)元素）、無(wú)限集（集合含有無(wú)限個(gè)元素）、空集（不含任何元素的集合，用記號(hào)表示）集合的表示：集合的表示方法：列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái)，并用花括號(hào)“”括起來(lái)的表示方法。例：描述法：在花括號(hào)內(nèi)先寫

2、上表示這個(gè)集合一般元素的符號(hào)及取值范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征。例：（如果元素的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，范圍可省略不寫）。圖示法（即維恩圖法）：用平面內(nèi)一條封閉曲線的內(nèi)部表示一個(gè)集合。特定集合的表示：自然數(shù)集（非負(fù)整數(shù)集）記作；正整數(shù)集記作；整數(shù)集記作；有理數(shù)集記作；實(shí)數(shù)集記作。（這些特定集合外面不用加）高考要求：理解集合的概念，了解屬于關(guān)系的意義，掌握相關(guān)的術(shù)語(yǔ)符號(hào)，會(huì)表示一些簡(jiǎn)單集合。例題講解：夯實(shí)基礎(chǔ)一、判斷下列語(yǔ)句是否正確1）大于5的自然數(shù)集可以構(gòu)成一個(gè)集合。 正確2）由1，2，3，2，1構(gòu)成一個(gè)集合，這個(gè)集合共有5個(gè)元素。錯(cuò)誤3）所有的偶數(shù)構(gòu)成的集合是無(wú)

3、限集。 正確4）集合則集合和集合是兩個(gè)不同的集合。 錯(cuò)誤二、用符號(hào)或填空。1） 2） 3）4）若，則5）若，則三、用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑?）一次函數(shù)與的交點(diǎn)組成的集合。 區(qū)別是什么？2）絕對(duì)值等于3的全體實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合。3）大于0的偶數(shù)。能力提升1）集合，用列舉法表示集合。2）集合中只有一個(gè)元素，求的值。3）用描述法可將集合表示成_。知識(shí)要點(diǎn)二：集合與集合之間的關(guān)系子集一般地，如果集合中的任何元素都是集合中的元素，那么集合叫做集合的子集記作（包含于）或(包含)即：對(duì)任意，則。顯然，對(duì)于任一集合，規(guī)定。真子集：如果集合，但存在元素,我們稱集合是集合的真子集，記作。集合是任意非空集合的真子集。集

4、合的相等集合如果，同時(shí)，則稱。嚴(yán)格區(qū)分，正確使用“”等符號(hào)。前兩個(gè)是用在元素與集合的關(guān)系上，后三個(gè)是用在集合與集合的關(guān)系上，一定注意區(qū)分。集合關(guān)系與其特征性質(zhì)之間的關(guān)系一般地，設(shè)，如果，則，于是具有性質(zhì)具有性質(zhì)，即。反之，如果，則一定是的子集。集合的運(yùn)算交集一般地，對(duì)于兩個(gè)給定的集合，由屬于又屬于的所有元素構(gòu)成的集合，叫做的交集，記作，讀作“交”；如果則。由定義容易知道：并集一般地，對(duì)于兩個(gè)給定的集合，由，兩個(gè)集合的所有元素構(gòu)成的集合，叫做的并集，記作，讀作“并”；如果則。由定義容易知道補(bǔ)集全集：如果所要研究的集合都是某一給定集合的子集，那么稱這個(gè)給定的集合為全集，通常用來(lái)表示。補(bǔ)集：如果給定

5、集合是全集的一個(gè)子集，由中不屬于的所有元素構(gòu)成的集合，叫做在中的補(bǔ)集，記作，讀作“在中的補(bǔ)集”。高考要求：理解子集、補(bǔ)集、交集、并集的概念。了解全集的意義，了解包含、相等關(guān)系得意義，掌握相關(guān)的術(shù)語(yǔ)、符號(hào)，并會(huì)用它們正確表示一些簡(jiǎn)單的集合。例題講解：夯實(shí)基礎(chǔ)一、用適當(dāng)?shù)姆?hào)填空1） 2） 3） 4）5） 6） 7）二、已知集合，那么的非空真子集有_個(gè)。三、求下列四個(gè)集合間的關(guān)系，并用維恩圖表示。四、已知，求。能力提升一、 若集合滿足，則的個(gè)數(shù)有幾個(gè)？二、 如右圖是全集，是的三個(gè)子集，則陰影部分所表示的集合是（ ） 三、 已知集合，試求實(shí)數(shù)。四、 已知集合，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍。注意：的條件之一就

6、是，這是十分容易遺漏的，另外對(duì)的正確理解應(yīng)是二次方程的根組成的集合。那么應(yīng)該有三種情況：兩個(gè)不等實(shí)根、兩個(gè)相等實(shí)根、無(wú)實(shí)根。而無(wú)實(shí)根就是使得為空集的情況。第二講 函數(shù)及其性質(zhì)知識(shí)要點(diǎn)一：函數(shù)及其相關(guān)概念映射：設(shè)是兩個(gè)非空集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則，對(duì)于集合中的任何一個(gè)元素，在集合中都有唯一的元素與它對(duì)應(yīng)，這樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系叫做從集合到集合的映射。記作：。象與原象：給定一個(gè)集合到集合的映射，且，如果對(duì)應(yīng)那么元素叫做元素的象，元素叫做元素的原象。一一映射：設(shè)是兩個(gè)非空集合，是集合到集合的映射，并且對(duì)于集合中的任意一個(gè)元素，在集合中都有且只有一個(gè)原象，把這個(gè)映射叫做從集合到集合的一一映射。函數(shù)：設(shè)集合是

7、一個(gè)非空數(shù)集，對(duì)中的任意數(shù)，按照確定的法則，都有唯一確定的數(shù)與它對(duì)應(yīng)，則這種對(duì)應(yīng)關(guān)系叫做集合上的一個(gè)函數(shù)，記作：這里叫自變量，自變量的取值范圍叫做這個(gè)函數(shù)的定義域，所有函數(shù)值構(gòu)成的集合，叫做這個(gè)函數(shù)的值域。這里可以看出一旦一個(gè)函數(shù)的定義域與對(duì)應(yīng)法則確定，則函數(shù)的值域也被確定，所以決定一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)條件是：定義域和對(duì)應(yīng)法則。函數(shù)的表示方法：解析法、圖像法、列表法。區(qū)間：定 義名 稱符 號(hào)閉區(qū)間開區(qū)間半開半閉區(qū)間半開半閉區(qū)間閉區(qū)間是包括端點(diǎn)，開區(qū)間不包括端點(diǎn)。實(shí)數(shù)集可以表示為，“”讀作“無(wú)窮大”，例如：“”可以表示為，“”可以表示為。高考要求：了解映射的概念，理解函數(shù)的有關(guān)概念，掌握對(duì)應(yīng)法則圖像等

8、性質(zhì)，能夠熟練求解函數(shù)的定義域、值域。例題講解：夯實(shí)基礎(chǔ)一、判斷下列關(guān)系哪些是映射。1）平方；2）平方；3）求倒數(shù)；4）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；5）其中；二、已知求。三、求下列函數(shù)的定義域。1） 2） 3）四、求函數(shù)解析式：1）已知求。 2）已知，求。3）已知是二次函數(shù)，且滿足求。4）若函數(shù)滿足方程為常數(shù)，且，求。注意：求函數(shù)的解析式大致有如下幾種方法：拼湊法；換元法；待定系數(shù)法；解析法。注意因題型而選擇方法。小結(jié)：求函數(shù)的定義域，就是求使得該函數(shù)表達(dá)式有意義自變量的范圍，大致有如下幾種方法：一次函數(shù)、二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)；函數(shù)表達(dá)式形式是分式的，分母不為0；函數(shù)表達(dá)式形式是根式的，

9、如果開偶次方根，被開方式要大于等于零；如果開奇次方根，被開方式可以取全體實(shí)數(shù)；零指數(shù)冪與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的底數(shù)不能為零；在有實(shí)際意義的解析式中，一定要由實(shí)際問題決定其定義域；多個(gè)限制條件取交集。五、求下列函數(shù)的值域1） 2） 3） 4）注意：函數(shù)的值域一定是在其定義域下控制的值域，隨著所給函數(shù)定義域的不同，相同表達(dá)式的函數(shù)的值域也互不相同。在今后我們將會(huì)學(xué)習(xí)更多的新的函數(shù)和相關(guān)性質(zhì)，也會(huì)對(duì)其定義域和值域在進(jìn)一步探討。知識(shí)要點(diǎn)二：函數(shù)性質(zhì)函數(shù)的單調(diào)性：定義：一般地，設(shè)的定義域?yàn)椋喝绻麑?duì)于定義域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說(shuō)函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；區(qū)間稱為單調(diào)遞增區(qū)間。如果對(duì)于定義

10、域內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值，當(dāng)時(shí)，都有，那么就說(shuō)函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)；區(qū)間稱為單調(diào)遞減區(qū)間。復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減函數(shù)的奇偶性設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果?duì)內(nèi)的任意一個(gè)，都有，且，則這個(gè)函數(shù)叫奇函數(shù)。（如果已知函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)函數(shù)的定義域中有0時(shí)，我們可以得出）設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果?duì)內(nèi)的任意一個(gè)，都有，若，則這個(gè)函數(shù)叫偶函數(shù)。從定義我們可以看出，討論一個(gè)函數(shù)的奇、偶性應(yīng)先對(duì)函數(shù)的定義域進(jìn)行判斷，看其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。也就是說(shuō)當(dāng)在其定義域內(nèi)時(shí)，也應(yīng)在其定義域內(nèi)有意義。圖像特征如果一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)這個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱。如果一個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)這個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱。復(fù)合函數(shù)的

11、奇偶性：同偶異奇。高考要求：掌握函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的概念，掌握判斷一些簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的方法。命題趨向：這一部分歷來(lái)是考試重點(diǎn)，在函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則、定義域、值域，判斷函數(shù)的單調(diào)性，奇、偶性考查較多，而且對(duì)這部分知識(shí)的考查有深度有力度，在客觀題中主要考查一、兩個(gè)性質(zhì)，解答題中的綜合運(yùn)用往往是學(xué)生解題能力的體現(xiàn)，在這里也容易拉開學(xué)生的檔次。例題講解： 夯實(shí)基礎(chǔ)一、判斷下列函數(shù)的單調(diào)性。1） 2）當(dāng)3）在（）二、判斷下列函數(shù)的奇、偶性。1） 奇函數(shù)2） 3）既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù).4） 5）結(jié)論：函數(shù)就奇、偶性來(lái)劃分可以分成奇函數(shù)、偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)、既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)。三、已知是奇函數(shù)

12、，當(dāng)時(shí)，求當(dāng)時(shí)，得解析式。解：設(shè)，則當(dāng)時(shí)，是奇函數(shù)，為所求時(shí)的解析式。能力提升一、已知函數(shù)，若為奇函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值。解：首先考慮定義域，知，由奇函數(shù)的定義建立等式求解計(jì)算起來(lái)就比較麻煩，我們還知道已知函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)函數(shù)的定義域中有0時(shí)，我們可以得出，易得。二、已知是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，且，試求的表達(dá)式。解：令的取得 是偶函數(shù)，是奇函數(shù)， 兩式相加得 兩式相減得三、設(shè)的定義域是，對(duì)于任意都有時(shí)，討論的奇、偶性并加以證明；在上的單調(diào)性并加以證明。求在上的最值。解：在定義域任取，且那么令第三講 基本初等函數(shù)知識(shí)要點(diǎn)：一次函數(shù)與二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)的回顧一 次 函 數(shù)定義域值 域相 關(guān) 概 念性 質(zhì)叫做直

13、線的斜率叫做直線在軸上的截距1），是增函數(shù)，是減函數(shù)。2）當(dāng)，一次函數(shù)變?yōu)檎壤瘮?shù)是奇函數(shù)；當(dāng)，函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。（表一）二 次 函 數(shù)定義域值 域性 質(zhì)，圖像開口向上，對(duì)稱軸方程，頂點(diǎn)單調(diào)性：在對(duì)稱軸左側(cè)遞減右側(cè)遞增。，圖像開口向下，對(duì)稱軸方程，頂點(diǎn)單調(diào)性：在對(duì)稱軸左側(cè)遞增右側(cè)遞減。（表二）指數(shù)與指數(shù)函數(shù)的次方根的定義：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根為正數(shù)，負(fù)數(shù)的次方根是負(fù)數(shù)表示為；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)可以表示為。 負(fù)數(shù)沒有偶次方根。 0的任何次方根都是0。 式子叫做根式，叫做根指數(shù)，叫做被開方數(shù)。次方根的性質(zhì)：當(dāng)為

14、奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， 分指數(shù)的意義：；注意：0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等與0，負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義。有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)： 指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)一般地，函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)?。通過(guò)描點(diǎn)我們得到指數(shù)函數(shù)在底數(shù)取不同范圍時(shí)的大致圖象，現(xiàn)將函數(shù)性質(zhì)總結(jié)如下： 圖 象定義域值 域性 質(zhì)1）過(guò)定點(diǎn)（0，1），即2）在上是減函數(shù)2）在上是增函數(shù)3）當(dāng)；3）當(dāng)；一點(diǎn)建議：學(xué)好函數(shù)一定要對(duì)函數(shù)的各個(gè)性質(zhì)非常了解，死記硬背是不能達(dá)到掌握的要求的，那么在這里給同學(xué)們一點(diǎn)建議，準(zhǔn)確掌握函數(shù)的基本圖象，從圖象中挖掘函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)。對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)一般地，如果，那么數(shù)叫做以為底的對(duì)數(shù)，記作：其中叫做對(duì)數(shù)的底

15、數(shù)，叫做真數(shù)。根據(jù)對(duì)數(shù)的定義我們可以得到對(duì)數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系：這時(shí)我們可以看出負(fù)數(shù)和零沒有指數(shù)，且。對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：如果指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)一般地，函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域。通過(guò)描點(diǎn)我們得到對(duì)數(shù)函數(shù)在底數(shù)取不同范圍時(shí)的大致圖象，現(xiàn)將函數(shù)性質(zhì)總結(jié)如下： 圖 象定義域值 域性 質(zhì)1）過(guò)定點(diǎn)（1，0），即2）在上是減函數(shù)2）在上是增函數(shù)3）當(dāng)；3）當(dāng)；指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)是高中階段的兩個(gè)很重要的函數(shù)，在高考中歷來(lái)都有題目出現(xiàn)對(duì)這兩個(gè)的函數(shù)性質(zhì)要做到掌握精準(zhǔn)，運(yùn)用熟練。高考要求: 1）理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念，掌握有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和運(yùn)算性質(zhì)。 2）理解對(duì)數(shù)的概念，掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和圖象。 3）能夠利用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。例題講解夯實(shí)基礎(chǔ)一、選擇題1）集合則等于（ B ） 2）若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t的取值范圍為（ C ） 二、計(jì)算1） 2）三、比較大小1）已知?jiǎng)t 2），則3）已知?jiǎng)t 4）5） 6）參考答案：,，.四、設(shè)，比較的大小。解： 是增函數(shù) ，。五、計(jì)算中的。解： 六、求的值域。解：設(shè)， 而 。能力提升1求的單調(diào)區(qū)間。解：先求定義域，由于底數(shù)沒有明確范圍，要以底數(shù)分類。設(shè)，1）， 為單調(diào)減函數(shù)， 在，單調(diào)遞減，復(fù)合后為增區(qū)間， 在，單