IIR濾波器設(shè)計值頻率轉(zhuǎn)化

1、 2/95 3/95 單位抽樣響應(yīng)是有限長的，濾波器一定是穩(wěn)定的單位抽樣響應(yīng)是有限長的，濾波器一定是穩(wěn)定的。只要經(jīng)。只要經(jīng) 過一定的延時，任何非因果有限長序列都變成過一定的延時，任何非因果有限長序列都變成的有限的有限 序列。序列。 FIR數(shù)字濾波器具有數(shù)字濾波器具有、。 1 0 )()( N n n znhzH 4/95 ( ) ( )(1) 1 2 1 ( 01 ) 2 h N nh NN N nn ， 5/95 N N又分兩種情況又分兩種情況： 偶數(shù)偶數(shù) 奇數(shù)奇數(shù) 此時，幅度為： 1 0 1 ( )( )cos 2 N n N Hh nn 6/95 0 ( ) 0 1 2 2 ( 1 (

2、) 2 )(1), 2 01h nh Nnn N N N 7/95 N N分兩種情況：分兩種情況： 偶數(shù)偶數(shù) 奇數(shù)奇數(shù) 1 0 1 ( )( )sin 2 N n N Hh nn 此時，幅度為： 8/95 選擇有限長選擇有限長，得到系統(tǒng)函數(shù)，得到系統(tǒng)函數(shù) ，使得：，使得： ； 。 ( )h n( )H z ( )H ( ) 擬設(shè)計： 一個FIR濾波器頻率響應(yīng)： 去逼近。 1 0 )()( N n njj enheH () j d He 9/95 ( ) d hn() j d He 其中：其中： 0 )( )( nh nh d 0nN-1 其他 () j H e ( )h n 10/95 , (

3、) 0, j c j d c e H e 若沒有若沒有90相移的特殊要求，一般選擇濾波器具有相移的特殊要求，一般選擇濾波器具有線性線性 相位：相位： ( ) j (e ) d H 1 2 N 11/95 jj 1 ( )() 2 1 d 2 sin() () c c jj n d n c d h nHeed ee n n 如果很復(fù)雜或不能直接計算積分，則必須用求和代替積分，以 便在計算機上計算，也就是要計算離散，一般都采用采用 FFT來計算來計算。 ( ) d h n j (e ) d H 12/95 由由及及的要求，可的要求，可，并，并 窗口長度窗口長度 。原則是在保證阻帶衰減滿足要求的情況

4、下，。原則是在保證阻帶衰減滿足要求的情況下， ： 計算所設(shè)計的計算所設(shè)計的FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)（濾波器的單位脈沖響應(yīng)（）：）： ( )( ) ( ) d h nhn w n 由由h(n)求求FIR濾波器的系統(tǒng)函數(shù)濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z) ： 1 0 )()( N n n znhzH ( )w n 13/95 設(shè)計一個線性相位的FIR低通濾波器，指標如下： l 采樣頻率fs=15kHz l 通帶截止頻率p=21.5103 rad/s l 阻帶起始頻率s=23103 rad/s l 阻帶最小衰減-50 dB|H(j)| 1.0 0.5 0pcs 0 dB 50 dB 14/95 【解解】 首

5、先給出的， 求出對應(yīng)的： 通帶截止頻率 2 . 0 s p p f 阻帶截止頻率 s s s 0.4 f 最后，得到理想低通濾波器的頻響： -j cj d e| (e ) 0 H 其他 再求3dB截止頻率： rad/s)(102.252)( 2 1 3 sp c 其對應(yīng)的數(shù)字頻率: 3 . 0 s c c f T 15/95 進一步得到時域表達式： c c -j-j-j () c d - sin()11 ( )eeded 22() nn n h n n 1 2 N 由于2=50dB，查表7.2.2，可選，其阻帶最小衰減-53dB滿足 要求。所要求的過渡帶寬：2 . 0 ps 由于哈明窗過渡帶寬

6、滿足 ，因此，得到： 6.66.6 33 0.2 1 16 2 N N N 6 . 6 )( 1 2 cos46.054.0)(nR N n nw N )(nhd N 16/95 確定FIR濾波器的h(n)： d ( )( )( ) sin0.3(16) 0.54 0.46cos( ) (16)16 N h nh n w n nn Rn n 由h(n)求H(ej)，檢驗各項指標是否滿足要求。 17/95 MATLAB提供了提供了fir1函數(shù)，以實現(xiàn)線性相位函數(shù)，以實現(xiàn)線性相位FIR濾波器。濾波器。 調(diào)用格式如下：調(diào)用格式如下： nN：階數(shù)：階數(shù) nwc：歸一化的數(shù)字頻率，：歸一化的數(shù)字頻率，0

7、wc1。 當當ftype=high時，設(shè)計高通時，設(shè)計高通FIR 濾波器；當濾波器；當ftype=stop時，設(shè)計帶阻時，設(shè)計帶阻FIR濾波器。注意，在設(shè)計高通和濾波器。注意，在設(shè)計高通和 帶阻濾波器時，階數(shù)帶阻濾波器時，階數(shù)N只能取偶數(shù)只能取偶數(shù)(h(n)長度長度N+1為奇數(shù)為奇數(shù))。不過，當用。不過，當用 戶將戶將N設(shè)置為奇數(shù)時，設(shè)置為奇數(shù)時，fir1會自動對會自動對N加加1。 hamming窗窗 18/95 %使用使用Bartlett窗設(shè)計窗設(shè)計 %使用使用Chebyshev窗設(shè)計窗設(shè)計 %N=h(n)的長度減的長度減1 19/95 用窗函數(shù)法設(shè)計線性相位的用窗函數(shù)法設(shè)計線性相位的FIR

8、低通濾波器，實現(xiàn)對模擬信號采樣后低通濾波器，實現(xiàn)對模擬信號采樣后 進行數(shù)字低通濾波，對進行數(shù)字低通濾波，對的濾波要求如下：的濾波要求如下： 通帶截止頻率：通帶截止頻率：=2 kHz 阻帶截止頻率：阻帶截止頻率：=3 kHz 阻帶最小衰減：阻帶最小衰減：40 dB 采樣頻率：采樣頻率： =10 kHz 選擇合適的窗函數(shù)及其長度，求出選擇合適的窗函數(shù)及其長度，求出 ，并畫出幅頻特性衰減曲線和，并畫出幅頻特性衰減曲線和 相頻特性曲線。相頻特性曲線。 p f s f s F ( )h n 20/95 【解【解】 根據(jù)題意確定相應(yīng)的數(shù)字濾波器指標：根據(jù)題意確定相應(yīng)的數(shù)字濾波器指標： 通帶截止頻率：通帶截

9、止頻率： 阻帶截止頻率：阻帶截止頻率： 阻帶最小衰減：阻帶最小衰減： 過渡帶寬度：過渡帶寬度： 2 4000 0.4 10000 p p s f F 26000 0.6 10000 s s s f F 0.2 sp B 40 dB 21/95 選擇窗函數(shù)選擇窗函數(shù)w(n)，計算窗函數(shù)長度，計算窗函數(shù)長度N 由阻帶衰減為由阻帶衰減為40 dB知道，知道，hanning和和hamming窗函數(shù)都滿足要求，這窗函數(shù)都滿足要求，這 兩種窗函數(shù)過渡帶寬度相同。這里選兩種窗函數(shù)過渡帶寬度相同。這里選hamming窗：窗： hamming窗函數(shù)的過渡帶寬度為：窗函數(shù)的過渡帶寬度為： 所以應(yīng)當滿足：所以應(yīng)當滿

10、足： 解之得到：解之得到： 8 N 8 B N 8 40N B 22/95 確定希望逼近的理想低通濾波器截止頻率確定希望逼近的理想低通濾波器截止頻率 我們知道，我們知道， 頻率點頻率點 (該點為過渡帶中心該點為過渡帶中心)處濾波器頻響幅度為處濾波器頻響幅度為0.5(等等 價于衰減價于衰減6dB)， 所以：所以： c 0.40.10.5 2 cp B c %初始化初始化 %參數(shù)轉(zhuǎn)化參數(shù)轉(zhuǎn)化 %計算過渡帶的寬度計算過渡帶的寬度 % 計算階數(shù)計算階數(shù)N，ceil(x)取取x 的整數(shù)的整數(shù) %設(shè)置理想帶通截止頻率設(shè)置理想帶通截止頻率() 23/95 % 求求h(n) % 以下為計算頻率相應(yīng)函數(shù)和繪圖部

11、分以下為計算頻率相應(yīng)函數(shù)和繪圖部分 % 求求h(n)的的FFT變換變換 % 繪制繪制h(n)的火柴桿圖的火柴桿圖 % 繪制繪制h(n)的角頻譜圖的角頻譜圖(rad/s) 24/95 所設(shè)計的濾波器如下：所設(shè)計的濾波器如下： 25/95 26/95 ( )3sin(2 10030 /180) 1.5cos(2 25090 /180) 5cos(2 270) x tt t t 27/95 clear all; A1=3; % 信號信號1的幅度的幅度 A2=1.5; % 信號信號2的幅度的幅度 A3=5; % 信號信號3的幅度的幅度 f1=100; % 信號信號1的頻率的頻率(Hz) f2=250;

12、 % 信號信號2的頻率的頻率(Hz) f3=270; % 信號信號3的頻率的頻率(Hz) Fs=1024; % 采樣頻率采樣頻率(Hz) P1=-30; % 信號信號1的相位的相位(度度) P2=90; % 信號信號2的相位的相位(度度) P3=0; % 信號信號3的相位的相位(度度) N=1024; % 采樣點數(shù)采樣點數(shù) t=0:1/Fs:2*pi; % 采樣時刻采樣時刻 x=A1*sin(2*pi*f1*t+pi*P1/180)+A2*cos(2*pi*f2*t+pi*P2/180)+A3*sin(2*pi *f3*t+pi*P3/180); 28/95 fp=100; % 通帶截止頻率通

13、帶截止頻率 實際實驗時根據(jù)需要調(diào)整實際實驗時根據(jù)需要調(diào)整 fs=150; % 阻帶截止頻率阻帶截止頻率 wp=2*pi*fp/Fs; % ： ws=2*pi*fs/Fs; B=ws-wp; % 計算過渡帶的寬度計算過渡帶的寬度 M=ceil(8*pi/B); % 計算階數(shù)計算階數(shù)M wc=(wp+B/2)/pi; % 設(shè)置理想帶通截止頻率設(shè)置理想帶通截止頻率(歸一化歸一化) hn=fir1(M-1,wc);% 得到得到h(n) 29/95 subplot(2,2,1); f=0:2*pi/100:2*pi; plot(f,x(1:101);title(濾波前的信號濾波前的信號); Xk = f

14、ft(x,N); % FFT變換變換 Axx = (abs(Xk); % 取模取模 Axx=Axx/(N/2); % 換算成實際幅度換算成實際幅度:An=A/(N/2) Axx(1)=Axx(1)/2; % 換算第換算第1個點模值：個點模值：A0=A/N F=(1:N-1)*Fs/N; % 換算成實際頻率值：換算成實際頻率值：F=(n-1)*Fs/N subplot(2,2,2); plot(F(1:N/2),Axx(1:N/2); % 顯示換算后結(jié)果顯示換算后結(jié)果,僅顯示左半部分僅顯示左半部分 title(濾波前信號的頻譜濾波前信號的頻譜); 30/95 Hk=fft(hn,N); Yk=X

15、k.*Hk; y=ifft(Yk); subplot(2,2,3); plot(f,y(1:101);title(濾波后的信號濾波后的信號); Ayy = (abs(Yk); Ayy=Ayy/(N/2); Ayy(1)=Ayy(1)/2; F=(1:N-1)*Fs/N; subplot(2,2,4); plot(F(1:N/2),Ayy(1:N/2); title(濾波后信號的頻譜濾波后信號的頻譜); 31/95 32/95 功率譜密度函數(shù)在整個頻域內(nèi)服從均勻分布。功率譜密度函數(shù)在整個頻域內(nèi)服從均勻分布。 之所以稱為之所以稱為“白白”噪聲，是因為其類似于光學(xué)中包括全部可見光頻率噪聲，是因為其類

16、似于光學(xué)中包括全部可見光頻率 在內(nèi)的白光。在內(nèi)的白光。 凡是不符合上述條件的噪聲就稱為凡是不符合上述條件的噪聲就稱為。 白噪聲是一種理想化模型，白噪聲在數(shù)學(xué)處理上比較方便。白噪聲是一種理想化模型，白噪聲在數(shù)學(xué)處理上比較方便。 一般地，只要一個一般地，只要一個 。 例如，熱噪聲和散彈噪聲在很寬的頻率范圍內(nèi)具有均勻的功率譜密度，例如，熱噪聲和散彈噪聲在很寬的頻率范圍內(nèi)具有均勻的功率譜密度， 通常均認為是白噪聲通常均認為是白噪聲. 33/95 通信系統(tǒng)中的某些噪聲的統(tǒng)計特性或數(shù)字特征符合高斯通信系統(tǒng)中的某些噪聲的統(tǒng)計特性或數(shù)字特征符合高斯 過程（正態(tài)隨機過程）的統(tǒng)計特性或數(shù)字特征，則稱該過程（正態(tài)隨

17、機過程）的統(tǒng)計特性或數(shù)字特征，則稱該 噪聲為高斯噪聲：噪聲為高斯噪聲： 經(jīng)大量觀察表明，高斯噪聲始終存在于任何一種信道中，經(jīng)大量觀察表明，高斯噪聲始終存在于任何一種信道中， 因而，對它的研究具有特別重要的實際意義。因而，對它的研究具有特別重要的實際意義。 2 2 1() ( )exp 22 x p x 34/95 概率密度函數(shù)分布的正態(tài)性概率密度函數(shù)分布的正態(tài)性 功率譜密度函數(shù)分布的均勻性功率譜密度函數(shù)分布的均勻性 當高斯噪聲通過窄帶系統(tǒng)時，即形成窄帶高斯噪聲當高斯噪聲通過窄帶系統(tǒng)時，即形成窄帶高斯噪聲 。 35/95 1. 產(chǎn)生產(chǎn)生高斯白噪聲高斯白噪聲 y = wgn(m,n,p) 產(chǎn)生產(chǎn)生

18、m行行n列高斯白噪聲矩陣，列高斯白噪聲矩陣，p指定輸出噪聲的強度。指定輸出噪聲的強度。 y = wgn(m,n,p,imp) 以歐姆以歐姆(Ohm)為單位指定負載阻抗。為單位指定負載阻抗。 y = wgn(m,n,p,imp,state) 重置重置RANDN的狀態(tài)。的狀態(tài)。 在數(shù)值變量后還可附加一些標志性參數(shù)：在數(shù)值變量后還可附加一些標志性參數(shù)： A.y = wgn(,POWERTYPE) 指定指定p的單位。的單位。POWERTYPE可以是可以是dBW,dBm或或linear。線性強。線性強 度度(linear power)以瓦特以瓦特(Watt)為單位。為單位。 B.y = wgn(,OUT

19、PUTTYPE) 指定輸出類型。指定輸出類型。OUTPUTTYPE可以是可以是real或或complex。 36/95 37/95 2. 在信號在信號x中加入高斯白噪聲中加入高斯白噪聲 y = awgn(x,SNR) 信噪比信噪比SNR以以dB為單位。為單位。x的強度假定為的強度假定為0dBW。 y = awgn(x,SNR,SIGPOWER) 如果如果SIGPOWER是數(shù)值，則其代表以是數(shù)值，則其代表以dBW為單位的信號強度；如果為單位的信號強度；如果 SIGPOWER為為measured，則函數(shù)將在加入噪聲之前測定信號強度。，則函數(shù)將在加入噪聲之前測定信號強度。 y = awgn(x,SN

20、R,SIGPOWER,STATE) 重置重置RANDN的狀態(tài)。的狀態(tài)。 y = awgn(,POWERTYPE) 指定指定SNR和和SIGPOWER單位。單位。POWERTYPE可以是可以是dB或或linear。 如果如果POWERTYPE是是dB，那么，那么SNR以以dB為單為單 位，而位，而SIGPOWER 以以dBW為單位。如果為單位。如果POWERTYPE是是linear，那么，那么SNR作為比值來作為比值來 度量，而度量，而SIGPOWER以瓦特為單位。以瓦特為單位。 38/95 N=1000; t=linspace(0,50,N); x=3*sin(2*pi*0.2*t); y=(

21、x,15,measured); subplot(2,1,1); plot(t,x); subplot(2,1,2); plot(t,y); 39/95 MATLAB提供了高斯噪聲的濾除函數(shù)：提供了高斯噪聲的濾除函數(shù)： 40/95 bt = . 3; o = 8; n = 2； h = gaussfir(bt,n,o);% 產(chǎn)生高斯濾波器產(chǎn)生高斯濾波器 t=linspace(0,50,1000); x=3*sin(2*pi*0.2*t); y=awgn(x,15,measured); subplot(3,1,1); plot(t,x);% 原信號原信號 subplot(3,1,2); plot(

22、t,y);% 加噪后的信號加噪后的信號 Signal=conv(y,h);% 時域濾波（通過卷積運算）時域濾波（通過卷積運算） subplot(3,1,3); plot(Signal);% 濾波后信號濾波后信號 41/95 Fs=256; N=256; t=0:1/N:1;% 產(chǎn)生原始信號產(chǎn)生原始信號 tt=0:2*pi/100:2*pi; ut=2*sin(2*pi*30*t); figure(1)；subplot(3,2,1); plot(tt,ut(1:101);grid on; title(原始信號波形原始信號波形); ylabel(u(t); Uk = fft(ut,N); Axx

23、= (abs(Uk); Axx=Axx/(N/2); Axx(1)=Axx(1)/2; F=(1:N-1)*Fs/N; subplot(3,2,2); plot(F(1:N/2),Axx(1:N/2); ylabel(FFT(u); title(原始信號頻譜原始信號頻譜); ( )2sin(60)u tt 42/95 xt=awgn(ut,10,0); %加入高斯白噪聲加入高斯白噪聲 subplot(3,2,3); plot(tt,xt(1:101);grid on; title(加噪后的信號波形加噪后的信號波形); ylabel(x(t); Xk=fft(xt,N); Axx = (abs(

24、Xk); Axx=Axx/(N/2); Axx(1)=Axx(1)/2; F=(1:N-1)*Fs/N; subplot(3,2,4); plot(F(1:N/2),Axx(1:N/2); title(加噪后的信號頻譜加噪后的信號頻譜); ylabel(FFT(x); 43/95 fp=30; %初始化初始化 fs=40; wp=2*pi*fp/Fs; %參數(shù)轉(zhuǎn)化參數(shù)轉(zhuǎn)化 ws=2*pi*fs/Fs; B=ws-wp; %計算過渡帶的寬度計算過渡帶的寬度 M=ceil(8*pi/B); % 計算階數(shù)計算階數(shù)N，ceil(x)取大于等于取大于等于x的整數(shù)的整數(shù) wc=(wp+B/2)/pi; %

25、設(shè)置理想截止頻率設(shè)置理想截止頻率(關(guān)于關(guān)于歸一化歸一化) hn=fir1(M-1,wc); Hk=fft(hn,N); Tempk=Xk.*Hk; yt=ifft(Tempk); % 信號濾波信號濾波 44/95 subplot(3,2,5); plot(tt,yt(1:101); grid on; title(消噪后的信號波形消噪后的信號波形) ylabel(y(t); Yk=fft(yt,N); Axx = (abs(Yk); Axx=Axx/(N/2); Axx(1)=Axx(1)/2; F=(1:N-1)*Fs/N; subplot(3,2,6); plot(F(1:N/2),Axx(

26、1:N/2); title(消噪后的信號頻譜消噪后的信號頻譜); ylabel(FFT(y); 45/95 結(jié)果如下：結(jié)果如下： 46/95 ( )3sin(2 10030 /180) 1.5cos(2 18090 /180) 5cos(2 270) x tt t t 47/95 % 信號信號1的幅度的幅度 % 信號信號2的幅度的幅度 % 信號信號3的幅度的幅度 % 信號信號1的頻率的頻率(Hz) % 信號信號2的頻率的頻率(Hz) % 信號信號3的頻率的頻率(Hz) % 信號信號1的相位的相位(度度) % 信號信號2的相位的相位(度度) % 信號信號3的相位的相位(度度) % 采樣頻率采樣頻

27、率(Hz) % 采樣點數(shù)采樣點數(shù) % 采樣時刻采樣時刻 48/95 49/95 Fs=512; fp=250; fs=190； Rp=1;Rs=25; wp=(fp/Fs)*2*pi; ws=(fs/Fs)*2*pi; N,Wc=buttord(wp,ws,Rp,Rs,s); B1,A1=butter(N,Wc,high,s); z,p,k=(N); b,a = (z, p, k); B2,A2 = (b, a, Wc); h1,w = freqs(B1,A1); subplot(2,1,1);plot(w*Fs/(2*pi),abs(h1);axis(0,Fs,0,1.2); title(直

28、接設(shè)計高通濾波器直接設(shè)計高通濾波器); h2,w = freqs(B2, A2); subplot(2,1,2);plot(w*Fs/(2*pi), abs(h2); axis(0,Fs,0,1.2); title(頻率變換法設(shè)計高通濾波器頻率變換法設(shè)計高通濾波器); 50/95 因此，為了使設(shè)計規(guī)范化，通常將濾波器的頻率參數(shù)進行歸一化處理。 由于實際濾波器的頻率范圍直接取決于應(yīng)用，因此必然千差萬別。 因此不論那一種濾波器的設(shè)計，都因此不論那一種濾波器的設(shè)計，都 先將該濾波器的技術(shù)指標先將該濾波器的技術(shù)指標轉(zhuǎn)化為頻率歸一化的低通濾波器轉(zhuǎn)化為頻率歸一化的低通濾波器的技術(shù)指標，的技術(shù)指標， 按照該

29、指標按照該指標先設(shè)計低通濾波器先設(shè)計低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，的系統(tǒng)函數(shù)， 再通過再通過頻率變換頻率變換，得到所需類型系統(tǒng)函數(shù)。，得到所需類型系統(tǒng)函數(shù)。 51/95 其歸一化之后的系統(tǒng)函數(shù)和頻率響應(yīng)分別為： 系統(tǒng)函數(shù)：系統(tǒng)函數(shù)： ( ) a Hq (j ) a H 頻率響應(yīng)：頻率響應(yīng)： 設(shè)所要設(shè)計的模擬高通、帶通或帶阻濾波器： ( ) a Hs 系統(tǒng)函數(shù)：系統(tǒng)函數(shù)： 頻率響應(yīng)：頻率響應(yīng)： (j ) a H 歸一化復(fù)變量 q 與歸一化頻率的關(guān)系為： qj 將頻率歸一化處理后的原型模擬低通濾 波器稱為歸一化 ： 系統(tǒng)函數(shù)：系統(tǒng)函數(shù)：G ( ) a p (j ) a G 頻率響應(yīng)：頻率響應(yīng)： 52/95

30、 若用通帶截止頻率 進行歸一化處理，得歸一化頻率： PS 、通帶、阻帶截止頻率分別為： P 1 p P p 顯然：歸一化通帶截止頻率 SSP 歸一化阻帶截止頻率 若令歸一化為 p，則有： j j pp s p ( )( ) p s aa p HsGp 53/95 用模擬高通濾波器的通帶截用模擬高通濾波器的通帶截 止頻率止頻率 進行歸一化：進行歸一化： p 1 / p ssp 54/95 歸一化低通頻率歸一化低通頻率與高通與高通的對應(yīng)關(guān)系如下：的對應(yīng)關(guān)系如下： 顯然，顯然，與與之間的頻率變換關(guān)系為：之間的頻率變換關(guān)系為： 的歸一化復(fù)變量的歸一化復(fù)變量 p 與與 的復(fù)變量的復(fù)變量 s 之間的映之間

31、的映 射關(guān)系為：射關(guān)系為： G ( ) a p ( ) a Hs j1 j jj pp p s ( )( )p aa p s HsGp 與與 的映射關(guān)系為：的映射關(guān)系為：G ( ) a p( ) a Hs 1 p s 1 p ss 0- +0 1 55/95 ph pl sh sl BWphpl 0phpl 用用 對頻率進行歸一化處理：對頻率進行歸一化處理： BW BWBWBWBW plslph sh phplshsl 、 2 0php l 56/95 只要將只要將 的整個曲線對應(yīng)于的整個曲線對應(yīng)于 的右半邊的右半邊 曲線，就可以實現(xiàn)低通到帶通的變換曲線，就可以實現(xiàn)低通到帶通的變換 ： |(j

32、 )| a G|(j )| a H 57/95 與與之間的頻率變換關(guān)系為：之間的頻率變換關(guān)系為： 22 0 的歸一化復(fù)變量的歸一化復(fù)變量 p 與與 的復(fù)變量的復(fù)變量 s 之間的映射關(guān)系為：之間的映射關(guān)系為： G ( ) a p( ) a Hs 2 22222222 0000 BWBW (j )(j ) j jjj() phpl phpl s s p ss 2 () ( )( )phpl phpl s aa p s HsGp 與與 的的 G ( ) a p ( ) a Hs 映射關(guān)系為：映射關(guān)系為： 58/95 其歸一化頻率為：其歸一化頻率為： BWshsl 59/95 與與 的映射關(guān)系為：的映

33、射關(guān)系為： G ( ) a p ( ) a Hs 2 () ( )( )phpl phpl s aa p s HsGp 與與之間的頻率變換關(guān)系為：之間的頻率變換關(guān)系為： 22 0 邊界頻率邊界頻率 ， 滿足：滿足： 1 p s 2222 00 min, sl sh s shsl 60/95 按下式：按下式： 即可求出即可求出 對應(yīng)的階次對應(yīng)的階次 N 和和 3dB 截止頻率截止頻率 。 G ( ) a p c 0.1 0.1 11 0.1 0.1 22 101 lg2lg 101 (101)(101) p s p s s NN cs N 查表可確定查表可確定巴特沃斯歸一化原型系統(tǒng)函數(shù)巴特沃斯歸

34、一化原型系統(tǒng)函數(shù) ，則有：，則有： ( ) an Gu ( )( ) c p aan u GpGu 61/95 高通：高通： psps 、 0BWphplshslps 、 、 、 帶通、帶阻：帶通、帶阻： 帶通、帶阻：帶通、帶阻： 2 0phplshsl 、 1 ps 、高通：高通： G ( ) a p 1 psps G ( ) a p 62/95 設(shè)計一個模擬高通濾波器，指標如下：設(shè)計一個模擬高通濾波器，指標如下： 由題意，得到模擬高通濾波器的技術(shù)指標（由題意，得到模擬高通濾波器的技術(shù)指標（）：）： 50Hz s f 阻帶截止頻率阻帶截止頻率 3 dB p 通帶最大衰減通帶最大衰減 30 d

35、B s 阻帶最小衰減阻帶最小衰減 100Hz p f 通帶截止頻率通帶截止頻率 3 dB p 200rad s p 100rad s s 30 dB s 1 0.5 p p p s s p 歸一化頻率為：歸一化頻率為： cp 3 dB截止頻率截止頻率 2 f 63/95 歸一化原型模擬低通濾波器歸一化原型模擬低通濾波器 的技術(shù)指標要求為：的技術(shù)指標要求為：G ( ) a p 1 p 12 ss 3 dB p 30 dB s 設(shè)計設(shè)計歸一化原型模擬低通歸一化原型模擬低通濾波器濾波器 G ( ) a p 1 0.1 2 5 (101)1.0025rad/s sN cs N 查查P157表表6.2.

36、1得：得： 2345 1 ( ) 1 3.23615.23615.23613.2361 an G u uuuuu ( )( ) c aanp u GpGu 1 64/95 確定模擬高通濾波器確定模擬高通濾波器 ( )( )p aa p s HsGp 65/95 l 輸入?yún)?shù)：輸入?yún)?shù)：wp，ws分別為通帶和阻帶的實際截止頻率，單位為分別為通帶和阻帶的實際截止頻率，單位為 rad/s。 當當wpws時，此時為低通濾波器；時，此時為低通濾波器； 當當wswp時，為高通濾波器；時，為高通濾波器； 當當wp和和ws為二元時，為帶通或帶阻濾波器為二元時，為帶通或帶阻濾波器，此時，此時wc也是二元。也是二

37、元。 l 輸入?yún)?shù)：輸入?yún)?shù)：Rp，Rs為通帶最大衰減和阻帶最小衰減；為通帶最大衰減和阻帶最小衰減； l 輸出參數(shù)：輸出參數(shù)：N，wc將作為另一個函數(shù)將作為另一個函數(shù)butter的輸入?yún)?shù)。的輸入?yún)?shù)。 用于求解巴特沃斯模擬濾波器的階數(shù)用于求解巴特沃斯模擬濾波器的階數(shù)N和和3dB截止頻率截止頻率wc。格式如下：。格式如下： 66/95 % N：濾波器階數(shù)：濾波器階數(shù) 返回參數(shù)返回參數(shù)z、p 和和 k 分別為零點、極點向量和增益常數(shù)。分別為零點、極點向量和增益常數(shù)。 l 由于沒有零點，所以一般由于沒有零點，所以一般z為空。為空。 l p為為N長的向量，表示極點。長的向量，表示極點。 l k為增益

38、因子。為增益因子。 用于設(shè)計巴特沃斯用于設(shè)計巴特沃斯（ ）模擬低通原型系統(tǒng)的函數(shù)）模擬低通原型系統(tǒng)的函數(shù):1 c 12 ( ) ( ) ( )()().() a n Z pk Gp P ppppppp 67/95 用于將由用于將由z、p和和k表示的系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)換為有理分式的形式：表示的系統(tǒng)函數(shù)轉(zhuǎn)換為有理分式的形式： 11 11 .b( ) ( ) a( ). n nn a m mm b pb pbp Gp pa pa pa 此時仍然是歸一化頻此時仍然是歸一化頻 率的原型濾波器，即率的原型濾波器，即 截止頻率為截止頻率為1 rad/s。 68/95 用于將截止頻率為用于將截止頻率為1 rad/s的

39、的原型模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)分別原型模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)分別 為指定頻率為指定頻率Wo（及帶寬（及帶寬Bw）的）的的模擬低通、高通、帶通的模擬低通、高通、帶通 和帶阻濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。和帶阻濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。 ( )( ) aa GpHs 69/95 進行拉普拉斯變換，返回進行拉普拉斯變換，返回S域的頻響特性。域的頻響特性。 l B：分子多項式系數(shù)；：分子多項式系數(shù)； l A：分母多項式系數(shù)；：分母多項式系數(shù)； l w：一個實向量，一般表示為角頻：一個實向量，一般表示為角頻 rad/s。如作為輸入?yún)?shù)向量，則表示。如作為輸入?yún)?shù)向量，則表示 需要計算頻響的對應(yīng)頻率點。需要計算頻響的對應(yīng)頻

40、率點。 l n：為需計算的點數(shù)。此時自動產(chǎn)生一個長度為：為需計算的點數(shù)。此時自動產(chǎn)生一個長度為n的向量的向量w。 如果省略如果省略n，則自動取，則自動取n=200個點。個點。 l h：返回的復(fù)頻響應(yīng)。：返回的復(fù)頻響應(yīng)。 70/95 有的書上要求歸一化是對有的書上要求歸一化是對 Wp進行的，此時可以改進行的，此時可以改 為為w1*Wp。 71/95 此時此時wpws，表，表 示為高通濾波器示為高通濾波器 72/95 此時的通帶、阻帶截此時的通帶、阻帶截 止頻率均為二元，表止頻率均為二元，表 示為帶通濾波器。示為帶通濾波器。 73/95 % 原型低通原型低通實際帶阻實際帶阻 74/95 確定擬設(shè)計

41、的確定擬設(shè)計的（如數(shù)字高通）的技術(shù)（如數(shù)字高通）的技術(shù)； 將上述指標轉(zhuǎn)換成對應(yīng)的將上述指標轉(zhuǎn)換成對應(yīng)的（如模擬高通）的技術(shù)（如模擬高通）的技術(shù)： 將轉(zhuǎn)換后的模擬濾波器指標再轉(zhuǎn)換成將轉(zhuǎn)換后的模擬濾波器指標再轉(zhuǎn)換成； 按前面所學(xué)的方法設(shè)計模擬低通濾波器；按前面所學(xué)的方法設(shè)計模擬低通濾波器； 將得到的模擬低通通過頻率變換，轉(zhuǎn)換成所需類型的模擬濾波器。將得到的模擬低通通過頻率變換，轉(zhuǎn)換成所需類型的模擬濾波器。 采用雙線性變換法等，將所設(shè)計的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成所對應(yīng)類型的數(shù)采用雙線性變換法等，將所設(shè)計的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成所對應(yīng)類型的數(shù) 字濾波器。字濾波器。 21 tan 2T 75/95 設(shè)計的數(shù)字設(shè)計的數(shù)

42、字 濾波器指標濾波器指標 對應(yīng)的模擬對應(yīng)的模擬 濾波器指標濾波器指標 模擬低通模擬低通 濾波器指標濾波器指標 需要的需要的 數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器 對應(yīng)的對應(yīng)的 模擬濾波器模擬濾波器 76/95 設(shè)計設(shè)計，要求如下：，要求如下： n 通帶截止頻率通帶截止頻率 n 通帶最大衰減通帶最大衰減 n 阻帶截止頻率阻帶截止頻率 n 阻帶最小衰減阻帶最小衰減 將上述指標將上述指標轉(zhuǎn)換為轉(zhuǎn)換為（令（令T=1）：）： 15 Hs dB 0.8 Hp rad 3 Hp dB 0.44 Hs rad 1 2tan6.155/ , 3 2 1 2tan1.655/ , 15 2 HpHpHp HsHsHs rad s

43、dB rad sdB 77/95 再轉(zhuǎn)換為再轉(zhuǎn)換為的技術(shù)指標：的技術(shù)指標： 11 0.163/ , 3 6.155 11 0.604/ , 15 1.655 LpLp Hp LsLs Hs rad sdB rad sdB 將將 和和 （這里?。ㄟ@里取 ）：）： 1 3.71 LpLp p cLp LsLs s cLp Ls Lp cLp 78/95 設(shè)計設(shè)計模擬低通濾波器模擬低通濾波器 ： 模擬低通濾波器的階數(shù)模擬低通濾波器的階數(shù)N計算如下：計算如下： 0.1 0.1 101 0.1803 101 3.71 lg 1.31 lg Lp Ls sp s sp p sp sp k k N 2N 這

44、里，取：這里，?。?( )G p 79/95 通過查表，可輕易得到通過查表，可輕易得到模擬模擬傳輸函數(shù)傳輸函數(shù)為為 2 1 ( ) 21 G p pp 2 22 ( ) 2 c cc G s ss 下面進行去歸一化。將下面進行去歸一化。將 代入上式得到：代入上式得到： c s p ( )G p 80/95 22 22 1 ( ) 21 a c cc HsG s s ss 將模擬低通轉(zhuǎn)換成模擬高通：將模擬低通轉(zhuǎn)換成模擬高通： 將將 中的變量進行替換，即：中的變量進行替換，即： 即可得到模擬高通濾波器即可得到模擬高通濾波器 ： ( )G s 1 s s ( ) a Hs 81/95 用用將模擬高通

45、轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通將模擬高通轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通 1 1 1 21 1 2 12 1 2 12 ( )( ) 0.106(1) 1.624 1.9470.566 0.0653(1) 1 1.1990.349 a z s z H zHs z zz z zz 82/95 設(shè)計一個數(shù)字帶通濾波器，技術(shù)指標如下：設(shè)計一個數(shù)字帶通濾波器，技術(shù)指標如下： n通帶通帶上上截止頻率截止頻率 n通帶通帶下下截止頻率截止頻率 n阻帶阻帶上上截止頻率截止頻率 n阻帶阻帶下下截止頻率截止頻率 n通帶內(nèi)最大衰減通帶內(nèi)最大衰減 n阻帶內(nèi)最小衰減阻帶內(nèi)最小衰減 0.4 u rad 0.3 l rad 2 0.5 s rad 1 0.2 s rad 3 dB p 18 dB s 83/95 （1）將上述指標轉(zhuǎn)換為模擬帶通濾波器的指標（設(shè)）將上述指標轉(zhuǎn)換為模擬帶通濾波器的指標（設(shè)T=1）：）： 22 11 1 2tan1.453/ 2 1 2tan1.019/ 2 1 2tan2/ 2 1 2tan0.650/ 2 uu ll ss ss rad s rad s rad s rad s 通帶中心通帶中心 通帶帶寬通帶帶寬 0.434/ ul Brad s 0 1.217/ ul rad s 2 2 1 1 0 0 3.348 2.348 4.608 1.498