n維向量空間PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1 n維向量空間維向量空間 2 上一節(jié)我們介紹了消元法，對(duì)于具體地解線性 方程組，用消元法是一個(gè)最有效和最基本的方法. 但是，有時(shí)候需要直接從原方程組來(lái)看出它是否有 解，這樣，消元法就不能用了. 同時(shí)，用消元法化 方程組成階梯形，剩下來(lái)的方程的個(gè)數(shù)是否唯一決 定的呢，這個(gè)問(wèn)題也是沒(méi)有解決的. 這些問(wèn)題就要 求我們對(duì)線性方程組還要作進(jìn)一步的研究. 一個(gè)線性方程組的解的情況是被方程組中方程 之間的關(guān)系所確定的. 比如說(shuō)，在方程組 首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第1頁(yè)/共14頁(yè) 3 123 123 123 231 , 4254 , 241 . xxx xxx xxx 中，第一個(gè)方程的 3 倍減

2、去第二個(gè)方程就等于第三 個(gè)方程，這就是說(shuō)，第三個(gè)方程可以去掉而不影響 方程組的解. 在那里用初等變換得到的階梯形方程 組中只含有兩個(gè)方程正是反映了這個(gè)情況. 可以認(rèn) 為，初等變換是揭示方程之間的關(guān)系的一種方法. 因此，為了直接從原來(lái)的線性方程組來(lái)討論解的情 況，我們有必要來(lái)研究方程之間的關(guān)系. 首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第2頁(yè)/共14頁(yè) 4 一個(gè) n 元方程 1122nn a xa xa xb 可以用 n + 1 元有序數(shù)組 (a1, a2, , an, b) 來(lái)代表，所謂方程之間的關(guān)系實(shí)際上就是代表它們 的 n + 1 元有序數(shù)組之間的關(guān)系.為此, 我們先來(lái)討 論多元有序數(shù)組. 首頁(yè) 上

3、頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第3頁(yè)/共14頁(yè) 5 定義2 所謂數(shù)域 P 上一個(gè) n 維向量就是由數(shù)域P 中 n 個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)組 ( a1 , a2 , , an ) ai 稱為這個(gè)向量的分量. 例如, 當(dāng)n = 2, 3 且 P 為實(shí)數(shù)域時(shí),這里所指的向量就是幾何上的向量. 常用小寫希臘字母 ， 等來(lái)代表向量. 首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第4頁(yè)/共14頁(yè) 6 因而采取這樣一個(gè)幾何的名詞有好處. 注:當(dāng) n 3 時(shí), n 維向量就沒(méi)有直觀的幾何意義了. 我們?nèi)苑Q它為向量, 一方面是由于它包括通常的向 量作為特殊情形, 另一方面也由于它與通常的向量 一樣可以定義運(yùn)算,并且有許多運(yùn)算性質(zhì)是共同的,

4、 首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第5頁(yè)/共14頁(yè) 7 1. 向量相等 定義 3 如果 n 維向量 = ( a1 , a2 , , an), = (b1 , b2 , , bn ) 的對(duì)應(yīng)分量都相等，即 ai = bi ( i = 1, 2, , n ) , 則稱這兩個(gè)向量是相等的，記作 = . 首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第6頁(yè)/共14頁(yè) 8 2. 向量的加法 定義 4 向量 = ( a1 + b1 , a2 + b2 , , an + bn ) 稱為向量 = ( a1 , a2 , , an), = (b1 , b2 , , bn ) 的和, 記為 = + . 交換律 + = + . 結(jié)合

5、律 + ( + ) = ( + ) + . 向量加法有有以下運(yùn)算規(guī)律: 首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第7頁(yè)/共14頁(yè) 9 定義 5 分量全為零的向量 ( 0, 0, , 0 )稱為 零向量, 記為 0；向量 ( - a1 , - a2 , , -an )稱為向量 = (a1, a2, , an)的負(fù)向量，記為 - . 顯然，對(duì)于所有的 ，都有 + 0 = ， + ( - ) = 定義 6 - = + ( - ) . 首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第8頁(yè)/共14頁(yè) 10 3. 數(shù)量乘積 定義 7 設(shè) k 為數(shù)域 P 中的數(shù), 稱向量 ( ka1 , ka2 , , kan ) 為向量 = (a

6、1, a2, , an )與數(shù) k 的數(shù)量乘積, 記為k . 關(guān)于數(shù)量乘積,有以下性質(zhì): k ( + ) = k + k , (k + l ) = k + l , k ( l ) = ( kl ) , 1 = . 0 = , (-1) = - , k = . 如果 k 0, 0, 那么 k 0 . 首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第9頁(yè)/共14頁(yè) 11 定義 8 以數(shù)域 P 中的數(shù)作為分量的 n 維向量 的全體, 同時(shí)考慮到定義在它們上面的加法和數(shù)量 乘法, 稱為數(shù)域 P 上的 n 維向量空間. 在 n = 3 時(shí)，3 維實(shí)向量空間可以認(rèn)為就是幾何空間中全體向量所成的空間. 12 (,) . n

7、 a aa 向量通常寫成一行： 稱為行向量.有時(shí)候也可以寫成一列： 首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第10頁(yè)/共14頁(yè) 12 1 2 . n a a a 稱為列向量. 它們只是寫法上不同, 沒(méi)有實(shí)質(zhì)上的區(qū)別. 首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第11頁(yè)/共14頁(yè) 13 在定義了 n 維向量以后, 線性方程組中的方程 就可用向量來(lái)表示, 因而線性方程組就可用向量組 來(lái)表示. 設(shè)有線性方程組 11112211 21122222 1122 , , (1) , nn nn sssnns a xa xa xb a xa xaxb a xa xa xb 首頁(yè) 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第12頁(yè)/共14頁(yè) 14 若令 1111211 2212222 12 (,), (,), (,), n n ssssns aaab aaab aaab 則可用向量組 A：1,