第五章平面圖形幾何性質(zhì)(講稿)材料力學(xué)教案(顧志榮)12頁

1、第五章 平面圖形的幾何性質(zhì)同濟(jì)大學(xué)航空航天與力學(xué)學(xué)院 顧志榮 材料力學(xué)的研究對象為桿件，桿件的橫截面是具有一定幾何形狀的平面圖形。桿件的承載能力與其橫截面圖形的一些幾何特性有密切的關(guān)系。（小實驗）研究平面圖形幾何性質(zhì)的方法：化特殊為一般 圖5-27。實際桿件的橫截面： 抽象為：特殊 一般圖5-271、靜矩 形心位置（）靜矩 圖5-28：圖5-28微面積dA與Z軸、Y軸間距離的乘積ydA,zdA分別稱為微面積dA對Z軸、Y軸的靜矩。整個截面對Z軸、Y軸的靜矩可用下式來定義：（若把A看作力）定義：截面A對Z軸： （-1）截面A對Y軸：計算：對（-1）式直接積分： 若已知截面的形心位置C，則可以寫成

2、： （-2）（）形心的位置： （-3）性質(zhì)：截面對某一軸的靜矩等于零，則該軸必通過形心。 截面對通過形心的軸的靜矩恒等于零，即： 決定因素：靜矩與截面尺寸、形狀、軸的位置有關(guān)。數(shù)值范圍：可以為正、或負(fù)、或等于零。單位：（）組合截面的靜矩： （-4）即組合截面的整個圖形對于某一軸的靜矩，等于各組部分對于同一軸靜矩代數(shù)和。（）組合截面的形心位置： （4-5）例題5-7 求圖5-29所示截面圖形的形心。圖5-29解：把T形看成為由矩形和組成y軸是對稱軸形心必在y軸上 求 =（到Z軸） yc=60+20=80mm則：求？52mm2、慣性矩（形心主慣性矩） 慣性半徑 極慣性矩 圖5-30定義：（1）慣性

3、矩 （4-6）定義為截面對z軸,y軸的慣性矩。（2）形心主慣性矩若Z軸經(jīng)過截面的形心，并取得最大或最小慣性矩，則該軸稱為形心主慣性軸。截面對該軸的慣性矩稱為形心主慣性矩，用，表示（3）慣性半徑 （4-7）對于圓形截面 i=（4）極慣性矩： （4-8）定義為截面對坐標(biāo)原點的極慣性矩。計算方法：直接積分例題5-8：慣性矩的計算求矩形截面對其對稱軸（即形心軸）y、z的慣性矩？圖5-31解： Iy 三角形 求其圖5-32解： =圓形（扇形、14圓、12圓、全圓）（1）扇形 求其圖5-33解：= （A）（2）14圓 圖5-34解； 代入（A）式即得 （3）12圓 圖5-35解：， 代入式（A）得（4）全圓 圖5-36解： 代入（A）式即得 性質(zhì)：（1）同一截面對不同的坐標(biāo)軸的慣性矩是不相同的。 （2）截面對任意一對互相垂直軸的慣性矩之和，恒等于它對該兩軸交點的極慣性矩（）決定因素：截面形狀、尺寸、軸的位置。數(shù)值范圍：慣性矩、慣性半徑和極慣性矩的數(shù)值恒為正。單位：慣性矩、極慣性矩的單位相同、均為：慣性半徑：3、平行移軸公式 圖5-37已知：、 ；、 ， （兩坐標(biāo)軸互相平行） 求：、 ； 、的關(guān)系。解： = = =由此可見：圖形對任意軸的慣性矩圖形對于與該軸平行的形心軸的慣性矩圖形面積與兩軸間距離平方的乘積。同理可得：