橢圓的幾何性質2(第二定義)

1、 22 22 1(0) xy ab ab |x| a,|y| b 關于關于x軸、軸、y軸成軸對稱；關于原點成中心對稱軸成軸對稱；關于原點成中心對稱 22 22 1(0) xy ab ba |x| b,|y| a (a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) (c,0)、(-c,0) 長半軸長為長半軸長為a, ,短半軸長為短半軸長為b. ab c e a a2=b2+c2 (b,0),(-b,0),(0,a),(0,-a) (0 , c)、(0, -c) 標準方程標準方程 范圍范圍 對稱性對稱性 頂點坐標頂點坐標 焦點坐標焦點坐標 半軸長半軸長 離心率離心率 a,b,c的的關系關系 圖形圖

2、形 1 o F y x 2 F M (0,1) 準線方程準線方程 2 a x c 1 12 2 y o FF M x c a 2 y= 例例6、點、點M（x , y）與定點）與定點F（4，0）的距離和它到直線）的距離和它到直線l: 的距離的比是常數(shù)的距離的比是常數(shù) ，求點，求點M的軌跡。的軌跡。 25 4 x 4 5 4 5 MF PM d 2 2 4 4 255 4 xy x 22 925225xy 22 1 259 xy 解：解： 25 4 x 設設d是點是點M到直線到直線l： 的距離，的距離， 根據(jù)題意，點根據(jù)題意，點M的軌跡就是集合的軌跡就是集合 由此得由此得 將上式兩邊平方，并化簡得

3、將上式兩邊平方，并化簡得 即即 所以，點所以，點M的軌跡是長軸、短軸長分別為的軌跡是長軸、短軸長分別為10、6的橢圓。（如圖）的橢圓。（如圖） x y O M F H l 觀察畫圖，你能得到什么結論？觀察畫圖，你能得到什么結論？ 信息技術畫圖信息技術畫圖1 信息技術畫圖信息技術畫圖2 當點當點M與一個定點的距離和它到一條定直線的距離的比是一個常數(shù)與一個定點的距離和它到一條定直線的距離的比是一個常數(shù) ) 10 (e a c e 時時,這個點的這個點的軌跡是橢圓軌跡是橢圓,這叫做這叫做橢圓的第二定義橢圓的第二定義, 定點是橢圓的定點是橢圓的焦焦點點,定直線叫做橢圓的定直線叫做橢圓的準線，準線， 常

4、數(shù)常數(shù)e是橢圓的是橢圓的離心率離心率. 0 x y M ( ,0)F c c a x 2 (,0)Fc 對于橢圓對于橢圓 相應相應與焦點與焦點 ) 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x )0 ,(cF的準線的準線方程是方程是 c a x 2 由橢圓的對稱性由橢圓的對稱性,相應相應與焦點與焦點)0 ,( cF 的準線方程是的準線方程是 2 a x c 2 a x c 能不能說能不能說M到到F (-c,0)的 距離與到直線距離與到直線 的距離比也是離心率的距離比也是離心率e呢呢? c a x 2 “三定三定”： 定點是焦點；定點是焦點； 定直線是準線；定直線是準線； 定值是離心率。定值是

5、離心率。 22 22 1(0) xy ab ab 1 F 00 (,)M xy 2 a x c 2 a x c x y O 2 F A B 由橢圓第二定義知由橢圓第二定義知 注注: :所用焦點要與準線同側所用焦點要與準線同側, , 焦點在焦點在y y軸的同理可得軸的同理可得. . |MF2|=e|MB| =e(a2/c-x0 )= a-ex0 |MF1|=e|MA| =ex0- (-a2/c)=a+ex0 下焦半徑下焦半徑|PF1|=a+ey0 ,上焦半徑為上焦半徑為|PF2|=a-ey0 (2)點點p(x0 ,y0 )的在橢圓的在橢圓 左焦半徑為左焦半徑為|MF1|= a+ex0，右焦半徑為

6、，右焦半徑為|MF2|= a-ex0 (1)點點M(x0，y0)在橢圓在橢圓 22 22 1(0) xy ab ba 橢圓的焦半徑公式橢圓的焦半徑公式 上，上， 上上, |MF2| |MB| =e |MF1| |MA| =e （焦半徑：橢圓上任意點到焦點的距離）（焦半徑：橢圓上任意點到焦點的距離） y (,0)a ( ,0)a Ox (0,)b (0, )b F 222 abc 2 a x c 2 a x c 橢圓中的特殊三角形及通徑橢圓中的特殊三角形及通徑 a b c 橢圓的通徑：橢圓的通徑： 過焦點且垂直于焦點所在的軸的直線被橢圓所截得過焦點且垂直于焦點所在的軸的直線被橢圓所截得 的線段長

7、度。的線段長度。 A B 2 2b a AB= D 在在RtOFD中，中， 如圖的如圖的AB 點點P(x0 ,y0 )與圓與圓C: (x-a)2+(y-b)2=r2 的位置關系有：的位置關系有： 點在圓點在圓C外外 點在圓點在圓C內(nèi)內(nèi) 點在圓點在圓C上上 (x-a)2+(y-b)2 r2 =r2 rd0 0 因為因為所以，方程（）有兩個根，所以，方程（）有兩個根， 那么，相交所得的弦的弦長是多少？那么，相交所得的弦的弦長是多少？ 弦長公式：弦長公式： 2 |1| AB ABkxx 22 1)4 ABAB kxxx x（ 則原方程組有兩組解則原方程組有兩組解. - (1) 由韋達定理由韋達定理

8、12 12 4 5 1 5 xx xx 小結：橢圓與直線的位置關系及判斷方法小結：橢圓與直線的位置關系及判斷方法 判斷方法判斷方法 這是求解直線與二次曲線有關問題的這是求解直線與二次曲線有關問題的通法通法。 0 （1）聯(lián)立方程組）聯(lián)立方程組 （2）消去一個未知數(shù)）消去一個未知數(shù) （3） 1、直線與圓相交的弦長、直線與圓相交的弦長 A（x1,y1） 小結：直線與二次曲線相交弦長的求法小結：直線與二次曲線相交弦長的求法 d r2 l 2、直線與其它二次曲線相交的弦長、直線與其它二次曲線相交的弦長 （1）聯(lián)立方程組）聯(lián)立方程組 （2）消去一個未知數(shù)）消去一個未知數(shù) （3）利用弦長公式）利用弦長公式:

9、 |AB| = 22 1212 14kxxx x（） 1212 2 1 14yyy y k 2 （） k 表示弦的表示弦的斜率斜率，x1、x2、y1、y2表示弦的表示弦的端點端點 坐標坐標，一般由，一般由韋達定理韋達定理求得求得 |x1-x2 | 與與 | y1-y2| 通法通法 B（x2,y2） = 設而不求設而不求 22 22 22 22 31 1 0( 2) 1 ab ab 22 12,4ab |PB|=|PA|=3, 解解: 補例補例1：如圖，等腰：如圖，等腰RtAPB的一條直角邊的一條直角邊AP在在y軸上，軸上，A點點 在在x軸下方，軸下方，B點在點在y軸右方，斜邊軸右方，斜邊AB的

10、邊長為的邊長為32， 1 b y a x 2 2 2 2 若點若點P的坐標為的坐標為(0，1)，求橢圓，求橢圓C的方程；的方程； 且且A B兩點均在橢圓兩點均在橢圓C： (ab0)上上 由題意可得由題意可得 B(3,1),A(0,-2), 代入橢圓方程可得代入橢圓方程可得 22 1 124 xy 解得解得 所求橢圓所求橢圓C的方程為的方程為 例例2：已知橢圓：已知橢圓E的兩個焦點分別為的兩個焦點分別為F1（-1，0）、）、F2（1，0），）， 22 22 10 xy ab ab 22 19 1 4ab 22 1 43 xy （1 1）求橢圓）求橢圓E的方程；的方程； （2 2）若點）若點P在橢

11、圓在橢圓E E上，且滿足上，且滿足PF1PF2=t, ,求實數(shù)求實數(shù)t t的取值范圍。的取值范圍。 點點C（1，3/2）在橢圓）在橢圓E上。上。 解：解：依題意依題意,設橢圓設橢圓E的方程為的方程為 由已知半焦距由已知半焦距c=1a2-b2=1 點點C（1，3/2）在橢圓）在橢圓E上上, 解解得得a2=4,b2=3 橢圓橢圓E的方程為的方程為 （1）法）法1： （1）法）法2： 22 22 10 xy ab ab 22 1 43 xy 依題意依題意,設橢圓設橢圓E的方程為的方程為 點點C（1，3/2）在橢圓）在橢圓E上上,2a=|CF1|+|CF2|=4即即a=2 由已知半焦距由已知半焦距c=

12、1b2 =a2-c2=3 橢圓橢圓E的方程為的方程為 解解: (2) 12 PFPFt 22 00 1 43 xy 設設P(x0,y0),由由 得得 (-1-x0 ,-y0) (1-x0 ,-y0)=t,即即x02+y02=t+1 點點P在橢圓上在橢圓上, 由由得得y02=t+1-x02 代入代入，并整理得，并整理得x02=4(t-2) 由由知，知，0 x04 結合結合解得，解得，2t3 實數(shù)實數(shù)t的取值范圍國的取值范圍國2，3 例例2：已知橢圓：已知橢圓E的兩個焦點分別為的兩個焦點分別為F1（-1，0）、）、F2（1，0），）， （1 1）求橢圓）求橢圓E的方程；的方程； （2 2）若點）若點P在橢圓在橢圓E E上，且滿足上，且滿足PF1PF2=t, ,求實數(shù)求實數(shù)t t的取值范圍。的取值范圍。 點點C（1，3/2）在橢圓）在橢圓E上。上。 應用：應用： 1、求下列橢圓的準線方程：、求下列橢圓的準線方程： x24y24 1 81 y 16 x 22 2.已知已知P是橢圓是橢圓 上的點上的點,P 到右準線的距離為到右準線的距離為8.5,則則P到左焦點到左焦點 的距離為的距離為_. 1 36 y 100 x 22