橢圓的幾何性質(zhì)2(第二定義)

1、 22 22 1(0) xy ab ab |x| a,|y| b 關(guān)于關(guān)于x軸、軸、y軸成軸對稱；關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱軸成軸對稱；關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱 22 22 1(0) xy ab ba |x| b,|y| a (a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) (c,0)、(-c,0) 長半軸長為長半軸長為a, ,短半軸長為短半軸長為b. ab c e a a2=b2+c2 (b,0),(-b,0),(0,a),(0,-a) (0 , c)、(0, -c) 標(biāo)準(zhǔn)方程標(biāo)準(zhǔn)方程 范圍范圍 對稱性對稱性 頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo) 焦點(diǎn)坐標(biāo)焦點(diǎn)坐標(biāo) 半軸長半軸長 離心率離心率 a,b,c的的關(guān)系關(guān)系 圖形圖

2、形 1 o F y x 2 F M (0,1) 準(zhǔn)線方程準(zhǔn)線方程 2 a x c 1 12 2 y o FF M x c a 2 y= 例例6、點(diǎn)、點(diǎn)M（x , y）與定點(diǎn)）與定點(diǎn)F（4，0）的距離和它到直線）的距離和它到直線l: 的距離的比是常數(shù)的距離的比是常數(shù) ，求點(diǎn)，求點(diǎn)M的軌跡。的軌跡。 25 4 x 4 5 4 5 MF PM d 2 2 4 4 255 4 xy x 22 925225xy 22 1 259 xy 解：解： 25 4 x 設(shè)設(shè)d是點(diǎn)是點(diǎn)M到直線到直線l： 的距離，的距離， 根據(jù)題意，點(diǎn)根據(jù)題意，點(diǎn)M的軌跡就是集合的軌跡就是集合 由此得由此得 將上式兩邊平方，并化簡得

3、將上式兩邊平方，并化簡得 即即 所以，點(diǎn)所以，點(diǎn)M的軌跡是長軸、短軸長分別為的軌跡是長軸、短軸長分別為10、6的橢圓。（如圖）的橢圓。（如圖） x y O M F H l 觀察畫圖，你能得到什么結(jié)論？觀察畫圖，你能得到什么結(jié)論？ 信息技術(shù)畫圖信息技術(shù)畫圖1 信息技術(shù)畫圖信息技術(shù)畫圖2 當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)M與一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是一個(gè)常數(shù)與一個(gè)定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是一個(gè)常數(shù) ) 10 (e a c e 時(shí)時(shí),這個(gè)點(diǎn)的這個(gè)點(diǎn)的軌跡是橢圓軌跡是橢圓,這叫做這叫做橢圓的第二定義橢圓的第二定義, 定點(diǎn)是橢圓的定點(diǎn)是橢圓的焦焦點(diǎn)點(diǎn),定直線叫做橢圓的定直線叫做橢圓的準(zhǔn)線，準(zhǔn)線， 常

4、數(shù)常數(shù)e是橢圓的是橢圓的離心率離心率. 0 x y M ( ,0)F c c a x 2 (,0)Fc 對于橢圓對于橢圓 相應(yīng)相應(yīng)與焦點(diǎn)與焦點(diǎn) ) 0( 1 2 2 2 2 ba b y a x )0 ,(cF的準(zhǔn)線的準(zhǔn)線方程是方程是 c a x 2 由橢圓的對稱性由橢圓的對稱性,相應(yīng)相應(yīng)與焦點(diǎn)與焦點(diǎn))0 ,( cF 的準(zhǔn)線方程是的準(zhǔn)線方程是 2 a x c 2 a x c 能不能說能不能說M到到F (-c,0)的 距離與到直線距離與到直線 的距離比也是離心率的距離比也是離心率e呢呢? c a x 2 “三定三定”： 定點(diǎn)是焦點(diǎn)；定點(diǎn)是焦點(diǎn)； 定直線是準(zhǔn)線；定直線是準(zhǔn)線； 定值是離心率。定值是

5、離心率。 22 22 1(0) xy ab ab 1 F 00 (,)M xy 2 a x c 2 a x c x y O 2 F A B 由橢圓第二定義知由橢圓第二定義知 注注: :所用焦點(diǎn)要與準(zhǔn)線同側(cè)所用焦點(diǎn)要與準(zhǔn)線同側(cè), , 焦點(diǎn)在焦點(diǎn)在y y軸的同理可得軸的同理可得. . |MF2|=e|MB| =e(a2/c-x0 )= a-ex0 |MF1|=e|MA| =ex0- (-a2/c)=a+ex0 下焦半徑下焦半徑|PF1|=a+ey0 ,上焦半徑為上焦半徑為|PF2|=a-ey0 (2)點(diǎn)點(diǎn)p(x0 ,y0 )的在橢圓的在橢圓 左焦半徑為左焦半徑為|MF1|= a+ex0，右焦半徑為

6、，右焦半徑為|MF2|= a-ex0 (1)點(diǎn)點(diǎn)M(x0，y0)在橢圓在橢圓 22 22 1(0) xy ab ba 橢圓的焦半徑公式橢圓的焦半徑公式 上，上， 上上, |MF2| |MB| =e |MF1| |MA| =e （焦半徑：橢圓上任意點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離）（焦半徑：橢圓上任意點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離） y (,0)a ( ,0)a Ox (0,)b (0, )b F 222 abc 2 a x c 2 a x c 橢圓中的特殊三角形及通徑橢圓中的特殊三角形及通徑 a b c 橢圓的通徑：橢圓的通徑： 過焦點(diǎn)且垂直于焦點(diǎn)所在的軸的直線被橢圓所截得過焦點(diǎn)且垂直于焦點(diǎn)所在的軸的直線被橢圓所截得 的線段長

7、度。的線段長度。 A B 2 2b a AB= D 在在RtOFD中，中， 如圖的如圖的AB 點(diǎn)點(diǎn)P(x0 ,y0 )與圓與圓C: (x-a)2+(y-b)2=r2 的位置關(guān)系有：的位置關(guān)系有： 點(diǎn)在圓點(diǎn)在圓C外外 點(diǎn)在圓點(diǎn)在圓C內(nèi)內(nèi) 點(diǎn)在圓點(diǎn)在圓C上上 (x-a)2+(y-b)2 r2 =r2 rd0 0 因?yàn)橐驗(yàn)樗?，方程（）有兩個(gè)根，所以，方程（）有兩個(gè)根， 那么，相交所得的弦的弦長是多少？那么，相交所得的弦的弦長是多少？ 弦長公式：弦長公式： 2 |1| AB ABkxx 22 1)4 ABAB kxxx x（ 則原方程組有兩組解則原方程組有兩組解. - (1) 由韋達(dá)定理由韋達(dá)定理

8、12 12 4 5 1 5 xx xx 小結(jié)：橢圓與直線的位置關(guān)系及判斷方法小結(jié)：橢圓與直線的位置關(guān)系及判斷方法 判斷方法判斷方法 這是求解直線與二次曲線有關(guān)問題的這是求解直線與二次曲線有關(guān)問題的通法通法。 0 （1）聯(lián)立方程組）聯(lián)立方程組 （2）消去一個(gè)未知數(shù)）消去一個(gè)未知數(shù) （3） 1、直線與圓相交的弦長、直線與圓相交的弦長 A（x1,y1） 小結(jié)：直線與二次曲線相交弦長的求法小結(jié)：直線與二次曲線相交弦長的求法 d r2 l 2、直線與其它二次曲線相交的弦長、直線與其它二次曲線相交的弦長 （1）聯(lián)立方程組）聯(lián)立方程組 （2）消去一個(gè)未知數(shù)）消去一個(gè)未知數(shù) （3）利用弦長公式）利用弦長公式:

9、 |AB| = 22 1212 14kxxx x（） 1212 2 1 14yyy y k 2 （） k 表示弦的表示弦的斜率斜率，x1、x2、y1、y2表示弦的表示弦的端點(diǎn)端點(diǎn) 坐標(biāo)坐標(biāo)，一般由，一般由韋達(dá)定理韋達(dá)定理求得求得 |x1-x2 | 與與 | y1-y2| 通法通法 B（x2,y2） = 設(shè)而不求設(shè)而不求 22 22 22 22 31 1 0( 2) 1 ab ab 22 12,4ab |PB|=|PA|=3, 解解: 補(bǔ)例補(bǔ)例1：如圖，等腰：如圖，等腰RtAPB的一條直角邊的一條直角邊AP在在y軸上，軸上，A點(diǎn)點(diǎn) 在在x軸下方，軸下方，B點(diǎn)在點(diǎn)在y軸右方，斜邊軸右方，斜邊AB的

10、邊長為的邊長為32， 1 b y a x 2 2 2 2 若點(diǎn)若點(diǎn)P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(0，1)，求橢圓，求橢圓C的方程；的方程； 且且A B兩點(diǎn)均在橢圓兩點(diǎn)均在橢圓C： (ab0)上上 由題意可得由題意可得 B(3,1),A(0,-2), 代入橢圓方程可得代入橢圓方程可得 22 1 124 xy 解得解得 所求橢圓所求橢圓C的方程為的方程為 例例2：已知橢圓：已知橢圓E的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1（-1，0）、）、F2（1，0），）， 22 22 10 xy ab ab 22 19 1 4ab 22 1 43 xy （1 1）求橢圓）求橢圓E的方程；的方程； （2 2）若點(diǎn)）若點(diǎn)P在橢

11、圓在橢圓E E上，且滿足上，且滿足PF1PF2=t, ,求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù)t t的取值范圍。的取值范圍。 點(diǎn)點(diǎn)C（1，3/2）在橢圓）在橢圓E上。上。 解：解：依題意依題意,設(shè)橢圓設(shè)橢圓E的方程為的方程為 由已知半焦距由已知半焦距c=1a2-b2=1 點(diǎn)點(diǎn)C（1，3/2）在橢圓）在橢圓E上上, 解解得得a2=4,b2=3 橢圓橢圓E的方程為的方程為 （1）法）法1： （1）法）法2： 22 22 10 xy ab ab 22 1 43 xy 依題意依題意,設(shè)橢圓設(shè)橢圓E的方程為的方程為 點(diǎn)點(diǎn)C（1，3/2）在橢圓）在橢圓E上上,2a=|CF1|+|CF2|=4即即a=2 由已知半焦距由已知半焦距c=

12、1b2 =a2-c2=3 橢圓橢圓E的方程為的方程為 解解: (2) 12 PFPFt 22 00 1 43 xy 設(shè)設(shè)P(x0,y0),由由 得得 (-1-x0 ,-y0) (1-x0 ,-y0)=t,即即x02+y02=t+1 點(diǎn)點(diǎn)P在橢圓上在橢圓上, 由由得得y02=t+1-x02 代入代入，并整理得，并整理得x02=4(t-2) 由由知，知，0 x04 結(jié)合結(jié)合解得，解得，2t3 實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)t的取值范圍國的取值范圍國2，3 例例2：已知橢圓：已知橢圓E的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1（-1，0）、）、F2（1，0），）， （1 1）求橢圓）求橢圓E的方程；的方程； （2 2）若點(diǎn)）若點(diǎn)P在橢圓在橢圓E E上，且滿足上，且滿足PF1PF2=t, ,求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù)t t的取值范圍。的取值范圍。 點(diǎn)點(diǎn)C（1，3/2）在橢圓）在橢圓E上。上。 應(yīng)用：應(yīng)用： 1、求下列橢圓的準(zhǔn)線方程：、求下列橢圓的準(zhǔn)線方程： x24y24 1 81 y 16 x 22 2.已知已知P是橢圓是橢圓 上的點(diǎn)上的點(diǎn),P 到右準(zhǔn)線的距離為到右準(zhǔn)線的距離為8.5,則則P到左焦點(diǎn)到左焦點(diǎn) 的距離為的距離為_. 1 36 y 100 x 22